北京大学群论第六章-群论与量子力学

第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r H ρˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g ρρ1-=，()r f ρ为任意函数，有：故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r Hρρ（由()r f ρ为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρρ='，()()()r H r H r g H ρρϖˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρˆˆ= 即当哈密顿算符()r H ρˆ在函数变换算符gP 的作用下不变时，则()r H ρˆ与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hρˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g Hg G H ρρˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hρρˆˆ= 令r g r ρρ='，则'1r g r ρρ-=，代入得：()'ˆ1r gg H ρ-，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====----结合律和单位元显然存在。

【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。

以下三个定理给出了群的表示理论与量子力学之间最重要的联系。

◆定理6.1◆ 哈密顿算符Hˆ的具有相同本征能量的本征函数，构成薛定谔方程群表示的基函数。

证明：设哈密顿Hˆ的本征能量E n 为λ重简并，则存在λ个线性无关的本征函数， λΛ,2,1 ,=i i ϕ，以它们为基构成复数域上的线性空间，记为H W 。

可以证明HW 为哈密顿算符群的表示空间：H G g P P ∈∀，有 ()()()r E P r r H P i n g i g ρ(ρϕϕ=ˆ由g g P H H P ))=，可得：()[]()[]r P E r P Hi g n i g ρρϕϕ=ˆ，即()r P i g ρϕ为本征值E n 的本征函数(该结论由Wiger 于1927年首先提出，被称为Wigner 定理)，故，()()()∑==λρρ1j j i j i g r g A r P ϕϕ即本征函数空间是哈密顿算符群的表示空间，对应群表示(){}g A ，本征函数()λΛρ,2,1,=i r i ϕ为表示空间的基函数。

◆定理6.2◆ 构成哈密顿算符群不可约表示的本征函数属于同一能级。

证明: 反证法：① 设()r Hρˆ的λ个本征函数，()λΛρ,,2,1,)(=i r i αϕ构成哈密顿算符群的第α个不可约表示，而)(αϕi，λΛ,2,1=i ，分属于λ个不同的能级λΛ,,2,1,=i E i 则有：()()()()()r E r r Hi i i ρρρααϕϕ=ˆ 两边以g P 作用，H G g P P ∈，有： 而 ()()()()()()()()()()()ααααααϕϕϕϕj j j ji j j ji i g i g E g A g A r H P r Hr HP ∑=∑====λλϖρϖ11ˆˆˆ 即：()()()()()()ααααϕϕj j j ji jj jii E g A g A E ∑=∑==λλ11上式两边乘以()*αϕk ，并对整个空间积分，利用()()ij j i δϕϕαα=)|(有：()()()()g A E g A E ki k kii αα= 即 ()()()0=-g A E E ki k i α 由于k i E E ≠，故()()0=g A kiα 即()()g A α为对角矩阵，是可约表示。

与假设矛盾，故()αϕi 基函数不可能分属于λ个不同本征值。

② 若该λ个不可约表示基函数分属于m 个不同的能级，由()()()0=-g A E E ik k i α知，矩阵()()g A iα为包含m 个子矩阵的块对角矩阵，因而是可约表示，与假设矛盾。

由①、②可知，构成哈密顿算符群不可约表示的基函数属于同一能级。

构成不可约表示的简并能级称为必然简并能级，构成可约表示的能级称为偶然简并能级。

必然简并：由对称性引起的简并称为必然简并，又称为正则简并，必然简并波函数给出哈密顿群的不可约表示；偶然简并：由非对称性因素引起的简并称为偶然简并，偶然简并波函数给出哈密顿群的可约表示。

A 1 A 1 A A 2 A 2，B 1B B B 2 B 2① 无磁场条件下，费米子（电子）的两个能级A ，B 上的费米子可取上、下两个方向，对应两个简并波函数，而能量相同，这种能级简并是由系统的对称性决定的。

为必然简并，对应不可约表示A 和B 。

② 加磁场后系统对称性被破坏，费米子取向不同时具有不同能量，能级发生分裂。

系统对称性降低导致能级分裂。

③ 随磁场强度变化，A 2、B 1两能级重叠发生偶然简并。

④ P 点为偶然简并点，对应的表示为12B A ⊕，随着磁场的变化，偶然简并消失，系统对称性没有发生变化。

哈密顿算符的非偶然简并能量的本征函数，构成哈密顿算符群的不可约表示的基，偶然简并能级除外。

◆定理 6.3◆ 设(){}l r i ,...,2,11,=ρϕ为哈密顿算符群H G P 表示的基，则以(){}l i r Hi,...,2,1,ˆ=ρϕ和(){}l r i,...,2,11,=ρϕ为基得到的群表示完全相同；()r iρϕ与① ② ③ A 1 B 1 A 2 B 2磁场P AB()r H iρϕˆ均按该表示的第i 列基变换。

证明：H G g P P ∈∀，有：()()()r g A r P j j ji i g ρρλϕϕ∑==1()()()()()()()()r Hg A r g A H r P H r H P j j ji j j ji i g i g ρρρρλλϕϕϕϕˆˆˆˆ11∑=∑====。

哈密顿算符的所有能级可由哈密顿算符群的不可约表示标记。

()()r i ραϕ为第α个不可约表示的第i 个基，则()()r H i (αϕ亦为该不可约表示的第i个基。

以上讨论不仅适合于哈密顿算符的对称群，对于任何线性厄密算符的对称群同样成立。

群论方法虽然无法知道本征能量和本征函数的具体情况，但是任何能级和波函数都可以用其所属的不可约表示进行分类和标记。

以上讨论是针对哈密顿算符得到的结果，这些结果对于量子力学中任意力学量算符（线性厄密算符）同样适用。

例子：方形势阱的二维量子力学系统，取12==m η，哈密顿量为： 哈密顿方程：ψψE H = 一．哈密顿算符群：二面体群4D4D 的两个生成元4C 和2C ： 4C 绕z 轴转动2/π，2C 绕x 轴转π 两个生成元在坐标平面上的群表示： 取基为i ，j⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01104)C (A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-011014)C (A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10012)C (A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-100112)C (A4D 群特征标表：二. 用群的不可约表示对能级做分类 1． 用分离变量法求解哈密顿方程：令())y (Y )x (X y ,x =ψ，代入哈密顿方程，得：⎩⎨⎧=+=+0021Y E ''Y X E ''X ，边界条件：⎩⎨⎧==-==-00)(Y )(Y )(X )(X ππππ， 本征能量：21E E E +=方程的解为：哈密顿本征方程有如下类型的5种能级：（1）)y m cos()x m cos(,)m (E 2122122122++=+=ψ, 对应A 1表示 （2）)sin()sin(,22my mx m E =ψ=；对应B 2表示（3）)my sin()nx sin( ),ny sin()mx sin(,n m E ==+=2122ψψ；对应A 2⊕B 2 （4） ,)n ()m (E 41241222+++=)y m cos()x n cos( ),y n cos()x m cos(21221221221221++=++=ψψ，对应A 1⊕B 1表示（5） ,)n (m E 41222++= )x n cos()my sin( ),y n cos()mx sin(21221221+=+=ψψ，对应表示E 显然（1），（2）为不简并情形，（3），（4）为偶然简并，（5）为必然简并。

上述为能级对称性的一般情况，在具体情况下，某些能级具有更大的偶然简并。

例如，65=E 的能级，对应情形（3）中m ＝1、n ＝8和m ＝4、n ＝7两种情形，故该能级的对称性为2A 2＋2B 2。

偶然简并能级在对对称微绕的作用下，如22y x 'H ε=作用下，必然能级的简并度不会降低，能级不会分裂，而偶然简并能级，如（3），（4）情形，会发生分裂。

§6.2 微扰引起的能级分裂若量子体系的哈密顿算符为0ˆH ，其对称性群为G ，则其能级按G 的不可约表示分类。

当体系受到微扰'ˆH 作用后，系统的新哈密顿变为：'ˆˆˆ0H H H +=。

不需求解薛定谔方程，由0ˆH 、'ˆH 的对称性群G 、'G 即可以知道微扰'ˆH 对0ˆH 能级简并度的影响。

1． 当'G 为G 的子群时，H ˆ的对称性群为'G 。

原来系统哈密顿0ˆH 的一个简并能级j E 对应群G 的不可约表示j G A ，受到微扰后由于体系对称性降为'G ，不可约表示j G A 在新的系统中变为'G 的可约表示，即∑⊕=iiG i j G A m A '。

此时系统能级按'G 的不可约表示iG A '分类。

排除偶然简并情况，每个不可约表示将对应一个新的能级，故原能级j E 分裂为多个由'G 的不可约表示iG A '标记的能级。

故系统受到较低对称性的微扰后，能级简并度降低，发生能级分裂。

当系统受到不具有任何对称性的微扰作用时，所有必然简并能级的简并度都将被消除（偶然简并情形仍然可能存在）。