北京大学群论第六章-群论与量子力学

第六章 群论与量子力学

§6.1 哈密顿算符群和相关定理

设()r H ρ

ˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，

()()r g f r f P g ρ

ρ1-=，()r f ρ为任意函数，有：

故()()1

ˆˆ-=g g P r g H P r H

ρρ（由()r f ρ

为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρ

ρ='，

()()()r H r H r g H ρρϖˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρˆˆ= 即当哈密顿算符()r H ρ

ˆ在函数变换算符g

P 的作用下不变时，则()r H ρ

ˆ与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符H

ˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r H

ρˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}

r H r g H

g G H ρρˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g H

ρ

ρˆˆ= 令r g r ρρ='，则'1

r g r ρ

ρ

-=，代入得：

()'ˆ1r gg H ρ-，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1

封

闭

性

：

H

G g g ∈∀',,有：

)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====----

结合律和单位元显然存在。

【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。

以下三个定理给出了群的表示理论与量子力学之间最重要的联系。

◆定理6.1◆ 哈密顿算符H

ˆ的具有相同本征能量的本征函数，构成薛定谔方程群表示的基函数。

证明：设哈密顿H

ˆ的本征能量E n 为λ重简并，则存在λ个线性无关的本征函数， λΛ,2,1 ,=i i ϕ，以它们为基构成复数域上的线性空间，记为H W 。可以证明H

W 为

哈密顿算符群的表示空间：

H G g P P ∈∀，有 ()()()r E P r r H P i n g i g ρ(ρϕϕ=ˆ

由g g P H H P )

)=，可得：

()[]()[]r P E r P H

i g n i g ρρϕϕ=ˆ，即()r P i g ρϕ为本征值E n 的本征函数(该结论由Wiger 于1927年首先提出，被称为Wigner 定理)，

故，()()()∑==λρρ1

j j i j i g r g A r P ϕϕ

即本征函数空间是哈密顿算符群的表示空间，对应群表示(){}g A ，本征函数

()λΛρ

,2,1,=i r i ϕ为表示空间的基函数。

◆定理6.2◆ 构成哈密顿算符群不可约表示的本征函数属于同一能级。 证明: 反证法：

① 设()r H

ρ

ˆ的λ个本征函数，()λΛρ

,,2,1,)

(=i r i αϕ构成哈密顿算符群的第α个不可

约表示，而)

(αϕi

，λΛ,2,1=i ，分属于λ个不同的能级λΛ,,2,1,=i E i 则有：

()()()()()r E r r H

i i i ρρρααϕϕ=ˆ 两边以g P 作用，H G g P P ∈，有： 而 ()()

()()()()()()()()()ααααααϕϕϕϕj j j ji j j ji i g i g E g A g A r H P r H

r H

P ∑=∑====λλϖρϖ

1

1

ˆˆˆ 即：()

()()

()()()ααααϕϕj j j ji j

j ji

i E g A g A E ∑=∑==λ

λ

1

1

上式两边乘以

()*

αϕk ，并对整个空间积分，利用()()ij j i δϕϕαα=)|(有：

()()()()g A E g A E ki k ki

i αα= 即 ()()

()0

=-g A E E ki k i α 由于k i E E ≠，故

()

()0=g A ki

α 即()()g A α为对角矩阵，是可约表示。与假设矛盾，故()αϕi 基函数不可能分属于λ个不同本征值。

② 若该λ个不可约表示基函数分属于m 个不同的能级，由()()

()0=-g A E E ik k i α

知，

矩阵()

()g A i

α为包含m 个子矩阵的块对角矩阵，因而是可约表示，与假设矛盾。

由①、②可知，构成哈密顿算符群不可约表示的基函数属于同一能级。

构成不可约表示的简并能级称为必然简并能级，构成可约表示的能级称为偶然简并能级。

必然简并：由对称性引起的简并称为必然简并，又称为正则简并，必然简并波函

数给出哈密顿群的不可约表示；

偶然简并：由非对称性因素引起的简并称为偶然简并，偶然简并波函数给出哈密顿群的可约表示。 A 1 A 1 A A 2 A 2，B 1

B B B 2 B 2

① 无磁场条件下，费米子（电子）的两个能级A ，B 上的费米子可取上、下两个方向，对应两个简并波函数，而能量相同，这种能级简并是由系统的对称性决定的。为必然简并，对应不可约表示A 和B 。 ② 加磁场后系统对称性被破坏，费米子取向不同时具有不同能量，能级发生分裂。系统对称性降低导致能级分裂。

③ 随磁场强度变化，A 2、B 1两能级重叠发生偶然简并。 ④ P 点为偶然简并点，对应的表示为12B A ⊕，随着磁场的变化，偶然简并消失，系统对称性没有发生变化。

哈密顿算符的非偶然简并能量的本征函数，构成哈密顿算符群的不可约表示的基，偶然简并能级除外。

◆定理 6.3◆ 设(){

}l r i ,...,2,11,=ρ

ϕ为哈密顿算符群H G P 表示的基，则以(){}l i r H

i

,...,2,1,ˆ=ρϕ和(){}l r i

,...,2,11,=ρϕ为基得到的群表示完全相同；()r i

ρϕ与① ② ③ A 1 B 1 A 2 B 2

磁场

P A

B