三角形射影定理

几何证明

射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理

直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD）2=BD·DC，

（2）（AB）2=BD·BC ，

（3）（AC）2=CD·BC 。

证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（A D）^2=BD·DC。其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：

（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2

即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

任意三角形射影定理

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a＝b·cosC＋c·cosB，

b＝c·cosA＋a·cosC，

c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。

1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.

2．弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

进一步指出：由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．

(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心．

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线

段长的积相等

几何语言：

若弦AB、CD交于点P

则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：

若AB是直径，CD垂直AB于点P，

则PC2=PA·PB（相交弦定理推论）

割线定理：

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等.

要证PT2=PA·PB，可以证明，为此可证以PA·PT为边的三角形与以PT，

BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB。容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证：

直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD

证明:连接AD 、BC

∵∠A 和∠C 都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

圆内接四边形的判断定理定理1：圆内接四边形的对角互补；定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆幂定理

圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22

OP R -

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。

（1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。所以△APD ∽△BPC 。所以 AP PD AP BP PC PD PC BP

=⇒⋅=⋅ （2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点

的两条线段长的比例中项。

如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以

2PT PA PT PA PB PB PT

=⇒=⋅ （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有

PA·PB=PC·PD 。

这个证明就比较简单了。可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。证相似。 存在：PA PB PC PD ⋅=⋅

进一步升华（推论）：

过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于

A 、

B （可重合，即切线），L2与圆交于

C 、

D 。则PA·PB=PC·PD 。若圆半径为r ，则 2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ⋅=-⋅+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P 到圆O 的幂。（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=-

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）