高考数学：专题二 第一讲 三角函数的图像和性质课件

题型与方法
变式训练 1 已知点
Psin
第一讲
3π 3π 落在角 θ 的终边上，且 ，cos 4 4 ( D ) 5π C. 4 7π D. 4
θ∈[0,2π)，则 θ 的值为 π 3π A. B. 4 4 本
讲 3π π 2 栏 目 解析 ∵sin 4 ＝sin 4＝ 2 ， 开 2 3π π 2 关
答案 A
考点与考题
第一讲
3.(2012· 浙江)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 然后向左平移 1 个单位长度， 再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是
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(
)
考点与考题
第一讲
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解析 利用三角函数的图象与变换求解. 横坐标伸长2倍 y＝cos 2x＋1―――――――→ 纵坐标不变 向左平移1个单位长度 y＝cos x＋1――――――――――→ 向下平移1个单位长度 y＝cos(x＋1)＋1――――――――――→
∴ω＝6n(n∈N*)，
∴当 n＝1 时，ω 取得最小值 6.
考点与考题
第一讲
2.(2011· 天津)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0， π －π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π，且当 x＝ 时，f(x)取 2
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得最大值，则 A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
2π 由点 M 3 ，－2在函数 f(x)的图象上得， 2π 4π 2× ＋φ＝－2，即 sin ＋φ＝－1. 2sin 3 3
4π π 故 3 ＋φ＝2kπ－2，k∈Z， 11π 所以 φ＝2kπ－ (k∈Z). 6 π π 又 φ∈0，2，所以 φ＝6，
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第一讲
对称轴： 对称中心： x＝kπ(k∈Z)； kπ ，0 对称中心： 2 π (k∈Z) (kπ＋ ，0)(k∈Z) 2 2π π 单调增区间 [2kπ－π， 2kπ](k∈Z)； 单调减区间 [2kπ，2kπ＋ π](k∈Z) 偶 单调增区 间 π (kπ－ ，kπ 2 π ＋ )(k∈Z) 2 奇

2 cos 4 ＝－cos 4＝－ 2 ，即 P ，－ . 2 2
22 22 ∴|OP|＝ ＋－ ＝1，角 θ 为第四象限角. 2 2 2 － 2 2 7π 又∵sin θ＝ 1 ＝－ 2 ，θ∈[0,2π)，∴θ＝ 4 .
题型与方法
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(1)求 f(x)的解析式； π π (2)当 x∈12， 2 时，求 f(x)的值域.
题型与方法
解 (1)由最低点为
第一讲
2π M 3 ，－2得，A＝2.
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π T π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2，得2＝2， 2π 2π 即 T＝π，所以 ω＝ ＝ ＝2. T π
题型与方法
第一讲
例1
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如图，以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π)，它们终边分 3 4 别与单位圆相交于点 P、Q，已知点 P 的坐标为(－ ， ). 5 5 sin 2α＋cos 2α＋1 (1)求 的值； 1＋tan α
→ OQ → (2)若OP· ＝0，求 sin(α＋β).
考点与考题
2.正弦、余弦、正切的图象及性质 函数 性质
本 讲 x
y＝tan x π {x|x≠kπ＋ ， 2 k∈Z}
定义域
R
R
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
考点与考题
π 对称轴：x＝kπ＋ 2 对称性 (k∈Z)；对称中心： (kπ，0)(k∈Z)
第一讲
显然 f(x)在[－2π，0]上是增函数，故 A 正确； 5π 5π 而在[－3π，－ 2 ]上为减函数，在[－ 2 ，－π]上为增函数，故
B 错误；
7π 7π 13π f(x)在[3π， ]上为减函数，在[ ， ]上为增函数，故 C 2 2 2 错误；
f(x)在[4π，6π]上为增函数，故 D 错误．
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考点与考题
第一讲
第一讲 三角函数的图象和性质
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【考点整合】 1.任意角的三角函数 (1)设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)， y 那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x. (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正 切，四余弦．
第一讲
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考点与考题 π 7π 则 6kπ＋2≤x≤6kπ＋ 2 ，k∈Z. 5π π ∴f(x)的单调递增区间为6kπ－ 2 ，6kπ＋2 (k∈Z)， π 7π f(x)的单调递减区间为6kπ＋2，6kπ＋ 2 (k∈Z)． 本
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题型与方法
3 4 解 (1)由三角函数定义得 cos α＝－ ，sin α＝ ， 5 5 2sin αcos α＋2cos2α 2cos αsin α＋cos α ∴原式＝ ＝ sin α sin α＋cos α 1＋cos α cos α 3 2 18 2 ＝2cos α＝2×(－5) ＝25. → · ＝0，∴α－β＝π，∴β＝α－π， → (2)∵OP OQ 2 2 π 3 ∴sin β＝sin(α－2)＝－cos α＝5， π 4 cos β＝cos(α－2)＝sin α＝5.
考点与考题
【对点真题】
第一讲
π 1.设函数 f(x)＝cos ωx(ω>0)，将 y＝f(x)的图象向右平移 个单 3 位长度后，所得的图象与原图象重合，则 ω 的最小值等于
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( C ) 1 A. 3
解析
B．3
C．6
D．9
π 由题意可知，nT＝3(n∈N*)，
2π π ∴n· ＝ (n∈N*)， ω 3
故 f(x)的解析式为
π 2x＋ . f(x)＝2sin 6
题型与方法
π π x∈12，2 ，所以
第一讲
(2)因为
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π π 当 2x＋6＝2， π 即 x＝6时，f(x)取得最大值 2； π 7π 当 2x＋6＝ 6 ， π 即 x＝2时，f(x)取得最小值－1.
第一讲
题型二
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函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式是常见问题，和
题型概述
函数周期、频率、最值及图象变换相结合.
题型与方法
第一讲
π 例 2 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (其中 A>0，ω>0,0<φ< )的 2 π 图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图 2 2π 本 象上一个最低点为 M 3 ，－2. 讲
周期
单调性
奇偶性
2π 单调增区间 π [2kπ－ ，2kπ＋ 2 π ](k∈Z)； 2 单调减区间 π 3π [2kπ＋ ，2kπ＋ ] 2 2 (k∈Z) 奇
考点与考题
第一讲
3.y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质
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π (1)五点作图法：五点的取法：设 X＝ωx＋φ，X 取 0， ，π， 2 3π ，2π 来求相应的 x 值、y 值，再描点作图． 2 (2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是 φ，一般 φ 是从“五点法”中的第一点(－ω，0)作为突破口．
(
)
考点与考题
2π 2π 1 解析 ∵T＝6π，∴ω＝ T ＝ ＝ ， 6π 3 1 π π ∴3×2＋φ＝2kπ＋2(k∈Z)， π ∴φ＝2kπ＋3(k∈Z)． π ∵－π<φ≤π，∴令 k＝0 得 φ＝3. x π ∴f(x)＝2sin( ＋ )． 3 3 π x π π 令 2kπ－ ≤ ＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z. 2 3 3 2 5π π 则 6kπ－ 2 ≤x≤6kπ＋2，k∈Z. π x π 3π 令 2kπ＋ ≤ ＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z. 2 3 3 2
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 4 4 3 3 7 ＝5×5＋(－5)×5＝25.
题型与方法
第一讲
方法提炼
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(1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据， 如
果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正 弦、余弦、正切值. (2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中 起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用 的条件.
第一讲
π π f(x)＝sinωx＋4 在2，π上
(
)
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考点与考题
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
π 5 其减区间为kπ＋8，kπ＋8π，k∈Z，
π 显然2，π
π 5 kπ＋ ，kπ＋ π，k∈Z，排除 8 8
考点与考题
第一讲
(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩不出错，但考 题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总
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对字母 x 而言． (4)把函数式化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后用基本三角函 数的单调性求解时， 要注意 A、 的符号及复合函数的单调性 ω 规律：同增异减．
π π ＝sin ＋φ＝± 1， 6 3