谓词演算的性质
§4 谓词演算的性质 - 复旦大学精品课程.
Theorem 3.1: Let f be a function from A to B, and A1 and A2 be subsets of A. Then
(2)For every aA, If there exist x,yC such that (a,x) f gand (a,y) f g，then x=y?
Definition 3.4: Let g be a function from A to B, and f be a function from B to C. Then composite relation f g is called a function from A to C, we write f g:A→C. If aA, then(f g)(a)=f(g(a)).
and f be a function from B to C. Then composite relation f g is a function from A to C.
Proof: (1)For any aA, there exists cC such that (a,c) f g?
Example：A1={1,2,3,4,5,6},(A1,) 1 is a minimal element of A1 6 is a maximal element of A1
(A1,|) 1 is a minimal element of A1. As these example shows, a poset
第15章 谓词演算
量化
既然量化变量符号给予谓词演算如此 强劲的表达力，那么是否也能量化关系符 号和函数符号？ 在谓词演算的例子中，这样的量化是 不允许的。为此，它被称为一阶谓词演算。
二阶和高阶谓词演算允许量化关系和 函数符号，但是要使用极其复杂的推理机 制。
量词语义学 全称量词
在所有变量符号ξ对在论域中的对象的指派来说 ω(ξ)都有真值的情况下，( ξ) ω(ξ) ，才有真 值(在给定的对象常量、函数常项和关系常量对对象、 函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和关系的指派下)。
谓词演算语言和它的句法 项 ．一个对象常量是一个项(term)。 ．一个n目的函数常量，后面跟着处于括号中、由 逗号分隔的项，是一个词项。这类词项被称为函数表达 式。 在表示这么一个项的时候，当它的值明显可从上下 文得知时，通常省略它的目上标。 我们可以把对象常量当作目为0的函数常项。例如： fatherof ( John，Bill)，times(4， plus(3，6))， Sam 。
2)我们有量词符号和。称为全称量词 (universal quantifier)，而称为存在量词 (existential quantifier)。
量化 3)假如ω是一个合式公式而ξ是一个变量符号，那 么( ξ) ω和( ξ) ω都是合式公式。ξ称为被量化 的(quantified over)的变量，而ω被认为是在量词的 辖域内(within the scope)。在形如 (Qξ)ω 的合式 公式中，ξ是一个变量符号而Q或者是或者是 。通常， ξ作为一个项的变量符号嵌入在ω中。 假如除了ω中的ξ，所有的变量符号都已在ω中被 量化的，那么(Qξ)ω 被称为封闭的合式公式(closed wff)或封闭的语句(closed sentence)。在所有的应用 中，合式公式是封闭的。
第2节逻辑代数(下)：谓词演算
第2章逻辑代数（下）：谓词演算谓词演算大体概念2.1.1 个体谓词演算中把一切讨论对象都称为个体(individuals)，它们能够是客观世界中的具体客体，也能够是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确信的个体经常使用a，b，c等小写字母或字母串表示。
a，b，c等小写字母或字母串称为个体常元(constants)。
不确信的个体经常使用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为个体变元，或变元(variables)。
谓词演算中把讨论对象——个体的全部称为个体域(domain of individuals)，经常使用字母D表示，并约定个体域都是非空的集合。
当讨论对象未作具体指定，而是泛指一切客体时，个体域特称为全总域(universe)，用字母U表示。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确信的成员，而变元那么能够取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上运算的运算符与常元、变元可组成所谓个体项(terms)。
例如，数学中的代数式a2+b，x2c等。
由于在咱们讨论的谓词演算中，其变元只能取值个体对象，不能取值函数、命题或谓词，因此，它又常被叫做一阶谓词演算。
2.1.2 谓词2.1.3 量词谓词演算中的量词(quantifiers)指数学中经常使用的数量词“所有的”（或“每一个”）和“有”（或“存在”），用符号和来表示，别离称为全称量词和存在量词。
为了用全称量词表示个体域中所有（每一个）个体知足一元谓词P，用存在量词表示有（存在）个体知足一元谓词P，还需利用变元：xP(x) 读作“所有（任意，每一个）x知足P(x)”，表示个体域中所有的个体知足谓词P(x)。
x P(x) 读作“有（存在，至少有一个）x知足P(x)”，表示个体域中至少有一个体知足谓词P(x)。
当量词用于一谓词填式或复合的谓词表达式时，该谓词或复合的谓词表达式称为量词的辖域(domains of quantifiers)。
因此，量词的辖域或是紧邻其右边的那个谓词；或是其右边第一对括号内的表达式。
谓词演算 公理 -回复
谓词演算公理-回复什么是谓词演算？在逻辑学中，谓词演算是一种形式化的语言，用于描述和推理关于对象的性质和关系的命题。
它由谓词、变量和逻辑联结词构成，可以表示一些复杂的命题和论证过程。
谓词演算有两种形式：一阶谓词演算和二阶谓词演算。
在本文中，我们将重点关注一阶谓词演算。
一阶谓词演算由两个基本部分组成：术语和公式。
术语用于表示对象，可以是变量、常量或函数。
变量是可以在一个特定领域内取值的未知量，常量是固定的、不可变的对象，函数是一种根据给定的输入返回特定输出的映射关系。
公式用于描述对象之间的关系和性质。
公式由谓词和术语组成。
谓词是一个描述对象之间关系和性质的关键字，它可以是一元谓词、二元谓词或多元谓词。
一元谓词只需要一个术语作为参数，例如“爱”、“是”等；二元谓词需要两个术语作为参数，例如“大于”、“等于”等；多元谓词需要多个术语作为参数，例如“包含”、“属于”等。
一阶谓词演算使用逻辑联结词来构建复杂的公式。
逻辑联结词有且、或、非和蕴含等。
且（∧）用于表示两个条件都满足的关系，或（∨）用于表示至少一个条件满足的关系，非（¬）用于表示取反的关系，蕴含（→）用于表示如果一个条件成立，则另一个条件也成立的关系。
在一阶谓词演算中，我们可以使用量词来描述一组对象的性质。
存在量词（∃）用于表达存在一个对象使得给定条件成立，全称量词（∀）用于表达所有对象都满足给定条件。
基于这些概念，我们可以构建谓词演算的公理系统。
公理是被认为是真实和不可证明的命题，公理系统是基于这些公理的一组推理规则和推理规则。
这些推理规则被用于推导出更复杂的命题。
谓词演算的公理系统可以用于证明数学和计算机科学中的一些重要结果。
谓词演算的公理系统通常由逻辑公理和量词公理组成。
逻辑公理是描述逻辑运算的公理，它们包括各种逻辑联结词的定义和性质。
量词公理是描述量化关系的公理，它们包括量词的定义和量化关系的性质。
使用谓词演算的公理系统可以帮助我们推导出一些有关对象性质和关系的重要结果。
第2章 谓词演算
E23 E24 E25 E26 E27 E28 I15 I16 E29 E30 E31 E32
表 2.2.1 (x) A x B x x A x x B(x) (x) A x B x x A x x B(x) ¬ (x)A(x)(x)¬ A(x)
量词分配率
量词转换率 ¬ (x)A(x)(x)¬ A(x) (x) AB x A x B(x) 量词辖域扩张率 (x) AB x A x B(x) 量词辖域收缩率 x A x x B(x) (x) A x B x (x) A x B x x A x x B(x) (x)A(x)B(x)[A(x)B] (x)A(x)B(x)[A(x)B] A(x)B(x)(x)[ AB(x)] A(x)B(x)(x)[ AB(x)]
例 5 如果你进去，我出来。 令：F(x)：x 进去，G(x)：x 出来，a：你，b：我 则全式为：F(a)G(b) 表示谓词公式的一般准则： 名词：专名一般为个体，如张三、朝鲜。 通名一般为谓词，如人、楼房。 代名词：人称代词（你、我、他） 、指示代词（这个、那个）是个体。 其他代词（如何、每个、有些、一些）为量词（见后） 。 形容词：一般为谓词。 数词：一般为量词（见后） 。 动词：一般为谓词，如来、去、见、读、给。 副词：与所修饰的动词合并为谓词，不再分解。 前置词：一般是命题联结词
§2.1.3
谓词演算公式
如果 P(x1 ，x2 ， … ，xn )中没有联结词和量词就称其为谓词演算原子式，其中 P 为谓词，x1 ，x2 ， … ，xn 为个体变元。 定义 2.1.2 谓词演算公式（简称公式）产生规则： 1) 每个原子公式都是公式。 2) 若 A 是公式，则¬ A 是公式。 3) 若 A、B 是公式，则(AB)，(AB)，(AB)，(A↔B)也都是公式。 4) 若 A 是公式，x 是任一变元且在 A 中不出现(x)或(x)，则(x)A 或(x)A 也是 公式。 5) 只有按上述四个规则有限步得到的符号串才是公式。 谓词演算公式是一个按上述规则由原子公式、命题联结词、量词及括号组成 的字符串。 如：(x)P(x) (x)[P(x)R(y)] (y)(x)F(x，y)(x)P(x) (x)( x)P(x)
谓词公式等值演算
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 无法证明，只能理解！
1、个体域为有限集D={a1,a2,...,an},则有 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
(1)/x(A(x)B)/xA(x)B A(x)含自由x (2)/x(A(x)B)/xA(x)B B不含有自由x 5 、约束变元改名规则 将A中某量词辖域中变元的每次约束出现，全部换成公 式中未出现的字母，所得到的公式记为B，则AB 6 、置换规则：公式局部等值变换后,仍与原公式等值。
例题、x(A(x)B)xA(x)B
例题、 xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y)) pqpq
xy( (F(x)G(y))H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y))
离散数学
1、 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) 个体域为有限 xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x) x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 4、量词作用域的收缩与扩张律
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x)
当否定符“”移过时，变成、变成、变 成、变成。
数学逻辑中的命题演算和谓词演算
数学逻辑是数学的基础，它研究命题的推理和证明方法，是数学推理的基础工具。
其中，命题演算和谓词演算是数学逻辑的两个重要分支，它们在数学推理中具有不可替代的作用。
命题演算是逻辑学的基础，它研究命题之间的逻辑关系。
在命题演算中，一个命题是一个陈述句，它要么是真，要么是假。
命题的逻辑连接词有与、或、非三种，分别表示命题的合取、析取和否定。
通过逻辑连接词的运用，可以构造复合命题，从而进行复合命题的推理。
作为命题演算的一种进一步推广，谓词演算引入了变量和量词的概念。
谓词演算研究命题中涉及变量的合取和存在量化，以及含有变量的复合命题的推理。
在谓词演算中，变量可以赋予不同的值，从而使得命题可以为真或为假。
谓词演算的基本元素有谓词、变量和量词。
谓词是关于一个或多个变量的陈述，变量是命题中的未确定的对象，而量词则用于指定变量的范围。
命题演算和谓词演算在数学证明中具有不可替代的作用。
命题演算可以帮助我们分析命题之间的逻辑关系，通过构造复合命题和应用推理规则，可以推导出新的命题。
这为数学推理提供了重要的工具。
谓词演算则更加灵活，通过引入变量和量词的概念，可以处理涉及未知量的问题。
谓词演算可以将复杂的数学问题转化为简单的命题演算问题，从而简化了求解的过程。
在数学推理中，命题演算和谓词演算常常相互配合使用。
命题演算提供了一种简洁的推理方法，适用于处理已知条件推导出结论的问题；而谓词演算则适用于处理引入未知量的问题，通过引入变量和量词可以统一处理不同的情况，使得求解更加简化。
总之，数学逻辑中的命题演算和谓词演算是数学推理的重要工具。
命题演算研究命题之间的逻辑关系，可以帮助我们进行命题的推理和证明；谓词演算引入变量和量词的概念，可以处理涉及未知量的问题，将复杂的数学问题转化为简单的命题演算问题。
它们在数学推理中相互配合，为我们提供了强大的工具，帮助我们解决各种数学问题。
因此，学习和掌握命题演算和谓词演算对于提高数学推理能力具有重要意义。
与谓词演算公式
与谓词演算公式
谓词演算是数理逻辑中的一种推理方法，用于描述和操作命题。
在谓词演算中，我们使用量词、谓词和变量来构造公式。
一个谓词演算公式包括以下部分：
1. 量词：谓词演算中有两种量词，即全称量词和存在量词。
全
称量词使用符号∀表示，表示公式对于所有的变量都成立。
存在量
词使用符号∃表示，表示存在至少一个使公式成立的变量。
2. 谓词：谓词是描述一个特定属性的函数，用于判断命题的真假。
谓词通常带有变量，用于在特定情况下对命题进行判断。
3. 变量：变量是谓词中的未知数，代表具体对象。
变量可以有
不同的取值范围，用于对命题中的不确定部分进行具体化。
4. 逻辑连接词：谓词演算中常用的逻辑连接词有与（∧）、或（∨）、非（¬）等。
逻辑连接词用于组合多个子公式形成复合公式。
一个简单的谓词演算公式示例是：
∀x (P(x) → Q(x))
其中，P(x) 和 Q(x) 是谓词，x 是变量，∀是全称量词，→
是逻辑连接词。
这个公式表示对于任意一个 x，如果 P(x) 成立，则
Q(x) 也成立。
谓词演算公式用于数理逻辑的推理和证明过程，有助于分析问题、描述特定状况并得出结论。
在谓词演算中，公式之间的转换和推理常
常使用规则和定理进行，以验证命题的真假。
谓词演算与消解(归结)原理-图文
3.3.3 合一的一个例子
在此基础上又调用: unify (((father bill) (mother bill)), ((father bill) Y )) 导致调用: (1) unify((father bill),(father bill)) unify (father, father) unify (bill, bill) unify (( ), ( )) 所有的调用都成功,返回空代入集 { }。 (2) unify ((mother bill), Y)
与谓词相关的一个正整数称为元数或“参数数目”， 具有相同的名但元数不同的谓词是不同的。
真值true和false也是原子命题。
任何原子命题都能够用逻辑操作符将其变成谓词演 算的命题。用的联结词也和命题演算一样: ∨,∧, ~, => 和＝。
当一个变元在一个命题中作为参数出现时,它代表 的是域中不特定的对象。谓词演算包括两个符号, 量词（全称量词）和彐（存在量词）, 用于限定 包含变元的命题的含义。
3.2.2 谓词演算的语义
谓词演算表达式的真值 设有表达式E和在非空论域D上对E的一个解释I，E的
真值按以下规律决定： 1）一个常元的值是根据I指派给它的D的一个元素。 2）一个变元的值是根据I指派给它的D的一个元素集合
。 3）一个函词的值是根据由I指派给它的参数值计算得
到的D的元素。 4）真值符号true的值是T，false的值是F。 5）原子命题的值或者为T，或者为F，取决于解释I。 6）如果一个命题的值为F，则其否定式为T，否则为F
▪
~ (P∧Q) ＝ (~P∨~Q)
▪分配律：P∨(Q∧R) ＝ (P∨Q)∧(P∨R)
▪ 分配律：P∧(Q∨R)＝(P∧Q)∨(P∧R)
离散数学27谓词演算的推理理论
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误.
（1） 1．x (F(x) G(x)) P
2．F(y) G(y)
US(1)
3．x F(x)
P
4．F(y)
ES(3)
5．G(y)
T(2)(3) I
6．xG(x)
UG(5)
（2） 1．xy F(x, y)
P
2．y F(z, y)
US(1)
3．F(z, c)
ES(2)
4．x F(x, c)
UG
5．yx F(x, y)
EG
*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
15
六、例题
希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会 犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例 子。
例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。” 首先将命题符号化：
EG(5)
*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中 的c不应相同。
9
四、存在量词指定规则
又如，在实数集中，xy(x>y)是真命题，请看下 面推导：
1．xy(x>y)
P
2．y（z>y）
US(1)
3．z>c
ES(2)
4．x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规
解： F（x）：x为学术会成员。G（x）：x是专家。
H（x）：x是工人。
R（x）：x是青年人。
前提：x (F(x) G(x) H(x)), x (F(x) R(x))
结论：x (F(x) R(x) G(x))
数学逻辑中的谓词与谓词演算
数学逻辑中的谓词与谓词演算数学逻辑是一门研究数学推理与证明的学科，其中的谓词与谓词演算是数学逻辑中的重要内容之一。
本文将介绍谓词与谓词演算的基本概念、符号表示方法以及在数学逻辑中的应用。
一、谓词的定义和基本概念在数学逻辑中，谓词是用来描述个体之间关系的一种语言工具。
谓词描述了一个或多个对象之间的特性、属性或关联，可以是真值表达式。
谓词可以是单元谓词，也可以是复合谓词。
单元谓词是一种只涉及一个个体或一种特性的谓词。
例如，P(x)，表示个体x具有性质P。
在这里，x是谓词中的变量，可以代指任意个体。
复合谓词是由多个单元谓词组合而成的谓词。
例如，Q(x,y)表示个体x与个体y之间具有关系Q。
复合谓词可以通过逻辑运算符如与（∧）、或（∨）、非（¬）等来进行组合，从而描述更加复杂的个体关系。
二、谓词演算的基本符号表示方法为了方便描述谓词和推理过程，数学逻辑中提出了谓词演算的概念。
谓词演算是一种用来分析和推理谓词逻辑表达式的形式系统。
在谓词演算中，使用多种符号表示谓词关系，包括：1. 前缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号内，并且紧贴左括号之前。
例如，P(x)表示“谓词P应用于x”；2. 后缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号内，并且紧贴右括号之后。
例如，(x)P表示“x满足谓词P”；3. 中缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号之外。
例如，xPy表示“个体x与个体y之间存在关系P”。
谓词演算还引入了量词的概念，用来描述谓词关系的全称性质或存在性质。
全称量词“∀”表示一个给定的谓词对于所有个体都成立，存在量词“∃”表示一个给定的谓词对于至少存在一个个体成立。
三、谓词与谓词演算在数学逻辑中的应用谓词与谓词演算在数学逻辑中具有广泛的应用。
它们被用于数学推理、证明和定义的过程中，为数学家提供了一种精确且形式化的工具。
通过引入谓词和谓词演算，数学家可以用一种形式化的方式来描述数学中的概念、关系和定理，从而避免了语言的歧义和误解。
形式逻辑中的命题演算与谓词演算对比
形式逻辑中的命题演算与谓词演算对比形式逻辑是一种研究推理和证明的数学分支，它使用符号和规则来表示和操作逻辑关系。
在形式逻辑中，命题演算和谓词演算是两种常见的推理系统。
本文将对这两种推理系统进行对比，并探讨它们的特点和应用。
命题演算是形式逻辑中的一种基本推理系统，它研究的是命题之间的逻辑关系。
命题是陈述句或者陈述句的组合，可以是真或假。
在命题演算中，我们使用符号来表示命题，如P、Q、R等。
命题演算通过一系列的规则和推理步骤来判断命题之间的逻辑关系，例如蕴含、等价和否定等。
命题演算是一种形式严谨的推理系统，它的推理过程只关注命题的真值，而不考虑命题中的具体内容。
与命题演算相比，谓词演算是一种更为复杂的推理系统，它研究的是命题中的个体和属性之间的关系。
谓词演算引入了量词和谓词，用于描述个体和属性之间的关系。
在谓词演算中，我们使用符号来表示个体和属性，如x、y、z表示个体，P(x)、Q(y)表示属性。
谓词演算通过一系列的规则和推理步骤来判断个体和属性之间的关系，例如存在量词和全称量词等。
谓词演算可以描述更为复杂的逻辑关系，如包含、交叉和等价等。
命题演算和谓词演算在逻辑推理中有着不同的应用。
命题演算主要用于分析和推理命题之间的逻辑关系，例如判断一个命题是否可以从另一个命题推导出来。
命题演算在数学、计算机科学和人工智能等领域有着广泛的应用，例如在证明定理、逻辑编程和自动推理等方面。
命题演算的形式严谨性使得它适用于形式化推理和自动化推理等领域。
谓词演算则更适用于描述和推理个体和属性之间的关系。
谓词演算可以用于表示和推理关于个体和属性的陈述，例如“所有人都是有血有肉的”或者“存在一个人是善良的”。
谓词演算在逻辑学、语言学和人工智能等领域有着广泛的应用，例如在逻辑语义、自然语言处理和知识表示等方面。
谓词演算的表达能力更强，可以描述更为复杂的逻辑关系，但也因此推理过程更为复杂和困难。
总结来说，命题演算和谓词演算是形式逻辑中的两种常见推理系统。
数学逻辑中的谓词与谓词演算
数学逻辑中的谓词与谓词演算在数学逻辑领域中，谓词是一种用于描述事物属性或关系的语言元素。
谓词演算是一种形式化的推理方法，旨在通过一系列符号化的公式来分析和推断命题的真假性。
本文将对数学逻辑中的谓词与谓词演算进行探讨。
一、谓词的定义与应用谓词是数学逻辑中最基本的概念之一，它是用于描述命题中的属性或关系的符号。
谓词的定义通常包括两个部分：谓词符号和谓词变元。
谓词符号表示谓词的含义，例如P(x)表示“x具有属性P”，Q(x, y)表示“x与y之间存在关系Q”。
谓词变元则是赋予谓词具体内容的变量，可以是常量、变量或复合表达式。
谓词在数学逻辑中广泛应用于命题的表达和推理过程。
通过引入谓词，我们可以更精确地描述事物的属性和关系，使得逻辑推理更加准确和有效。
例如，在数学中我们可以使用谓词来描述“偶数”、“素数”等特殊的数学性质，进而进行相关的推理和证明。
二、谓词演算的基本构成谓词演算是数学逻辑中一种重要的形式化推理方法，旨在通过对谓词之间的关系和结构进行符号化处理，从而进行逻辑推理和证明。
谓词演算通常包括以下几个基本构成要素：1. 逻辑符号：谓词演算中使用的逻辑符号包括命题符号、连接符号和量词符号等。
命题符号用于表示命题的真假，常用的命题符号包括“∧”表示逻辑与、“∨”表示逻辑或、“¬”表示逻辑非等。
连接符号用于连接多个命题形成复合命题，量词符号则用于描述谓词的范围和数量。
2. 公式化规则：谓词演算中使用的公式化规则通常包括谓词逻辑公式的构造和推导规则。
通过这些规则，我们可以将复杂的逻辑关系转化为一系列公式，并进行逻辑推理和证明。
3. 推理规则：谓词演算中的推理规则主要包括共识化、脱离量词、简化和替换等方法。
通过这些推理规则，我们可以通过对谓词形式的公式进行逻辑操作，得到新的公式以推导出结论。
三、谓词演算的应用和意义谓词演算在数学逻辑和计算机科学中有着广泛的应用和重要意义。
它不仅可以用于描述和分析命题的真假性，还可以应用于模型论、证明论和自动推理等领域。
谓词演算 公理
谓词演算1. 简介谓词演算（Predicate Calculus），也称为一阶逻辑（First-order Logic），是数理逻辑中的一种形式化的推理系统。
它用于描述和推理关于对象和关系的陈述，是人工智能、计算机科学和哲学等领域的基础。
谓词演算包含两个基本要素：谓词和量词。
谓词是用来描述关系或性质的符号，比如“是父母关系”、“是红色的”等。
量词则用来描述对象的数量，包括全称量词（∀，表示“对于所有的”）和存在量词（∃，表示“存在一个”）。
2. 语法和符号谓词演算的语法包括常量、变量、谓词、逻辑连接词和量词。
常量是指具体的对象，比如“John”、“Mary”等；变量是用来代表任意对象的符号，比如“x”、“y”等；谓词是描述关系或性质的符号，比如“父母关系”、“红色”等；逻辑连接词包括逻辑与（∧）、逻辑或（∨）、逻辑非（¬）等；量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
谓词演算的公式可以使用一组符号来表示，包括谓词符号、变量符号、逻辑连接词和量词符号。
例如，公式∀x P(x) 表示“对于所有的x，P(x)成立”。
其中，∀是全称量词符号，x是变量符号，P是谓词符号。
3. 公理和推理规则谓词演算的推理过程基于一组公理和推理规则。
公理是被认为是真实的陈述，推理规则则是从已知的真实陈述推导出新的真实陈述。
谓词演算的常见公理包括等价律、同一律、排中律等。
等价律指出如果两个公式在所有情况下都具有相同的真值，则它们是等价的。
同一律指出对于任何公式P，P∨⊥等价于P。
排中律指出对于任何公式P，P∨¬P成立。
推理规则包括假言推理、全称推理、存在推理等。
假言推理指出如果有一个条件为真的陈述，则可以得出结果为真的结论。
全称推理指出如果一个全称陈述为真，则可以将变量替换为任意对象得出新的真实陈述。
存在推理指出如果一个存在陈述为真，则可以将变量替换为一个特定对象得出新的真实陈述。
4. 示例为了更好地理解谓词演算，我们可以通过一个简单的例子来说明。
谓词逻辑知识点总结
谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。
在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。
例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。
而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。
二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。
谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。
在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。
在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。
在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。
三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。
在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。
通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。
四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。
在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。
完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。
五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。
比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。
离散数学 谓词演算(思维导图)
谓词演算I.1个体概念 : 出现在空位出的量或变元叫个体(或客体)i.2个体域 : 讨论对象--个体的全体叫个体域 常用D表示ii.全总域 : 当讨论对象遍及一切个体是, 个体与特成为全总域, 用U表示iii.个体项 : 个体域上个体常元/变元运算, 如a+b f(x)II.3谓词 : 刻画个体的性质/个体间的关系模式, 由谓语和空位组成 常用变元代替空位, 如L(x,y)--这些式子叫谓词命名式, 简称谓词III.量词全称量词 : 个体域中任一个体常元x,都使P(x)为真,记为 --任意xP(x) 任意--全称量词, x--指导变元, P(x)中x--约束变元存在量词 : 个体域中至少一个个体常元x,使P(x)为真, 记为--存在xP(x) 存在--存在量词, x--指导变元, P(x)中x--约束变元IV.简单谓词的自然语句形式化例子设个体域是人类→有人勇敢, 但不是所有人都勇敢B(x) : x是勇敢的存在x(B(x)∧¬任意xB(x))V.谓词的自然语句形式化i.涉及全总个体域的某个局部的所有个体或某些个体时, 要使用限定谓词限定该局部ii.限定谓词与其他谓词间应使用适当联结词当限定谓词用于限定全称量词时,作为蕴涵词的前件当限定谓词用于限定存在量词时,作为合取词的合取项VI.4谓词公式谓词填充式是公式, 命题常元是公式若A,B是公式, x为任一变元, 那么(¬A), (A→B),(任意xA),(存在xA) 当使用五个联结词都是公式备注：1. () + () = ()不确定的个体叫个体变元, 如x/y/z确定的叫个体常元, 如2,3,李四2. 任何D都至少含有一个成员3. 一个空位--一元谓词两个空位--二元谓词4. 以下两条款规定的符号串--谓词公式--公式。
解析谓词逻辑的量化和谓词演算
解析谓词逻辑的量化和谓词演算谓词逻辑是数理逻辑的一种分支，负责研究命题中的谓词和量化词的运算关系。
它广泛应用于计算机科学、人工智能和哲学等领域。
本文将从量化和谓词演算两方面对谓词逻辑进行解析。
一、量化量化是谓词逻辑中的重要概念之一，用来描述命题的数量。
量化分为普遍量化和存在量化两种形式。
普遍量化使用全称限定词“对于一切”（forall）来表示，表示命题在所有情况下都成立。
例如，在数学中，命题“对于一切x，x + 1大于x”使用普遍量化可以表示为“∀x (x + 1 > x)”。
存在量化使用存在限定词“存在”（exists）来表示，表示至少存在一个情况使得命题成立。
例如，在集合论中，命题“存在一个数x，使得x属于自然数集合”可以表示为“∃x (x ∈ℕ)”。
量化使得谓词逻辑能够更加准确地描述实际情况，同时也提供了推理和证明的基础。
二、谓词演算谓词演算是一种用符号表示命题的形式化方法，用于对谓词逻辑进行推理和验证。
谓词演算分为一阶谓词演算和二阶谓词演算两种形式。
一阶谓词演算（First-Order Predicate Calculus，简称FOPC）使用谓词、变量和量化词来描述命题，并且限定了变量的范围。
例如，命题“对于每个人x，x是善良的”可以使用一阶谓词演算表示为“∀x (Person(x) → Kind(x))”。
二阶谓词演算（Second-Order Predicate Calculus，简称SOPC）扩展了一阶谓词演算，允许对谓词进行量化。
例如，命题“存在一个集合X，X包含全部自然数”可以使用二阶谓词演算表示为“∃X (∀x (x ∈ X))”。
谓词演算通过严格的推理规则和语法规范，使得逻辑推理和证明更加严谨和准确。
它在形式化验证、自动推理和计算机证明等领域具有重要的应用价值。
结论谓词逻辑的量化和谓词演算是谓词逻辑的重要组成部分。
量化通过普遍量化和存在量化描述命题的数量，为命题的确定性和推理提供了基础。
谓词演算的性质
谓词逻辑Pred(Y)。
是Y上的关于类型 赋值 形式证明 赋值解释和证明之间的关系
{F,→,x|xX}的自由代数
定理 21.8( 可靠性定理 ): 设 AP(Y),pP(Y)。
若A┣p，则有A╞p。 对证明序列长度用归纳法 其他与命题逻辑类似,考虑pn=xq(x) 设q1(x), q2(x),… qk(x)=q(x)是由A的子集导 出q的证明序列,其中xvar(A0) 利用量词深度, 设d(pn)=r,引进新变量x'X∪C, 根据赋值概念讨论 由于增加了新变量,必须构造新的谓词代数 P(Y') 构造P(Y)到P(Y')的半同态映射 利用代换定理
推论21.1:(协调性定理):F不是Pred(Y)的定理。 引理21.4:设A是P(Y)的协调子集。如果 xp(x)A，yvar(A)，且y不在p(x)中出现， 则FDed(A∪p(y))。 反证:若FDed(A∪p(y)),设法证明FDed(A) 由演绎定理和G规则得yp(y)Ded(A), 再由约束变元可替换性得xp(x)Ded(A), 利用MP规则可得FDed(A),与A协调矛盾
定理 21.9( 可满足性定理 ) 设 A 是 P(Y) 的协
调子集，则存在P(Y)的解释域 U和项解释 ，使得赋值函数v(A){1}。 不失一般性，假设 X,A 是满足引理 21.5 的 (i),(ii)和(iii)。现构造解释域如下： 令U=I，1(c)=c， 2(fni)=fn'i，3(Rni)=Rn'i， 定义fn'i(t1,…,tn)=(fni, t1,…,tn),并规定：当 Rni(t1,…,tn)A时， (t1,…,tn)Rn'i，否则， (t1,…,tn)Rn'i 。又定义变元指派 0 (x)=x, 由此扩张为项解释 , 这就构成了 P(Y) 的解 释域和项解释。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
18(1){yxp(x,y)}┣xyp(x,y)这里关
键是脱帽带帽的问题 (2){x(p(x)→q(x))}┣xp(x)→xq(x) xp(x)→xq(x)=xp(x)→xq(x) 即要证{x(p(x)→q(x))} xp(x)→xq(x) 考虑先证{x(p(x)→q(x)}┣ xq(x)→xp(x) 由演绎定理知可先证
P425 21. A╞* p表示 ：不存在一个使得 v(A){1}而v(p)=0 的解释域U。 说明：所谓在解释域U下v(p)=1，表示解释域 U的任一项解释都使得v(p)=1；在解释域U下 v(p)=0则表示在解释域U中至少存在一个项解 释使得v(p)=0。 问下述结论是否正确， (1){p(x)}╞*x p(x) (2)╞*p(x)→xp(x)
补证T1:┣(p→q)→(q→p)，
由演绎定理知可先证
q}┣ p=p→F 由演绎定理知可先证 {(p→q), q,p}┣F 补证T2:┣ (p→q)→p 可考虑先证┣ p→(p→q) 由演绎定理知可先证{p,p} ┣ q 这里要用到┣( p→q)→(q→p),可作为待 证
(2)(xy(R31(u,x,y)→x(yR21(y,v))→R11(
x))) (3)x(yR21(x,y)→(zR11(z)→R12(x)))。
设谓词合式公式p=x2(R21(x1,x2))x3R31(x1,x2, x3)) 1.将p写成自由{F, →, x|xX}-代数P(Y)中的元素形 式。 2.按照自由{F, →, x|xX}-代数的构造方式，P(Y)
三、命题逻辑 设X是可列集，X上的自由T-代数称为X
上关于命题演算的命题代数，记为P(X)， 并称 X 为 命题变量集 ， X 中的元素称为 命题变元，P(X)中的每个元素称为命题 演算的 合式公式 ，简记为 wff ，仅由一 个命题变元符组成的合式公式称为原子 公式，所有原子公式全体称为原子公式 集。
对P(X)如何解释 设 P(X)是 X上关于命题演算的命题代数，
称 P(X)→Z2 的同态映射 v 为 P(X) 的 赋值 。 对于任意的pP(X)，若v(p)=1则称p按 赋值v为真，若v(p)=0则称p按赋值v为 假。 真值函数，真值表 标准析取范式，标准合取范式
AP(X),qP(X) ， 若 对 所 有 使 得 v(p)=1 ( 对 一 切 pA) 的 赋 值 v ， 都 有 v(q)=1，则称 q是假设集 A 的后件 ，或称 A语义蕴含q，记为A╞q，用Con(A)表示 A 的 后 件 全 体 ， 即 Con(A)={pP(X)|A╞p}。 形式证明，给定公理集，MP规则，演绎 定理 命题符号化 分析，问题的化解。 掌握可靠性定理，可满足性定理，完备 性定理的方法
设
四、谓词逻辑 个体变元集X,个体常元集C 项集I是X∪C自由T(1)-代数 Rni(t1,,tn)是In上的n元关系,为原子关系 原子关系全体Y Y上的自由{F,,x|xX}-代数P(Y) 给定谓词逻辑公式，化为自由T-代数元素中的 形式,并且知道属于哪个Gn 谓词合式公式，辖域，自由变元，约束变元， 项t对自由变元x自由,能够判断 习题21.6, 21.7, 21.8 求l(p),d(p)
自由出现。 由演绎定理知可先证 {(p→xq(x))}┣x(p→q) 可先证{(p→xq(x))}┣p→q 由演绎定理知可先证{(p→xq(x)),p}┣q
18.(5)┣(p→xq(x))→x(p→q),这里x不在p中自由 出现。 即证┣(p→xq(x))→x(p→q) 由演绎定理知可先证 {p→xq(x)}┣x(p→q)=x(p→q) →F 由演绎定理知可先证 {p→xq(x), x(p→q)}┣F 由(p→q)知道应该有 ┣ (p→q)→p ┣ (p→q)→q 这可以作为待证
掌握演绎定理,完备性定理,协调性定理，
掌握可满足性定理(谓词逻辑系统)证明的 基本思路, 掌握演绎定理的证明方法。
答疑时间:
6月30日(周四) 下午1:30-4:30 7月1日(周五)上午9:30-11:30
地点：软件楼 4 楼密码与信息安全 实验室。
祝大家过个愉快的暑假
谢 谢！
在A和q中自由出现，则A∪{xp(x)}┣q。 (2)设AP(Y)，如果A┣p(y)，则A┣xp(x)， 其中的p(x)是在p(y)中将y的某些(不一定所有) 出现替换为x而得。 ┣(p→q)→(q→p)
32.求下述各谓词公式的前束范式： (1)xR11(x)→xR21(x,y)；
{x(p(x)→q(x)), xq(x)}┣ xp(x) 这里要用到 ┣(p→q)→(q→p)，可作为待证，之后补证。
(3){x(p(x)→q(x))}┣xp(x)→xq(x)
由演绎定理知可先证 {x(p(x)→q(x)),xp(x)}┣xq(x) (4)┣(p→ xq(x))→ x(p→q), 这里 x 不在 p 中
在布尔代数上定义的环是有单位元的可交换
环,即布尔环; 而有单位元满足幂等律的环,布尔环 二、泛代数 自由T-代数 引理19.1,定理19.1,证明方法, 唯一性 存在性:构造性证明过程实质上就是后面逻 辑的模型构造方法 给定谓词逻辑公式，化为自由T-代数元素中 的形式,并且知道属于哪个Gn
解释域，项解释，赋值，语义蕴涵
习题21.12, 21.23 形式证明，要求同命题逻辑,注意有时可
21.13, 21.14, 21.20, 21.21,
能规定只能用公理集和演绎定理 注意问题的化解 习题18,19 命题符号化 求前束范式 习题31.
集合是协调的概念，证明集合是协调的。
＝ Gn ，则应该存在某个n，使得pGn，问此n应
该为何值？ 3.指出谓词合式公式p中的自由变元和约束变元。 4.项f21(x1,x2)对谓词合式公式p中的哪些自由变元是 自由的，哪些是不自由的？分别说明理由。
n 0
一、格 格的定义，最大元，最小元，有界格，有补格 子格(是格不一定是子格), 给定Hasse图，判断是否分配格，布尔格 给定Hasse图，判断某个子集是否为子格 给定格的子集，验证是否为子格。 分配不等式证明, 利用性质和上下界的概念证明等式成立。 格的同态映射，同构映射，保序映射 布尔格，布尔代数 注意分配格不一定是布尔格 布尔环：a2=a,2a=0
{(p→q),
(p→q)→q 可考虑由公理集A1,和T1 补证T4:┣(p→q)→(q→p) 由演绎定理知可先证 {p→q,q}┣p, 证明时可以用前面补证T1 ┣(p→q)→(q→p)
补证T3:┣
19.下述结论是否正确： (1)设AP(Y)，如果A∪{p(x)}┣q，这里x不