《向量数乘运算及其几何意义》教学反思
〖2021年整理〗《向量的数乘运算及其几何意义》优秀教案
向量数乘运算及其几何意义
名师：卓忠越
一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课学习，掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理，培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神
（4）判断下列向量 与 是否共线：
① ；②
答案：① ∥ ；② ∥ ；
解析：【知识点】共线向量定理
【数学思想】数形结合
【解题过程】① ，所以 ∥ ；② ，所以 ∥ ；
点拨：根据两向量的数量关系，判定两向量是否共线
二课堂设计
1．知识回顾
（1）向量加减法的运算法则
（2）向量加法的运算律
① ；②
（3）向量加减法的几何表示
①
②
③
2．问题探究
探究一通过实例，理解向量数乘定义及其几何意义
●活动①类比定义向量数乘
我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 和 向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同， 的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反
类比小学算术中 的乘法定义，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，我们把这种运算叫做向量的数乘
【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律
●活动②巩固理解，尝试应用
判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线
实数与向量的积是一个向量，记作它的长度和方向规定如下：
数学导学案：向量数乘运算及其几何意义
2。
2。
3 向量数乘运算及其几何意义1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义，会作向量m a＋n b。
2．熟练掌握和运用向量数乘的运算律，会化简向量关系式,并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线．1．向量的数乘①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个向量，不是实数;但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是错误的．②对任意非零向量a，则向量a|a｜是与向量a同向的单位向量．③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ｜倍．【做一做1】已知非零向量a，b满足a＝4b，则( )A．｜a｜＝｜b| B．4｜a|＝｜b｜C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律:设λ，μ为实数，则（1)λ(μa)＝________;(2)(λ＋μ)a＝________；（3)λ（a＋b）＝________(分配律）．特别地，我们有(－λ)a＝______＝______,λ(a－b）＝______.在△ABC中,D是BC的中点，则有错误!＝错误!（错误!＋错误!）．【做一做2】3（2a－4b)等于( ）A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12bD．6a－12b3．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______．（1)向量共线的条件：当向量a＝0时,a与任一向量b共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ,使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．反之，已知向量b与a（a≠0）共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍,即|b|＝λ|a｜，那么当b与a同方向时b＝λa，当b与a反方向时b＝－λa.(2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0。
已知三点A，B,C共线，O是平面内任意一点，则有错误!＝λ错误!＋m错误!，其中λ＋m＝1.【做一做3】已知P是线段MN的中点，则有（）A。
“向量数乘运算及其几何意义”教学反思
《向量数乘运算及其几何意义》的教学反思作为重点培养学生创新意识、实践能力的一种教学模式——“问题解决”的课堂教学模式越来越受到人们的重视。
与此相关，设计出高潮迭起、充满吸引力、能提高学生思维训练的质量和水平的好问题，是教师在课堂教学中发挥主导作用的重要标志之一。
所以，对于“向量数乘运算及其几何意义”这节课的教学内容，进行了以下处理：在教学过程中努力将问题的难易程度落在学生的“最近发展区”，既不是太容易，学生不费劲就轻易够到而无所提高，又不能太难，学生怎么努力也毫无结果而丧失信心。
同时，所选问题中所蕴涵的基础知识在发展中可以前后联系，可以与其他知识左右沟通，具有典型性。
问题中还隐含有适当的“陷阱”，可以较好地暴露学生思维中的不足、方法中的欠缺、知识中的漏洞，帮助学生查漏补缺，以“误”养“正”；问题可以引发学生强烈的认知矛盾和冲突，给学生留下了深刻的印象与体验。
经过学生与课堂的教学实践，体会如下：1、本节课的教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成四个步骤层次分明（1）引入定义（2）验证运算律（3）探究共线定理（4）共线定理的应用。
教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。
2、在教学过程中，学生用于探究的时间相对较少了点，同时在发现学生在向量的书写以及计算上还存在问题时，花了较多的时间让学生作过手训练，导致最后时间显得较为紧张。
因此对于教学时间节奏的把握还不是特别的好，需要在以后的教学中多加打磨。
3、新课程理念强调探究性学习、小组交流学习，如何探究，在什么地方探究，如何设计探究的自然性等都值得我们去研究。
同时我更倾向于“数学的学习还是应该静下来进行深层次的思考”。
高中数学_向量数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
人教 A 版数学必修 4 87页—90页§2.2.3向量数乘运算及其几何意义§2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学目标1.知识与技能通过探究向量数乘运算及其几何意义的过程，掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义, 熟练运用向量数乘的运算律化简向量.理解两个向量共线的等价条件，能够运用向量共线定理判断两向量是否共线（平行），掌握利用向量法证明三点共线的方法和步骤.2.过程与方法培养学生严密而准确的数学表达能力、逻辑推理能力和合作学习能力，体会由特殊到一般的认知规律，进一步体验向量运算的魅力.3.情感态度与价值观通过讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生获得新知识的能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度和勇于创新的精神. 教学重点和难点重点：1.向量数乘的定义；2.向量数乘的运算律；3.向量共线定理及其应用. 难点：向量共线定理及其应用.教学用具：多媒体、投影仪、三角板.教学基本流程教学过程一. 学生自学·教师导学1.方向 或 的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做 . 规定：a ∥0.2. 已知非零向量a 和b ，求作向量a b +，a b -.师生活动：学生作图，小组间互相检查，教师巡视，根据学生实际情况进行强调. 学生达标 教师检测设计意图： 温故知新，要让学生体会知识的发生、发展过程.3. 2018年3月11日，中国自主研发的“深海勇士”号载人潜水器首次对公众开放，播出了“深海勇士”号在南海进行首次载人深潜试验的纪录片. 若“深海勇士”号从点A 出发做匀速直线运动，经过1秒的位移所对应的向量用()0a a ≠表示，那么在同方向上经过3秒的位移如何表示？和1秒时的位移有什么关系？反方向呢？师生活动：学生思考回答，教师引导学生作出几个相同向量的和，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后过渡到向量数乘的定义.设计意图：通过生活实例引入新课，让学生感受数学的应用价值.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学之间的内在联系，培养学生知识类比、迁移的能力.二. 学生合作·教师参与探究1 向量数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar ），记做a λ，它的长度与方向规定如下：（1）|a λ| = ；（2）当 ，a λ与a 的方向相同；当 ，a λ与a 的方向相反；当0λ=时，a λ= . 师生活动：教师组织学生阅读课本，然后对照学案，开展有效的合作交流.教学时要强调：a λ是一个向量，有长度，有方向.设计意图：把探究中的问题一般化，就得到了向量数乘的定义.在这个过程中，让学生经历知识发生、发展的过程，理解概念的生成过程.思考：在向量数乘的定义中，a λ的几何意义是什么？师生活动:学生思考讨论，教师及时指导点拨，得出a λ的几何意义就是将表示向量a 的有向线段沿着a 的方向或反方向伸长或缩短.设计意图：通过对向量数乘几何意义的分析，深化对定义的理解.练习：1.把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：（1）3,6a e b e ==； （2）21,33a eb e =-=.2.点C 在线段AB 上，且52AC CB =，则,AC AB BC AB == . 设计意图：从特殊到一般，由易到难，让学生通过练习加深对向量数乘定义的理解. 探究2 向量数乘的运算律探究2.1 求作向量()32a 和6a ()0a ≠，并进行比较.探究2.2 已知非零向量a 和b ，求作向量()2a b +，22a b +, 并进行比较.师生活动：学生分组作图，对比分析，进一步体会向量数乘的几何意义，教师巡视，细心观察，及时帮助有困难的学生和团队.设计意图：通过作图，增强学生的动手实践能力，明确作图是验证的有效途径，为学生理解向量数乘的运算律奠定了基础.向量数乘的运算律：设a 和b 为任意向量，,λμ为任意实数，则有（1）()a λμ= ；（2）()a b λ+= ；（3）()a λμ+= . 特别地，我们有()a λ-= = ，()a b λ-= .向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的 .设计意图：利用由特殊到一般，给出向量数乘的运算律.教学中降低难度，不要求学生证明，对学有余力的学生，可提供证明的方法.例1 计算：（1）()34a -⨯= ；（2）()()32a b a b a +---= ；（3）()223a b += .设计意图：通过例1，要求学生熟练运用向量数乘的运算律，明确向量数乘运算的特点，体会向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算.三. 学生展示·教师激励探究3 向量共线定理 探究3.1 如果()0b a a λ=≠，那么向量a 和b 是否共线？ 探究3.2 如果向量a ()0a ≠和b 共线，那么是否存在唯一一个实数λ，使b a λ=？ 温馨提示：当向量a 和b 同向时，令λ= ；当向量a 和b 反向时，令λ= ；当向量0b =时，令λ= .向量共线定理：向量a ()0a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 . 思考: 向量共线定理中条件0a ≠能去掉吗？师生活动：在教师的引导下，学生思考、讨论，并将自己或本组的探究结果用简洁生动的方式展示出来，其他组的同学补充完善，教师适时追问、启发、引导，鼓励学生大胆发言.设计意图：通过“知识问题化、问题探究化、探究层次化”，帮助学生理解向量共线定理的推导，让学生合作交流解决问题.通过这样的学习过程，学生经历的是探索的过程，领悟的是数学学习的方法，得到的是探究的结果，体验的是成功的喜悦.练习：判定下列各小题中的两个向量是否共线： （1）12a e e =-1222b e e =-+； （2）2,6AB e BC e ==.设计意图：通过练习，让学生体会判断两个向量是否共线（平行），实际上就是看能否找到一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.接着，让学生判断（2）中的A 、B 、C 三点的位置关系，为下面例2的学习奠定基础.四. 学生提升·教师引领例2 已知任意两个非零向量a 和b ，试作OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.你能判断A 、B 、C 三点的位置关系吗？为什么？师生活动：教师先引导学生作图，通过观察图形得到A 、B 、C 三点共线的猜想，再将平面几何判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线. 教师帮助学生理清思路，多媒体展示解答过程，规范解题步骤.设计意图：关于三点共线问题，学生接触较多，这里用向量法证明三点共线，让学生体会向量法的新颖、独特，同时提高学生细心运算、规范表达的能力.练习：已知非零向量1e 和2e 不共线，如果12AB e e =+，1228BC e e =+，123()CD e e =-， 求证：A 、B 、D 三点共线.师生活动：教师观察学生的解题情况，请学生板演.例3 平行四边形ABCD 两对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，用a 和b 表示：M a b（1）AC ＝ ；MC ＝ ；MA ＝ ； C（2）DB ＝ ；MB ＝ ；MD ＝ . 师生活动：在教师的引导下，学生独立思考、讨论，然后给出回答，教师组织学生评价. 设计意图：有了向量的线性运算，平面中的点、线段就可以用向量表示，这就为使用向量法解决几何问题奠定了基础.同时让学生思考：平面ABCD 内的任一向量都可以用两个不共线的非零向量表示吗？这样水到渠成地完成了对《2.3.1平面向量基本定理》学习的引入.五. 学生达标·教师检测1．11(28)(42)32a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦= （ ） .2.2..A a b B a b C a b D a b --+-+-2.已知非零向量a 和b 不共线， 且a b λ+与a b λ+共线，则λ的值为（ ）.1.1.1.0A B C D -±3.已知D 为ABC ∆边AB 的中点，且BC a =，CA b =，则CD 用a 和b 表示为 .4.已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证：EF HG =.设计意图：通过本环节进一步强化学生对向量数乘运算的理解，提高学生运用所学知识解决问题的能力. 了解学生对本节课的掌握情况，争取做到节节清，人人都能有所收获. 小结作业1. 小结：本节课我们学到了哪些数学知识与思想方法？设计意图：学生反思本堂课的学习过程，总结本堂课所学的知识和所体现的数学思想方法，将新内容及时纳入到已有的知识网络.2. 作业：必做题：习题2.2 A 组10题，11题.选做题：习题2.2 B 组4题.阅读与思考：课本114页《向量的运算（运算律）与图形性质》.板书设计设计说明向量数乘运算是在学生学习了向量加法、减法运算等知识的基础上，进一步来研究向量的线性运算，学生已经具备了一定的方法基础,设计时应当充分考虑到这一点，这样才能使学生的学习建立在已有认知经验基础上，对向量数乘运算及其几何意义的理解才能全面、深刻.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的重要地位，也成为近几年各地高考命题的重点和热点.向量数乘运算及其几何意义学情分析本课研究的是向量数乘运算及几何意义，前面学生已经学完向量的加法、减法运算，学生具备一定的独立思考，合作探究的能力，学习实数与向量的积的运算已无多大困难.本节课采用诱思教学法、自主学习教学法.学生预习导学案，学案的设计在难度上由浅入深，循序渐进，利于学生自主探究.我班学生数学基础总体比较薄弱，所以在教学上改进行适当点拨，进行点拨；该层层递进的，给学生搭好梯子，切实找到学生的最近发展区，提高学生学习效果.向量数乘运算及其几何意义效果分析通过本节课的课堂教学，学生的课堂表现以及达标检测的效果，以下几个方面表现比较好：1.教学目标达成度高，不同层次的学生均有收获；2.学生积极参与课堂，有认知冲突，有不同的问题解决方法；3.教学中学生不仅学习了知识，也学会了知识背后的数学思想方法，为下一步学习打下了坚实的基础；4.师生交流对话充分，教学氛围民主和谐、相互尊重.不足之处在于：1.学生用于探究的时间相对较少了点；2.对于学生的即时激励少一些，当学生有精彩的表现时，要给予中肯的评价，进一步激发学生的学习积极性；3.教学时间节奏的把握还不是特别的好，需要在以后的教学中多加打磨.向量的数乘运算及几何意义教材分析1.《新课程标准》的解读分析向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型.在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题.在相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动.2.本章节地位、本节的逻辑关系.向量数乘运算及其几何意义位于人教A 版《必修4》 2.2.3节，在本章中起着承前起后的作用.学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难.3.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的重要地位，也成为近几年各地高考命题的重点和热点.评测练习1．11(28)(42)32a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦= （ ） .2.2..A a b B a b C a b D a b --+-+-2. 已知非零向量a 和b 不共线， 且a b λ+与a b λ+共线，则λ的值为（ ） .1.1.1.0A B C D -±3. 已知D 为ABC ∆边AB 的中点，且BC a =，CA b =，则CD 用a 和b 表示为 .4. 已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证：EF HG =.向量数乘运算及其几何意义课后反思向量数乘运算是在学生学习了向量加法、减法运算等知识的基础上，进一步来研究向量的线性运算，学生已经具备了一定的方法基础,设计时应当充分考虑到这一点，这样才能使学生的学习建立在已有认知经验基础上，对向量数乘运算及其几何意义的理解才能全面、深刻.向量数乘运算及其几何意义课标分析新课程标准对本课的要求是：通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义.根据课程标准要求，本节课的三维教学目标是：1.知识与技能通过探究向量数乘运算及其几何意义的过程，掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义, 熟练运用向量数乘的运算律化简向量.理解两个向量共线的等价条件，能够运用向量共线定理判断两向量是否共线（平行），掌握利用向量法证明三点共线的方法和步骤.2.过程与方法培养学生严密而准确的数学表达能力、逻辑推理能力和合作学习能力，体会由特殊到一般的认知规律，进一步体验向量运算的魅力.3.情感态度与价值观通过讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生获得新知识的能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度和勇于创新的精神.本节课的重点和难点是：重点：1.向量数乘的定义；2.向量数乘的运算律；3.向量共线定理及其应用.难点：向量共线定理及其应用.。
数学“学案教学”反思模式的构建与实践——“向量数乘运算及其几何意义＂的教学反思
表１
学案教学 学得怎么样？
传统教学 教得怎么样？
教学的理念 以学定教 ， 关注学生学什么， 怎么学 ， 以教定学， 关注教师教什么、 怎么教，
授课的模式 先练后讲 ， 以练为主．
沟通的媒介 教师事先设计 的学案．
先讲后练， 以讲为主．
２ ０ １ ３ 年 １ 月
表２
评 价方式 与程度 主干知识 对照教师用书或相关数学资料判断、 分析 自己在教学及设计中对知识 的理解 主干 的理解 是否 正确 ？ 数 内涵外延 对照教师用书或相关数学资料判断、 分析 自己在教学及设计中对知识 学 的把握 内容 的 内涵 、 外延 是 否明确 ？ 理 思想方法 判断 、 分析主干知识所反映的思想方法的“ 析出” 是否准确 ， 以及内容所 解 的渗透 反 映的价 值观 内涵是 否得到揭 示？ 教学 目标 结合 学生实 际学情 ， 对 照课 程 标 准 与教师 用 书 ， 判断、 分 析教学 目标 的 的确定 确定是否合理（ 过低或是过高） ？ 情境引入 在学案设计 中是否有考虑学生已有知识储备 ， 在学生的最近发展 区设 的设计 置情境 ， 自然引人课题． 概念形成 是否通过呈现给学生进行归纳、 概括并形成概念 的背景？是否 由学生 参与举例？概念的得出是否是学生通过对一类事物 的共 同本质属性进行归 学 的设计 纳 概括而成？是否关注探究能力的培养？ 案 概念精致 “ 概念要素” 是否是通过设计适 当的问题让学生 自己感受、 认识到并总 设 的设计 结 出来 的 ？在运 用概念解 决 问题 时 ， 设 计 的问 题是 否 能 够很 好 地加 深 学生 计 对概念 的理 解与 掌握 ？是否有 效地结合 问题 深化概 念 ， 如概念 变式等 ． 例 题练 习 分 析课 堂上 学生 的反应 ， 反 观 例题 的选 择 和 练 习的 设计 是 注重 应试 的 的设计 解题训 练 ， 还是 围绕概 念的核 心 ， 注意 思想方 法 的渗 透 ？ 目标检测 对照课前制定的学习 目 标， 分析 目标检测题是否能够检测各项 目 标的 的设计 落实情况？是否针对学生的个体差异进行分层设计 ？ 自主学习 学生能否根据教师没计的学案， 有效的开展 自 主学习， 包括阅读教材， 独立 的开展 思考完成学案中的问题探究等？是否给足学生学习和思考的时间和空间？ 自 合作学习 能否有效地引导学生积极的开展合作与交流 ， 生生互助是否积极有效 ， 学 的开展 教师以哪种角色参与到此环节 中去的？ 辅 个别辅导 在学生进行 自主学习的过程中， 教师能否根据学生的个体差异 ， 针对性 导 的策略 的进行辅导 （ 知识补给或方法点拨） ？辅导过程中， 能否发现学生的现实学 习 困难 ， 能否及 时捕捉住 学生 的“ 闪光 点’ ’ 并 另 以利 用？ 集体辅导 教师在集体辅导讲授时， 是否聚焦本节课 的重点与难点？是否具有针对 的策略 性， 抓住学生学习过程中的“ 疑点” ？是否具有针对性 紧扣问题的“ 关键点” ？ 教 目标达成 通过本节课的学习之后， 课前制定 的学习 目 标达成度是多少？哪些 目 学 的效果 标达成不够理想 ， 为什么？学生有否掌握一定 的数学学习方法？学生的行 效 为行 为是 否产生 预期 的变化 ？ 果 教学经验 教师在教学活动中对教学内容和学生情况的了解程度有哪些变化？个人 的变化 的哪 教学经验起到了积极或消极作用？教师的教学理念发生了哪 变化？
向量数乘运算及其几何意义课后反思
《向量数乘运算及其几何意义》课后反思
向量数乘运算时向量的基本运算，由于向量数乘的几何意义，运算律，向量共线定理都依赖于向量数乘的定义，所以向量数乘运算的定义是本节课的重点。
我的这次教学主要采用了教师引导，学生通过自己熟悉的物理知识进而感受数乘运算的几何意义，在次基础上抽象出向量数乘运算的定义，符合从特殊到一半的认识律。
向量运算律的教学，主要是运算律的发现与验证。
通过学生对运算律特例的画图验证，进一步理解向量数乘的意义和几何意义，这种猜想发现，直观验证的教学设计比较符合学生的实际水平，同时有助于培养学生的猜想探究能力。
向量共线定理的是向量的重要定理，向量共线定理的发现并不困难，由向量数乘的定义不难看出，难点在于定理的论证和定理的应用。
针对这个问题我用两个例题应到学生对向量共线定理的深入认识进而能够运用其来解决相关的集合问题。
通过本次教学我也认识到一些自身存在的问题如：课堂语言不够简练，不够抑扬顿挫，以后在这方面还应多练习，多考究，让自己的语言更精练更有感染力，这样才能充分的调动学生的积极性，让自己的课堂更加充满活力。
同时还要衷心的感谢我们数学组的各位老师为我出谋划策吗，以及无私的帮助。
特别感谢杨永清老师和我的师傅任苍松老师给予我的指点和教导！
通过这次赛课的准备过程，认识到了自己在上课中的不足新课的
新理念还未贯彻到课堂中去；在教学方法上还要创新。
教育教学是一项长期的工作，在今后的教学中还要多钻研，多听课，多研究，力争使自己早日成为一名优秀的中学教师！。
高中数学_平面向量数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
§2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义课堂教学设计一教学目标知识与能力：掌握数乘运算的定义和运算律。
了解其几何意义。
理解向量共线定理。
能解决简单的共线问题。
过程与方法：通过观看微课视频，利用任务单自主学习定义和运算律，小组交流探讨，展示学习成果。
反思探究向量共线定理及应用。
情感与态度：培养自主学习，主动思考的学习习惯。
初步体会作图验证结论的方法，增强数形结合的意识。
二教学重点难点重点：向量数乘运算的定义和运算律。
向量共线的条件。
难点：向量数乘运算的定义。
向量共线定理的应用。
三教学方法1 通过观看视频，自主学习数乘的定义及运算律，小组交流讨论，培养学生的自学能力和分析解决问题的能力。
2通过探究、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，借助多媒体辅助教学，达到增加课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学。
四教学流程五教学情境设计附件一《向量的数乘运算定义》微课程学习任务单附件二《向量的数乘运算的运算律》微课程学习任务单学生已经学习了向量的概念，向量的加减运算。
知道了共线向量的定义，有了一定的作图基础。
学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难。
因为数乘运算定义及运算律学生易于接受，而且经过高一上学期的学习，学生有了初步的自学能力，本节课的前两个知识点，我设计为利用提前录好的微课课内播放，实现翻转课堂的教学理念。
让学生通过任务单的指引，自主学习，小组交流。
通过前面学习两个向量的运算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。
但对于向量共线定理的探究和应用还是有一定的难度的。
前面学生已经学完向量的加减运算，学生具备一定的独立思考，合作释疑的能力。
因此，对向量共线定理采用“探究释疑”的授课方式，既能充分发挥学生主观能动性，又能达到预期的教学目的。
本节课主要学习向量的数乘运算的定义及运算律，向量共线定理。
课堂前一部分采用了先观看视频，自主学习定义及运算律，小组讨论的方式。
高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。
难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。
你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。
再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。
3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。
《2.1向量的概念》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的概念》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解向量的概念，掌握向量加、减法的概念及其几何意义，了解向量数乘的概念及运算律。
2. 过程与方法：通过观察、比较、归纳得出向量加、减法的运算法则，培养学生的观察能力和归纳能力。
3. 情感态度与价值观：通过学习，培养学生的空间想象能力，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点1. 教学重点：向量加、减法的运算法则及其几何意义。
2. 教学难点：理解向量的概念，正确表示向量。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、纸张等。
2. 准备教学视频：向量的概念、加法、减法及数乘的运算法则。
3. 准备练习题：针对本节课内容的练习题，用于学生巩固所学知识。
4. 制定教学计划：根据教学内容和学生实际情况，制定详细的教学计划。
四、教学过程：（一）导入新课1. 复习：请学生回顾初中所学过的关于“数”与“式”的内容，并举例说明。
2. 提问：这些内容是否还能继续学习下去？3. 导入：我们将在中职数学课程中学习向量，它是既有大小又有方向的量。
（二）新课教学1. 向量的概念（1）教师介绍向量在物理中的意义，如速度、力等。
（2）教师介绍向量在生活中的应用，如位移、距离等。
（3）教师给出向量的定义：既有大小又有方向的量。
（4）学生思考：如何用数学符号表示向量？（5）教师给出向量的表示方法：几何表示法和代数表示法。
2. 向量的分类（1）按照方向相同或相反，可以将向量分为同向向量和反向向量。
（2）按照大小是否相等，可以将向量分为相等向量和不相等向量。
（3）教师引导学生归纳总结向量的基本性质。
3. 向量的加法与减法（1）教师介绍向量的加法与减法的几何意义和代数表示方法。
（2）学生尝试用几何和代数两种方法进行向量的加法和减法的运算。
（3）教师总结向量的加法和减法的运算法则，并进行举例说明。
4. 向量的数乘（1）教师介绍数乘向量的意义和运算法则。
（2）学生尝试进行数乘运算，并总结数乘的运算法则。
人教课标版高中数学必修四《向量数乘运算及其几何意义》教案[精]
![人教课标版高中数学必修四《向量数乘运算及其几何意义》教案[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/92dcf67f783e0912a3162a15.png)
（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）2.2 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(名师：卓忠越)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理，培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.（二）学习目标1.通过实例,掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理，熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.2.理解、掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.3.通过由实例到概念、由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.（三）学习重点1．掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理．2．熟练运用定义、运算律进行有关计算．3．能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题．（四）学习难点1．理解向量数乘运算的几何意义及向量共线定理．2．能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第87页至第90页，填空：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ= ；（2）当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反.特别的：0λ=时，0a λ=根据实数与向量的积的定义，可得如下运算律：设,λμ为实数，那么：（1）()()a a λμλμ= ；（2）()a a a λμλμ+=+ ；（3）()a b a b λλλ+=+共线向量基本定理：向量(0)a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= .2．预习自测（1）任画一向量a ，分别求作向量3,2a a -答案：解析：【知识点】向量数乘的几何意义 【数学思想】数形结合【解题过程】按向量数乘的几何意义，同向或反向延长向量点拨：按向量数乘的几何意义作图即可（2）点C 在线段AB 上，且52AC CB =，则AC = ______AB ,BC = ________AB 答案：57；27- 解析：【知识点】向量数乘的几何意义【数学思想】数形结合【解题过程】根据向量数乘的几何意义，表示向量之间的关系点拨：同向系数为正，反向系数为负，系数绝对值表示长度之间的关系（3）化简：①5(32)4(23)a b b a -+- ；②(x y)(x y)a a +--答案：①32a b - ；②2ya ；解析：【知识点】向量数乘的运算律【解题过程】①5(32)4(23)151081232a b b a a b b a a b -+-=-+-=- ；②()()2x y a x y a ya +--=点拨：类比多项式运算，利用向量数乘运算律展开合并即可（4）判断下列向量a 与b 是否共线：①2,2a e b e =-= ；②1212,22a e e b e e =-=-+答案：①a ∥b ；②a ∥b ；解析：【知识点】共线向量定理【数学思想】数形结合【解题过程】①a b =- ，所以a ∥b ；②2a b =- ，所以a ∥b ；点拨：根据两向量的数量关系，判定两向量是否共线(二)课堂设计1．知识回顾（1）向量加减法的运算法则（2）向量加法的运算律①a b b a +=+ ； ②()()a b c a b c ++=++（3）向量加减法的几何表示 ①,0,AB BC AC AB BA AB AC CB +=+=-=②1223110n n n A A A A A A A A -++++= ③a b a b a b -≤±≤+2．问题探究探究一 通过实例，理解向量数乘定义及其几何意义●活动① 类比定义向量数乘我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++ 和()()()a a a -+-+- 向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？a a a ++ 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同，()()()a a a -+-+- 的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反.类比小学算术中3333335++++=?的乘法定义，类比规定：实数λ与向量a 的积就是λa ，它还是一个向量，我们把这种运算叫做向量的数乘.实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa .它的长度和方向规定如下：（1）||||||λa λa = .（2）0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa = .从图形上看，向量的数乘就是将有向线段同向或反向的进行了拉伸或压缩.【设计意图】从小学的已有知识推广发现新知识，从特殊到一般，体会新定义的产生、概念的提炼、抽象过程.●活动② 辨析概念，总结提炼运算律根据实数与向量的积的定义，（1） 求作向量2(3)a 和6a （a 为非零向量）并进行比较；（2） 向量2()a b + 与向量22a b + 相等吗？学生从模的大小与方向两个方面进行比较，得出2(3)6a a = ，222()a b a b +=+ .一般的，设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()()a a λμλμ= ；（2）()a a a λμλμ+=+ ；（3）()a b a b λλλ+=+ .通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律.【设计意图】由一般推广到特殊，在由数乘的定义总结提炼出向量数乘的运算律．例1 计算：（1）(3)4a -? ；（2）3()2()a b a b a +--- ；（3）(23)(32)a b c a b c +---+ .【知识点】向量数乘的运算律【解题过程】（1）(3)412a a -⨯=- ；（2）3()2()33225a b a b a a b a b a b +---=+-+-=（3）(23)(32)233252a b c a b c a b c a b c a b c +---+=+--+-=-+-点拨：应用向量数乘的运算律，类似于多项式的运算展开合并即可．答案：（1）12a - ；（2）5b （3）52a b c -+- ．同类训练 化简：111(2)(32)()342a b a b a b ----- 【知识点】向量数乘的运算律【解题过程】111123111111(2)(32)()342334222123a b a b a b a b a b a b a b -----=--+-+=-+ ； 点拨：应用向量数乘的运算律，类似于多项式的运算展开合并即可． 答案：111123a b -+ 探究二 辨析定义，探究共线向量定理●活动① 由特例入手，发现共线向量定理请同学们观察a m n =- ，22b m n =-+ ，回答a 、b 有何关系？因为2b a =- ，所以a 、b 是平行向量.反之，若a 、b 是平行向量，能否得出b λa = ？为什么？可得出a λb = 吗？为什么？若,a b 都为非零向量可以！因为a 、b 都非零且平行，它们的方向相同或相反，可以相互用数乘向量进行表示.若0,0a b =≠ ，则不存在实数λ使得b a λ= ，仅能存在0λ=使得a b λ= .同理若0,0b a =≠ ，情况类似.由此可得向量平行的充要条件：向量b 与非零向量a 平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b λa = .对此定理的证明，可从两方面来说明：其一，若存在实数λ，使b λa = ，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知a λ 与a 平行，即b 与a 平行.其二，若b 与a 平行，且不妨令0a ¹ ，设||||b μa = ，接下来看a 、b 方向如何：①a 、b 同向，则b μa = ，②若a 、b 反向，则记b μa =- ，总而言之，存在实数λ（λμ=或λμ=-）使b λa = .【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律.●活动② 巩固理解，尝试应用判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线.由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线.因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线.例2 如图：已知3AD AB = ，3DE BC = ，试判断AC 与AE 是否平行．【知识点】向量线性运算及共线向量基本定理【数学思想】数形结合【解题过程】∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+=∴AE 与AC 平行点拨：应用向量线性运算，判断向量是否具有线性相关性，从而判定是否平行.答案：AE 与AC 平行同类训练 如例2图，已知在△ADE 中，点B 、C 分别为边AD 、AE 的三等分点，试判断BC 与DE 是否平行?答案：BC ∥DE解析：【知识点】向量线性运算法则及共线向量定理【数学思想】数形结合 【解题过程】∵1111()3333BC AC AB AE AD AE AD DE =-=-=-= ， 又∵BC 与DE 不在同一条直线上∴BC ∥DE点拨：运用向量线性运算法则判定向量的线性关系，从而判定直线平行例3 如图,已知任意两个非零向量,a b ,试作,2,3OA a b OB a b OC a b =+=+=+ ，你能判断,,A B C 三点之间的位置关系吗？为什么？【知识点】向量线性运算及其几何意思、共线向量基本定理【数学思想】数形结合【解题过程】如图，分别作向量,,OA OB OC ，过点,A C 作直线AC ，观察发现，不论向量,a b 怎样变化,点B 始终在直线AC 上,猜想,,A B C 三点共线.事实上,因为2()AB OB OA a b a b b =-=+-+=而3()2AC OC OA a b a b b =-=+-+= 于是=2AB ，且它们有公共点A所以A 、B 、C 三点共线.点拨：先画图猜想，再通过向量线性运算，应用共线向量基本定理判定是否共线答案：A 、B 、C 三点共线 同类训练：设两个非零向量a 与b 不共线，若AB a b ＝＋，BC a b ＝2＋8，()CD a b ＝3-， 求证：A 、B 、D 三点共线；【知识点】共线向量基本定理【数学思想】数形结合【解题过程】∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．点拨：应用向量线性运算，判断向量是否具有线性相关性，从而判定是否平行.答案：A 、B 、D 三点共线；探究三 学以致用、用向量表示几何元素●活动 用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，运用向量的线性运算法则，逐步尝试表示几何元素.例4 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M,且AB a = ，AD b = ,你能用,a b 表示?MA MB MC MD 、、和吗答案：1122MA a b =-- ;1122MB a b =- ;1122MC a b =+ ;1122MD a b =-+ 解析：【知识点】向量线性运算法则及其运算律【数学思想】数形结合 【解题过程】在ABCD 中,∵AC AB AD a b =+=+ ,DB AB AD a b =-=-又∵平行四边形的两条对角线互相平分, ∴1111()2222MA AC a b a b =-=-+=-- ，1111()2222MB DB a b a b ==-=- 1111()2222MC AC a b a b ==+=+ ，111222MD MB DB a b =-=-=-+ 点拨：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.同类训练：在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于( )A.2132AB AD + B.1223AB AD + C.5163AB AD + D.1536AB AD + 【知识点】向量线性运算法则及其运算律【数学思想】数形结合 【解题过程】∵23BC BA AD DC AB AD =++=-+ ∴11221()22332AE AB BE AB BC AB AD AB AB AD =+=+=+-=+ 点拨：结合向量加法的多边形法则和运算律,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的常用方法.答案：A3.课堂总结知识梳理（1）向量数乘的定义：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ ，它的长度和方向规定如下： ①a a λλ= ；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反.特别的：0λ=时，0a λ=（2）向量数乘的运算律：设,λμ为实数，那么：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③()a b a b λλλ+=+（3）共线向量基本定理：向量(0)a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= .重难点归纳（1）理解向量数乘的几何本质上就是将有向线段同向或反向伸长或压缩；（2）能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题．（三）课后作业基础型 自主突破 1．化简5(22)4(23)a b b a -+-= __________.答案：22a b --解析：【知识点】向量线性运算法则及其运算律【解题过程】5(22)4(23)101081222a b b a a b b a a b -+-=-+-=--点拨：运用向量线性运算法则展开、合并即可2．已知向量AB→＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线答案：B解析：【知识点】向量线性运算律及共线向量定理【解题过程】∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD→、AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 点拨：运用向量线性运算法则判定向量的线性关系，从而判定三点共线3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →等于( ) A ．.BC→ B ．12AD →C ．AD→ D ．12BC →【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合【数学思想】数形结合 【解题过程】∵EB EC CB =+ ,FC FB BC =+ ∴1122EB FC EC CB FB BC EC FB AC AB +=+++=+=+ 1()2AC AB AD =+= 点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示答案：C4．在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c答案：A解析：【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合【解题过程】∵BD→＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示5．在四边形ABCD 中，AB→＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案：C解析：【知识点】向量线性运算法则与平行向量判定【数学思想】数形结合【解题过程】由已知AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD→∥BC →.又AB →与CD →不平行，∴四边形ABCD 是梯形． 点拨：分别判定四边形对边向量的平行关系、长度关系即可得解.能力型 师生共研6.已知和是不共线向量=t (t ∈R ),试用、表示.【知识点】三点共线的向量表示与用向量表示几何元素【数学思想】数形结合 【解题过程】由AP =t AB (t ∈R )知A 、B 、P 三点共线 ∴=+=+t ·=+t ·(-)=(1-t )·+t ·. 点拨：由向量运算法则，将依次用、表示出来即可.由此还可思考，在题目条件不变的前提下，能否用、来表示或者用、来表示呢？逐步层层递进，还可探索发现,,A B P 三点共线的充要条件是OP OA OB λμ=+ 且1λμ+=答案：(1t)OP OA tOB =-+7.在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠AC B.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b【知识点】三角形角平分线定理的应用【数学思想】数形结合【解题过程】由内角平分线定理，得|CA||CB|＝|AD||DB|＝2.∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b . 点拨：利用三角形角平分线定理得出线段比例关系，从而表示出向量答案：B8．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足：OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC→)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案：C解析：【知识点】三角形中线、重心的向量表示【数学思想】数形结合【解题过程】取BC 中点D.OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，AP →＝2λAD →. ∴A ，P ，D 三点共线，∴AP 一定通过△ABC 的重心．点拨：OP OA AP -= ,2AB AC AD += ,从而得AP 与中线AD 共线9．已知O 为△ABC 内一点，且OA→＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是______．答案：1∶2解析：【知识点】用向量反映几何关系【数学思想】数形结合【解题过程】如图所示，取AC 中点D.∴OA→＋OC →＝2OD →. ∴OD →＝BO →. ∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比点拨：由共线向量的关系反映线段长度关系，从而得面积比.探究型 多维突破1.凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F,求证:=21(+).答案：详见解题过程解析：【知识点】用向量证明几何问题【数学思想】数形结合【解题过程】（法一）过点C 在平面内作=则四边形ABGC 是平行四边形,故F 为AG 中点.(如图1)∴EF 是△ADG 的中位线.∴EF 21DG ；∴EF =21DG .而=+=+, ∴=21(+). （法二）如图2,连接EB 、EC,则有=+,=+,又∵E 是AD 之中点,∴有EA +ED =0, 即有EB +=AB +. 以与EC 为邻边作EBGC,则由F 是BC 之中点,可得F 也是EG 之中点. ∴=21EG =21(+EC )=21(+DC ). 点拨：能否构造三角形,使EF 作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.从多角度观察思考问题，使问题得到解决.自助餐1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：【知识点】共线向量的判定【解题过程】若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．点拨：辨析共线向量的充要条件2．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表示形式中正确的是( )A ．e ＝a aB ．a ＝a eC ．a ＝－a eD ．a ＝±a e答案：D解析：【知识点】单位向量的表示【解题过程】对于A ，当a ＝0时，a |a |没有意义，错误；对于B ，C ，D 当a ＝0时，选项B ，C ，D 都对；当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向.点拨：向量平行，方向可相同亦可相反，同时注意零向量的特殊情况.3．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案：A解析：【知识点】向量表示几何元素【数学思想】数形结合【解题过程】∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.点拨：由BC →＝3CD →得点D 在BC 的延长线上，且3BC CD = ，再用向量表示即可4．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且32OA OB OP -=，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上答案：B解析：【知识点】向量的线性运算与共线向量判定【数学思想】数形结合 【解题过程】33111()22222OA OB OP OA OB OA OA OB OA BA -==-=+-=+ 即12OP OA AP BA -== ，所以点P 在线段AB 的反向延长线上. 点拨：将32OA 拆分为12OA OA + 符合变形的需要，得到12AP BA = 5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM = ，AC nAN = ，则m ＋n 的值为________．答案：2解析：【知识点】三点共线的充要条件【数学思想】数形结合 【解题过程】1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ . ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.∴m ＋n ＝2.点拨：M,,N O 三点共线的充要条件是AO AM AN λμ=+ 且1λμ+=。
高中数学_向量数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
教学目标：1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。
2.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3.理解两个向量共线的含义，并能证明简单的共线问题。
教学重点：向量数乘的概念，运算律；向量共线定理。
教学难点：向量共线定理的探究及其应用。
教学过程：教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情（一）情景引入： （二）新课讲解【探究1】1.向量数乘的定义已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义吗？由学生板演作图过程。
老师提出： 问题1：问题2： 问题3：学生尝试总结定义： 老师归纳点评：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a λ ，它的长度和方向规定如下：思考：（1）a a λλ=（2）当λ>0时，a λ的方向与a 的方向相同；当λ<0时，a λ的方向与a 的方向相反。
由（1）可知，当0=λ或0=a 时，0=a λ 2. 几何意义：问题：当λ 分别取2，，-2，-时，λ有何变化？几何意义：将沿原方向或相反方向，长度扩大（或缩小，倍，就得到λ【探究2】向量数乘的运算律 分组并有学生讲解完成：1.求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，2.已知向量a 、b ，求作向量)(2b a + 3 b a 22+，。
老师点评，并归纳1设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(特别地,我们有(-λ)a =-(λa )=λ(-a ),λ(a -b )=λa -λb向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±。
例1：计算(学生完成) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3 (3) )23()32(c b a c b a +---+ 试身手：两道练习题【探究3】向量共线定理分组讨论并有中心发言人回答问题：问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线， 那么，a b λ= ？[来源:学科网ZXXK]向量共线定理 ： 向量b 与非零．．向量a 共线当且仅当有唯一．．．．．．．一个实数λ，使得 a b λ=思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？[试试 试身手：抢答题例 2. 如图2,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,OB =a +2b ,OC =a +3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C 三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a 、b 变化过程中,A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规解:如图3分别作向量、过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线上,猜想A、B、C三点共线.事实上,因为AB=a+2b-(a+b)=b,而AC=a+3b-(a+b)=2b,于是AC =2AB .且有公共点A所以A、B、C三点共线.小结：三点共线的条件试身手：一道练习题，由学生板演并讲解。
高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。
难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。
你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。
再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。
3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。
《向量的数乘运算及其几何意义》教案(新人教A版必修4).doc
§2.2.3向量的数乘运算及其几何意义（新教改A版教材）教学目标：（1）掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；（2）让学生能山实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；（3）初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。
教学重点、难点：重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。
难点：正确运用法则解决几何问题。
教学过程:ctcici问定理形成运算率的形成及证明反叩可。
若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。
并且：特殊地，当实数o和一•个向量相乘时，得到的仍为一个向量，旦模为0, 即“零向量”。
（因为冬向量的方向不固定旦模为0,所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向代数形式为6。
）1.计算下列各式：应用举例（1）（—2） x —U ;（2）20+。
）一3（0-力）；（3）（人 +一万）一（人一"）0+万）.解：（1）（-2）2=（-2 X ^）a；=（-\）a = -a（2）2（0+力）一3（0一万）= 2a + 2b-3a + 3b• 9= （2«—M） + （2 方+ 3 方）= -a+5b例3作图是学生需要锻炼的能力之-，督促学生画好，其次是注意同顾和正确使用向景加法法则，亦可以使用相似先得到线段长度的关系，判断方向，从而得到结论对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并旦能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力%1.教学资源建议：可以参阅之前.向量这一•部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
%1.教学方法与学习指导策略建议：本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则，对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。