【精品】单纯形法求解全过程详解
运筹学课件 单纯形法的计算步骤
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
15单纯形法
17
定理1 对解 全 定理1:对解X(1) ,若检验数λj ( j=m+1,…,n)全 为最优解. 部≤ 0,则X(1)为最优解. 定理2:对X(1),若有某个非基变量 m+k→λm+k>0 若有某个非基变量X 定理2 且相应的P 且相应的 m+k =(a1m+k ,… ,amm+k )T ≤ 0,则原问题 无有限最优解. 无有限最优解.
2
-2 X2
(2),判定解是否最优 , Z=0+40X1+50X2 当X1从0↗或X2从0↗ ↗ ↗ Z从0↗ 从 ↗ ∴ X(1) 不是最优解
3
(3),由一个基可行解→另一个基可行解. ,由一个基可行解→另一个基可行解. ∵ 50> 40 X3 X4 选X2从0↗,X1 =0 ↗ X2 ≤ 30/2 X2 ≤ 60/2 X2 ≤ 24/2
=30-2X2 ≥0 =60-2X2 ≥0
X5 =24-2X2 ≥0
X2=min(30/2 , 60/2 , 24/2 ) =12 X2进基变量, X5出基变量. 进基变量, 出基变量.
4
B2=(P3 P4 P2)
Z=0+40X1+50X2 X3 +2X2 =30-X1 X4+2X2 =60-3X1 2X2=24-X5 ④ ① ② ③
λj>0
(2),决定换出变量: ,决定换出变量: bi -aim+kXm+k ≥0 ( i=1 ,2 ,…, m) Xm+k ≤ bi aim+k (aim+k>0 )
单纯形解法
线性规划问题解法：（1）图解法： 优点---只管易掌握，有助于理解结构。
缺点---只能解决低维的问题，对高维无能为力。
（2）单纯形法：单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
单纯形法的一般步骤如下：1、寻找一个初始的基本可行解。
2、检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
3、移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
步骤1： 约束方程 表示为： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 ，则基变量 由此可得初始的基本可行解：其过程为：存在问题：1、要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
基由系数矩阵Ａ中m 个线性无关的系数列向量构成。
但是要判断m 个系数列向量是否线性无关并非易事。
2、即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B ，也不能保证该基恰好是可行基。
因为不能保证基变量ＸB =Ｂ-1b ≥0。
3、为了求得基本可行解，必须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ为了设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ，可在规划标准化过程中作如下处理：1、若在化标准形式前，m 个约束方程都是“≤”的形式，那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变量x n+i (i=12…m)。
2、若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式，那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为人工变量．3、若在化标准形式前，约束方程中有等式方程，那么可以直接在等式左端添加人工变量。
【步骤一完成：寻找一个初始的基本可行解】 AX=bB B N N X AX=(BN)=BX +NX =bX ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b→→→步骤2： 假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值其中 分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。
程序求解 单纯形法
程序求解单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的常用方法。
它通过一系列的迭代步骤，从一个初始的基本可行解开始，逐步改进解，直到找到最优解或证明问题无最优解。
以下是使用单纯形法求解线性规划问题的一般步骤：
1. 构建初始基本可行解：选择一个初始的基本可行解，通常可以通过引入松弛变量或人工变量来构建。
2. 计算目标函数值：计算当前基本可行解下的目标函数值。
3. 检查最优性：如果当前基本可行解满足最优性条件（目标函数值最小或最大），则停止迭代，当前解即为最优解。
4. 寻找改进方向：如果当前基本可行解不满足最优性条件，则需要找到一个改进的方向。
这可以通过计算每个非基变量（即未被选入基本可行解的变量）的检验数来完成。
5. 选择进入变量：根据检验数，选择一个具有正检验数的非基变量作为进入变量。
6. 确定离开变量：为了保持基本可行解的可行性，需要选择一个离开变量。
通常选择一个具有最小比值的基变量作为离开变量。
7. 更新基本可行解：通过替换离开变量和进入变量，构建一个新的基本可行解。
8. 重复步骤 2 至步骤 7，直到找到最优解或证明问题无最优解。
需要注意的是，单纯形法的具体实现可能因问题的规模和结构而有所不同。
在实际应用中，可以使用编程语言或优化软件来实现单纯形法。
希望以上内容对你有所帮助。
如果你有具体的线性规划问题需要求解，我可以根据具体问题提供更详细的帮助。
单纯形法的计算步骤
变量作为换出变量。
L
min
bi
aik
a ik
0
单纯形法旳计算环节
Page 4
③ 用换入变量xk替代基变量中旳换出变量，得到一种新旳基。 相应新旳基能够找出一种新旳基可行解，并相应地能够画出 一种新旳单纯形表。
④ 5）反复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法旳计算环节
将3化为1
换入列
j
乘
,
x2
,
x3
,
x4
0
Page 1
单纯形法旳计算环节
Page 2
2）求出线性规划旳初始基可行解，列出初始单纯形表。
j
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法旳计算环节
Page 3
3）进行最优性检验
假如表中全部检验数 止。不然继续下一步。
，j 则表0中旳基可行解就是问题旳最优解，计算停
单纯形法旳计算环节
例1.8 用单纯形法求下列线性规划旳最优解
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为原则型，加入松驰变量x3、x4则原则型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
x1
3x2
x4
30
x1
以
1/3 后
j
得
到
j
30 5/3 0 10 1/3 1
5/3 0
18 1
0
40
1
0
0
Page 5
bi /ai2，ai2>0
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
单纯形法的一般描述和求解步骤课件
单纯形法的一般描述和求解步骤：一般的线性规划问题的求解有以下几个步骤。
(1)确定初始基本可行解。
为了确定初始可行解，首先要找出初始可行基。
设一线性规划问题为⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑∑==nj xj b x P x c Z n j j j nj jj ,,2,1,0max 11（1-14）可分两种情况讨论。
1.若),,2,1(n j P j =中存在一个单位基，则将其作为初始可行基：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==100010001),,,(21m P P P B 2.若),,2,1(n j P j =中不存在一个单位基，则人为的构造一个单位初始基。
关于这个方法将在下面提到。
(2)检验最优解。
得到初始基本可行解后，要检验该解是否最优解。
如果是最优解，则停止运算；否则转入（3）基变换。
下面给出最优性判定定理。
一般情况下，经过迭代后可以得到以非基变量表示基变量的表达式∑+=='-'=nm j j iji i m i x ab x 1),,2,1(,(1-15)将式（1-15）代入式（1-14）的目标函数，整理后得j nm i ni ij i jmi i i x a c cb c Z ∑∑∑+==='-'+'=111)(max令∑='=m i i i b c Z 10,∑=+==mi ji i j n m j a c Z 1),,1(,于是j nm j j j x Z c Z Z ∑+=-+=10)(max再令),,1(,n m j Z c j j j +=-=σ则得到以非基变量表示的目标函数的表达式jnm j jx Z Z ∑+=+=10max σ由以上推导可得出下列最优解的判定定理。
(1)最优解的判定定理：若T m b b b X )0,,0,,,,(21)0( '''=为对应于基B 的一个基本可行解，且对于一切n m j ,,1 +=有0≤j σ，则)0(X 是最优解，称j σ为检验数。
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
单纯形法解题步骤
三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值.目性规划问题的最优解为：.原线目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数, 经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量x2进基，先将主元化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.（4） 011 0。
单纯形法求解全过程详解共9页
（7）接下来，我们的任务就是找另一个基可行解。即转回到步骤（5）。
选择进基变量： max⎨⎧σ1 ⎩
=
5⎫
3
⎬ ⎭
=σk
= σ1 ，即
x1 进基成为基变量。
出基变量：
min
⎧
⎨ ⎩
b1 a11
,
b2 a21
⎫
⎬ ⎭
=
min⎨⎧30 × ⎩
3 5
= 18,10 × 3 = 30⎬⎫ ⎭
=
b1 a11
，即第
3
3
1
0
−
5
5
1
2
1
−
5
5
这时，我们可以得到基 B3 = [P1, P2 ] 对应的基可行解。
即令非基变量 x3 = 0, x4 = 0 ，根据表中的约束条件可得 x1 = 18, x2 = 4 （这两个值正好是表 中基变量对应的资源向量 b 对应的分量） 那么，第 3 个基可行解为 X 3 = [18,4,0,0]T 。 （8）找到了第 3 个基可行解，接下来的任务就是判断该基可行解是否为最优解，检验其是 否为最优解的标准前面已经详细讲述，这里就不啰唆了。即转回到步骤（4）。
1
0
1
10 × 3 = 30
3
σ
(2) j
=
cj
−
CB
⋅
Pj
5
0
0
−4
3
3
3
x1
1
0
4
x2
0
1
σ
(3) j
=cj
− CB
⋅ Pj
5
1
先来看主元 a11 所在的行。行的系数表示的是约束条件： 30 = 3 x1 + x3 − 3 x4 ①’。
02-单纯形法
若迭代最终得到最优解X* ，而且基变量中不含有人工变量，则X*的
前n个分量就构成原问题的一个最优基本解；否则，原问题无可行解。
若迭代结果是解无界，而且基变量中不含有人工变量， 则原问题也 解无界；否则，原问题无可行解。
Simplex Method
第二章
单纯形法
SM
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想 2.2 单纯形法的计算过程 2.3 人工变量法 2.4 单纯形法补遗
2
第2 章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法有三种形式： ① 方程组形式 ② 表格形式 ③ 矩阵形式
2.1.1 方程组形式的单纯形法
z -3x1 0
x1 0
1 x2
+ +x3
5 x 2 4
= 30
0
(Ⅱ )
3 x1 0
得
= 8 ① 1 + 2 x4 = 6 ② -2x4 +x5 = 12 ③
z0 = 30
X1 = ( 0, 6, 8, 0, 12 )T 称为单纯形法的一次迭代。
7
第2 章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
z-3x1
否则转5代代步步单纯形法1322单纯形法的计算过程55确定主元确定主元先按最小检验数规则最小检验数规则min和主列aakk再按最小比值规则最小比值规则确定主元a行的基变量xxrr为主元对当前表格进行一次换基运算换基运算得到一个新单纯形表返3代代步步单纯形法1422单纯形法的计算过程223单纯形法计算之例范例第第00次迭代次迭代123635单纯形法1522单纯形法的计算过程第一次迭代第一次迭代123635252303单纯形法1622单纯形法的计算过程3032313231342单纯形法1722单纯形法的计算过程st
单纯形法求解原理过程
单纯形法求解原理过程第一篇：单纯形法求解原理过程单纯形法需要解决的问题：如何确定初始基本可行解；如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降；如何判断一个基本可行解是否为最优解。
min f(X)=-60x1-120x2 s.t.9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 xi≥0(i=1,2,3,4,5)(1)初始基本可行解的求法。
当用添加松弛变量的方法把不等式约束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为初始基本可行解中的一部分基本变量。
例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10xi≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10xi≥0(i=1,2,3,4,5)令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵⎡94100⎤⎥A=[P1,P2,P3,P4,P5]=⎢310010⎢⎥⎢⎣45001⎥⎦中可以看出其中有个标准基，即⎡100⎤⎥B=⎢010⎢⎥⎢⎣001⎥⎦与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x20 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 TX=[0,0,360,300,200]判别初始基本可行解是否是最优解。
此时可将上式代入到目标函数中，得： F(X)=-60x1-120x20对应的函数值为f(X)=0。
0由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X)=0不是最小值。
因此所得的解不是最优解。
011(2)从初始基本可行解X迭代出另一个基本可行解X，并判断X 是否为最优解。
从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为两步进行：第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量；第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =nj j j=1c x ∑1,1,2,...,0,1,2,...nij j i j ja xb i mx j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n )进行编号, 则可得下列方程组11,111122,1122,1112.........,,...,0m m n n m m n n m m m m nn n nn x a x a x b x a x a x b x ax a x b x x x +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩显然得到一个m ×m 单位矩阵121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭ 以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得111,111222,112,11.........m m n nm m n nm m m m m mn n x b a x a x x b a x a x x b a x a x ++++++=---⎧⎪=---⎪⎨ ⎪⎪=---⎩令12...0,m m n x x x ++====由上式得(1,2,...,)i i x b i m == 又因i b ≥0, 所以得到一个初始基可行解12()12()(,,...,,0,...,0)(,,...,,0,...,0)Tm n m Tm n m X x x x b b b --= =个个（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
运筹学1-4单纯型法的计算步骤
2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3
最小化问题单纯形法求解步骤
最小化问题单纯形法求解步骤
最小化问题单纯形法求解步骤如下:
1.初始化:选择一个初始可行解，并将其带入目标函数中，计算出初始的目标函数值。
2.检查最优性:如果当前目标函数值已经达到最小，则停止迭代，当前解即为最优解。
否则，进入下一步。
3.迭代:根据当前解，通过单纯形法进行迭代，找到一个新的可行解。
4.更新解:用新的可行解替换原来的解，并带入目标函数中，计算出新的目标函数值。
5.返回步骤2，重复执行，直到找到最优解或达到预设的迭代次数。
以上是求解最小化问题的单纯形法的基本步骤，具体实现时可能还需要考虑一些细节问题，比如初始解的选择、迭代方向和步长的确定等。
第五章 单纯形法
x4 0 1 0
x5 0 0 1
基变量
b
300 400 250
基向量
非基向量
0
对应基本解：（0，0，300，400，250）
一、问题的提出
基 B1=(p1 ,p2 ,p3) B2=(p1,p2 ,p4 ) B3=(p1 ,p2 ,p5) B4=(p1 ,p3 ,p4) B5=(p1 ,p3 ,p5) B6=(p1 ,p4 ,p5) B7=(p2 ,p3,p4) B8=(p2 ,p3,p5) 基向量 基变量 非基 向量 p4 ,p5 p3 ,p5 p3 ,p4 p2 ,p5 p2 ,p4 p2 ,p3 p1 ,p5 p1 ,p4 非基 变量 x4 ,x5 x3 ,x5 x3 ,x4 x2 ,x5 x2 ,x4 x2 ,x3 x1 ,x5 x1 ,x4 基本解 (75,250,-25,0,0) (50,250,0,50,0) (100,200,0,0,50) 不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) 是 否 是 否 是否可行 否 是 是 p1 ,p2 ,p3 x1 ,x2 ,x3 p1 ,p2 ,p4 x1 ,x2 ,x4 p1 ,p2 ,p5 x1 ,x2 ,x5 p1 ,p3 ,p4 x1 ,x3 ,x4 p1 ,p3 ,p5 x1 ,x3 ,x5 p1 ,p4 ,p5 x1 ,x4 ,x5 p2 ,p3 ,p4 x2 ,x3 ,x4 p2 ,p3 ,p5 x2 ,x3 ,x5
一、问题的提出
既然如此，如果我们在技术矩阵中取出三列， 组成一个可逆阵，令其余两列对应的变量为 零，则一定可以得到一个解。
一、问题的提出
单纯行法的计算步骤
max c j c j 0 ck ，对应的 xk 为进基变量。 选择进基变量：
选择出基变量： min
bi bl ，对应的第 l 个基变量 aik 0 aik alk
为出基变量。
max z 2 x1 x2 5 x2 x3 15 6 x 2 x x 24 2 4 s.t. 1 x1 x2 x5 5 x15 0
max z 3 x1 4 x2 2 x1 x2 x3 40 x1 3 x2 x4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
alk为主元素
2 1 1 0 A 1 3 0 1
1 0 B1 0 1 a12
4 x2
1
1 2 c2 c3 c4 a13 4 0 0 4 a 0 3 c3 c3 c4 0 0 0 0 a 3 14 22 0 0 0 4 c4 c3 c4 a 0 23 0
x1 x2 X x n
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2
b1 b2 b b m
线性规划数学模型的标准型：
C c1, c2 , c3 ,, cn
max z 2 x1 x2 5 x2 x3 15 6 x 2 x x 24 2 4 s.t. 1 x1 x2 x5 5 x15 0
1 1 max z 8 x2 x4 3 3 5 x2 x3 15 1 1 x x x 4 1 3 2 6 4 s.t. 2 1 x2 x4 x5 1 6 3 x1 5 0
1.4单纯形法的计算步骤
−z
x1
x2
L xm
xm+1
L xn L L a1n a2n M
0 1 0 L 0 a1,m+1 1 L 0 a2,m+1 0 0 M M M M 0 0 0 L 1 am,m+1 cm+1 1 c1 c2 L cm … -z+c1x1+c2x2+…+cmxm+cm+1xm+1+ +c
基变量 0
-z
3.确定主元素 3.确定主元素 确定 1.计算检验数， 1.计算检验数，由它 计算检验数 确定为换入变量
计算θ 2. 计算θ，由它确定为 换出变量
（2）以[4]为主元素进行旋转运算或迭代运算， [4]为主元素进行旋转运算或迭代运算， 为主元素进行旋转运算或迭代运算
c j→ CB 0 0 3 -z XB x3 x4 x2 b 2 16 3 -9 2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 0 1/4 -3/4 θ 2 4 -
0 x4 0 1 0 0
0 x5 -1/2 2 1/4 1/4
0 X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 1 0 0
θ 4 12
c j→ CB 2 0 3 -z XB x1 x5 x2
0 x5 0 θ
表 1-5
-3/2
(4) 表1-6最后一行的所有检验数都已为负或零。 最后一行的所有检验数都已为负或零。 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解
x1 x2
+ a1m+1xm+1 +L+ a1nxn = b1 + a2m+1xm+1 +L+ a2nxn = b2 O xm + amm+1xm+1 +L+ amnxn = bm
线性规划与单纯形法-计算步骤
max Z 3x1 5x2
x1
s.t.
3x1
x1 0
2x2 2 x 2 x2 0
4 12 18
第一次迭代 x2为入基， x4为出基 第二次迭代 x1为入基， x5为出基
X * (2, 6, 2, 0, 0) Z* 36
2.4 单纯形法计算步骤
3、确定进基变量（迭代的第一步）
确定进基变量对应于图解法的确定运动方向
x1
x3
8
3x1
2x2 4x2
x4
12
x5 36
3x1 5x2 0x3 0x4 0x5 Z
j
从目标函数-Z+3x1+5 x2 +0x3 +0x4+0x5 =0可知： 因为x2的系数大于x1的系数，即生产单位乙产品比甲产品利 润更高一些，故应优先多生产乙产品。即x2为进基
5 2
x4
0 x5
Z 30
④
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
x1
1 2 x4
2 3 x4
1 3 x5
6 ② 4 ③
3x1 0x2
0 x3
5 2
x4
0 x5
Z 30 ④
④-3×③
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
1 2
x4
6 ②
x1
2 3
x4
1 3
x5
4 ③
0
x1
STOP 包括三个步骤： 1、确定进基变量（进基） 2、确定出基变量（出基） 3、对新基可行解的求解（高斯消元）