图形的旋转经典例题讲解,初二数学图形的旋转经典题目及答案解析
2023中考数学图形的旋转与平移历年真题及答案
2023中考数学图形的旋转与平移历年真题及答案在中考数学中，图形的旋转和平移是重要的考点之一。
它们不仅需要掌握旋转和平移的概念和性质，还需要能够熟练运用相关的公式和方法解决问题。
为了帮助同学们更好地复习，本文将介绍几道历年真题，并提供详细的解答和答案。
一、旋转图形的例题例题1：如图所示，正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°后得到正方形A’B’C’D’。
已知点A的坐标为(2, 4)，求点A'的坐标。
解答：首先，我们需要确定旋转的中心点O。
由于正方形绕点O逆时针旋转90°后得到A’B’C’D’，因此点O是正方形对角线的交点。
正方形的对角线是AC，且AC的中点为O。
由于正方形的边长相等，所以AC的中点O坐标为[(2+6)/2, (4+4)/2] = (4, 4)。
接下来，我们需要确定旋转后的点A'在坐标系中的位置。
根据旋转的性质，点A与点A'的距离等于点A与旋转中心点O的距离。
由于A和O的横坐标相等，纵坐标相等，所以点A'的坐标为(4-4, 4+4)，即A'的坐标为(0, 8)。
所以，点A'的坐标为(0, 8)。
例题2：已知点A(3, 2)，顺时针旋转90°后得到点A'，求点A'的坐标。
解答：顺时针旋转90°相当于逆时针旋转270°，所以我们只需将问题转化为逆时针旋转，然后求解。
逆时针旋转270°相当于绕原点逆时针旋转90°。
因此，我们需要找到点A的逆时针旋转90°后的坐标，再取其相反数即可得到点A'的坐标。
根据逆时针旋转90°的公式，点A逆时针旋转90°后的坐标为(-2, 3)。
然后，取其相反数即得到点A'的坐标。
所以，点A'的坐标为(2, -3)。
二、平移图形的例题例题3：如图所示，矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D'，已知平移向量为(-3, 4)，求点A'的坐标。
初中数学旋转经典习题【含详细答案】
旋转经典习题1.(2019四川绵阳中考)下列图案中,属于轴对称图形的是(A)2.(2019天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( C )3.(2019内蒙古呼和浩特中考)图中序号①②③④对应的四个三角形,都是△ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是(:A)A.①B.②C.③D.④解析:∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形,∴通过轴对称得到的是①.故选A.4.(2019西宁中考)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(A)A.等边三角形B.平行四边形C.正六边形D.圆5.(2019江苏淮安中考)点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(C)A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(-2,1)解析:P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(-1,-2),故选C.6.(2019四川宜宾中考)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点F处,则DE的长是(C)A.3B.C.5D.解析:∵在矩形ABCD中,∠BAE=90°,且由折叠可得△BEF≌△BEA,∴∠BFE=90°,AE=EF,AB=BF,在Rt△ABD中,AB=CD=6,BC=AD=8,根据勾股定理得BD=10,即FD=10-6=4,设EF=AE=x,则有ED=8-x,根据勾股定理得x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以DE=8-3=5,故选C.7.(2019山东枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( B )A.2B.C.D.1解析:∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F 处,∴FB=AB=2,BM=1,则在Rt△BMF中,FM=,故选B.8.(2017湖南长沙中考)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C,D重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,△CHG的周长为n,则的值为(B )A. B. C. D.随H点位置的变化而变化解析:设CH=x,DE=y,则DH=-x,EH=EA=-y,∵∠EHG=90°,∴∠DHE+∠CHG=90°.∵∠DHE+∠DEH=90°,∴∠DEH=∠CHG,又∵∠D=∠C=90°,△DEH∽△CHG,∴,即,∴CG=,HG=,△CHG的周长n=CH+CG+HG=,在Rt△DEH中,DH2+DE2=EH2,即+y2=,整理得-x2=,∴n=CH+HG+CG=.故.故选B.8.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是(D)9.下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是(B)10.如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B',AB'与DC 相交于点E,则下列结论一定正确的是( D )A.∠DAB'=∠CAB'B.∠ACD=∠B'CDC.AD=AED.AE=CE答案:D11.如图,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(D)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形解析:根据第一次对折以及三等分平角可知将360°进行6等分,即多边形的中心角为60°,由最后的剪切可知所得图形符合正六边形特征.故选D.5.如图,直线l是四边形ABCD的对称轴.若AB=CD,有下面的结论:①AB∥CD;②AC⊥BD;③AO=OC;④AB⊥BC.其中正确的结论有.(填序号)答案:①②③12.如图,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B=95°.解析:∵FN∥DC,∴∠BNF=∠C=70°.∵MF∥AD,∴∠BMF=∠A=100°.由翻折知,∠F=∠B.又∵∠BMF+∠B+∠BNF+∠F=360°,∴100°+∠B+70°+∠F=360°,∴∠F=∠B==95°.13.如图,在平面直角坐标系中,若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称,则对称中心点E的坐标是(3,-1)14.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M为边BC上的点,连接AM(如图).如果△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是2.解析:如图,过点M作MN⊥AC于N,由折叠性质可知,∠BAM=∠CAM=45°.∵点B恰好落在边AC的中点处,∴AC=2AB=6.∵∠ANM=90°,∴∠CAM=∠AMN=45°.∴MN=AN.由Rt△CNM∽Rt△CAB,得,∴.∴MN=2.15.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标;(2)将△ABC向右平移6个单位,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;(3)观察△A1B1C1与△A2B2C2,它们是否关于某直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.解:(1)△A1B1C1如图,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).(2)△A2B2C2如图.A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x=3对称.如图.。
初中数学 图形变换模块8-2 旋转讲义(含答案解析)
旋转题型练题型一生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．例1.下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；②传送带的移动，是平移现象；③方向盘的转动，是旋转现象；④水龙头开关的转动，是旋转现象；⑤钟摆的运动，是旋转现象；⑥荡秋千运动，是旋转现象．变式11.小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印______（填“能”或“不能”）通过旋转与右手手印完全重合在一起．【答案】不能．【解析】【分析】根据旋转的性质判断．【详解】不能重合，因为无论怎么旋转，两个图形都不能重合．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．故答案为：不能．【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，关键是理解旋转的定义(在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转)．题型二旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．例2.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A度数为（）A.45°B.55°C.65°D.75°【解析】解：依题意，得∠DCA′＝35°，在△DCA′中，∠A′DC＝90°，则∠A′＝90°－∠DCA′＝90°－35°＝55°，由旋转的性质，得∠A＝∠A′＝55°．变式22.下列正确描述旋转特征的说法是（）A.旋转后得到的图形与原图形形状与大小都发生变化．B.旋转后得到的图形与原图形形状不变，大小发生变化．C.旋转后得到的图形与原图形形状发生变化，大小不变．D.旋转后得到的图形与原图形形状与大小都没有变化．【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质，旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状．【详解】由旋转的性质可知，旋转不改变图形的大小和形状，正确说法是D，故选D.题型三旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．例3.等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少度，能够与本身重合．【解析】等边三角形的三边中线的交点就是等边三角形的中心，等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少120度，能够与本身重合．变式33.如图，将它旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可以是（）A.30B.60C.90D.120【答案】C【解析】【详解】分析：这个图形平分成4部分，则旋转的角度是3604=90°，或90度的整数倍能够与原来的图形重合．解答：解：依题意可得旋转的角度是3604=90°．故选C．题型四作图－旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．例44.将AOB 绕点O 旋转180 得到DOE ，则下列作图正确的是（）A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把一个图形绕某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.【详解】解：观察选项中的图形，只有D 选项为△ABO 绕O 点旋转了180°.【点睛】本题考察了旋转的定义.变式45.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC ；①将△ABC 向x 轴正方向平移5个单位得△A 1B 1C 1，②再以O 为旋转中心，将△A 1B 1C 1旋转180°得△A 2B 2C 2，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．【答案】见下图．【解析】【分析】明确平移的作图方法，中心对称的性质．【详解】将A、B、C按平移条件找到它的对应点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，就得到平移后的图形．成中心对称的两个图形，对称点都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可．【点睛】本题考查了平移的作图步骤、中心对称的性质．平移作图步骤：(1)分析题目要求，找出平移的方向和距离．(2)分析所作的图形，找出构成图形的关键点．(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点．(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母．中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．题型五坐标与图形变化－旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（－x，－y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．例5：在平面直角坐标系中，将点P（－3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为．解：如图所示，由图中可以看出点P ′的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．变式5.16.如图，将等边△AOB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 在第一象限，将等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是__________．【答案】(2)--【解析】【分析】先根据等边三角形的性质、点A 坐标求出点B 坐标，再根据点坐标关于原点对称规律：横坐标和纵坐标均变为相反数，即可得出答案．【详解】如图，作BH y ⊥轴于HAOB ∆ 为等边三角形，(0,4)A 12,602OH AH OA BOA ∴===∠=︒BH ∴==∴点B 坐标为2)等边AOB ∆绕点O 顺时针旋转180︒得到''AOB∆∴点'B 与点B 关于原点O 对称∴点'B 的坐标是(2)--故答案为：(2)--．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、图形旋转的性质等知识点，根据等边三角形的性质和点A 坐标求出点B 坐标是解题关键．变式5.27.第一次：将点A 绕原点O 逆时针旋转90︒得到1A ；第二次：作点1A 关于x 轴的对称点2A ；第三次：将点2A 绕点O 逆时针旋转90︒得到3A ；第四次：作点3A 关于x 轴的对称点4A …，按照这样的规律，点2021A 的坐标是（）A.(3,2)- B.(2,3)- C.(2,3)-- D.(3,2)-【答案】B【解析】【分析】先根据旋转变换和轴对称变换得出1(2,3)A -、2(2,3)A --、3(3,2)A -、4(3,2)A 、5(2,3)A -，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得．【详解】由题意可知，1(2,3)A -、2(2,3)A --、3(3,2)A -、4(3,2)A 、5(2,3)A -，∴每4个点的坐标为一周期循环，∵202142020÷=余1，∴点2021A 的坐标与点1A 的坐标一致，为(2,3)-，故选：B ．【点睛】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律．题型六作图－旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．例6：如图，已知点A ，B 的坐标分别为（4，0），（3，2）．（1）将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到△EOF （点A 对应点E ）．画出△EOF ；（2）点F 的坐标是．解：（1）如图，△EOF 为所作；（2）点F 的坐标为（－2，3）．变式68.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABO 的三个顶点都在格点上．（1）以O 为原点建立直角坐标系，点B 的坐标为()3,1-，则点A 的坐标为；（2）画出ABO 绕点O 顺时针旋转90°后的11OA B 【答案】（1）（-2，3）；（2）见详解【解析】【分析】（1）利用B 点坐标作出直角坐标系，从而得到A 点坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 的对应点A 1、B 1即可．【详解】解：（1）根据B 点坐标可得出原点位置为O 点，建立如图所示的直角坐标系，点A 的坐标为（-2，3）；故答案为（-2，3）；（2）如图，△OA 1B 1为所作．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．题型七利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．例7：如图，请你观察图形，它可以看做是由哪个基本图形、通过怎样的旋转得到的？解：∵先连接OA，OB，则∠AOB＝60°，∴此图案可看作是基本图案绕点O旋转60°得到的．变式79.在一次黑板报的评选中，九年级()1班获得了第一名，其中小颖同学的图案得到了大家的一致好评．她设计的图案是由如图所示的三角形图案绕上面的点O按同一个方向依次旋转90 ，180 ，270 得到的图形组成的，请你画出这个图案，并描述这个图案像什么．【答案】详见解析.【解析】【分析】根据题意分别将三角形图案绕上面的点O按同一个方向依次旋转90°，180°，270°得出即可．【详解】如图所示：这个图案像风车．【点睛】本题主要考查了旋转变换，根据题意得出旋转后对应点位置是解题的关键．题型八中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．例8：关于某一点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过，并且被平分．解：根据中心对称的性质，得对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．故答案为：对称中心，对称中心平分变式810.如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.【答案】（2,1）【解析】【分析】观察图形，根据中心对称的性质即可解答.【详解】∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为（2，1）．【点睛】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．题型九中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．例911.下面4个图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据中心对称图形的概念知A是中心对称图形，故选A．考点：中心对称图形．变式912.下列语句正确的是()A.线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合，那么线段是中心对称图形B.正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合，则正三角形是中心对称图形C.正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，则正方形是中心对称图形D.正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合，则正五角星是中心对称图形【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义依次分析各项即可【详解】解：根据中心对称图形的定义可知A正确，B、C、D错误，故选A考点：本题考查的是中心对称图形【点睛】解答本题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．题型十关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（－x ，－y ）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．例1013.在平面直角坐标系中，点A （1，2）关于原点的对称点的坐标是（）A.（﹣2，﹣1）B.（﹣1，2）C.（1，﹣2）D.（﹣1，﹣2）【答案】D 【解析】【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），然后直接作答即可．【详解】根据中心对称的性质，可知：点A （1，2）关于原点O 中心对称的点的坐标为（-1，-2）．故选D ．【点睛】此题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．变式1014.点A （－3，1）关于x 轴对称的点的坐标为____，关于y 轴对称的点的坐标为______，关于原点对称的点的坐标为_____．【答案】①.()3,1--②.()3,1③.()3,1.-【解析】【分析】关于x 轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于原点对称的两个点横坐标，纵坐标都互为相反数，根据以上特点可得答案.【详解】解：点A （－3，1）关于x 轴对称的点的坐标为()3,1--，关于y 轴对称的点的坐标为()3,1，关于原点对称的点的坐标为()3,1.-故答案为：()3,1--，()3,1，()3,1.-【点睛】本题考查的是坐标系内点关于坐标轴与原点对称的坐标规律，掌握对称的点的坐标规律是解题的关键.实战练15.如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD ＝90°，则∠D 的度数是__________°．【答案】60【解析】【详解】本题考查了旋转性质的运用.由旋转角∠AOC=40°，∠AOD=90°，可推出∠COD 的度数，再根据点C 恰好在AB 上，OA=OC ，∠AOC=40°，计算∠A ，利用内角和定理求∠B ，根据对应关系可知∠D=∠B ．解：由旋转的性质可知，∠AOC=40°，而∠AOD=90°，∴∠COD=90°-∠AOC=50°又∵点C 恰好在AB 上，OA=OC ，∠AOC=40°，∴∠A=1802AOC-∠ =70°，由旋转的性质可知，∠OCD=∠A=70°在△OCD 中，∠D=180°-∠OCD-∠COD=60°．16.如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm 2，∠AOB =120°，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】4cm 2【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】每个叶片的面积为4cm 2，因而图形的面积是12cm 2．∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，因而图中阴影部分的面积之和为4cm 2．故答案为4cm 2．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．17.如图，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2cm ，弧OA 与弧OC 关于点O 成中心对称，则AB 、BC 、弧CO 、弧OA 所围成的面积是_______cm 2．【答案】2【解析】【详解】由弧OA 与弧OC 关于点O 中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．解：连接AC．∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，∴点O为AC的中点，∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积=△BAC的面积=2×2÷2=2cm2．故答案为：218.已知a＜0，则点P（a2，﹣a+3）关于原点的对称点P1在第_____象限．【答案】三【解析】【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标.根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，求得点P（a2，-a+3）关于原点对称点的坐标是（-a2，a-3），再判定横纵坐标与0的关系，最后即可确定所在的象限．【详解】解：∵点P（a2，-a+3）关于原点对称点的坐标是（-a2，a-3），又∵a＜0，∴-a2＜0，a-3＜0，∴（-a2，a-3）在第三象限，故答案为三．19.若点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，那么点A在第_____象限．【答案】二．【解析】【分析】根据点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，列方程求得x，y的值，结果可得．【详解】解：∵点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，∴﹣3﹣（2x﹣1）＝4﹣（﹣3），解得：x＝﹣92，∴点A（﹣10，5），∴点A在第二象限，故答案为：二．【点睛】本题考查轴对称及平面直角坐标系内点的坐标特征,熟练掌握相关知识是解题关键.20.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选D．考点：旋转的性质．21.在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A.（4，﹣4）B.（4，4）C.（﹣4，﹣4）D.（﹣4，4）【答案】D【解析】【分析】首先利用平移的性质得出P1(4,4)，再利用旋转变换的性质可得结论.【详解】∵P(−5,4)，点P(−5,4)向右平移9个单位得到点P1∴P1(4,4)，∴将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是(﹣4，4)，故选D．【点睛】本题考查平移的性质和旋转变换的性质，解题的关键是掌握平移的性质和旋转变换的性质.22.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选：A．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．23.已知点A（2，﹣2），如果点A关于x轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是（）A.（2，2）B.（﹣2，2）C.（﹣1，﹣1）D.（﹣2，﹣2）【答案】D【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于原点的对称点是（-x，-y）．【详解】A 关于x 轴的对称点是B 的坐标是(2,2)，∵点B 关于原点的对称点是C ，∴C 点的坐标是(−2,−2).故选D.【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标,关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟练掌握对称的特征是解题的关键.24.如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上任意一点，延长BA 到F ，使得AF ＝AE ，连接DF ：（1）旋转△ADF 可得到哪个三角形？（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？（3）BE 与DF 的数量关系、位置关系如何？为什么？【答案】（1）,ABE （2）旋转中心是点,A 顺时针旋转了90︒，（3）,,BE DF BE DF =⊥理由见解析.【解析】【分析】（1）由正方形的性质与AF AE =可得答案；（2）由旋转前后的对应点的位置可确定旋转中心与旋转角，从而可得答案；（3）如图，延长BE 交DF 于,G 先证明,ADF ABE ≌再利用全等三角形的性质可得结论.【详解】解：（1）旋转ADF 可得,ABE （2）旋转中心是点,A 顺时针旋转了90.︒（3）,,BE DF BE DF =⊥理由如下：如图，延长BE 交DF 于,G 四边形ABCD 是正方形，,90,AD AB DAB ∴=∠=︒90,DAF ∴∠=︒,DAF BAE ∴∠=∠,AF AE = ,ADF ABE ∴ ≌,,DF BE ADF ABE ∴=∠=∠90,BAE ∠=︒ 90,ABE AEB ∴∠+∠=︒,AEB DEG ∠=∠ 90,DEG GDE ∴∠+∠=︒90,.EGD BE DF ∴∠=︒⊥【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.25.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC ；①将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，②再以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．【答案】见下图．【解析】【分析】明确平移的作图方法，中心对称的性质．【详解】将A、B、C按平移条件找到它的对应点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，就得到平移后的图形．成中心对称的两个图形，对称点都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可．【点睛】本题考查了平移的作图步骤、中心对称的性质．平移作图步骤：(1)分析题目要求，找出平移的方向和距离．(2)分析所作的图形，找出构成图形的关键点．(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点．(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母．中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．26.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．【答案】（1）图形见解析；（2）P点坐标为（32，﹣1）．【解析】【分析】（1）分别作出点A、B关于点C的对称点，再顺次连接可得；由点A的对应点A2的位置得出平移方向和距离，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接可得；（2）连接A1A2、B1B2，交点即为所求．【详解】（1）如图所示：A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0）；A2（0，-4）、B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4）．（2）将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，旋转中心的P 点坐标为（32，﹣1）．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，解题关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．27.如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （－2，－4），B （0，－4），C （2，－1）．（1）画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）直接写出点A 1，C 1的坐标分别为．【答案】（1）画图见解析，（2）()()114,2,1,2.A C -【解析】【分析】（1）分别确定,,A B C 绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点111,,A B C ，再顺次连接111,,A B C 即可得到答案；（2）根据11,A C 在平面直角坐标系内的位置直接写出坐标即可.【详解】解：（1）如图，111A B C △即为所求作的三角形，（2）由图可得：()()114,2,1,2.A C -故答案为：()()114,2,1,2.A C -【点睛】本题考查的是旋转的作图，旋转的特点，掌握利用旋转的特点作图是解题的关键.28.Q （0，0）关于原点的对称点是（0，0），它就是原点本身．已知A （a ＋b ，3）与B （－5，b ）关于原点对称，求a ＋b 2的值．【答案】17.【解析】【分析】关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，从而可列方程组，再解方程组即可得到答案.【详解】解： A （a ＋b ，3）与B （－5，b ）关于原点对称，5{,3a b b +=∴=-解得：8{,3a b ==-()228317.a b ∴+=+-=【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握“关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”是解题的关键.29.如图，在ABC 中，D 为BC 上任一点，//DE AC 交AB 于点//E DF AB ，交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：根据题意推知四边形AEDF 是平行四边形，则该四边形关于点O 对称．试题解析：证明：如图，连接EF 交于点O ．//DE AC 交AB 与//E DF AB ，交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴点E F ，关于AD 的中点对称．30.（1）画图：图①为正方形网格，画出ABC 绕点O 顺时针．．．旋转90︒后的图形．（2）尺规作图：在图②中作出四边形ABCD 关于点O 对称的图形（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）连结OA、OB、OC，将OA、OB、OC绕着点O顺时针旋转90°得OD，OE，OF，顺次连接即可；（2）连结AO、BO、CO、DO并延长，在延长线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，D′O=DO，顺次连接即可．【详解】解：（1）连结OA、OB、OC，将OA、OB、OC绕着点O顺时针旋转90°得OD，OE，OF，顺次连结DE，EF，FD，如图①，则DEF为所求；（2）连结AO、BO、CO、DO并延长，在延长线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，D′O=DO，顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A'，''''为所求．如图②，四边形A B C D【点睛】本题考查旋转作图，中心对称作图问题，掌握旋转作图与中心对称作图的方法与步骤是解题关键．。
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析
初二数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC与DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°。
（1）如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，DE交BC于点F，则线段DF与AC有怎样的关系？请说明理由。
（2）当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2。
猜想：S1与S2有怎样的数量关系？并证明你的猜想。
【答案】(1) DF∥AC;(2) S1=S2.【解析】（1)根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；（2）过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，先依据ASA求得△ACM≌△DCN求得AM=DN，然后根据等底等高的三角形面积相等．试题解析：（1）DF∥AC；解：如图②所示，∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，∴∠A=∠CDE=60°，∵AC=DC，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°=∠CDE，∴DF∥AC，∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，∴DF=DC=AC；（2）猜想：S1=S2；证明：过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，∵∠ECD=90°，∴∠DCM=90°∴∠DCN=90°-∠NCM，又∵∠ACM=90°-∠NCM，∴∠ACM=∠DCN，在△ACM与△DCN中∠ACM＝∠DCNAC＝CD∠AMC＝∠DNC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴AM=DN，又∵CE=BC，∴BC•DN=CE•AM，即S1=S2．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．2.下列图形中，是轴对称图形的有( ) 个①角；②线段；③等腰三角形；④直角三角形；⑤圆；⑥锐角三角形A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此，是轴对称图形的有①角；②线段；③等腰三角形；⑤圆4个. 故选C．【考点】轴对称图形．3.下面四个图案中，是轴对称图形的是A. B. C. D.【答案】D.【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．考点: 轴对称图形.4.如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（）A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°【答案】A【解析】∵△和△都是等腰直角三角形，∴∠∠.又∵△绕着点沿逆时针旋转度后能够与△重合，∴旋转中心为点，旋转角度为45°，即45.若把图（1）作为“基本图形”绕着点沿逆时针旋转度可得到图（2），则454590，故选A．5.作一直线，将下图分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．【答案】见解析【解析】解：将此图形分成两个矩形，分别作出两个矩形的对角线的交点，，则，分别为两矩形的对称中心，过点，的直线就是所求的直线，如图所示.6.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】其中第一、三、四既是轴对称图形又是中心对称图形，第二个图形只是轴对称图形，故选C.7.在平面直角坐标系中，已知△OAB，A(0，-3)，B(-2，0)．（1）在图1中画出△OAB关于x轴的轴对称图形；（2）将先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，在图2中画出平移后的图形；（3）点A平移后的坐标为 .【答案】（1）（2）如下图；（3）（3，-2）．【解析】（1）根据轴对称的性质作出关键点的对称点，再顺次连接即可得到结果；（2）先将O、A、B分别按要求平移，然后顺次连接即可得出平移后的图形；（3）根据所作的图形即可得出平移后的点A的坐标．试题解析：（1）（2）如下图（3）点A平移后的坐标为：（3，-2）．【考点】坐标与图形变化8.已知点A（a，－5）与点B（－4，b）关于y轴对称，则a+b= ；【答案】-1.(-x，y),点A（a，－5）与点B（－4，b）关于y轴对【解析】P(x,y)关于y轴对称的点的坐标P1称,所以，a=4,b=-5,所以，a+b=-1.【考点】关于y轴对称的点的坐标.9.等腰三角形是轴对称图形，最多有条对称轴.【答案】3【解析】由题, 等腰三角形是轴对称图形，而等边三角形是等腰三角形,它有3条对称轴.轴对称图形的定义是图形按照某条直线对折后,图形重合,这条直线叫做图形的对称轴,由题, 等腰三角形是轴对称图形，而等边三角形是等腰三角形,它有3条对称轴.【考点】对称轴的定义.10.如图，直线MN和EF相交于点O，∠EON=45°，AO=2，∠AOE=15°，设点A关于EF的对称点是B，点B关于MN的对称点是C，则AC的距离为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠BON=∠NOC=30°，进而利用勾股定理得出即可．解：∵∠EON=45°，AO=2，∠AOE=15°，点A关于EF的对称点是B，点B关于MN的对称点是C，∴∠A0E=∠EOB，∠BON=∠NOC，AO=BO=CO=2，∴∠AOB=∠BON=∠NOC=30°，∴∠AOC=90°，则AC的距离为：=2．故选：D．点评：此题主要考查了轴对称图形的性质，根据已知得出∠A0E=∠EOB，∠BON=∠NOC，AO=BO=CO=2是解题关键．11.下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．正三角形C．矩形D．等腰梯形【答案】C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选C．点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12.下列几何图形中：（1）平行四边形；（2）线段；（3）角；（4）圆；（5）正方形；（6）任意三角形．其中一定是轴对称图形的有_____________．【答案】（2）（3）（4）（5）【解析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．由题意其中一定是轴对称图形的有（2）线段；（3）角；（4）圆；（5）正方形.【考点】轴对称图形的定义点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成．13.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
中考复习之图形的旋转经典题(含答案)
图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+67．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______．16．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______．三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．20．（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．22．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B 的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016•宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016•莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016•呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016•无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B 点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016•和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春•雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015•浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016•邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016•高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016•海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016•太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016•怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS 得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016•丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016•呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春•重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P 在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋•五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋•苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋•利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋•江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．，【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB 中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB 中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．21。
初中旋转试题及答案
初中旋转试题及答案在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何概念。
它涉及到图形的平移、旋转和缩放等变换。
以下是一份初中旋转试题及答案，旨在帮助学生掌握旋转的基本概念和计算方法。
试题一：一个点A(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90度后，点A的新坐标是什么？答案：当一个点绕原点顺时针旋转90度时，它的坐标会互换并改变符号。
因此，点A(3,4)旋转后的新坐标为(4,-3)。
试题二：一个矩形ABCD，其中A(1,2)，B(5,2)，C(5,6)，D(1,6)，绕点A顺时针旋转90度后，矩形的新位置是什么？答案：矩形ABCD绕点A顺时针旋转90度后，点B(5,2)变为(2,5)，点C(5,6)变为(6,5)，点D(1,6)变为(6,1)。
因此，旋转后的矩形顶点坐标为A(1,2)，B(2,5)，C(6,5)，D(6,1)。
试题三：一个等边三角形，顶点分别为E(0,0)，F(3,0)，G(1.5,3)，绕点E逆时针旋转120度后，三角形的新位置是什么？答案：等边三角形EFG绕点E逆时针旋转120度后，点F(3,0)变为(0,3)，点G(1.5,3)变为(-1.5,1.5)。
因此，旋转后的等边三角形顶点坐标为E(0,0)，F(0,3)，G(-1.5,1.5)。
试题四：一个圆心在H(4,4)的圆，半径为5，绕点H逆时针旋转45度后，圆的位置会如何变化？答案：圆心H(4,4)的圆绕圆心逆时针旋转45度后，圆的位置不会改变，因为旋转是围绕圆心进行的。
圆心坐标仍然是H(4,4)，半径仍然是5。
试题五：一个正方形IJKL，其中I(2,1)，J(3,1)，K(3,2)，L(2,2)，绕点I逆时针旋转45度后，正方形的新位置是什么？答案：正方形IJKL绕点I逆时针旋转45度后，点J(3,1)变为(2.707,0.707)，点K(3,2)变为(2,2.414)，点L(2,2)变为(1.293,1.707)。
因此，旋转后的正方形顶点坐标为I(2,1)，J(2.707,0.707)，K(2,2.414)，L(1.293,1.707)。
初二数学专题：旋转题型含答案
旋转专题（含解析）1、将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2、如图，在平面直角坐标系中将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，设点A1的坐标为（m，n），则点A 的坐标为（）A．（﹣m，﹣n） B．（﹣m，﹣n﹣2） C．（﹣m，﹣n﹣1） D．（﹣m，﹣n+1）3、如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°4、大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中既是轴对称，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )6、下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（）A. B. C. D.7、在下面的汽车标志图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形有（）A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个8、如图，在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是A.点AB.点BC.点CD.点D9、在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2016次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．10、在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为．11、下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有个．12、如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．13、如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，求△DCE的面积．14、如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．15、在中, , 将绕点顺时针旋转角, 得, 交于点,分别交于两点.(1) 在旋转过程中, 线段与有怎样的数量关系? 证明你的结论;(2) 当时, 试判断四边形的形状, 并说明理由;(3) 在(2)的情况下, 求线段的长.参考答案一、选择题1、D【考点】旋转对称图形．【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．故选D．2、B【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】设点A的坐标为（x，y），然后根据中心对称的点的特征列方程求解即可．【解答】解：设点A的坐标为（x，y），∵△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，点A1的坐标为（m，n），∴=0，=﹣1，解得x=﹣m，y=﹣n﹣2，所以，点A的坐标为（﹣m，﹣n﹣2）．故选B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握中心对称的点的坐标特征是解题的关键．3、C 【考点】旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．4、D【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确．故选D．5、B6、A7、A8、B二、填空题9、3024π．【考点】轨迹；旋转的性质．【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【解答】解：∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A的路线长是：=2π，转动第二次的路线长是：=π，转动第三次的路线长是：=π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，2016÷4=504，顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故答案为：3024．．10、（2，1）11、 2 个．三、简答题12、【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，∴AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．13、【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质得出△ACE≌△ABD得出AE=AD=5．CE=BD=6．∠DAE=60°，得出△ADE是等边三角形，因此DE=AD=5．作EH⊥CD垂足为H．设DH=x，由勾股定理得出方程，解方程求出DH，由勾股定理求出EH，即可得出△DCE 的面积．【解答】解：由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，∴AE=AD=5．CE=BD=6．∠DAE=60°．∴DE=5．作EH⊥CD垂足为H．设DH=x．由勾股定理得：EH2=CE2﹣CH2=DE2﹣DH2，即62﹣（4﹣x）2=52﹣x2，解得：x=，∴DH=，由勾股定理得：EH===，∴△DCE的面积=CD×EH=．【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，由勾股定理求出DH，EH是解决问题的关键．14、【考点】旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．【解答】（1）解：FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．【点评】此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．15、(1) =. 1分由旋转可证明, 或者, 所以可得结论; 3分(2) 四边形为菱形. 1分先证四边形为平行四边形, 再由, 所以得菱形; 2分(3) 过点作于, 在中, 可求得, 1分所以. 2分(也可从∠, 先求得, 再求得.)。
图形的旋转(分层练习)(解析版)-八年级数学 下册
第三章图形的平移与旋转3.2图形的旋转一、单选题1．（2023秋·广东珠海·七年级统考期末）下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成如图这种花瓶形状的几何体的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解．【详解】解：A．旋转后不是所需立体图形，故不符合题意；B．旋转后是圆柱体，不是所需立体图形，故不符合题意；C ．旋转后是所需立体图形，符合题意；D ．旋转后不是所需立体图形，故不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查平面图形与立体图形，理解并掌握平面图形旋转的性质，立体图形的形状特点是解题的关键．2．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，图形绕点O 旋转后可得到下列哪个图形（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可求解．【详解】解：将图形绕点O 顺时针旋转90 得到而其他选项的图形不能由原图形旋转得出，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．3．（2023秋·四川绵阳·九年级校联考期末）如图，在ABC 中，AB AC ，70ACB ，若将AC 绕点A 逆时针旋转60 后得到AD ，连接BD 和CD ，则BDC （）A ．19B ．20C ．21D ．22 【答案】B 【分析】由已知条件可求出CAB 的度数，根据旋转的性质可得ACD 为等边三角形，可求出BAD 、ADC 的度数以及得到AB AD ，进而求出ADB 的度数，由角的和差关系可得BDC 的度数．【详解】由旋转得：AC AD ，60CAD ，∴ACD 为等边三角形，∴60ADC ，∵AB AC ，70ACB ，∴AB AD ，ACB ABC Ð=Ð，∴180240CAB ACB ，604020BAD CAD CAB ，∵AB AD ，∴(18020)280ABD ADB ，∴806020BDC ADB ADC ．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，依据性质求角度是解题的关键．4．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）如图，将三角形AOB 绕点O 按逆时针方向旋转40°后得到三角形COD ，若10AOB ＝，则AOD 的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．65°【答案】B 【分析】根据旋转的性质确定旋转角，再由AOD AOB BOD 求解即可．【详解】根据旋转的性质可知：40BOD ，又10AOB＝104050AOD AOB BOD ，故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质，根据题意确定旋转角是解题关键．5．（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB 可以看作是将DCE △绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是（）A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(2,1)D ．(2,2)【答案】D 【分析】根据旋转中心到对应点距离相等，可知旋转中心是OC 、BE 的垂直平分线的交点．【详解】解：如图，旋转中心是OC 、BE 的垂直平分线的交点，旋转中心的坐标为(2,2)，故选D ．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，明确旋转中心到对应点距离相等是解题的关键．6．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）AOB 绕点O 逆时针旋转65 后得到COD △，若30AOB ，则BOC 的度数是（）A ．25B ．30C ．35D ．65 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得65AOC BOD ，结合30AOB ，即可求BOC 的度数．【详解】解：∵AOB 绕点O 逆时针旋转65°得到COD △，∴65AOC BOD ，∵30AOB ，∴35BOC AOC AOB ，故选C ．【点睛】本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键．二、填空题7．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期末）如图，如果三角形BCD 旋转后能与等边三角形ABC 重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有_______个．【答案】3【分析】根据三角形BCD 旋转后能与等边三角形ABC 重合，确定旋转中心，即可得到答案．【详解】解：以点B 为旋转中心，BCD △顺时针旋转60 ，能与等边三角形ABC 重合；以C 为旋转中心，BCD △逆时针旋转60 ，能与等边三角形ABC 重合；以BC 的中点为旋转中心，BCD △旋转180 ，能与等边三角形ABC 重合；则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个．故答案为：3【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键．8．（2023秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，点A ，B 的坐标分别为 1,1、 3,2，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90 ，得到A B C ，则B 点的坐标为________．【答案】0,3【分析】根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出B 的坐标．【详解】解：如图，根据图形可得：点B 坐标为 0,3，故答案为： 0,3．【点睛】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答．9．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，将等边三角形CBA 绕点C 顺时针旋转 得到CB A ⅱV ，使得B ，C ，A 三点在同一直线上，则 ___________________．【答案】120 ##120度【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质，利用180ACB ，求出ACA 的度数，即为 的度数．【详解】解：∵将等边三角形CBA 绕点C 顺时针旋转 得到CB A ⅱV ，∴ACA ，60ACB ，∵B ，C ，A 三点在同一直线上，∴180120ACA ACB ；故答案为：120 ．【点睛】本题考查求旋转角，等边三角形性质．熟练掌握对应点与旋转中心形成的夹角即为旋转角，是解题的关键．10．（2023秋·广西南宁·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ，4AC ，3BC ，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到AB C △，使点B 在AC 的延长线上，则B C 的长为________.三、解答题11．（2022秋·广西钦州·九年级校考阶段练习）如图，下列的图案是由什么基本图案经怎样的旋转得到的，把它画出来？【答案】见解析【分析】根据旋转的性质进行求解即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）；以上基本图案绕着对称轴旋转一周得到．【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质正确作图是解本题的关键．12．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1.(1)画出将ABC 绕点O 顺时针方向旋转90 后得到的A B C ；(2)请直接写出A ，B ，C 三点的坐标．【答案】(1)见解析(2) 4,0A ， 0,1B ，2,2C【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A ，B ，C 即可；（2）根据点的位置写出坐标即可．【详解】（1）解：如图，A B C 即为所求；（2）解：由坐标系中图形的位置可知： 4,0A ， 0,1B ， 2,2C ．【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．提升篇一、填空题1．（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为 0,6，点B 的坐标为 8,0，连接AB ，若将Rt ABO △绕点B 顺时针旋转90 ，得到Rt A BO △，则点A 的坐标为___________．【答案】14,8【分析】根据旋转的性质，得到8,6O B OB O A OA ，90,90OBO BO A BOA ，得到 8,8O ，O A x ∥，进而求出A 的坐标即可．【详解】解：∵点A 的坐标为 0,6，点B 的坐标为 8,0，∴6,08OA B ，∵将Rt ABO △绕点B 顺时针旋转90 ，得到Rt A BO △，∴8,6O B OB O A OA ，90,90OBO BO A BOA ，∴90OBO BO A ， 8,8O ，∴O A x ∥轴，∴ 86,8A ，即： 14,8A ；故答案为： 14,8．【点睛】本题考查坐标轴下的旋转．熟练掌握旋转的性质，利用数形结合的思想求解，是解题的关键．2．（2023秋·广西柳州·九年级统考期末）如图，在ABC 中，108BAC ，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C △．若点B 恰好落在BC 边上，且AB CB ，则C 的度数为________．【答案】24【分析】设C x ，根据题意可得AB AB B C ，根据等边对等角可得，C CAB ，B AB B ，利用三角形外角的性质可得2AB B C ，根据题意，列方程求解即可．【详解】解：设C x ，根据旋转的性质可得AB AB B C则C CAB ，B AB B ，∴22B AB B C x ，由180BAC B C 可得1082180x x ，解得24x ，即24C 故答案为：24【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．3．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）如图，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB ，将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90 ，得到CBE △(点A 的对应点为点)C ，连接DE ，延长AE 交CE 于点F ，则四边形BE FE 为正方形，若15AB ，3CF ，则DE 的长为____________．则90DGA AEB ，20cm BC ．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60 ，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是______．由题意得，EDF 20cm BC DF ，根据O 是边()BC DF 的中点，可得：∵ABC 绕点O 顺时针旋转∴60BOD NOF旋转180 ，得到11O AB △，再将11O AB △绕点1O 旋转180 ，得到112O A B △，再将112O A B △绕点1A 旋转180 ，得到213O A B △，……，按此规律进行下去，若点(2,0)B ，则点6B 的坐标为___________．【答案】(8,63)【分析】根据中心对称的性质，可得1(0,23)B ，1(2,23)O ，再根据1B 、2B 、3B ……的坐标，根据规律即可得出答案．【详解】解：∵ABO 是等边三角形，(2,0)B ，∴2OB OA AB ，60AOB ．过点A 作AM OB ，交OB 于点M ，交11O B 于点N ，∴30OAM ，∴112OM OA ，∴22213AM ，∴(1,3)A ，∵将等边OAB 绕点A 旋转180 ，得到11O AB △，∴11AO B AOB ≌，∴111,2AN AM O B OB ，∴1(0,23)B ，1(2,23)O ，同理2(4,23)B ，3(2,43)B ，4(6,43)B ，5(4,63)B ，6(8,63)B ，故答案为：(8,63)．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，以及直角三角形的性质，规律问题，根据题意，找到图形变化的规律是解题的关键．二、解答题6．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 1,0A ， 3,4B ， 2,4C ， 6,6D ．(1)沿水平方向移动线段AB ，使点A 和点C 的横坐标相同，画出平移后所得的线段11A B ，并写出点1B 的坐标；(2)将线段11A B 绕某一点旋转一定的角度，使其与线段CD 重合（点1A 与点C 重合，点1B 与点D 重合），请作出旋转中心点P ．【答案】(1)图见解析，点1B 的坐标为(0,4)(2)见解析【分析】（1）利用C 点的横坐标为2，把AB 向右平移2个单位即可；（2）作1CA 与1DB 的垂直平分线，它们的交点为P ．【详解】（1）如图，线段11A B 为所作，点1B 的坐标为(0,4)；（2）如图，点P 为所作．【点睛】本题考查了平移作图，以及旋转中心的确定方法：把旋转前后重合的点看成是两图的对应点；找出两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点就是旋转中心．7．（2023春·江苏泰州·八年级校考周测）如图，ABC 中，点E 在BC 边上，AE AB ，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ，连接EF ，EF 与AC 交于点G．(1)求证：EF BC ；(2)若65ABC ，28ACB ，求FGC 的度数．【答案】(1)见解析(2)78【分析】（1）由旋转的性质可得AC AF ，利用SAS 证明ABC AEF ≌△△，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF BC ；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出18065250BAE ，那么50FAG ．由ABC AEF ≌△△，得出28AFE ACB ，再根据三角形外角的性质即可求出78FGC FAG AFG ．【详解】（1）证明：∵CAF BAE ，∴BAC EAF ．∵将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，∴AC AF ．在ABC 与AEF △中，AB AE BAC EAF AC AF，∴ABC AEF ≌△△（SAS ），∴EF BC ；（2）解：∵AB AE ，65ABC ，∴AEB ABC ，∴18065250BAE ，∴50FAG BAE ．∵ABC AEF ≌△△，∴28AFE ACB ，∴502878FGC FAG AFG ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明ABC AEF ≌△△是解题的关键．8．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂长AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD ，10DM ．(1)在旋转过程中：①当A 、D 、M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A 、D 、M 三点是同一直角三角形的顶点时，求AM 的长．(2)若摆动臂AD 顺时针旋转90 ，点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2D 处，连接12D D ，如图2，此时2BD 260CD ，求2 AD C 的度数．【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形及其逆定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．。
专题02 图形的旋转(七大类型)(题型专练)(解析版)
专题02 图形的旋转（七大类型）【题型1 生活中的旋转现象】【题型2 利用旋转的性质求角度】【题型3 利用旋转的性质求线段长度】【题型4 旋转中的坐标与图形变换】【题型5 作图-旋转变换】【题型6 旋转对称图形】【题型7 旋转中周期性问题】【题型1 生活中的旋转现象】1．（2023春•沭阳县月考）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）A．钟表上的时针运动B．城市环路公共汽车C．地球绕太阳转动D．将等腰三角形沿着底边上的高对折【答案】A【解答】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项正确；B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项错误；C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项错误；D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项错误；故选：A．2．（2022秋•隆安县期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）A．飞驰的动车B．匀速转动的摩天轮C．运动员投掷标枪D．乘坐升降电梯【答案】B【解答】解：由题意知，匀速转动的摩天轮属于旋转，故选：B．3．（2021秋•栖霞市期末）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、B、C这三个图都只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D 既可经过平移，又可经过旋转得到，故选：D．4．（2022春•诏安县期中）下列现象不是旋转的是（ ）A．传送带传送货物B．飞速转动的电风扇C．钟摆的摆动D．自行车车轮的运动【答案】A【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A【题型2 利用旋转的性质求角度】5．（2023春•肃州区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）A．30°B．60°C．90°D．150°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋转角度为60°．故选：B．6．（2023春•曹县期末）如图，△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，点E落在BC边上，连接BD，当BD⊥BC时，∠ABC的度数为（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝50°，∴∠ABD＝∠ADB＝＝65°，又∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝90°﹣65°＝25°，故选：B．7．（2023春•顺德区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数为（ ）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，故选：B．8．（2023春•惠安县期末）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD．若点A、D、E在同一条直线上，则∠CAD的度数为（ ）A．.100°B．.90°C．.80°D．.110°【答案】A【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD，∴∠EBA＝80°，BE＝BA，∠CAB＝∠E，∴∠E＝∠BAE＝∠CAB，∵∠CAD＝∠CAB+∠BAE，∴∠CAD＝∠BAE+∠E，∵∠EBA＝80°，∴∠E+∠BAE＝100°，即∠CAD＝100°，故选：A．9．（2023•普兰店区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）A．50°B．60°C．40°D．30°【答案】A【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故选：A．10．（2023•小店区校级一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC'∥AB，划∠BAB′的度数是（ ）A．35°B．40°C．50°D．70°【答案】B【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠C′AB′＝∠CAB＝70°，AC′＝AC，∴∠C＝∠AC′C＝∠C′CA＝70°，∴∠C′AC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠C′AC＝∠BAB′＝40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．【题型3 利用旋转的性质求线段长度】11．（2023•扎兰屯市一模）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝1，将△CDP 绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（ ）A．1B．C．2D．2【答案】B【解答】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，∴∠BCD＝∠PCE＝90°，PC＝CE＝1，∴PE＝＝＝，故选：B．12．（2023春•沈河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（ ）A．4B．2C．3D．【答案】B【解答】解：如图，连接BB'，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，∵∠A＝60°，∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，∴∠BCB'＝60°，∴△BCB'是等边三角形，∴BB'＝BC，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BC＝＝＝2，∴BB'＝2，故选：B．13．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为边AB上一点，且，将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，连接CE，则点M到直线CE的距离是（ ）A．2B．C．5D．【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∵，∴BM＝3，在Rt△BMC中，由勾股定理得，CM＝＝5，∵将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，∴CM＝CE＝5，∴BE＝2，在Rt△CBE中，由勾股定理得，CE＝＝2，设点M到直线CE的距离为h，则S＝，△MCE∴h＝，∴点M到直线CE的距离是2，故选：D．14．（2023•阿荣旗一模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）A．B．C．1D．2【答案】C【解答】解：如图：OE交AB于点N，O交BC于点M，∵四边形ABCD和四边形OEFG是两个边长相等的正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BON＝∠MOC，在△OBN与△OCM中，，∴△OBN≌△OCM（ASA），∴S△OBN ＝S△OCM，∴四边形OMBN的面积等于△BOC的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，∴两个正方形的重合部分的面积＝，故选：C．15．（2023•凤阳县二模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF＝3，则BE的长为（ ）A．B．C．1D．2【答案】D【解答】解：∵将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．∴∠ADF＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠DAF＝∠GAB，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴点G、B、E共线，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠EAF＝∠GAE，∵AE＝AE，∴△EAF≌△EAG（SAS），∴EF＝EG，设BE＝x，则EF＝EG＝x+3，CE＝6﹣x，在Rt△ECF中，由勾股定理得，32+（6﹣x）2＝（x+3）2，解得x＝2，∴BE＝2，故选：D【题型4 旋转中的坐标与图形变换】16．（2023•沛县三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转90°得到点A'，则点A'坐标为（ ）A．（1，−）B．（−，1）C．（0，2）D．（，1）【答案】D【解答】解：如图所示，过A作AB⊥x轴于B，过A'作A'C⊥x轴于C，∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，∴∠BAO＝∠COA'，又∵AO＝OA'，∴△AOB≌△OA'C（AAS），∴A'C＝BO＝1，CO＝AB＝，∴点A′坐标为（，1），故选：D．17．（2023春•六盘水期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，﹣1），将OA绕原点按顺时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为（ ）A．（﹣6，1）B．（﹣1，﹣6）C．（﹣6，﹣1）D．（﹣1，6）【答案】B【解答】解：作BC⊥x轴于点C，∵点A的坐标为（6，﹣1），将OA绕原点顺时针方向旋转90°得OB，∴OB＝OA，∠BOC＝90°，∴点B的坐标为（﹣1，﹣6），故选：B．18．（2023•南海区校级三模）如图，A（2，0），C（0，4），将线段AC绕点A 顺时针旋转90°到AB，则B点坐标为（ ）A．（6，2）B．（2，6）C．（2，4）D．（4，2）【答案】A【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，∵A（2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∵∠AHB＝∠AOC＝∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠BAD＝90°，•∴∠ACO＝∠BAD，在△AOC和△BAD中，，∴△AOC≌△BAD（AAS），∴BD＝OA＝2，AD＝OC＝4，∴OD＝AD+OA＝6，∴C（6，2）．故答案为：A．19．（2023•商丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为（ ）A．（6，4）B．（4，3）C．（7，4）D．（8，6）【答案】C【解答】解：过A′作A'C⊥x轴于点C，由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，∴四边形O'BCA'为矩形，∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，∴OC＝OB+BC＝7，∴点A'坐标为（7，4）．故选：C．20．（2023•柘城县模拟）如图，平面直角坐标系中，A为第一象限一点，B（2，0），∠OBA＝120°，OB＝AB，将△OAB绕O点逆时针旋转30°，此时点A 的对应点A1的坐标为（ ）A．（3，）B．（，3）C．（2，2）D．（2，2）【答案】B【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点A1作A1H⊥OB于H．∵B（2，0），∠OBA＝120°，OB＝AB，∴∠AOB＝30°，∠ABD＝60°，AB＝OB＝2，∴AD＝AB＝，∴OA＝2AD＝2，∵OA1＝OA＝2，∴△OAB绕点O逆时针旋转30°得到△OA1B1，则∠A1OH＝60°，∴OH＝OA1＝，A1H＝OH＝3，∴点A1的坐标是（，3），故选：B．21．（2023•大冶市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（ ）A．（4，3）B．（4，4）C．（5，3）D．（5，4）【答案】C【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．∵A（1，0），B（﹣2，4），∴OA＝1，BE＝4，OE＝2，AE＝3，∵∠AEB＝∠AFC＝∠BAC＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，OF＝1+4＝5，∴C（5，3），故选：C．【题型5 作图-旋转变换】22．（2023•蜀山区校级三模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）见解答．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）如图所示，P即为所求．23．（2023•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；（2）将线段AB绕点A′顺时针旋转90°得到线段DE，画出线段DE．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求.（2）如图，线段DE即为所求．24．（2023春•崂山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为（1，2），请解答下列问题：（1）作出△ABC绕点O的逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）计算△A1B1C1的面积．【答案】（1）见解析；【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1的面积＝4×2﹣＝．25．（2022秋•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2）．（1）△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，请在图中画出△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点A1逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．【答案】（1）图见解析，C1的坐标为（4，1）；（2）图见解析，点C2的坐标为（2，﹣5）．【解答】解：（1）△A1B1C1如图，点C1的坐标为（4，1）；（2）解：△A2B2C2如图；点C2的坐标为（2，﹣5）．【题型6 旋转对称图形】26．（2023•东方校级二模）将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）A．B．【答案】C【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，∴作图正确的是C选项图形．故选：C．27．（2023•宁江区三模）下列图形绕某点旋转90°后，能与原来图形重合的是（ ）A．B．【答案】B【解答】解：A、绕它的中心旋转60°才能与原图形重合，故本选项不合题意；B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项符合题意；C、绕它的中心旋转180°能与原图形重合，故本选项不合题意；D、绕它的中心旋转120°能与原图形重合，故本选项不合题意．故选：B．35．（2023•海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）A．45B．60C．72D．144【答案】C【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．28．（2023•南关区校级三模）如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）平方厘米．A．2B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵三个叶片的总面积为12平方厘米，∴一个叶片的总面积为4平方厘米，∵∠AOB＝120°，∴阴影部分的面积之和一个叶片的总面积为4平方厘米，故选：B．29．（2022春•丰县月考）如图，以点O为旋转中心旋转如图所示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，是旋转角可以为（ ）A．60°B．180°C．90°D．120°【答案】D【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，即可得到∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，所以旋转120°或240°后与原图形重合．故选：D．30．（2021春•子洲县期中）将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（ ）A．90°B．120°C．180°D．270°【答案】B【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转90°所组成，故最小旋转角为90°．则该图形绕其中心旋转90°n（n取1，2，3…）后会与原图形重合．故这个角不能是120°．故选：B．31．（2022秋•澄海区期末）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 72 度时，旋转后的五角星能与自身重合．【答案】见试题解答内容【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72°．故答案为：72．【题型7 旋转中周期性问题】32．（2023•渠县校级模拟）如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形OA2023B2023C2023．若点A的坐标为（1，0），则点B2023的坐标为（ ）A．（1，﹣1）B．C．D．（﹣1，1）【答案】C【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，∴B（1，1），连接OB，如图：由勾股定理得：，由旋转的性质得：，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴，B 2（﹣1，1），，B4（﹣1，﹣1），，B 6（1，﹣1），…，发现是8次一循环，则2023÷8＝252…7，∴点B2023的坐标为；故选：C．33．（2023春•中原区校级期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．故选：B．34．（2023•叶县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x 轴上，点B（3，0），点D（1，2），将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，当第2023次旋转结束时，点C的坐标是（ ）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【答案】D【解答】解：由题可知，将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，∴每旋转4次则回到原位置，∵2023÷4＝505……3，∴第2023次旋转结束后，图形顺时针旋转了90°，∵点B（3，0），点D（1，2），∴C（3，2），∴第2023次旋转结束时，点C的坐标是（3，﹣2），故选：D．35．（2023春•迁安市期中）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点A′作x轴的垂线，垂足为C，如图所示：由A的坐标为可知：，AB＝3，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝60°，，由旋转性质可知：△AOB≌△A′OB′，∴∠A′OB′＝∠AOB＝60°，OA′＝OA，∴∠A′OC＝180°﹣∠A′OB′﹣∠AOB＝60°，在△A′OC与△AOB中：，∴△A′OC′≌△AOB（AAS），∴，A′C＝AB＝3，∴此时点A′对应坐标为，当第二次旋转时，如所示：此时A′点对应点的坐标为．当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为，当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A′点对应点中心对称，故坐标为，当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A′点对应点中心对称，故坐标为．第6次旋转时，与A点重合．故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．由于2023÷6＝337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，故第2023次旋转时，A点的对应点为．故选：D．36．（2023•太康县一模）如图，平面直角坐标系中，有一个矩形ABOC，边BO 在x轴上，边OC在y轴上，AB＝1，BO＝2．将矩形ABOC绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形A1B1OC1，再将矩形A1B1OC1，绕着点C1顺时针旋转90°得到矩形A2B2O1C1，依次旋转下去，则经过第2023次旋转，点A的对应点的坐标是（ ）A．（3033，1）B．（3033，2）C．（3033，0）D．（3032，0）【答案】C【解答】解：由题意，A1（1，2），A2（3，0），A3（3，0），A4（4，1），……，四次应该循环，∵2023÷4＝505…3，∴A2023在x轴上，坐标为（505×6+3，0），即（3033，0）．故选：C．37．（2023•鲁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转后，点B的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥y轴于H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝1，OH＝OA+AH＝3，由勾股定理得BH＝＝，∵AB＝OA＝2，∠OAB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2BH＝2，∴B（，3），B1（﹣，3），B2（﹣2，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），....，6次一个循环，∴2023÷6＝337……1，∴第2023次旋转后，点B的坐标为（﹣，3）．故选：D．38．（2023•阜新模拟）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转2024次后，点P的坐标为（ ）A．（6070，2）B．（6072，2）C．（6073，2）D．（6074，1）【答案】C【解答】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2024÷4＝506，P2024的纵坐标与P4相同为2，横坐标为1+12×506＝6073，∴P2024（6073，2）．故选：C．。
中考复习之图形的旋转经典题(含答案)
图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D 两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+67．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=55°，点D 在BC 边上，DB=2CD ，若将△ABC 绕点D 逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B 恰好落在初始位置时△ABC 的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______． 16．在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______． 三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CE=BC ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CF ，连接EF ．（1）补充完成图形；（2）若EF ∥CD ，求证：∠BDC=90°． 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2，并直接写出点B 2、C 2的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 和DE 的端点A 、B 、D 、E 均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB 为一边且面积为2的Rt △ABC ，顶点C 必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE 为一边，含有45°内角且面积为的△DEF ，顶点F 必须在小正方形的顶点上；（3）若点C 绕点Q 顺时针旋转90°后与点F 重合，请直接写出点Q 的坐标． 20．（1）如图（1），直线a ∥b ，A ，B 两点分别在直线a ，b 上，点P 在a ，b 外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论； （2）如图（2），直线a ∥b ，点P 在直线a ，b 直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度交直线b 于点M ，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC 绕C 旋转到△CBE 的位置（即过C 作CE ⊥CP ，且使CE=CP ，连接EP 、EB ）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数． 22．如图1，在等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A 上，从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．操作一：在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠BAM ，则AE 也平分∠MAC ．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016?玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016?宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C 落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016?朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016?莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016?呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016?无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD 沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016?和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春?雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015?浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016?邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016?高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016?海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016?太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120 ．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB 的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016?怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016?瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016?荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016?丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A 1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016?呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春?重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b 外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋?五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋?苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋?利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋?江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE ⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE ﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．。
中考复习之图形的旋转经典题(含答案)汇总
图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部C．边上 D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+67．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______．16．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______．三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．20．（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．22．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部C．边上 D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016•宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016•莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016•呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016•无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B 点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016•和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春•雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015•浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016•邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016•高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016•海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016•太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120 ．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016•怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016•丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016•呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春•重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P 在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋•五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋•苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋•利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋•江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题04 旋转之角度问题
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题04 旋转之角度问题【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．【解答】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（11）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】1．如图，已知点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB ＝，10PC ＝(1)在图中画出将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒后得到的BEA △．(2)求APB ∠的度数．2．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒到CBF 的位置，连接EF ，EF 的长为22．(1)求BF 的长；(2)若1,3AE EC ==，求AEB ∠的度数．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P 'BA ，连接P P '，求出∠APB 的度数．思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△C P 'B ，连接P P '，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．4．已知△AOB ，将△AOB 绕O 点旋转到△COD 位置，使C 点落在OB 边上，连接AC 、BD ．（1）若∠AOB =90°（如图1），小亮发现∠BAC =∠BDC ，请你证明这个结论；（2）若∠AOB =60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB 为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；5．如图1，在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG CE 、．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()090αα︒<<︒．(1)如图2，在旋转过程中，判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．6．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．7．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．同题提出 如图（1），已知ABC ，90ABC ∠=︒，将边AB 绕点A 顺时针旋转α︒至AD 处，连接CD ，O 为CD 的中点，E 为边BC 中垂线上一点，EO AO ⊥．探究BEC ∠的值．问题探究 （1）先将问题特殊化．①如图（2），当180α=︒时，不存在确定的E 点，请说明理由；②如图（3），当D 在CA 的延长线上时，连接DE ，发现180BEC α∠=︒-︒，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当90180α︒<<︒时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展 （3）当0360α<≤︒︒时，若AO OE =，请直接写出α的值．9．问题提出(1)如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究(2)在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，303AB =60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．10．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．12．【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3．你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．答案与解析【模型讲解】【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，P A=3，PB=1，PC=11，求∠APB的度数．【解答】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△AB P′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=11，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=2，∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，∵AP′2=（11）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．【模型演练】 1．如图，已知点P 是等边三角形ABC 内一点，且6PA =，8PB ＝，10PC ＝(1)在图中画出将BPC △绕点B 逆时针旋转60︒后得到的BEA △．(2)求APB ∠的度数． 【答案】(1)见解析(2)150︒【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明PBE △是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明90APE ∠=︒即可．【解答】（1）（1）如图，BEA △即为所求；（2）∵PBC EBA ≌，∴PB ＝EB ，60EBP ＝ABC ＝∠∠︒，∴PBE △为等边三角形，∴8PE ＝PB ＝，60EPB ＝∠︒，∵10AE ＝PC ＝，6PA ＝，∴222PE AP ＝AE +，∴APE 为直角三角形，∴90APE ＝∠︒，∴9060150APB ＝＝∠︒+︒︒．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得PBE △为等边三角形、APE 为直角三角形是解题的关键．2．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将ABE 绕点B 顺时针旋转90︒到CBF 的位置，连接EF ，EF 的长为22．(1)求BF 的长；(2)若1,3AE EC ==，求AEB ∠的度数． 【答案】(1)BF =2(2)∠AEB =135°【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF 为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出BF 的长； （2）根据AE =1，可得1CF AE ==，根据勾股定理逆定理()2222122CF EF +=+=9=32=CE 2得出90EFC ∠=︒，根据等腰直角三角形可求45EFB ∠=︒，再求135BFC EFB EFC ∠=∠+∠=︒，根据旋转性质，可得135AEB BFC ∠=∠=︒即可．（1）解：∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBF ，∴BE =BF ，∠EBF =∠ABC =90°∴△BEF 为等腰直角三角形，设 BE =BF =x ，则x 2+x 2=（22）2 ，解得： x =2；（2）解：∵△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBF ，∴∠AEB = ∠BFC ，AE =CF =1，在△CEF 中，EF =22，CF =1，EC =3，∵CF 2+EF 2=12+（22）2=9，CE 2=9，∴CF 2+EF 2=CE 2，∴△CEF 为直角三角形，∠EFC =90°，∴∠BFC =∠BFE +∠CFE =135°，∴∠AEB =135°．【点评】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键．3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P 是正方形ABCD 内一点，P A =1，PB =2，PC =3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△P 'BA ，连接P P '，求出∠APB 的度数．思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△C P 'B ，连接P P '，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【答案】∠APB =135°，解答过程见解析【分析】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．【解答】解：思路一：如图1，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△B P 'A ，连接P P '，则△AB P '≌△CBP ，A P '=CP =3，B P '=BP =2，∠PB P '=90°∴∠BP P '=45°，根据勾股定理得，224422P P PB P B ''=+=+=，∵AP =1，∴22189AP P P '+=+=，又∵2239P A '==，∴222AP P P P A ''+=，∴△AP P '是直角三角形，且∠AP P '=90°，∴∠APB =∠AP P '+∠BP P '=90°+45°=135°．思路二：将△P AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△P 'CB ，连接P P '，∴P 'B =PB =2，P 'C =AP =1，∠P 'BP =90°，∠APB =∠B P 'C ，∴∠B P 'P =45°，224422P P PB P B ''=+=+=，∵PC =3，P 'C =1，∴222P C PP PC ''+=，∴∠P P 'C =90°，∴∠B P 'C =∠B P 'P +∠P P 'C =45°+90°=135°，∴∠APB =∠B P 'C =135°．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键．4．已知△AOB ，将△AOB 绕O 点旋转到△COD 位置，使C 点落在OB 边上，连接AC 、BD ．（1）若∠AOB =90°（如图1），小亮发现∠BAC =∠BDC ，请你证明这个结论；（2）若∠AOB =60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB 为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；【答案】（1）证明见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析．【分析】（1）根据旋转的性质得OA =OC ，OB =OD ，∠BAO =∠DCO ，根据等腰直角三角形的性质得∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，根据BAC BAO CAO∠=∠-∠，BDC DCO DBO∠=∠-∠，即可得；（2）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，即可得△ACO、△OBD是等边三角形，即可得∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，推出∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，即可得；（3）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，推出∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，根据三角形内角和定理和角之间的关系得∠CAO=∠OBD，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO，即可得．【解答】（1）证明：∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，∴BAC BAO CAO∠=∠-∠，∠=∠-∠，BDC DCO DBO∠=∠；∴BAC BDC（2）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△ACO、△OBD是等边三角形，∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，∴∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，∴∠BAC=∠BDC；（3）仍成立，理由如下：解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，∠OBD +∠ODB +∠BOD =180°，∴∠CAO =∠OBD ，∵∠BAC =∠BAO ﹣∠CAO ，∠BDC =∠DCO ﹣∠DBO ，∵∠BAO =∠DCO ，∴∠BAC =∠BDC ．【点评】本题考查了等腰直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的判定，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．5．如图1，在正方形ABCD 中，4=AD ，点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG CE 、．将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()090αα︒<<︒．(1)如图2，在旋转过程中，判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；(2)如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)C AGD ED ≅．理由见解析(2)①见解析；②存在，PC 的最大值为223+【解答】（1）如图2中，结论：C AGD ED ≅．证明：∵四边形EFGD 是正方形，∴DG DE =，90GDE ∠=︒，∵DA DC =，90ADC ∠=︒，∴GDE ADC ∠=∠，∴ADG CDE ∠=∠，∴C AGD ED ≅（SAS ）．（2）①证明：如图3中，设AD 交PC 于O ．∵C AGD ED ≅，∴DAG DCE ∠=∠，∵COD AOP ∠=∠，∴在APO 与COD 中90APO ADC ∠=∠=︒，∴CP AG ⊥．②存在∵90CPA ∠=︒，AC 是定值，∴当AP 最小时，PC 的值最大，∴当DE PC ⊥时，ACP ∠的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合，∵9042CED CD DE ∠===︒，，，∴22224223EC CD DE =-=-=，∵2EF DE ==， ∴223CP CE EF =+=+，∴PC 的最大值为223+．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题． 6．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．【答案】(1)1，30(2)见解析(3)能，α为135︒或315︒【分析】（1）根据矩形的性质可知点D 到边DC 的距离等于F 到边DC 的距离，即DF =1，可知点D 到边DC 的距离为1；根据旋转的性质得2CD CD '==，即可判定30CD E ，然后根据平行线的性质即可得到30CD E α'∠=∠=︒ ；（2）由G 为BC 中点可得CG =CE ，然后根据“SAS” 可判断E GCD CD ''≌△△，则GD E D ''=； （3）根据正方形的性质得CB =CD ，而CD CD '=，则 BCD '和DCD '为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当 BCD '和DCD '为钝角三角 形时，可计算出α=135°，当 BCD '和DCD '为锐角三角形时，可计算得到α=315°．（1）解：由题意可知，当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离等于F 到边DC 的距离，即DF =1， ∴点D 到边DC 的距离为：1，∵CE =1，2CD '=，∴在Rt CED '△中，30CD E ，∵CD EF ∥，∴30CD E α'∠=∠=︒，故答案为：1，30；（2）证明：∵G 为BC 中点，∴1CG =，∴CG CE =，∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，∴90,'∠=∠=︒''==D CE DCE CE CE CG ，∴90∠=∠+'︒='GCD DCE α，在GCD '△和E CD '△中，∵CD CD GCD DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩' ∴(SAS)''△≌△GCD E CD ，∴GD E D ''=；（3）能，理由如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴CB =CD ，∵CD CD '=，∴BCD '和DCD '为腰相等的两等腰三角形，当BCD DCD ''∠=∠时，BCD DCD ''≅，当BCD '和DCD '为钝角三角形时，则旋转角α=360901352︒-︒=︒， 当BCD '和DCD '为锐角三角形时，1452BCD DCD BCD ''∠=∠=∠=︒ ， 则α=903603152︒︒-=︒， 即旋转角α的值为135°或315°时，BCD '和DCD '全等．【点评】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．7．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）15°；（3）存在，23,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()423,0- 【分析】（1）由旋转的性质可知， ABE 是等边三角形，即可求证；（2）由旋转的性质可知，CA AD =，从而()118030752ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒，即可求解； （3）分两种情况：若90QMA ∠=︒，CQ MQ =时；若90AQM ∠=︒，CQ QM =时，分别求解即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知60BAE α∠==︒，BA BE =，∴ABE 是等边三角形，∴AB BE =．（2）解：∵90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵ABC 绕点A 顺时针旋转α得到AED △，点E 恰好在AC 上，∴CA AD =，30EAD BAC ︒∠=∠=，∴()118030752ACD ADC ∠=∠=︒-︒=︒， ∵60EDA ACB ∠=∠=︒，∴15CDE ADC EDA ∠=∠-∠=︒．（3）存在，理由如下：∵点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，∴2BC =，∵90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴24AC BC ==，223AB AC BC 2=-=，如图1，若90QMA ∠=︒，CQ MQ =时，图1设CQ QM x ==，∵30CAB ∠=︒，∴22==AQ QM x ，223=-=AM AQ QM x ，∴234=+=+==AC AQ CQ x x x ，∴43x =，∴433AM =， ∴43232333BM AB AM =-=-=， ∴点23,03M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．如图2，若90AQM ∠=︒，CQ QM =时，图2设CQ QM x ==，30CAB ∠=︒，∴22==AM QM x ，223=-=AQ AM QM x ，∴34AC x x =+=，∴232x =-，∴434AM =-，∴()23434423BM =--=-，∴点()423,0M -； 综上所述：23,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()423,0-． 【点评】本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能够利用旋转的性质和分类讨论的思想是解题的关键．8．同题提出 如图（1），已知ABC ，90ABC ∠=︒，将边AB 绕点A 顺时针旋转α︒至AD 处，连接CD ，O 为CD 的中点，E 为边BC 中垂线上一点，EO AO ⊥．探究BEC ∠的值．问题探究 （1）先将问题特殊化．①如图（2），当180α=︒时，不存在确定的E 点，请说明理由；②如图（3），当D 在CA 的延长线上时，连接DE ，发现180BEC α∠=︒-︒，请证明这个结论； （2）再探究一般情形．如图（1），当90180α︒<<︒时，证明（1）②中的结论仍然成立．问题拓展 （3）当0360α<≤︒︒时，若AO OE =，请直接写出α的值． 【答案】（1）①见解析．②见解析；（2）180BEC α∠=︒-︒．（3）90︒或270︒．【分析】（1）①当180α=︒时，在图中找到BC 的中垂线，看能否满足EO AO ⊥即可；②先证明DEA △≌BEA △，根据D ABE ∠=∠，得到BAC BEC ∠=∠，最后利用180DAB BAC ∠+∠=︒，即可证明结论；（2）先证明出AOD FOC ≅△△，得到AE FE =，再证明出ABE CFE ≅△△，通过性质可证明出AOD FOC ≅△△，得到D DCF ∠=∠，根据AD GC ∥，得到AGC DAB α∠=∠=︒，最后根据180AGC BGC ∠+∠=︒，即可得证；（3）仿照（2）的过程依次证明AOE FOE ≅，ABE CFE ≅△△，再通过角的转换即可得到答案．【解答】解：（1）①当180α=︒时，AO 为DBC △的中位线，经过O 点的AO 的垂线与BC 的中垂线重合，∴此时E 点在BC 的中垂线上任何位置都能满足EO AO ⊥，故不存在确定的E 点．②证明：连接AE ．∵OE 垂直平分DC ，∴DE EC =，∴D ECD ∠=∠．∵E 在BC 的中垂线上，∴BE CE =，∴DE BE =．∵AD AB =，∴DEA △≌BEA △．∴D ABE ∠=∠．∴ABE ACE =∠∠．∴BAC BEC ∠=∠．∵180DAB BAC ∠+∠=︒，∴180BEC α∠=︒-︒．（2）延长AO 至F ，使得OF AO =，连接AE ，EF ．连接CF 并延长交AB 于点G ．∵OD OC =，AOD FOC ∠=∠，∴AOD FOC ≅△△．∴FC AD AB ==．∵OE AF ⊥，AO OF =，∴AE FE =．又∵BE CE =，∴ABE CFE ≅△△．∴ABE FCE ∠=∠，∴BGC BEC ∠=∠．∵AOD FOC ≅△△，∴D DCF ∠=∠．∴AD GC ∥．∴AGC DAB α∠=∠=︒，∵180AGC BGC ∠+∠=︒，∴180BEC α∠=︒-︒．（3）延长AO 至F ，使得OF AO =，连接EF 、CF 并延长交AB 于点G ，连接AE ，∵AO OE ⊥，AO OE =，∴45EAO OEA ∠=∠=︒，90AOE ∠=︒，∴()AOE FOE SAS ≅，∴45OEF ∠=︒，∵AE EF ⊥，由（2）可得()ABE CFE SAS ≅，∴AEB CEF ∠=∠，90BEC AEF ∠=∠=︒，∴18090BEC α∠=︒-=︒，∴90α=︒，当180360α︒<<︒时，延长AO 至F ，使得OF AO =，连接EF 、CF ，同理可得90BEC ∠=︒，∵36090BAD α∠=︒-=︒∴270α=︒，综上所述，α的值为90︒或270︒．【点评】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等．9．问题提出(1)如图，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK NK +最小．问题探究(2)在等边三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD 是某公园的平面图，303AB =米，60BC =米，现需要在对角线BD 上修一凉亭E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．问：是否存在这样的点E ？若存在，请画出点E 的位置，并求出EA EB EC ++的和的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)150︒(3)对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小，理由见解析【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．；（2）把APB △绕点A 逆时针旋转60︒得到AP C '△，由旋转的性质可知APP '是等边三角形，从而得到60AP P ∠'=︒，由勾股定理逆定理可知90PP C ∠'=︒，从而求得150AP C ∠'=︒，即可求解；（3）连接AC ，设在ABC 内一点M ，把ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到GBM '，，由旋转的性质，M BM '、GAB △是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当MA MB MC GC ++=时最短，从而得到MA MB MC ++最小值为BF 的长，点M 为CG 、BF 的交点，即可求解．【解答】（1）解：如图1，连接点MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求．（2）解：如图2，把APB △绕点A 逆时针旋转60︒得到AP C '△，由旋转的性质，3P A PA '==，4P C PB '==，60PAP ∠'=︒，APP '∴是等边三角形，3PP PA '∴==，60AP P ∠'=︒，22223425PP P C '+'=+=，22525PC ==，222PP P C PC ∴'+'=，90PP C ∴∠'=︒，6090150AP C AP P PP C ∴∠'=∠'+∠'=︒+︒=︒；故150APB AP C ∠=∠'=︒；（3）解：如图，连接AC ，设在ABC 内一点M ，把ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到GBM '，由旋转的性质，303GB AB ==，BM BM '=，GM AM =，GB AB =，60M BM '∠=︒，60GBA ∠=︒， ∴M BM '、GAB △是等边三角形，BM MM '∴=，MA MB MC GM MM MC '∴++='++，根据两点间线段距离最短得：当MA MB MC GC ++=时最短，GAB 是等边三角形，∴以AC 为一边作等边三角形ACF ，MA MB MC ∴++最小值为BF 的长，此时点M 在线段BF 上，∴点M 为CG 、BF 的交点．若点M 与点E 重合，即M 在对角线BD 上，则点M 为BF 与BD 的交点，此时点M （E ）与点B 重合，显然不符合题意，故点M 不在对角线BD 上，即对角线BD 上不存在这样的点E ，使得到公园出口A 、B ，C 的距离之和最小．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．10．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）． 【答案】(1)EF BE DF =+，理由见解析(2)222DE BD EC =+【分析】（1）把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，证明()AFG AFE SAS △≌△，进而即可得到结论；（2）把ACE △绕点A 逆时针旋转90°到ABF △，连接DF ，证明()ADF ADE SAS ≌，从而得90DBF ABF ABC ∠=∠+∠=，进而即可得到结论．（1）解：数量关系是EF BE DF =+，理由如下：由题意得，AB AD =，90BAD ∠=︒，把ABE 绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，如图2所示，则DAG BAE ∠∠=，ADG B ∠=∠，AG AE =，∵180B ADC ∠+∠=︒，∴180ADG ADC ∠+∠=︒，∴点F 、D 、G 在同一条直线上；∵45EAF ∠=︒，∴904545GAF DAG DAF BAE DAF ∠=∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，∴GAF EAF ∠=∠，∵AF AF =，∴()AFG AFE SAS △≌△，∴EF GF DG DF BE DF ==+=+．（2）解：数量关系是222DE BD EC =+，理由如下：把ACE △绕点A 逆时针旋转90°到ABF △，连接DF ，如图3所示，∴ABF ACE ≌△△，90FAE ∠=，∴FAB CAE ∠=∠，BF CE =，ABF C ∠=∠，∴90FAE BAC ∠=∠=，∵45DAE ∠=，∴904545FAD ∠=-=，∴45FAD DAE ∠=∠=，在ADF △和ADE 中，AF AE FAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADF ADE SAS ≌，∴DF =DE ，∵90BAC ∠=，AB =AC ，∴45ABC C ∠=∠=，∴45C ABF ∠=∠=，∴90DBF ABF ABC ∠=∠+∠=，∴BDF 是直角三角形，∴222DF BD BF =+，∴222DE BD EC =+．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，图形旋转的性质等知识，关键是正确画出图形．11．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．【答案】(1)四点共线，23(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠=，此时()::2:2:31PA PB PC =- (3)::4:2:1PA PB PC =【分析】(1)证明AEC DFC 得到AE DF =进而得到B ，E ，F ，D 四个点满足四点共线时，BE AE CE ++的值最小为BD ，再由等边△ABC 及2AB =求出BD 的长；(2)同(1)中思路证明()APC EDC SAS △≌△得到PA DE =，当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小为BE ；进一步得到150BCE ∠=︒，BC CE =即可求出45BCP ∠=，再过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用30FBP 即可求出::PA PB PC 的值；(3)同(2)中思路即可求解．(1)解：由旋转的性质，可知,,60CE CF CA CD ECFACD ， 60ACE ECF ACF ACF ，60DCF ACDACF ACF ， ∴ACE DCF ∠=∠，∴()ACE DCF SAS △≌△，∴AE DF =，且EC EF =，∴BE AE CE BE DF EF ，∴当B ，E ，F ，D 四点共线时，BE DF EF ++的值最小为BD ，如图所示：连接AC ，设AC 与BD 交于点O ，∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠OCB =60°，∴332322BO BC ，此时223BD BO ==．(2)解：由旋转的性质，可知,,60PC CD AC CE PCD ACE ==∠=∠=︒， 60PCA PCD ACD ACD ，60DCE ACE ACD ACD ，∴PCA DCE ，∴()APC EDC SAS △≌△，∴PA DE =，且PDC ACE △，△均为等边三角形，PC PD =, ∴PA PB PC DE PB PD ++=++，∴当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，如图1所示．∵PDC ACE △，△均为等边三角形， ∴1209060150BPC CDE CPA BCE ，，∵,AC BC AC CE ==，∴BC CE =．∴15PBC DEC ∠=∠=︒，∴45BCP ∠=︒，∴当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，此时45BCP ∠=︒； 过点C 作CF AB ⊥于点F ，如图1所示．∵,PB PA CB CA ，∴CP 是线段AB 的中垂线，∴C ，P ，F 三点共线，45FBC FAC ∠=∠=︒∴,30PA PB FBP FAP =∠=∠=︒，设1PF =，则2,3PB PA CF BF ====．∴31PC =-，∴::2:2:(31)PA PB PC =-．(3)解：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ，过点E 作EF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，如图2所示：由(2)可知，当B ，P ，D ，E 四点共线时，PA PB PC ++的值最小，此时120BPC CDE CPA ∠=∠=∠=︒， 由(2)知：9060150APC EDC BCE △≌△，，∴30ECF ∠=︒，∵2BC =，∴23AC CE ==，∴3,3EF CF ==．∴235BF =+=，∴在Rt BEF △中由勾股定理得到22225(3)27BE BF EF =+=+=，过点C 作CG BE ⊥，垂足为G ，如图2所示． ∵1122BCE S BC EF BE CG =⨯⨯=⨯⨯△， ∴11232722CG ⨯=⨯⨯⨯， ∴217CG =， ∴3217377PG DG ， ∴在Rt BCG 中由勾股定理得到22222157277BG BC CG ， ∴27577472,7777PD PC PG BP BG PG ====-=-=， ∴47278727777PD DE BE BP PD ==--=--=， ∴::4:2:1PA PB PC =．【点评】本题考察了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．。
北师大八年级下3.2《图形的旋转》习题含答案解析
《图形的旋转》习题一、选择题1．下列图形中，绕某个点旋转90°能与自身重合的有( )①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．A.1个B.2个C.3个D.4个2．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是( )A.36°B.60°C.72°D.90°3．下面的图形(1)-(4)，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是( )A.（1），（4）B.（1），（3）C.（1），（2）D.（3），（4）4．在平面上有一个角是60°的菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是( )A.90°B.180°C.270°D.360°5．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁6．下面四个图案中，是旋转对称图形的是( )A. B. C. D.7．如图所示的图形中，是旋转对称图形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题8．请写出一个既是轴对称图形又是旋转对称图形的图形_____．9．将等边三角形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的等边三角形重合，那么旋转的角度至少是_____．10．如图所示的五角星_____旋转对称图形．(填“是”或“不是”)．11．给出下列图形：①线段、②平行四边形、③圆、④矩形、⑤等腰梯形，其中，旋转对称图形有_____(只填序号)．三、解答题12．如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为多少cm2．13．如图，已知AD=AE，AB=AC．(1)求证：∠B=∠C；(2)若∠A=50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？14．如图，△ABC和△BED是等边三角形，则图中三角形ABE绕B点旋转多少度能够与三角形重合．15．如图，已知△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°；(1)请说明∠EAB=∠FAC的理由；(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；(3)求∠AMB的度数．参考答案一、选择题1．答案：A解析：【解答】①正方形旋转的最小的能与自身重合的度数是90度，正确；②长方形旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误；③等边三角形旋转的最小的能与自身重合的度数是120度，错误；④线段旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误；⑤角旋转的最小的能与自身重合的度数是360度，错误；⑥平行四边形旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误．故选A．【分析】根据旋转对称图形的旋转角的概念作答．2．答案：C解析：【解答】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C【分析】分清基本图形，判断旋转中心，旋转次数，旋转一周为360°．3．答案：C解析：【解答】①旋转120°后，图形可以与原来的位置重合，故正确；②旋转120°后，图形可以与原来的位置重合，故正确；③五角星中心角是72°，120不是72的倍数，图形无法与原来的位置重合，故错误；④旋转90°后，图形无法与原来的位置重合，故错误．故选C．【分析】根据旋转的性质，对题中图形进行分析，判定正确选项．4．答案：B解析：【解答】因为菱形是中心对称图形也是旋转对称图形，要使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是180°．故选B．【分析】根据中心对称图形、旋转对称图形的性质．5．答案：B解析：【解答】圆被平分成八部分，旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，因而甲，丙，丁都正确；错误的是乙．故选B【分析】根据圆周角的度数．6．答案：D解析：【解答】A、B、C不是旋转对称图形；D、是旋转对称图形．故选D．【分析】根据旋转的定义．7．答案：C解析：【解答】旋转对称图形的有①、②、③．故选C【分析】图形①可抽象出正六边形，图形②可抽象出正五边形，图形③可抽象出正六边形，而④中为等腰三角形，然后根据旋转对称图形的定义进行判断．二、填空题8．答案：圆（答案不唯一）解析：【解答】根据旋转对称图形和轴对称图形的定义：旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．（0度＜旋转角＜360度）．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，叫轴对称图形．可以得出圆、正方形等都符合答案．【分析】根据旋转对称图形和轴对称图形的定义找出符合图形，得出答案．9．答案：120°解析：【解答】该图形被经过中心的射线平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，那么它至少要旋转120°．故答案为：120．【分析】正三角形被经过中心的射线平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．10．答案：是．解析：【解答】因为五角星的五个顶点到其中心的距离相等，将圆周角5等分，故五角星是旋转对称图形．【分析】五角星的五个顶点到其中心的距离相等，将周角平分为5份，可判断是旋转图形．11．答案：①②③④解析：【解答】①线段，旋转中心为线段中点，旋转角为180°，是旋转对称图形；②平行四边形，旋转中心为对角线的交点，旋转角为180°，是旋转对称图形；③圆，旋转中心为圆心，旋转角任意，是旋转对称图形；④矩形，旋转中心为对角线交点，旋转角为180°，是旋转对称图形；⑤等腰梯形，是轴对称图形，不能旋转对称．故旋转对称图形有①②③④．【分析】根据每个图形的特点，寻找旋转中心，旋转角，逐一判断．三、解答题12．答案：5cm2解析：【解答】每个叶片的面积为5c m2，因而图形的面积是15cm2，图形中阴影部分的面积是图形的面积的三分之一，因而图中阴影部分的面积之和为5cm2．【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．13．答案：见解答过程．解析：【解答】（1）证明：在△AE B与△ADC中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD；∴△AEB≌△ADC，∴∠B=∠C．（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．【分析】（1）要证明∠B=∠C，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABE≌△ACD；已知两边和它们的夹角对应相等，由SAS即可判定两三角形全等．（2）因为△ADC≌△AED，公共点A，对应线段CD与BE相交，所以要通过旋转，翻折两次完成．14．答案：60度．解析：【解答】已知△ABC和△BED是等边三角形，∠ABC=∠EBD=60°⇒∠EBC=60°，又因为AB=BC，EB=BD，∠ABE=∠CBD=120°，所以△ABE≌△CBD．故△ABE绕B点旋转60度能够与△CBD重合．【分析】根据旋转对称图形的定义以及全等三角形的判定作答．15．答案：见解答过程．解析：【解答】（1）∵∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∴△ABC≌△AEF，∴∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，∴∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，∴∠BAE=∠CAF=25°；（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，∴∠AMB=∠C+∠CAF=57°+25°=82°．【分析】（1）先利用已知条件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；（2）通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．。
初二旋转试题解析及答案
初二旋转试题解析及答案一、选择题1. 若点A(2,3)绕原点O逆时针旋转90°后得到的点B的坐标是（）。
A. (-3,2)B. (-3,-2)C. (2,-3)D. (3,-2)解析：点A(2,3)绕原点O逆时针旋转90°后，横纵坐标互换并取反，即(3,-2)。
答案：D。
2. 将函数y=x^2的图象绕原点O逆时针旋转90°后得到的函数解析式是（）。
A. y=-x^2B. y=xC. y=-xD. y=x^2解析：将函数y=x^2的图象绕原点O逆时针旋转90°后，横纵坐标互换并取反，即y=-x。
答案：C。
3. 将函数y=x+1的图象绕点(1,1)旋转180°后得到的函数解析式是（）。
A. y=-x+1B. y=-x-1C. y=x-1D. y=x+1解析：将函数y=x+1的图象绕点(1,1)旋转180°后，横纵坐标分别减去1再取反，即y=-x-1。
答案：B。
二、填空题4. 将点A(3,2)绕原点O逆时针旋转45°后得到的点B的坐标是（）。
解析：将点A(3,2)绕原点O逆时针旋转45°后，横纵坐标分别乘以√2/2，即(3√2/2, √2/2)。
答案：(3√2/2, √2/2)。
5. 将函数y=x^2的图象绕点(1,1)旋转90°后得到的函数解析式是（）。
解析：将函数y=x^2的图象绕点(1,1)旋转90°后，横纵坐标互换并减去1，即y=x-1。
答案：y=x-1。
6. 将函数y=x+2的图象绕点(2,2)旋转180°后得到的函数解析式是（）。
解析：将函数y=x+2的图象绕点(2,2)旋转180°后，横纵坐标分别减去2再取反，即y=-x。
答案：y=-x。
三、解答题7. 将点A(4,5)绕原点O逆时针旋转60°后得到的点B的坐标。
解析：将点A(4,5)绕原点O逆时针旋转60°后，横纵坐标分别乘以√3/2和1/2，即(2√3, 5/2)。
2023中考数学图形的旋转历年真题及答案
2023中考数学图形的旋转历年真题及答案随着中考的临近，中学生们都开始为考试做准备。
其中，数学科目中的几何部分常常是学生们头疼的问题之一。
其中一个关键概念是图形的旋转，考查学生对图形变化的理解和运用。
为了帮助同学们更好地准备数学考试，接下来将介绍一些历年中考数学真题中涉及到图形旋转的题目，并附上详细的解答。
【例题一】设点A(-3, 2)，将该点绕原点顺时针旋转120°，求旋转后的坐标。
解答：首先，将点A的坐标(x, y)表示为向量的形式：OA = (-3, 2)。
接下来，我们需要找到一个旋转矩阵来对该向量进行旋转。
设矩阵R为旋转矩阵，其旋转角度为θ，则有：R = [cosθ -sinθ][sinθ cosθ]由于我们需要顺时针旋转120°，所以θ = 2π/3。
代入上述旋转矩阵公式计算得到旋转后的向量OA'：OA' = (-3, 2) * [cos(2π/3) -sin(2π/3)][sin(2π/3) cos(2π/3)]化简计算得到OA' = (3/2, -2sqrt(3)/2)。
因此，旋转后的坐标为B(3/2, -2sqrt(3)/2)。
【例题二】图形P在平面直角坐标系内的坐标如下：P(-2, 0), Q(-2, 2), R(0, 2), S(0, 0)将图形P绕原点逆时针旋转90°，求旋转后的坐标。
解答：首先，将图形P的四个顶点分别表示为向量的形式：OP = (-2, 0)，OQ = (-2, 2)，OR = (0, 2)，OS = (0, 0)。
接下来，我们需要找到一个旋转矩阵来对这些向量进行旋转。
同样设矩阵R为旋转矩阵，其旋转角度为θ，则有：R = [cosθ -sinθ][sinθ cosθ]由于我们需要逆时针旋转90°，所以θ = π/2。
代入上述旋转矩阵公式计算得到旋转后的向量OP'、OQ'、OR'和OS'：OP' = (-2, 0) * [cos(π/2) -sin(π/2)][sin(π/2) cos(π/2)]OQ' = (-2, 2) * [cos(π/2) -sin(π/2)][sin(π/2) cos(π/2)]OR' = (0, 2) * [cos(π/2) -sin(π/2)][sin(π/2) cos(π/2)]OS' = (0, 0) * [cos(π/2) -sin(π/2)][sin(π/2) cos(π/2)]化简计算得到OP' = (0, -2)，OQ' = (-2, -2)，OR' = (-2, 0)，OS' = (0, 0)。
初中几何旋转经典例题
初中几何旋转经典例题 旋转是初中几何学中的重要概念之一，它涉及到物体在平面上以一定角度绕旋转中心旋转的运动。
在几何学中，旋转可以通过不同的方法来表示和计算，而初中几何旋转的例题则是学生们常见的练习题目类型之一。
下面将介绍几个经典的例题，以帮助学生们更好地理解初中几何旋转的概念和运用。
例题1：如图所示，长方形ABCD的顶点A经过顺时针旋转90°后得到顶点A'，连接AA'所得线段与BC延长线的交点为E。
求证：线段BD与线段AE互相垂直。
解析：首先，我们可以通过观察图形得知旋转中心为矩形的中心点。
由于顶点A经过顺时针旋转90°后得到顶点A'，所以图形经过旋转后变成了一个正方形。
因此，线段BD与直线AE是正方形的对角线，而正方形的对角线互相垂直。
因此，线段BD与线段AE互相垂直，得证。
例题2：如图所示，正方形ABCD的顶点A经过顺时针旋转60°后得到顶点A'，连接AA'所得线段与AC相交于点E。
求证：线段BE与BC垂直，并且线段BE的长度等于线段BC的一半。
解析：首先，我们可以观察图形得知旋转中心为正方形的中心点。
由于顶点A经过顺时针旋转60°后得到顶点A'，所以图形经过旋转后变为一个新的正方形。
连接AA'所得线段与AC相交于点E，根据旋转的特性，线段AE与直线AC重合。
因此，线段BE与线段AC互相垂直，并且线段BE的长度等于线段BC的一半，得证。
例题3：如图所示，正方形ABCD的顶点A经过顺时针旋转120°后得到顶点A'，连接AA'所得线段与AC延长线的交点为E。
求证：直线BE平分线段AC。
解析：同样地，我们可以观察图形得知旋转中心为正方形的中心点。
由于顶点A经过顺时针旋转120°后得到顶点A'，所以图形经过旋转后变成了一个新的正方形。
连接AA'所得线段与AC延长线相交于点E，根据旋转的特性，线段AE与直线AC平行。