二年级数学奥数讲义-我会数一数通用版

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二年级上册数学奥数讲义-第4讲数字问题--教师版

第4讲数字问题重点摘要小朋友们一定都会数数吧，每一个数都是由一个或几个数字组成的，我们一般所说的“数”是指自然数，“数字”只是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10种。

只有今天我们主要来研究数字与数之间的关系。

精讲精练例题1、小钱在家看《十万个为什么》，他从第5页看到第11页，小钱一共看了几页？解：从第1页到第11页共有11页，从第1页到第4页共有4页，11页去掉4页，还有11-4=7页。

例题2、龙龙是个小淘气，上个学期结束时，妈妈他的数学课本，缺少了第5页，第21页，第22页，第23页，甜甜的数学课本共缺少了多少张？解：一般在课本印刷时，都是把一页奇数页码和一页偶数页码放在一张书页的正反两面上，所以龙龙一定缺了三张书页，分别是（21，22），（23,24），（5，6）或（20，21），（22,23），（4，5）。

例题3、从1开始的15个自然数中一共包含了多少个数字？解：采取分段计数的方法：1至9中一共有9个数字，10至15中一共有12个数字，所以一共有9+12=21个数字。

例题4、有一本漫画书，在编排页码时一共用了31个数字。

这本漫画书一共有多少页？（一般我们用从1开始的连续自然数来编排页码）解：因为31＞9，所以一定排到了两位数的页码，每个两位数都包含2个数字，所以两位数的页码一共有（31-9）÷2=11页，这本漫画书一共有11+9=20页。

跟进练习1、《新华字典》从第11页看到第31页一共用了多少个页码？解：一共用了31-10=22个页码。

2、一本书缺少的页码是20，21，35，36，37，100，104，105。

这本书一共缺多少张纸？解：这本书缺少（19,20），（21,22），（35,36），（37,38），（99,100），（103,104），（105,106）共7张纸。

3、一本书共有34页，在这本书的页码中共用了多少个数字？解：页码1～9，每个页码用1个数字，9个页码共用9个数字；页码10—34，共34-9=25页，每个页码用2个数字，25个页码共用2×25＝50个数字，一共用了9+50=59个数字。

二年级数学奥数讲义练习第24讲位置趣谈(全国通用版,含答案)

6个5个二年级数学奥数讲义练习第24讲位置趣谈（全国通用版，含答案）【专题简析】同学们排队，以某一个人为标准来数人数，知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第几，这类问题就是排队问题，排队问题的关键是要找出重复部分再解答。

在排队问题中，中间这一个人既不能漏掉，也不能重复，如；小玲从队伍的右边数起是第4个，从左边数起是第8个，这里小玲重复数了两次，所以在计算总人数时一定要把重复的人数去掉。

【例题1】小明排队唱歌，他站的这一排，从左向右数，他是第5个，从右向左数，他是第6个，问这一排共有多少人？思路导航；如图；从左边数起，小明是第5个，他被数了一遍；从右边数起，小明是第6个，他又被数了一次，这样小明共被数了两次，多数了一次，所以算一共有多少人时，应从5+6=11（人）中去掉1人。

解；5+6=11（人） 11-1=10（人）答；这一排共有10人练习11，小朋友排队照相，小力坐在第一排。

从左往右数，他坐第4个，从右往左数，他坐第8个。

第一排一共坐了多少个小朋友?2，有一排不同颜色的彩灯，无论从左往右数，还是从右往左数，第9盏都是同一盏红灯，这一排共有多少盏彩灯？25人20人人5B A3，一群小动物排一排，从左往右数，第4只是兔子，从右往左数第3只是小鹿，小鹿在兔子前3个，这群小动物共有几只？【例题2】光明小学二（2）班参加课外活动，要求每人至少报1项，最多报2项，有20人报合唱组，有25人报数学兴趣小组，其中有5人报2项，二（2）班一共有多少学生？思路导航；图中A 圈表示参加合唱组的人数，B 圈表示参加数学兴趣组的人数。

两圈重叠的部分（即阴影部分），表示两项都参加的人数，从图中可以看出，两项都参加的5人被算了2次，重复了。

所以要从两组共有的人数中减去重复的5人。

解；20+25-5=40（名）答；二（2）班一共有40名学生。

练习21，二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有38人，订《中国儿童报》的有30人，其中8人这两种都订，问二（2）班共有多少人？2，张老师出了两道思考题给二（5）班同学做，做对第一题的有38人，做对第二题的有22人，两题都做对的有15人，没有全做错的同学，求二（5）班共有学生多少人？3，有两块木板，一块长24分米，另一块长18分米，把两块木板重叠一部分后钉成一块长36分米的木板，重叠部分长多少分米？【例题3】二（1）班同学排成6列做操，每列人数同样多，小明站在第一列，从前面数，从后面数他都是第5个。

二年级奥数 (2)

二年级奥数 (2)1－40周第三周：《按规律填数》《1》15；5；12；5；9；5；《 6 》；《 5》。

《2》5；9；10；8；15；7；《 20 》；《6 》。

《3》0；1；2；3；6；7；《 8》；《9 》。

《4》3；6；5；10；9；《18 》；《17 》。

《5》30；15；14；7；6；《3》；《2》。

《6》4；6；9；13；《18 》。

《7》5；9；15；23；《33 》。

《8》《8；13；18》；《12； 18 ；24》；《16；23；30》。

《9》0；1；4；9；《16 》；《25 》；36。

《10》2；4；《 8 》；《16 》32；64。

《11》1；3；7；《15 》31。

第六周：《趣味数学一》1、盒子里有红球和黄球各8个；最少摸出几个球；才能保证有两种颜色不相同的球？ 9个2、小口袋里混合放着红、黄两种玻璃球各4粒；它们的形状、大小完全一样；如果不用眼睛看；要保证一次拿出两粒颜色不同的玻璃球；至少必须摸出几粒？ 5个3、在367个七岁小朋友中；至少有几个小朋友是同月同日生的？2个4、一只小兔5分钟吃一棵菜；5只小兔同时吃5棵同样大的菜需几分钟？ 5分钟5、4个小朋友同时削4枝同样的铅笔需要4分钟；照这样的速度；7个小朋友同时削7枝铅笔需要几分钟？ 4分钟6、5只猫5天能捉5只老鼠；照这样计算；要在100天里捉100只老鼠需要多少只猫？ 5只猫7、5点放学；雨还在不停地下；大家都盼着睛天；小林对小李说：“已经连续两天下雨了；你说再过30小时太阳会出来吗？”8、甜甜小朋友将30颗珠子排成数量不等的五堆；每堆的颗数恰好是双数；你知道每堆各有多少颗？ 2；4；6；8；10。

9、兔妈妈把12根萝卜分成数量各不相等的4堆；问最多的一堆有几根萝卜？ 1；2；3；6。

10、小红把13根小棒分成数量不等的4堆；问最多的一堆中有几根小棒？ 1；2；3；7。

11、如果要把18枚棋子分成数量不等的5堆；最多的一堆中有几枚棋子？ 1；2；3；4；8。

二年级数学奥数讲义+练习第4讲趣味数学(一)(全国通用版,含答案)

第4讲趣味数学（一）奥数是给那些对奥数有兴趣的孩子搭建的一个舞台，正象我们给那些对英语、对绘画、对音乐、对体育等有兴趣的孩子搭建的舞台一样，让他们自由、快乐地享受童年、享受人生。

其一，奥数包涵了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等等二十几种思维方式，众所周知，思维能力是一个孩子的智力的核心，如果一个孩子在小学期间，思维能力得到了充分的锻炼，有什么比这更重要的呢？奥数能够快速有效、全面提高孩子智商的工具。

奥数学习对开拓思路有着重要作用。

奥数学习好的学生整个理科都会比较优秀，因为数学是理科的基础，物理化学都需要数学这个基础。

正因为这个原因，重点中学喜欢招奥数比较好的学生。

其二，奥数题基本上是比书上知识有所提高的内容，当孩子在做题当中遇到困难，想办法战胜它时，那种来自内心深处的喜悦比吃了十斤蜜枣还甜。

在学习、比赛中，有失败、有成功，让孩子从小就明白：不经历风雨怎能见彩虹的道理，一句话：奥数让孩子学会了面对挫折、战胜困难，学会了永不言败的精神，建立起良好的自信。

可以说既提高孩子的智商又能发展孩子的情商。

【专题简析】小朋友，下面有一些有趣的题目，不要列复杂算式计算，但一不小心在回答时就可能落入“圈套”。

要想正确解答这些题目，一定要充分发挥自己的智力，有时还要打破“常规”去想。

解答这些带有迷惑性的题目，要靠认真读题，领会题目的意思，再经过充分的分析和思考，运用自己的聪明才智巧妙地解决。

【例题1】盒子里有红球和黄球各8个，最多摸出几个球，才能保证有两种颜色不同的球？思路导航:在摸球时，如果不凑巧，连续摸出的8个都是同一种颜色的球，那么再摸一个，也就是第9个，一定是另一种颜色的球。

答：最多摸出9个球，才能保证有两种颜色不相同的球。

练习11．小口袋里混合放着红、黄两种玻璃球各4粒。

它们的形状大小完全一样，如果不用眼睛看，要保证一次拿出两粒颜色不同的玻璃球，至少必须摸出几粒？2．布袋里有红、绿两种小木块各6块，形状大小都一样，如果要保证一次能从布袋里取出2块颜色不同的木块，至少必须取出几块小木块？3．在367个七岁小朋友中，至少有几个小朋友是同月同日生的？【例题2】一只小兔5分钟吃一棵菜，5只小兔同时吃5棵同样大的菜需要几分钟？【思路导航】根据题意，一只小兔5分钟吃一棵菜，5只小兔同时吃5棵菜所需的时间，也就等于一只小兔吃一棵菜所用的时间。

二年级数学奥数讲义练习第6讲间隔趣谈(全国通用版,含答案)

1.我们在学习奥数的时候，先要来培养孩子的兴趣爱好，所以在学习的时候，孩子对这门课是否感兴趣是很重要的一点。

培养孩子的兴趣就是让孩子爱学，而不是家长硬要着孩子去学。

但是在完成这个任务的是时候，一方面需要家长的引导，另一方面需要我们老师良好的教学艺术，让孩子喜欢学这门课，是最关键的。

2. 还有在学习的时候，要培养孩子的学习方法，在学的时候，一是学会课前预习，在老师讲新知识之前，学生要认真阅读要学的内容，课前自学例题，还有在看书时，要动脑思考。

二是善于解决难题，学生的思路往往是由疑问开始的，学生的肯提出问题是学会创新的关键。

还有在学习时，经常提出问题，可以开拓自己的思维空间，能很好的提高解决问题的能力。

3. 还有要养成良好的学习习惯，培养好的习惯是最重要，但是这些对于学奥数是很有帮助的，小的时候，养成好的习惯是很重要的，在以后的日子也会用上，良好的学习习惯对于学习来说是由很大的帮助的，要是有坏习惯是很难改的。

第6讲间隔趣谈【专题简析】两根绳子结起来只要打一个结，两根绳子结成一个圆需要打两个结，一根绳子剪4次被剪成了5段等等，这是日常生活中的比较特殊的问题。

想要做好这类题，需要我们多动脑筋，多动笔画画，才能找到正确的答案。

这一讲是有关绳子打结和剪绳子的问题。

给绳子打结如果不练成一个圆，打结的次数比绳子的根数少1；如果结成1个圆，打结的次数与绳子的根数同样多。

同样，如果是剪绳子，那么剪成的段数比剪得次数多1.【例题1】小刚把4根绳子连起来成一条绳子，一共需要打几个结？思路导航:解这种题，可以画图解答。

如图：打结打结打结从上图中可以看出，4根绳子要结起来成一根绳子，只要打3次结就可以了，可见，打结的次数比绳子的根数少1.解：4-1=3（个）答：小刚把4根绳子连起来成一条绳子，一共需要打3个结练习11．小明把5根绳子连起来成一根长绳，一共需要打几个结？2.把8根绳子连接起来成一根绳子，一共需要打几个结？【例题2】把几根绳子打7个结就能成一个圆？思路导航:根据题意，如图所示：打了7个结，就把一些绳子结成了一个圆，这些绳子应该有7根。

《数一数(二)(课件)二年级下册数学北师大版

八千九千一万
你学到了什么？
今天我们结合在计数器上拨数、数方块等多种数数活动，认识计数单位“万”，并能准确地数出万以内的数。
我说你拨，并说一说表示什么。
999+1
说一说，每个数位上珠子表示的意义。
2.再添1个珠子是多少？
再添1个珠子是多少？
Байду номын сангаас
都是一个珠子，意思一样吗？
3.数一数。
10个一千是一万。
4.你能从九千八百八十七数到一万吗？
九千八百八十七，九千八百八十八，九千八百八十九，
……
你能从九千八百八十七数到一万吗？
还可以怎么数？
5.说一说，生活中有哪些大数？
世界海拔最高的山峰是珠穆朗玛峰，海拔约八千八百四十四米。
我国已发现的鸟类大约有一千四百种。
四千二百四十三二千四百二十
想一想，说一说。
九百八十九百七十九百六十

小学数学奥数方法讲义之-图解法_通用版

小学数学奥数方法讲义之-图解法_通用版第十八讲图解法图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。

在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。

图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。

有时，作出了图形，答案便在图形中。

（一）示意图示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。

小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。

例1 妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。

谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）解：作图18-1。

哥哥吃了8个后，剩下苹果：10-8=2（个）弟弟吃了5个后，剩下苹果：10-5=5（个）弟弟剩下的苹果比哥哥的多：5-2=3（个）答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。

例2 一桶煤油，倒出40％，还剩18升。

这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）解：作图18-2。

从图中可看出，倒出40％后，还剩：1-40％=60％这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：18÷60％=30（升）例2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。

他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。

问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度）解：作图18-5。

从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是：（82-62）÷2＝20÷2=10（年）由此看出，他死于1910年。

他出生的时间是：1910-82=1828（年）答略。

解：作图18-6。

综合算式：答略。

（三）思路图小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。

如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。

这种表示思维过程的图形就是思路图。

例题参见前面的分析法和综合法。

（四）正方形图借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。

二年级下册数学试题-奥数思维拓展：第一讲图形的计数(解析版)全国通用

第一讲图形计数【精品】课前复习数一数下面的图形.（ 10 ）条线段（ 18 ）个长方形（ 10 ）个正方形（ 16 ）个三角形（ 8 ）个圆同学们，我们已经会数平面图形的个数了（如三角形、正方形、长方形、圆形等）.这一节我们要一起来学习数立体图形，比如数小方块等，在数这一类图形中，一定要认真仔细观察图形特点及摆布特点，有次序地去数，不能遗漏也不能重复，只有这样我们才能又快又准的数出这些图形的个数.同学们，加油吧！实践应用【例1】下面的这堆木方块共有多少块?【分析】引导学生按顺序来数，可以一层一层的数；也可以一排一排的数；还可以先数看得见的，再数看不见的，我们一般根据图形的特点来选择合适的方法.（1）3+1=4（块）（2）5+2=7（块）（3）7+4=11（块）（4）4×2=8（块）拓展训练数一数，下面的方块各有多少？（ 9 ）块（ 10 ）块（ 9 ）块列式：5+4=9（块）列式：6+3+1=10（个）列式：6+3=9（块）或：4+3+2=9（块）或：5+4=9（块）（ 12 ）块（ 16 ）块（ 12 ）块列式：6×2=12（块）列式：9+5+2=16（块）列式：9+3=12（块）【例2】下面的图形中一共有几个小方块?【分析】这个图形的数法非常多，在众多的方法中要经过比较，找到最简便的方法：拓展训练这堆方木块共有多少块?方法一：分层数：一共有木方块6+12+18=36(块)或6×6=36（块）.方法二：分列数：6×6=36(块)【例3】下面这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【分析】因为中间是空心的，所以一层只有8块，一共8×4=32(块).延伸：想一想还可以怎样数?方法二：第一列有12个，第二列有8个，第三列有12个，一共有：12+8+12=32（块）方法三：不看阴影部分一共有：12×3=36（块），中间缺得部分是4个，一共有方块：36-4=32（块）拓展训练下图由多少块正方体组成?（中间阴影部分是空心的）【分析】虽然部分方块被遮住了，但是我们还是可以发现，如果不看中间空心的部分，每边是3个方块，共3层.方法一：9+6+9=24（块）或3×8=24（块）方法二：一层8个，共8×3=24（块）方法三：3×9-3=24（块）【例4】数一数，图1和图2中各有多少黑方块和白方块?【分析】图1：仔细观察图1，可发现黑方块和白方块同样多．因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以黑方块是：4×8＝32(个)；白方块是：4×8＝32(个).图2：再仔细观察图2，从上往下看：第一行．白方块5个，黑方块4个；，第二行白方块4个，黑方块5个；第三、五、七行同第一行，第四、六、八行同第二行；但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个．可见白方块总数比黑方块总数多1个．白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4＋5＝41(个)黑方块总数：4+5+4-5+4+5+4＋5+4＝40(个)再一种方法是：每一行的白方块和黑方块共9个．共有9行，所以，白、黑方块的总数是：9×9＝81(个)．由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个．【例5】书库里把书如图所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？【分析】方法1：从左往右一摞一摞地数：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135（本）.方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.长方形中的书 10×11=110 三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 总数：110+25=135（本）.【例6】请你数一数，这个跳棋盘上可以放多少个棋子？【分析】要知道可以放多少个棋子，就要数有多少个棋孔.因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，所以棋孔总数是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）+（1+2+3）×3=66+6×3=84（个）.拓展训练如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，问需要几块正六边形的砖才能把它补好?【分析】仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好．如果动手画一画，就会看得更清楚了.【例7】将10个小长方体组成一个“工"字形，再将表面涂成蓝色，然后把小正方体分开，(1)3面涂成蓝色的小长方体有几个?(2)4面涂成蓝色的小长方体有几个?(3)5面涂成蓝色的小长方体有几个?【分析】整个图形表面涂成蓝色，只有那些“黏在一起”的面没有被涂色.左、右两端中间各有1个小正方体3面涂色，中间的4个小正方体4面涂色，剩下的4个小正方体都是5面涂色.3面涂成蓝色的小正方体有2个；4面涂成蓝色的有4个；5面涂成蓝色的有4个.【例8】一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：（1）1面涂成红色的有几个？（2）2面涂成红色的有几个？（3）3面涂成红色的有几个？【分析】仔细观察图形，并发挥想象力，可知：（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：2+8+8=18（个）.【例9】如图所示，一个木制的正方体，棱长为3厘米，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1厘米的小正方体.求：（1）3面涂成红色的有多少块？（2）2面涂成红色的有多少块？（3）1面涂成红色的有多少块？（4）各面都没有涂色的有多少块？（5）切成的小正方体共有多少块？【分析】（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的那块.（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.（5）共切成了3×3×3=27（块）. 或是如下计算：8+12+6+1=27（块）.【例10】一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？【分析】3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.附加题（以下提供的内容，供老师参考使用）1.如图所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成．问这三种瓷砖各用了多少块?【分析】因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进行统计：1号瓷砖共12块统计： 2号瓷砖共16块总数：36块．3号瓷砖共8块2.下图中还差多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？【分析】先从整体上考虑组成一个较大的正方体需要多少个小正方体，再数出已有的小正方体的个数，便能得出相差的个数.组成较大的正方体需要的小正方体个数：3×3×3＝27（个）已有小正方体个数：9＋6＋3＝18（个）还差正方体个数：27－18＝9（个）答：还差9个小正方体可以组成一个较大的正方体.3.染色问题补充：右图是一个正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后沿图中虚线竖直切开.没有涂颜色的面共有几个？【分析】先分析能切成多少块，再考虑每块上有几个面没涂颜色.解：2×8＝16(个）答：没有涂颜色的面共有16个.4. 下图所示为棱长4厘米的正方体，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长1厘米的小正方体.问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？ 8块；（2）有2面被染成蓝色的多少块？ 24块；（3）有1面被染成蓝色的多少块？ 24块；（4）各面都没有被染色的多少块？ 8块；（5）锯成的小正方体木块共有多少块？ 64块.练习一1．图中有多少个小正方体?【答案】 7+2=9(个).2．这堆木方块共有多少块?你能用几种不同的方法数出来和算出来吗?【答案】6+4+2=12(块)或6×2=12（块）.3．这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【答案】3×3×5-2×3=39(块)或3×3×3+6×2=39（块）4. 用不同的方法数这两个图形各有多少个方块?【答案】(1)4+3+1=8(个)；(2)3×2+4=10(个).5.小狗与小猫的外形是用绳子围成的，你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察，想办法比较出来）.【答案】分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.6.将8个小立方块组成“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？【答案】看着图，想象涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面.3面涂色的小立方体共有1个；4面涂色的小立方体共有4个；5面涂色的小立方体共有3个.数学故事从一加到一百高斯有许多有趣的故事，故事的第一手资料常来自高斯本人，因为他在晚年时总喜欢谈他小时候的事，我们也许会怀疑故事的真实性，但许多人都证实了他所谈的故事. 高斯的父亲作泥瓦厂的工头，每星期六他总是要发薪水给工人.在高斯三岁夏天时，有一次当他正要发薪水的时候，小高斯站了起来说：“爸爸，你弄错了.”然后他说了另外一个数目.原来三岁的小高斯趴在地板上，一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁多少工钱.重算的结果证明小高斯是对的，这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆.高斯常常带笑说，他在学讲话之前就已经学会计算了，还常说他问了大人字母如何发音后，就自己学着读起书来.七岁时高斯进了小学.大约在十岁时，老师在算数课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”每当有考试时他们有如下的习惯：第一个做完的就把石板﹝当时通行，写字用﹞面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个一个落起来.这个难题当然难不倒学过算数级数的人，但这些孩子才刚开始学算数呢！老师心想他可以休息一下了.但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了，同时说道：“答案在这儿！”其他的学生把数字一个个加起来，额头都出了汗水，但高斯却静静坐着，对老师投来的，轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意.考完后，老师一张张地检查着石板.大部分都做错了，学生就吃了一顿鞭打.最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050（用不着说，这是正确的答案.）老师吃了一惊，高斯就解释他如何找到答案：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，49＋52＝101，50＋51＝101，一共有50对和为101的数目，所以答案是50×101＝5050.由此可见高斯找到了算术级数的对称性，然后就像求得一般算术级数合的过程一样，把数目一对对地凑在一起.。

奥数讲座(2年级-下)(15讲)

二年级奥数讲座（二）目录第一讲机智与顿悟第二讲数数与计数第三讲速算与巧算第四讲数与形相映第五讲一笔画问题第六讲七座桥问题第七讲数字游戏问题（一）第八讲数字游戏问题（二）第九讲整数的分拆第十讲枚举法第十一讲找规律法第十二讲逆序推理法第十三讲画图显示法第十四讲等量代换法第十五讲等式加减法第一讲机智与顿悟数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟．例1 在美国把5月2日写成5/2，而在英国把5月2日写成2/5．问在一年之中，在两国的写法中，符号相同的有多少天？解：一年中两国符号相同的日子共有12天．它们是：一月一日 1/1 七月七日 7/7二月二日 2/2 八月八日 8/8三月三日 3/3 九月九日 9/9四月四日 4/4 十月十日 10/10五月五日 5/5 十一月十一日 11/11六月六日 6/6 十二月十二日 12/12注意由差异应当想到统一，有差异就必须有统一，仔细想一想这道题就会有所领悟．例2 有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人？解：全家共有5口人．妹妹的年龄最小，她是每一个男孩的妹妹．如果你列出算式：1个妈妈+3个男孩+3个妹妹=7口人那就错了．为什么呢？请你想一想．例3 小明给了小刚2支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，问小明比小刚多几支铅笔？解：小明比小刚多4支铅笔．注意，可不是多2支；如果只多2支的话，小明给小刚后，小刚就反而比小明多2支，不会一样多了．例4 小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的2倍．你知道车上买了票的乘客最少有几人吗？解：最少1人．因为售票员和司机是永远不必买票的，这是题目的“隐含条件”．有时发现“隐含条件”会使解题形势豁然开朗．例5 大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如2+3+4比2×3×4小．那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个数相加的和大还是相乘的积大？解：和大．注意：“0”是个很有特点的数．①0加到任何数上仍等于这个数本身；②0乘以任何数时积都等于0；把它们写出来就是：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=450×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0所以，应当重视特例．例6 两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大15，你知道这两个数都是几？你由此想到一般关系式吗？解：这两个数就是17和15．因为它们的和比15大17，又比17大15．由一个特例联想、推广到一般，是数学思维的特点之一．此题可能引起你如下联想：和-15=17，那么和=15+17．一般和=一个数+另一个加数，或写成：和-一个加数=另一个加数，或写成：被减数-减数=差，也可写成：被减数-差=减数．以上这些都是你从课本上学过的内容，这里不过是把它们联想到一起罢了．学数学要注意联想，学会联想才能融会贯通．例7 小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本．已知小英买的数学本的本数是小明买的作文本的2倍．又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱的2倍，请问他俩谁用的钱多？解：他俩花的钱一样多．可以这样想：因为作文本的价钱是数学本的2倍，所以把买作文本的钱用来买数学本，同样多的钱所买到的本数应该是作文本的2倍，这刚好与题意相符．可见两人花的钱一样多．结论是隐含着的，推理就是要把它明明白白地想通，写出来的推理过程就叫“证明”，这是同学们现在就可以知道的．例8 中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天．小明对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过36小时会出太阳吗？”小朋友你说呢？解：不会出太阳．因为从中午起再过36个小时正好是半夜．而阴雨天和夜里是不会出太阳的．注意：解题的第一要义是首先明确“问什么”，而且要紧紧抓住“问什么”？“问什么”是思考目标，这就好比小朋友走着来上学，学校是你走路的目的，试想，如果你走路没有目标，结果会怎样？本题迷惑人的地方就是想用阴天下雨把你的注意力从应当思考的目标引开，给你的思维活动造成干扰．学会删繁就简，抓住目标，将会大大地提高你的解题效率．例9 一位画家想订做一个像框，用来装进他的立体画．他画了一张像框的尺寸图拿给你看（右图），请你帮他算算，需要多长的材料才能做好？（画家说，材料粗细要求一样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直角）．解：不管多长的材料，像框也无法做成．从每一部分来说，这个图看来是合理的，但从整体上看，这个图是“荒谬的”、“失调的”．用一句普通的话说，就是“有点不对劲的”．请你注意，对现实生活觉得有点不对劲的感觉是创造性的起因．习题一1．如右图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁？2．一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动的学生只占教室里全体人数的一半．老师很生气．你知道这天共来了多少学生吗？3．小林和小蓉两人口袋里各有10元钱．两人去书店买书．买完书后发现，小林花去的钱正好和小蓉剩下的钱数一样多．请问，现在他们两人一共还有多少钱？4．满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水？5．小黄和小兰想买同一本书．小黄缺一分钱，小兰缺4角2分钱．若用他俩的钱合买这本书，钱还是不够．请问这本书的价钱是多少？他俩各有多少钱？6．一个骑自行车的人以每小时10公里的速度从一个城镇出发去一个村庄；与此同时，另一个人步行，以每小时5公里的速度从那个村庄出发去那个城镇．经过一小时后他们相遇．问这时谁离城镇较远，是骑车的人还是步行的人？7．有人去买葱，他问多少钱一斤．卖葱的说：“1角钱1斤．”买葱的说：“我要都买了．不过要切开称．从中间切断，葱叶那段每斤2分，葱白那部分每斤8分．你卖不卖？”卖葱的一想：“8分+2分就是1角”．他就同意全部卖了．但是卖后一算账，发现赔了不少钱．小朋友，你知道为什么吗？8．一天鲍勃用赛车送海伦回家．汽车在快车道上急驶．鲍勃看到前面有辆大卡车．灵机一动，突然向海伦提出了一个巧妙的问题．鲍勃说：“海伦，你看！前面那辆大卡车开得多快！但是我们可以超过它．假定现在我们在它后面正好是1500米，它以每分钟1000米的速度前进，而我用每分钟1100米的速度追赶它，我们这样一直开下去，到时候肯定会从后面撞上它．但是，海伦，请你告诉我，在相撞前一分钟，我们与它相距多少米？”聪明的海伦略加思考立刻回答了鲍勃的问题．小朋友，你也能回答吗？9．小明家附近有个梯形公园，公园中有4棵树排成了一行，如图所示．小明每天放学回家都要到公园里去玩一会儿．有一天，他玩着玩着突然想出了一个问题：“能不能把公园分成大小和形状都相同的4块，而且每一块上保留一棵树？”回到家以后，他又和爸爸妈妈一块儿讨论，终于像小明想的那样分好了，小明非常高兴．小朋友，你也回家与爸爸妈妈讨论讨论，看能不能分好？10．小莉在少年宫学画油画．一天，他找到了一块中间有个圆孔的纸板．他想把这块板分成两块，重新组合成一块调色板，如下图，小朋友看该怎么切才好呢？注意：回顾由第9题到第10题的解题思路，这里有一个克服“思维定势”的问题．在做第9题时，你可能费了很大劲，把大梯形这样划分，那样划分，试来试去，最终得到了满意的结果．做完了第9题后这种思考问题的方式方法就可能深深地在你的头脑中扎根了．当你着手解第10题时，你可能还是沿着原来的思路，按原来的思维方式处理面临的新问题，这种情况心理学上就叫做“思维定势”．思维定势不利于创造性的发挥，从这个意义上讲，有人说学习的最大障碍是头脑中已有的东西，是有一定道理的，你在做第10题时，对此大概也有体会了吧！今后要以此为训．对本讲其它各题，在你做完以后也希望你做一些回顾和总结，以便发现些更有价值的东西，使自己变得更聪明起来．习题一解答1．解：一共只有5只蚂蚁．如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁．2．解：只来了一名学生．教室里共有两人，另一个人是老师，所以说学生占教室里全体人数的一半．3．解：他们两人此时一共还有10元．如下图所示．4．解：小明共喝了一杯牛奶和一杯水．因为原来就有一杯牛奶，最后喝光了；后来又加了两次水，每次半杯，合起来是一杯水，最后也喝光了．5．解：这本书的价钱就是4角2分钱．小黄有4角1分钱（所以买书还差1分），小兰1分钱都没有，所以他若买这本书，还差4角2分钱；小兰若是有1分钱的话，他俩的钱合起来也就够买这本书了．6．解：相遇后，两人就在一处了，此时二人离城自然一样远．7．解：按照买葱人的说法，葱叶那段每斤2分，葱白那段每斤8分，合起来确是1角．但是这样合起来后是2斤卖1角，不再是一斤1角钱，所以卖葱的人赔了钱．8．解：相撞前一分钟赛车落后卡车100米．海伦思考的窍门是倒着想．鲍勃的赛车比卡车每分钟快100米（即1100米-1000米=100米），所以碰车前的1分钟它们相距100米．9．解：划分方法如右图所示．每一块都是个小梯形，四个小梯形大小相等，形状相同．小梯形和大梯形之间是大小不等、形状相似．10．解：方法不止一种．①从中切下一条，倒换个位置放进去．（见图）②在需要开孔的位上开一个小圆孔，把切下的部分填到中间的孔中去．（见图）第二讲数数与计数从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．例1 数一数，下面图形中有多少个点？解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．点的总数是：5+5+5+5=5×4．方法2：从左至右一列一列地数，见下图．点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：5×4=4×5从这个等式中，我们不难发现这样的事实：两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．这就是乘法交换律．正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．方法3：分成两块数，见右图．前一块4行，每行3个点，共3×4个点．后一块4行，每行2个点，共2×4个点．两块的总点数=3×4+2×4．因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：3×4+2×4=5×4．仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：3+2=5所以上面的等式可以写成：3×4+2×4=（3+2）×4也可以把这个等式调过头来写成：（3+2）×4=3×4+2×4．这就是乘法对加法的分配律．如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：（a+b）×c=a×c+b×c分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和．进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子：计算（3-2）×4和3×4-2×4．解：（3-2）×4=1×4=43×4-2×4=12-8=4．两式的计算结果都是4，从而可知：（3-2）×4=3×4-2×4这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况．如果用字母a、b、c（假设a>b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律．例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．第一层4×2个第二层4×2个第三层4×2个三层小长方体的总个数（4×2）×3个．方法2：从左至右一排一排地数，见下图．第一排2×3个第二排2×3个第三排2×3个第四排2×3个四排小长方体的总个数为（2×3）×4．若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×（2×3）．因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同．或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律．如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速．从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．例3 数一数，下图中有多少个点？解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）：三角形点数=长方形点数÷2因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9而长方形点数=10×9=（1+9）×9代入上面的文字公式可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2=45．进一步把两种方法联系起来看：方法1是老老实实地直接数数．方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了．即1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2．这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了．习题二下列各题至少用两种方法数数与计数．1．数一数，下图中有多少个点？2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？3．数一数，下图中有多少个小正方形？4．数一数，下图中共有多少个小三角形？习题二解答1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，得5×4=20．方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：（1+2+3+4）×2=20．发现一个等式：1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．方法2：用拼补法，如图所示：11×10÷2=55．发现一个等式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．3．解：方法1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20．方法2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．（1+2+3+4）×2=20．发现一个等式：1+2+3+4=（1+4）×4÷2．4：解：方法1：从上至下一层一层地数（图略）得：20×10=200．方法2：分成两个三角形来数：（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2=200．发现一个等式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19第三讲速算与巧算利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可以使计算变得巧妙而迅速．例1 2×4×5×25×54=（2×5）×（4×25）×54 （利用了交换=10×100×54 律和结合律）=54000例2 54×125×16×8×625=54×（125×8）×（625×16）（利用了=54×1000×10000 交换律和结合律）=540000000例3 5×64×25×125 将64分解为2、4、8=5×（2×4×8）×25×125 的连乘积是关键一=（5×2）×（4×25）×（8×125）步．=10×100×1000=1000000例5 37×48×625=37×（3×16）×625 注意37×3=111=（37×3）×（16×625）=111×10000=1110000例6 27×25+13×25 逆用乘法分配律，=（27+13）×25 这样做叫提公因数=40×25=1000例7 123×23+123+123×76 注意123=123×1；再=123×23+123×1+123×76 提公因数123=123×（23×1+76）=123×100=12300例8 81+991×9 把81改写（叫分解因=9×9+991×9 数）为9×9是为了下=（9+991）×9 一步提出公因数9=1000×9=9000例9 111×99=111×（100-1）=111×100-111=11100-111=10989例10 23×57-48×23+23=23×（57-48+1）=23×10=230例11 求1+2+3+…+24+25的和．解：此题是求自然数列前25项的和．方法1：利用上一讲得出的公式和=（首项+末项）×项数÷21+2+3+…+24+25=（1+25）×25÷2=26×25÷2=325方法2：把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙！）想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗？例12 求8+16+24+32+…+792+800的和．解：可先提公因数8+16+24+32+…+792+800=8×（1+2+3+4+…+99+100）=8×（1+100）×100÷2=8×5050=40400例13 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列．那么第1排有多少个座位呢？因为：第2排比第1排多2个座位，2=2×1第3排就比第1排多4个座位，4=2×2第4排就比第1排多6个座位，6=2×3这样，第25排就比第1排多48个座位，48=2×24．所以第1排的座位数是：70-48=22．再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=（22+70）×25÷2=92×25÷2=1150．习题三计算下列各题：1．4×135×252．38×25×63．124×254．132476×1115．35×53+47×356．53×46+71×54+82×547．①11×11 ②111×111③1111×1111 ④11111×11111⑤111111111×1111111118．①12×14 ②13×17③15×17 ④17×18⑤19×15 ⑥16×129．①11×11 ②12×12③13×13 ④14×14⑤15×15 ⑥16×16⑦17×17 ⑧18×18⑨19×1910．计算下列各题，并牢记答案，以备后用．①15×15 ②25×25③35×35 ④45×45⑤55×55 ⑥65×65⑦75×75 ⑧85×85⑨95×9511．求1+2+3+…+（n-1）+n之和，并牢记结果．12．求下列各题之和．把四道题联系起来看，你能发现具有规律性的东西吗？①1+2+3+…+10②1+2+3+…+100③1+2+3+…+1000④1+2+3+…+1000013．求下表中所有数的和．你能想出多少种不同的计算方法？习题三解答1．解：4×135×25=（4×25）×135=100×135=13500．2．解：38×25×6=19×2×25×2×3=19×（2×25×2）×3=19×100×3=1900×3=5700．3．解：124×25=（124÷4）×（25×4）=31×100=3100．4．解：132476×111=132476×（100+10+1）=13247600+1324760+132476=14704836．或用错位相加的方法：5．解：35×53+47×35=35×（53+47）=35×100=3500．6．解：53×46+71×54+82×54=（54-1）×46+71×54+82×54=54×46-46+71×54+82×54=54×（46+71+82）-46=54×199-46=54×（200-1）-46=54×200-54-46=10800-100=10700．7．解：①11×11=121②111×111=12321③1111×1111=1234321④11111×11111=123454321⑤111111111×111111111=12345678987654321．8．解：①12×14=12×（10+4）=12×10+12×4=12×10+（10+2）×4=12×10+10×4+2×4 多次运用乘法分配=（12+4）×10+2×4 律（或提公因数）=160+8=168②13×17=13×（10+7）=13×10+13×7 多次运用乘法分配=13×10+（10+3）×7 律（或提公因数）=13×10+10×7+3×7=（13+7）×10+3×7=200+21=221发现规律：求十几乘以十几的积的速算方法是：用一个数加上另一个数的个位数，乘以10（即接着添个“0”），再加上它们个位数字的积．用这个方法计算下列各题：③15×17=（15+7）×10+5×7=220+35=255④17×18=（17+8）×10+7×8=250+56=306⑤19×15=240+45=285⑥16×12=180+12=192．9．解：作为十几乘以十几的特例，以下各小题的结果请牢牢记住：10．解：①15×15 注意矩形框中=15×（10+5）式子=15×10+15×5=15×10+（10+5）×5=15×10+10×5+5×5=（15+5）×10+5×5==225②25×25=25×（20+5）=25×20+25×5=25×20+（20＋5）×5=25×20+20×5+5×5=（25+5）×20+5×5 注意矩形框中= 式子=625发现规律：几十五的自乘积就是十位数字和十位数字加1的积，再在其后写上25．如15×15的积就是1×2再写上25得225．25×25的积就是2×3再写上25得625．用这个方法写出其他各题的答案如下：③35×35=3×4×100+25=1225④45×45=4×5×100+25=2025⑤55×55=5×6×100+25=3025⑥65×65=6×7×100+25=4225⑦75×75=7×8×100+25=5625⑧85×85=8×9×100+25=7225⑨95×95=9×10×100+25=9025要牢记以上方法和结果．要知道，孤立的一道题不好记，但有规律的一整套的东西反而容易记住！11．解：有的同学问：“n是几？”老师告诉你：“n就是末项，你说是几就是几”．用头尾相加法求，自然数列的前n项之和．12．解：请注意规律性的东西．①1+2+3+…+10=（1+10）×10÷2=55②1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050③1+2+3+…+1000=（1+1000）×1000÷2=500500④1+2+3+…+10000=（1+10000）×10000÷2=50005000．13．解：方法1：仔细观察不难发现把每列（或每行）的10个数相加之和按顺序排列起来构成一个等差数列，它就是：55，65，75，85，95，105，115，125，135，145∴总和=（55+145）×10÷2=1000．方法2：首先各行都按第一行计数，得10行10列数字方阵的所有数之和为55×10=550．但第二行比第一行多10，第三行比第一行多20，…，第十行比第一行多90．总计共多：10+20+30+40+50+60+70+80+90=450．所以原题数字方阵的所有数相加之和为：550+450=1000．方法3：仔细观察可发现，若以数字10所在的对角线为分界线，将该数字方阵折叠之后，它就变成下述的三角形阵（多么巧妙！）20 20 20 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 1020 20 20 20 1020 20 20 1020 20 1020 1010总和=20×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-100=20×55-100=1000．方法4：找规律，先从简单情况开始可见原来数字方阵的所有数的和=10×10×10=1000．看！方法多么简捷；数学多么微妙！第四讲数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．例1 最初的数和最简的图相对应．这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”（见下图）．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图．例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n 个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数．第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5…第n个数：1+2+3+4+5+…+n指定的三角形数．比如第100个三角形数是：例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第一个数：1=12=1第二个数：4=22=1+3第三个数：9=32=1+3+5第四个数：16=42=1+3+5+7第五个数：25=52=1+3+5+7+9…第n个数：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）．四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和．奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数．例5 类似地，还有四面体数见下图．仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数．因此四面体数可由几个三角形数相加得到：第一个数：1第二个数：4=1+3第三个数：10=1+3+6第四个数：20=1+3+6+10第五个数：35=1+3+6+10+15．例6 五面体数，见下图．仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：第一个数：1=1第二个数：5=1+4第三个数：14=1+4+9第四个数：30=1+4+9+16第五个数：55=1+4+9+16+25．例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法1：先算空心点，再算实心点：22+2×2+1．方法2：把点图看作一个整体来算32．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：22+2×2+1=32．方法1：先算空心点，再算实心点：32+2×3+1．方法2：把点图看成一个整体来算：42．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：32+2×3+1=42．方法1：先算空心点，再算实心点：42+2×4+1．方法2：把点图看成一个整体来算52．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：42+2×4+1=52．把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：22+2×2+1=3232+2×3+1=4242+2×4+1=52…n2+2×n+1=（n+1）2．利用这个公式，也可用于速算与巧算．如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100992+2×99+1=（99+1）2=1002=10000．习题四1．第25个三角形数是几？2．第50个三角形数是几？3．第1000个三角形数是几？4．三角形数的奇偶性是很有规律的，想一想，这是为什么？5．观察下列图形，你能发现什么？6．第99个与第100个三角形数的和等于多少？7．每一个四角形数（或叫正方形数）（除1外）都能拆成两个三角形数吗？比如，100是哪两个三角形数的和？8．第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗？（这事比较困难）9．请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第n个五（六）角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式．10．写出前10个四面体数．11．写出前10个五面体数．12．按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：请你照此继续做下去．（可参考本讲例7）13．模仿例7，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．习题四解答1．解：1+2+3+…+25=（1+25）×25÷2=325．2．解：1+2+3+…+50=（1+50）×50÷2=1275．3．解：1+2+3+…+1000=（1+1000）×1000÷2=500500．4．解：观察前几个三角形数的构成，就可以发现其中的规律：第1个数=1…奇数；第2个数=第1个数+2…奇数+偶数=奇数；第3个数=第2个数+3…奇数+奇数=偶数；第4个数=第3个数+4…偶数+偶数=偶数；第5个数=第4个数+5…偶数+奇数=奇数．5．解：相邻的两个三角形之和是一个四角形数（或叫正方形数），或是说，一个四角形数，可以拆成两个三角形数之和．或者根据第6题，=第100个四角形数=100×100=10000．7．解：能拆．100=55+45．8．解：寻找这样的例子比较困难．有人找到第49个三角形数是第35个四角形数，因为：（49+1）×49÷2=1225=352．9．解：五角形数如下图所示：第一个数：1=l第二个数：5=1+4第三个数：12=1+4+7第四个数：22=1+4+7+10第五个数：35=1+4+7+10+13 六角形数如下图所示：第一个数 1=1第二个数 6=1+5第三个数 15=1+5+9第四个数 28=1+5+9+13第五个数 45=1+5+9+13+17．第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？。

奥数二年级讲义小二教案规律添数

第4讲找规律填数在本节课中，我们将来研究数列问题，教师将引导学生通过观察一些数的排列，来发现数列的规律，并能根据这些规律继续往下填数．除了数列的规律，我们还将学习图形中数字排列的规律．在找数字规律的学习中不仅要考察学生的观察能力，也要考察学生的计算能力．知识点：1．认识几种常见的数列．2．初步掌握一些常见的数列的规律． 3．会观察图形中数字排列的规律．1．教学点将给老师提供本节课所需挂图．第4讲找规律填数【教学思路】通过这个题激发学生对本节课学习的兴趣，培养学生的观察能力，体会到数学中的数字美．在这道题中，每个数都是它上面两个数的和，发现了这个规律就可以继续往下填了．同学们，我们经常会看见一列数，例如：1，3，5，7，9，……，这些数的排列都是有规律的．如果要在这列数后面继续写几个数，你会写吗？其实只要我们仔细观察这些数排列的你发现这个图中数字的排列有什么规律呢？杨辉，杭州钱塘人，中国南宋末年数学家．最早发现此图这些数字的排列规律，为了纪念他就把这个三角形数阵叫做“杨辉三角”，杨辉三角的特点就是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．规律，我们就能按照这种规律继续往下写了．下面我们就一起来研究这有趣的数列吧！下面每列数都有什么规律？你能继续往下填吗？【教学思路】这是一组等差数列，通过这个题的学习老师引导学生认识什么是等差数列． ⑴ 这是一组单数列，每两个相邻的数之间相差2．⑵ 这是一组双数列，每两个相邻的数之间相差2．⑴ 1，3，5，7，（），（）． ⑵ 2，4，6，8，（），（）． ⑶ 1，5，9，13，（），（）． ⑷ 5, 10, 15, （），（）．像上面这些数列，每相邻的两个数之间相差的数都相同，这样排列的一列数，叫等差数列．⑶每两个相邻的数之间相差4．⑷每两个相邻的数之间相差5．通过找这四组数的排列规律，让学生来发现它们的相同，然后老师介绍像这样的数列就是等差数列．根据下面图形的变化规律，写出相应的数列，然后判断这些数列是等差数列吗？（1）（）（）（）（）（）（）（）（1）（）（）（）（）（）（）（）（）（）【教学思路】这道题中让学生根据图形中的变化规律，写出对应的数列，并能找到这两组数列排列的规律，然后再根据这种规律继续往下写几个数．⑴相应的数列是：1、2、4、7、11往下继续写是（+5）16、（+6）22、（+7）29．这组数列不是等差数列，从左边起每相邻两个数的差分别多1、多2、多3、多4……⑵像这样图形变化的规律，是相隔的图形数量增加（或减少），但是增加或减少的数量不一样，相应的数列是：往下继续写是：5、10、6、12、7、14……不是等差数列．找规律填数．⑴18，15，12，（ 9 ），（ 6 ）⑵ 3，5，8，12，17，（ 23 ），（ 30 ）⑶ 2，1，3，3，4，5，5，7，（ 6 ），（ 9 ），（ 7 ）（ 11 ）你知道下面数列的规律吗？请继续往下写．【教学思路】这是一组等比数列，通过这个题的学习老师引导学生认识什么是等比数列．⑴⑵有的数列是以倍数关系变化的，并且这个倍数的值是固定的，这样的数列是等比数列．在计算中，遇到两位数乘一位数的乘法，老师要引导学生来算．⑴ 1, 2, 4, 8, ( ), ( )．⑵ 1, 10, 100, 1000, ( ), ( )．我们发现，第一个数列后面的数都是前一个数乘以2的得数，第二个数列后面的数都是前一个数乘以10的得数，这样的数列是以相同的倍数关系变化的，我们叫做等比数列．找规律，填一填．⑴1, 3, 9，（），（）． ⑵ 45， 36， 27，（），（）．【教学思路】⑴ 每次乘3，这组数列是：1，3，9，（ 27 ），（ 81 ）．⑵ 从右往左依次是9乘1、乘2、乘3、乘4，这组数列是：45，36，27，（ 18 ），（ 9 ）．下面这组数真奇怪，你能找到其中的规律吗？找出下面数列排列的规律，并填出（）里面的数．⑴ 1，3，4，7，11，（ 18 ），（ 29 ），（ 47 ） ⑵ 5，10，15，25，40，（ 65 ），（ 105 ）【教学思路】⑴ 从第三个开始，每个数都是前两个数的和，71118+=（），111829+=（），182947 +=（）． ⑵ 从第三个开始，每个数都是前两个数的和，254065+=（），4065105+=（）．数列的变化非常多，我们应动脑筋，仔细分析才能找出来．下面（）里面的数你会填吗？【教学思路】这七组数列的规律具体分析如下：⑴ 第2，4，6，8……偶数位上的数都是3，第1，3，5，7，9……奇数位上的数分别是9，8，7，6，5……，每次减少1．⑵ 这是一个依次增加的数列，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，这样依次大4，5，6，……，那么括号里的数应该比13大5，是18．⑴ 9，3，8，3，7，3，（ 6 ），（ 3 ），5，3 ⑵ 4，6，9，13，（ 18 ），24．⑶ 100，81，64，（ 49 ），36，25，（ 16 ），9，4，1 ⑷ 4，8，16，（ 32 ），64，（ 128 ），256 ⑸ 2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ 81 ） ⑹ ( 8 )，( 4 )，10，5，12，6，14，7．【答案】智者的计谋妙在“三两漆”与“三两七”同音．⑶ 第一个数是100，我们可以看成1001010=⨯，8199=⨯，6488=⨯，所以第一个（）应是7749⨯=，第二个（）应是4416⨯=．此数列是个自然数的自乘积数列．从前，有个诡计多端的财主，经常欺骗村里的穷人，村里的穷人都被他坑遍了，可是谁也拿他没有办法．一天，财主又欺负了村里的一个穷人，大家都觉得很气愤，想惩治他，便找来村中的智者出主意，智者爽快地答应了．第二天，智者从杂货店里买来三两漆，寄放在财主家里．财主见是白送上门来的东西，便爽快地答应了．之后，智者便穿上一身整洁的衣服去告状．智者见了县官，说财主昧了他四两金子．县官一听，传来财主，要他与智者当堂对质．财主感到莫名其妙，瞪着眼说：“我没有昧过谁的金子呀？”县令—拍惊堂木，厉声说道：“看来你是不打不招！来人，重打二十大板！”智者在一旁说：“你昧了我四两金子，怎么说没有？招了吧！”财主这才恍然大悟，忙解释说：“噢，不是四两金子，是三两漆!”智者一本正经地说：“明明是四两金子，你为啥说是三两七？”财主有口难辩，最后只得依从县令的判决，赔给智者三两七金子．你知道智者的计谋妙在何处吗？⑷我们发现这个数列增长很快，仔细分析从第二个数起，每个数都是前一个数的2倍．依此类推，第一个（）应该是16232⨯=．⨯=，第二个（）应是642128⑸这个数列既不是一个递增数列，也不是一个递减数列，如果我们先看奇数位上的数是2，4，6，8，10，是个偶数数列；看偶数位上的数是1，3，9，27，发现后一个数是前一个数的3倍，所以（）里应填27381⨯=．⑹把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4．在下列各图中填出所缺的数．⑴⑵⑶【教学思路】每个图中数字的排列是有规律的，具体分析如下：⑴每个信封的左、右、下三方的三个数的和恰好等于上面的数．如34815++=．所以“？”处应填78823++=．⑵每个三角形上面的数与左边的数相乘再加上右边的数恰好等于三角形内的数．如⨯+=+=．⨯+=．所以“？”处应填12302303234517⑶第一个数乘第二个数再减去第三个数，就得到第四个数．49729⨯-=．【教学思路】首先我们来观察这些数的特点：3，6，9，12，15……当每边是2只蚂蚁的时候，一共有3只蚂蚁；当每边是3只蚂蚁的时候，一共有6只蚂蚁；当每边是4只蚂蚁的时候，一共有9只蚂蚁；当每边是5只蚂蚁的时候，一共有12只蚂蚁；当每边是6只蚂蚁的时候，一共有15只蚂蚁；我们发现：每条边上蚂蚁只数33⨯-=蚂蚁总数．如：每边是2只蚂蚁时，蚂蚁总数是：2333⨯-=（只）每边是3只蚂蚁时，蚂蚁总数是：3336⨯-=（只）每边是4只蚂蚁时，蚂蚁总数是：4339⨯-=（只）每边是5只蚂蚁时，蚂蚁总数是：53312⨯-=（只）每边是6只蚂蚁时，蚂蚁总数是：63315⨯-=（只）根据这种规律：当每边是10只蚂蚁时，蚂蚁总数是：103327⨯-=（只）方法二：我们发现每条边上多一只蚂蚁，一共就要多3只蚂蚁．当每边是2只蚂蚁的时候，一共有3只蚂蚁；要使每条边上有10只蚂蚁，每天边上要增加8只，这样一共就要增加8个3只；所以一共是：38327+⨯=（只）拓展与提高—— 蚂蚁布阵蚂蚁国王登基大典上，蚂蚁军队要接受检阅，进行队列表演．它们排成一个个大小不一的三角形（如图所示），请你算一算，要排成每条边上有10只蚂蚁的三角形，需要多少只蚂蚁士兵？（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）下面的数列是有一定规律的，其中有一个数与其他规律是不符的，把它找出来．用圆圈圈上．⑴ 54，18，27，90，35，45 ⑵ 7，1，31，46，55，71． ⑶ 3，4，7，11，18，30．【教学思路】⑴ 观察发现，此数列中除35外，其他数都是9的倍数，故应把35圈起来．⑵ 这些数除了46以外，其他的数均为奇数．所以应把46圈上．⑶ 观察此数列，我们发现，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，而111829+=，不等于30．所以30不符合此数列的规律，应把30圈起来．下面每组里各有四个数，这些数目的各位数字是按一定的规则排列的．请你也按照它们的规则，在“□”中填入适当的数字．【教学思路】⑴ 这是把123，234，456等数目的个位数和十位数字换了，所以567的个位数和十位数字换，就成为576．或者也可以这样认为：个位数都比十位上的数字少1，所以是576，□中填6．⑵ 这是把123，234，456等数目的中间的数字又增加一个，所以把789中8重复一遍．所以答案是7889．⑶ 两头相对的数字相同，且构成数的5个数中间的数最大，又比左右的数大1，故答案是78987．下面数列的每一项是由3个数组成的数组表示的，它们依次是(1，5，10)，(2，10，20)，(3，15，⑴ 132，243，465，57□． ⑵ 1223，2334，4556，78□□． ⑶ 12321，23432，56765，789□□．30)，……，那么，第50个数组内的三个数分别是什么？【教学思路】我们发现每一组的第一个数和它所在组是第几组是一样的．即第一组的第一个数是l，第二组的第一个数就是2，第几组的第一个数就是几．而每一组的第二个数都是第一个数的5倍，第三个数是第一个数的10倍．这样第50个数组三个数分别是(50，250，500)．1．找出下面各数列的规律，然后填空．⑴100，95，90，85，80，(75)，70．⑵1，2，4，8，16，(32 )，64．⑶2，1，3，4，7，(11)，18，29，47．⑷1，2，5，10，17，(26 )，37，50．⑸1，9，2，8，3，(7)，4，6，( 5)，5．2．在下列各图中填出所缺的数．⑴⑵⑶【答案】⑴ 20222418+-=，“？”处应该填18． ⑵ 13445-+=（），“？”处应该填5． ⑶ 1064970-⨯=，“？”处应该填70．3．找规律填出空缺的数：【答案】⑴ 每个正方形里面上面一个数减去下面一个数都是2，右边一个数减去左边一个数都是5． ⑵ 每个正方形里面第一排左边一个数减去右边一个数都是4，第二排右边一个数减去左边一个数都是2．答案如下图．⑴ ⑵4．下图是按一定规律排列的三角形数，请按规律填上所缺数．⑴⑵【答案】这个三角形数的每一行的第一个数组成了一个自然数列．第二行中后一个数比前一个数多2，第三行中从第二个数起每个数比前一个数多3，第四行中每个数比前一个数多4，第五行中每个数应比前一个数多5，所以第五行第4个数是15520+=．第六行第4个数是18624+=．自行车英雄在欧洲，很多人为了减少因驾车带来的空气污染而愿意骑自行车上班，这样的人被视为环保卫士而受到尊敬。

二年级数学奥数讲义-图形数一数(讲师版)

2、对称图形的数法：对左右对称的图形，只需要数左边后再乘 2，然后再数是否有同时包含左右两边图形的符合要求的图形。再将所得相加。
3、立体图形的数法：立体图形的难点在于求被遮住部分的个数，计算数目则通过与上面或者相邻可见图形进行对比求得。因上层的个数比下层少，一般采用从上往下数，先算第一层有多少个，之后第二层比第一层多的那些正方体应该是可见的，因此第二层个数直接用第一层个数加上多出来的可见正方体个数，在讲解过程中可以通过让学生了解上面的每一个正方体下方都必须有一个正方体托住否则会掉落下一层来理解。
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★★★★ 【试题来源】学而思网校【题目】我们已经数过了平面图形的个数，下面让我们来数数立体图形的个数！聪明的小朋友们，下面的题目你们来试试吧！数一数每个图形中的小正方体的个数是多少？
【答案】（1）11 （2）18 （3）14 【解析】（1）因为题目只要求求小正方体的个数，不需要求组合的情况，较为简单。
显然左右两边的三角形数目一致，都为 3+2+1=6，加上整体的那个三角形，总共有 6+6+1=13 个三角形。（2）本题应将整体分成上下两层来看，分别计算上层长方形个数，以及下层长方形个数，再计算包含上下两层基本长方形的长方形个数。对于上下两层长方形，由前面介绍的方法，通过计算他们底边线段的条数，共有 4+3+2+1=10 个。因此两层共有 10+10=20 个，包含两层的长方形都以最下方的线段作为底边，因此同样通过计算最下面的线段条数可以计算出这些长方形个数总共有 10 条，综上所述，共有 20+10=30 个长方形。【知识点】线段数一数【适用场合】当堂例题【难度系数】3
△AFG 所包含的三角形个数，同前面题目所介绍的方法，可以通过计算线段 FG 上的线段条数，因为基本线段有 3 条，因此总共有 3+2+1=6 条线段。

二年级数学奥数讲义练习第21讲合理安排(一)(全国通用版,含答案)

二年级数学奥数讲义练习第21讲合理安排【一】【全国通用版，含答案】【专题简析】填数是一种既有趣，又能发展智力的趣味活动，它不仅可以提高你的运算能力，而且能促使你积极地去思考问题，解决问题。

填数这类题目的题型较多，解答时，除了口算要熟练外，更重要的是要学会分析·推理，有的题目答案不止一种，要尽量运用发散思维·求异思维，把各种可能的答案想出来。

【例题1】把1·3·5·7·9·11·13七个数填入右图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等于21，思路导航；这道题可以这样想；1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数多算了两次，就多出了14，正好7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于14；1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。

解；练习11，把1·2·3·7·8·9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。

97152，在下图圆圈里填数，使每条线上的三个数相加得12【数字不可重复】3，把3·6·9·12四个数填在下面○里，使每条线上三个数的和与正方形四个角上四个数的和相等。

【例题2】如图；在空格中填入不同的数，使每一横行·竖行· 斜行的三个数的和等于15，思路导航；因为每一横行·竖行·斜行三个数的和都等于15，我们可以先填一行中只有一个空格的数，如；4+【9】+2=15，竖行6+【7】+2=15，斜行6+【5】+4=15，根据填出的数再填只有一个空格的数。

解；练习26 428 1 6 3 5 7 4922131，在空格里填数，使每一横行·竖行和对角线上的三个数的和等于212，讲2·4·6·7·8·10分别填入图中空格，使每一横行·竖行·斜行的三个数的和都等于18，3，把1·2·3·5·7·9分别填入下面的空格中，使每一横行·竖行·斜行上三个数的和等于15，【例题3】把1·2·3·4·5·6这六个数填入右图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于13思路导航；先确定图形中央的两个数分别填几，可以这样想，先求六个数的和与两个大圆上八个数的和；1+2+3+4+5+6=21,13+13=26,26-21=5，这个5 就是中央两个圆的数的和，1+4=5,2+3=5，就是说中央两个小圆里可以填1和4，也可以填2和3，中央填1和4,13-5=8，左边填3和5，右边填2和6，中央填2和3行不行呢？剩下的数有1·4·5·6任意两个数的和都不是8，所以无法填出，因此，中央只能填1和4，解；47 39 538 6 4375 练习31，把10·20·30·40·70·80这六个数填入下图的圆圈里，使每个大圆上的五个数的和都是200，2，将1·2·3·4·5·6·填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是16，3，把1·3·6·9·12·15这六个数填入下图圆圈内，使得每个正方形上四个数的和都是25，【例题4】由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上1～7七个自然数，在一些部分中，自然数3·5·7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是15，思路导航；4621375864图中空着四个部分要填入四个数；1·2·4·6，可以看出中心部分属三个圆圈公共部分，关键要确定中心填哪个数，我们用拆数的方法来确定。

奥数讲义答案全集(1-79)

第1讲图形计数1．图中有多少个小正方体?第1题图第2题图第3题图【答案】 7+2=9(个).2．这堆木方块共有多少块?你能用几种不同的方法数出来和算出来吗?【答案】6+4+2=12(块)或6×2=12（块）.3．这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【答案】3×3×5-2×3=39(块)或3×3×3+6×2=39（块）4. 用不同的方法数这两个图形各有多少个方块?【答案】(1)4+3+1=8(个)；(2)3×2+4=10(个).5.将8个小立方块组成“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？【答案】看着图，想象涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面.3面涂色的小立方体共有1个；4面涂色的小立方体共有4个；5面涂色的小立方体共有3个。

第1讲找方法算得快(一)1.计算下面各题.（1）18+26+24+32 （2）4+4+4+4+6+6＝100 ＝28（3）94-8+8-9+9 （4）53+14+37-14＝94 ＝90（5）61+6-12+12-7 （6）66-22-26＝60 ＝182. 下面的题怎样算比较简便呢？（1）73-32-18 （2）87-15-4-1＝23 ＝67（3）76-(32+16) （4）85-(15+23)＝28 ＝473. 比一比看谁算得快！（1）10+11+13+15+16 （2）18+19+20+21+22＝65 ＝100（3）103+102+101+99+98+97 （4）20-19+18-17+16-15+14-13+12-11 ＝600 ＝5（5）36+45-16-25 （6）37-12+62-17＝40 ＝70第1讲我会比一比(P1)1、下面每题的口里能填哪些数?（1）374 ＞ 3□7 （2）374 ＜ 3□7（3）□16 ＜ 609 （4）□28 ＞ 3902、在（）里填上“＞”“＜”或“=”。

二年级下册数学试题-奥数习题讲练：第一讲数字问题(解析版)全国通用

第一讲数字问题【精品】关于数位与数字的问题应用非常广泛.这一讲我们主要是研究这类问题，让学生在解答这类问题时掌握十进制数组成的规律，理解不同数位上的数的意义，会比较不同数的大小.让学生在练习的过程中，进一步理解不同的数所表示的意义也不同.数学乐园一数真离奇，自己加自己：自己减自己，自己乘自己：自己除自己，得数在一起，相加八十一，猜猜它是几?【分析】一个数自己减自己，自己除自己，得数一定是0和1，这样自己加自己、自己乘自己的两得数和应为81-1=80.想到8×8=64．8+8=16，64+16=80.答案如下：这数不离奇，原来它是八.八八六十四，二八一十六.相加得八十，加一八十一.同学们都知道，数是由数字组成的.0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字可以组成许许多多的数.我们的生活中少不了数和数字.关于数字的组成有许多有趣的练习，今天这节课我们就一起来研究这些数字问题.数字迷宫【例1】已知一个两位数的各位数字之和是8，这样的两位数一共有几个?请你写下来.【分析】数字之和为8的两个数相加，按顺序考虑如下：① 8=8+0 ② 8=7+1 ③ 8=6+2④ 8=5+3 ⑤ 8=4+4算式①中的两个数字组成的两位数为80；算式②中的两个数字组成的两位数为71，17；算式③中的两个数字组成的两位数为62，26；算式④中的两个数字组成的两位数为53，35；算式⑤中的两个数字组成的两位数为44.这样的两位数一共有8个.拓展练习已知一个两位数的各位数字之和是6，这样的两位数一共有几个?请你写下来.【分析】这样的两位数一共有6个，分别是：60，15，51，24，42，33.【例2】把10分拆成三个不同的数相加的形式(O除外)共有多少种不同的分拆方法?【分析】分拆时，可以按从大到小的顺序排列，根据题意，分拆成的数不可能大于7.最大数是7：10=7+2+1最大数是6：10=6+3+1最大数是5：10=5+4+1 10=5+3+2把数10分拆成三个不同的数相加的形式，共有四种不同的分拆方法：10=7+2+1，10=6+3+1，10=5+4+1，10=5+3+2【例3】把1、2、3、4、5、6、7、8，这八个数平均分成两组，使每组的四个数相加的和相等，这样的分法有几种?【分析】这8个数的总和是36，平均分成两组，每组四个数的和应是18，考虑时可从大数想到小数.第一组第二组8+7+2+1=18 6+5+4+3=188+6+3+1=18 7+5+4+2=188+5+3+2=18 7+6+4+1=188+5+4+l=18 7+6+3+2=18把1～8这八个数平均分成两组，每组四个数相加的和相等，这样的分法有四种：8，7，2，1和6，5，4，3；8，6，3，1和7，5，4，2；8，5，3，2和7，6，4，1；8，5，4，1和7，6，3，2.【例4】用4、1、8、9四个数字，可以组成几个比700小的三位数.【分析】要组成比700小的数，那么百位上只能是4或1.这样的三位数有418，419，481，489，491，498，148，149，184，189，194，198.【例5】用0、4、7、9四张数字卡片，组成最大的四位数和最小的四位数，各是多少?【分析】四位数是由几个千、几个百、几个十和几个一组成的.(1)要使组成的四位数最大，必须把这四个数字中最大的数字9放在首位，即千位；第二大的数字7放在百位；第三大的数字4放在十位；最小的数字0放在个位上，也就是把这四个数字按从大到小的顺序排列，就组成了最大的四位数9740.(2)组成最小的四位数时，就要考虑把最小的数字放在高位，把最大的数字放在低位，但在这四个数中，最小的是0，因为0不能作一个数的首位数字，所以要把0除外的最小数字4放在千位上，这样最小的四位数是4079.用0、4、7、9四张数字卡片，组成最大的四位数是9740，组成最小的四位数是4079.拓展练习用3、1、0、9组成一个最大四位数和最小的四位数，并求出两数的差？【分析】用3、1、0、9组成的最大的四位数是9310，最小的四位数是1039.这两数的差是：9310-1039=8271.【例6】把4颗算珠放在计数器上，可以组成多少个数?【分析】百位上的珠子表示几个百，十位上的珠子表示几个十，个位上的珠子表示几个一.首先老师要让学生弄清楚每个珠子在不同的数位表示什么意思，然后再来组数.组成的一位数有：4；组成的两位数有：13，22，31，40；组成的三位数有：400，310，301，220，202，211，103，130，121，112.用4颗算珠一共可以组成1+4+10=15个数.拓展练习用5颗算珠，在计数器上拨出一个三位数，你能拨出几个?【分析】组成的三位数有：500，410，401，320，302，311，230，203，221，212，140，104，113，131，122.用5颗算珠一共可以组成1+2+3+4+5=15个数.【例7】请用小鸭身上的数字，组成两个三位数，再求它们的和，使这两个数的和最小.【分析】先找一找小鸭身上有哪些数字，有2、3、3、4、6、7这6个数字.百位上放2和3，十位上放3和4．个位上放6和7.这样两数和就会最小.这两数和最小是583.情况有四组：第一组：236与347；第二组：237与346第三组：246与337；第四组：247与336【例8】用两个9和两个0，按要求组成四位数.1．一个零也不读：2．只读一个零：【分析】一个数一个零都不读出来，那么0必须放在这个数的末尾，因此这个数应该是9900.如果要想只读一个零，那么至少有一个0摆在中间，因此只读一个零的数是9090和9009.1．一个零也不读：9900.2．只读一个零：9090和9009.拓展练习用8、5、0、0、7组成只读一个零的最大五位数是几?组成读两个零的最小五位数是几?【答案】组成只读一个零的最大五位数是：87050，组成读两个零的最小五位数是：50708.【例9】写出一个三位数，使得(1)百位上数是十位上数的2倍，个位上数是百位上数的3倍.(2)百位上数字等于十位上数字与个位上数字的和，这样的数最大是几？【分析】（1）如果十位数字是1，百位上数是十位上数的2倍，百位数字就是2，个位上数是百位上数的3倍，个位数字就是2×3=6，这个三位数就是216.符合条件的只有这唯一一种答案.（2）百位上数字等于十位上数字与个位上数字的和，这样的数很多.要我们写出最大的一个，那么百位就是9，十位上数字与个位上数字的和也应该是9，其中只有十位数字是9，个位数字是0的时候，组成的三位数才会最大，符合条件的这个数应该是990.拓展练习十位上数字是个位上数字的倍数关系的两位数一共有多少个？【答案】个位是1的这样的两位数有：11，21，31，41，51，61，71，81，91；个位是2的这样的两位数有：22，42，62，82；个位是3的这样的两位数有：33，63，93；个位是4的这样的两位数有：44，84；个位是5的这样的两位数有：55；个位是6的这样的两位数有：66；个位是7的这样的两位数有：77；个位是8的这样的两位数有：88；个位是9的这样的两位数有：99；数一数，十位上数字是个位上数字的倍数关系的两位数一共有 23个.【例10】瓢虫邀请蚂蚁到他家去玩.瓢虫说：“我住在青草路，路东的门牌号是单数，路西的门牌号是双数.我家在路西，你数路边门牌号数时数够12次“3”，就到我家了.小朋友，你能帮蚂蚁找到瓢虫家住在几号吗？【分析】瓢虫家在路西，门牌号是双数.要在双数中数12次“3”.那么3只可能在十位或是百位上，个位只能是0，2，4，6，8.从第一次开始数：30，32，34，36，38，130，132，134，136，138，230，232.第12次数到“3”是在232的时候，因此瓢虫家住青草路路西232号.拓展练习(1)蚂蚁邀请瓢虫到它家去玩.蚂蚁说：“我也住在青草路，路东的门牌号是单数，路西的门牌号是双数.我家住在路东，你数够了20个“1”就到我家了.”蚂蚁住多少号?(2)瓢虫又告诉蚂蚁，“最近我搬家了，我仍住青草路，门牌号是一个三位的单数，百位数字比十位大4，十位数字比个位大4.”瓢虫搬到了几号呢?【分析】（1）蚂蚁住在路东，路动的门牌号是单数，从第一个“1”开始数：1，11，13，15，17，19，21，31，41，51，61，71，81，91，101，111.数到111时就数了单数20个“1”，那么蚂蚁家住在青草路路东111号.（2）如果个位最小是1，十位数字比个位大4，十位就是5，百位数字比十位大4，百位数字就是9.所以瓢虫搬到了951号.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）有这样一个算式，12+21=33，我们把12和21这样的两个数叫做倒序数，像这样的和是77的倒序数有多少对?【分析】和是77的倒序数有3对：77=16+61，77=25+52，77=34+43.一个三位数，它的个位上的数是百位上的数的3倍，它的十位上的数是百位上的数的2倍.这个数可能是多少?【分析】如果百位是1，个位上的数是百位上的数的3倍，个位就是3；十位上的数是百位上的数的2倍，十位就是2，这个数就是123.如果百位是2，个位上的数是百位上的数的3倍，个位就是6；十位上的数是百位上的数的2倍，十位就是4，这个数就是246.如果百位是3，个位上的数是百位上的数的3倍，个位就是9；十位上的数是百位上的数的2倍，十位就是6，这个数就是369.这样的数有3个，分别是123，246，369.从1数到100，一共数了多少个“1”？【分析】从1到100一共100个数中，“1”可能出现在个位、十位、百位.于是我们就按在个位、十位、百位上各有多少个“l”这样的顺序分类统计，再看一共有多少个“1”，计数就不会错了.下面分三个数位来统计.“1”在个位上的数有：1，11，21，3l，41，51，61，71，81，91共10个.“l”在十位上的数有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个. “1”在百位上的数只有100，有1个.从1数到100，一共数了21个“1”.练习一1. 已知两位数的各位数字之和为9，这样的两位数一共有几个?请你写下来.【答案】这样的两位数一共有9个：90，81，18，72，27，63，36，54，45.2. 用1、3、8、6、4组成的最大四位数和最小的四位数各是多少?【答案】组成最大的四位数是8643，组成最小的四位数是1346.3. 如下图，用小鸡身上的数字组成不同的两个三位数，使它们的和最小.【答案】小鸡身上的数字有：2，0，0，4，3，7，8；组成两个三位数，使它们的和最小，这两个数是：207和304或204和307.4. 把三颗算珠放在计数器上，可以得到哪些数?【答案】一共可以组成10个数，300，210，201，120，111，102，30，21，12，3.5.用“8、8、8、0、0”五个数字组成五位数，这样的五位数有哪几个?只读一个零的有哪些?一个零也不读的有哪些?【答案】这样的五位数有6个：88800，88008，88080，80088，80808，80880，只读一个零的有：80880，88008，88080，80088.一个零也不读的有：88800.6. 猜数.有个奇怪的数字，自己加自己，自己减自己，自己乘自己，自己除自己，四个得数加在一起是100.它是几?【答案】这个数是9.有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着.最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何，这口井还是得填起来.于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦.农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中.当这头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得很凄惨.但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了.农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇──它将泥土抖落在一旁，然后站到铲进的泥土堆上面！就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去.很快地，这只驴子便得意地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！。

二年级奥数寒假班讲义

二年级奥数寒假班讲义第一节倒过来算--XXX框框法【知识要点】同学们在玩迷宫游戏时，往往会发现，根据要求从里面往外找出路，经常会走入死路，如果反过来思考，从外面的出口往里走，却能很快走到里面的出发点。

数学中有些问题的解答，就像走迷宫一样，需要我们从所求问题出发，倒着想，回到已知条件，这种倒着想的方法，叫做倒推法。

今天我们一起探究邦德框框法的妙处！【课前热身】23＋□=30□－42=15□×3=24□÷4=5【典型例题】例1一个数加上8，再减去2，结果等于8，求这个数是多少？例2某数加上3，乘以5，再减去8，等于12，则这个数是多少？例3一根铁管，第一次截去2米，第二次截去剩下的一半，还剩下5米，这根铁管原有多少米？1二年级数学A例4XXX从学校回家，坐地铁走了全程的一半，坐汽车走了剩下的路程的一半，这时离她家还有2千米，学校到XXX家有多少千米？【经典回顾】例5（1）2、5、3、5、4、5、（）、（）（2）11、4、8、4、5、4、（）、（）（3）1、2、3、5、8、13、（）（4）2、5、6、9、10、13、14、( )、( )（5）1、2、3、2、3、4、3、4、5、( )、( )、( )（6）1、2、4、8、（）（7）6、1、8、3、10、5、12、7、（）、（）；2二年级数学A【小试矛头】1．一个数减去2，再乘以4，结果是24，求这个数？2．一个数加上5，再减去8，成效是12，求这个数？3．一个数除以5，加上6，再减去2，成效是8，求这个数是多少？4．一个数加上2，乘以4，减去4，再除以4，末了成效还是4，求这个数？5．有一盘桃子，猴哥哥取走了10个，猴妹妹取了剩下的一半，这时还剩下4个桃子，问原有桃子多少个？6．有甲、乙、丙三个鸡笼，如果从甲笼取6只小鸡到乙笼，又从乙笼取5只小鸡到丙笼，再从丙笼取4只小鸡到甲笼，这时三个鸡笼里的小鸡都是12只。

求三个鸡笼原各有多少只小鸡？3二年级数学A【大显身手】1．一个数加上7，再乘以2，结果是18，求这个数？2．一个数减去2，乘以3，加上4，除以5后等于2，求这个数？3．一根绳子用去7米，再用去余下的一半，还剩9米，这根绳子原有多长？4．妈妈去商店购物，第一次用去所带钱的一半，第二次又用去了余下的一半，这时妈妈还剩下30元，妈妈原有多少钱？★5．甲、乙、丙三堆砂子，第一次从甲堆取出5千克给乙堆，第二次从乙堆取出10千克给丙堆，第三次从丙堆取出6千克给甲堆，这时三堆砂子都是48千克。

二年级奥数竞赛班第2讲我会数一数

请问摩比在多少个正方形里呢？图形计数问题：1．分类2．有序你会做吗？在下图的八个点中，任意取四个点画出长方形，能画出多少个不同的长方形？【拓展】下图有六个点，连接其中任意三点组成三角形，能组成多少个不同的三角形？我会做一做！新学期开始了，老师对大家说，每个同学都要互相握手，摩比一个同19位同学握了手，请问班上一共有多少名学生，所有同学一共握了多少次手？我会数一数握手问题其实就是数线段的问题：1．数出基本线段数为n。

(基本线段也就是相邻两个端点组成的线段。

)2．线段总数：n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1请你观察下面的图形，然后回答问题。

如果都按照下面的搭法，能搭几组呢？立体图形的计数方法：1．从上往下数2．每层的个数＝上层数＋多余数请问下图中一共有多少个正方形？图中的三角形，第一层由一个小三角形组成，第二层由3个小三角形组成，请问若这个大三角形有十层，第十层有几个小三角形？此时，这个大三角形中有多少个这样的小三角形？图形计数：1．找规律2．列算式求和--------------------- 赠予---------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里。

小学二年级奥数精品讲义第一讲移多补少

第一讲移多补少小朋友们经常会碰到这样的情况：你和好朋友分到的糖果不一样；你们班小朋友的人数和隔壁班小朋友的人数不相等，这时，如果要把不相等的情况变成相等的情况，那应该怎么办呢？这一讲，我们就一起来学习这方面的问题。

例题1 小明有16个贝壳，小红有12个贝壳。

小明给小红几个贝壳，两人贝壳个数就会同样多？练习：⒈小红有10枝铅笔，小明有6枝铅笔，小红给小明几枝铅笔，两人的铅笔枝数就会同样多？⒉二（1）班第一队有28人，第二队有36人，怎样调整，两队人数同样多？⒊甲筐比乙筐多10棵白菜，从甲筐拿几棵到乙筐，甲乙两筐的白菜棵数同样多？解题反思：从以上题目可以看出，要将不相等的情况变成相等的情况，那么，多出来的数量是移走的数量的_______倍。

例题2文文和飞飞各有一些画片，飞飞给文文3张后，两人画片同样多，原来飞飞比文文多几张？练习：1．小华给小强2枝铅笔，两人铅笔枝数同样多，原来小华比小强多几枝铅笔？2．二（1）班有30名小朋友分成两队做操，两队人数相同。

如果第一队调4人到第二队，则第二队比第一队多几人？3．肖肖和飞飞的糖果一样多，两人打赌后飞飞输给肖肖3个糖果，这时飞飞比肖肖少几个糖果？例题3 哥哥有22张邮票，他给弟弟4张后，两人的邮票同样多，弟弟原来有几张邮票？练习：1．小红有10张画片，她给小明2张后，两人的画片同样多，小明原来有几张画片？2．甲借3本书给乙后，两人书的本数同样多，这时乙有12本书，问甲原来有几本书？例题4、张伯伯家里有两筐西瓜，甲筐有西瓜8只，每只重6千克，乙筐有西瓜9只，每只重4千克，那么，从甲筐拿出几只西瓜到乙筐，两筐的西瓜一样重？练习、1（2010年第九届春蕾杯决赛二年级试题）有两盒糖果，第一盒有糖果120粒，第二盒里有糖果40粒，小明每次从第一盒拿出8粒放入第二盒中，按照这样的拿法，小明要拿（）次才能使两个盒子里糖果的粒数相等。

2（2014年中环杯小学二年级邀请赛）、小明和小亮各有24 块积木，小明送给小亮几块后，小亮比小明多出8 块。

二年级数学奥数讲义练习第8讲巧用余数(一)(全国通用版,含答案)

二年级数学奥数讲义练习第8讲巧用余数(yúshù)（一）（全国通用版，含答案）〔专题(zhuāntí)简析〕小朋友已经学会了有余数的除法，在有余数的除法里，余数要比除数小，利用余数，可以解决许多有趣的实际问题(wèntí)，就要看你会不会巧妙地应用了。

要解决除数最小，余数最大的问题，就要理解(lǐjiě)除数和余数之间的关系，余数必须比除数小，即除数必须比余数大，掌握了这一点才能找到准确答案。

要求平均分给几位小朋友，平均每人(měi rén)种多少棵树等类型的问题时，应该首先从总数里去掉多余的部分，使得能够除尽，这样就能符合题意，求出问题的结果。

〔例题1〕，除数最小是几？思路导航；根据余数一定要比除数小的道理，现在余数是4，那么除数的范围就比4大，比4大的数有很多，最小的是几呢？答案是5，因为最小的除数只要比余数大1就可以了。

解；除数最小是5，练习11，（）÷( )=( )……3,除数最小是（）2，（）÷( )=( )……7,除数最小是（）3，（）÷( )=6……8,除数最小是几？当除数取最小时，被除数是几？〔例题2〕余数可以是几，最大余数是几？思路导航；根据余数一定比除数小的道理，可知余数可以是1·2·3·4·5，最大余数是5，最大余数的确定，是只要比除数小1就可以了。

解；余数可以是1·2·3·4·5，最大余数是5，练习(liànxí)21，（）÷7 =（）……（），余数(yúshù)可以是（），最大余数(yúshù)是（）2，（）÷5 =（）……（），余数(yúshù)可以是（），最大余数(yúshù)是（）3，（）÷6 = 5……（），余数取最大时，被除数是（）。