反例在《概率论》教学中的作用

１≤ ｘ＜２ ≥２
都 可 以使 学 生得 到 正 确 答 案 ： 三个 硬 币完 全 一 致 的概 率 是 １ ， ／ ４
同样 可 以解 得 一 家 四个 孩 子 的 性 别 组 合 最 可 能 的是 三个 孩 子
是 一 种 性 别 ， 一 个 孩 子 是 另 一 种 性 别 ． ３ １组 合 ， 不 是 另 即 — 而
２ ２组 合 。 —
得 出该 错 误 结 论 的 重 要 原 因 在 于 对 定 义 的模 糊 理 解 反
例 ： 上述 例 题 的 基 础 上验 证 分 布 函数 的性 质 经 验 证 发 现 所 在
得 的分 布 函数 （ ） 满 足分 布 函数 的 性 质 ２ 即分 布 函数 ） 不 ． 应 为 的 不减 函数 通 过此 例 ，可 帮 助学 生正 确 掌 握 分 布 函数 的定 义 ， Ｆ 尸 ｛ ｝ 一 （ ∞ 是 表示 随机 变 量 在 区 间 ［ ∞． 上取 值 的 ≤ ， ∞ ＋ 一 ］
迷 团 中解 脱 出来 ． 可举 反 例 ： ｌ 有 Ｏ本 不 同 的 书 ． 给 甲 、 、 分 乙 丙 三人 。 甲得 ２本 ， 乙得 ３本 。 得 ４本 ， 多 少种 不 同的 分法 ？ 丙 有 学
、
反 例 是 强 化概 念 教 学 的 有 利工 具
在 概 念 教 学 中 ． 能恰 当 运 用 反 例 来 强 化 概 念 ． 使 学 生 若 能
反 例 ： 掷 三 枚 相 同 的 硬 币 ， 们 掉 下 来 后 完 全 一 致 的 概 抛 它 率是多少？ 大 部 分学 生 认 为 ．三 个 硬 币 当中 至 少 有 两 个 是 一样 的 ， 另
一
２随 机 变 量 的 概 率 分 布 函 数 ．
）尸｝ －
｝一 ，
＜。 ＋。
深 入 理解 概 念 、 清 模 糊思 维 等 有 着 不 可低 估 的 作用 。 于《 理 由 概 率论 》 实 际生 活 有 着 密切 的联 系 ， 与 因此 运 用 反 例 教 学 ， 具 有 更 说服 力 ， 易 使 问题 被 理 解 更
一
１教 材 中关 于分 书 问 题 有 一 个 重 要 结 论 ． ： ／本 不 同 ． 即 有２ 的 书 ， 给 甲 、 、 三 人 。 甲得 ／ 本 ， 分 乙 丙 ２ 乙得 ／ 本 ， 得 ／ 本 ， ２ ： 丙 ２ ， 其 中 ｎ ｎ ３ ０ ｎ，２／ ， 共 有 ／ ｉ 啦！ ！种 不 同的 分 ＋ ２ ＝ ，＜ ｌ，，３ 则 ｚ２ ２ １ ！ 法 有 学 生 认 为 这一 结 论 可 当做 一 个 完 整 的 定 理 看 待 ． 因为 只 有 当 ｎ－ ２／￣ ． ＋ ３ｎ时才 能 有 这 样 完美 整 洁 的结 论 。为 帮助 学 生 从 ４ ２ － ２ ／
该 例 强 调 了 事 件 独 立 性 的 本 质 ． “ 个 事 件 的发 生 并 不 即 一 影 响 另一 事 件 发 生 的概 率 ” 强 化 了学 生 对 概 念 的理 解 ． 到 了 ． 达
教学 的 目 的
是 女 的概 率 都 是 １ ：一 个 硬 币 抛 掷 后 正 面 朝 上 与 正 面朝 下 的 ／ ２ 概 率 也 都 是 １ ． 是 ４ ｌ２ ２ ／ 于 ２ ｘ ／＝ 。
掌 握 概 念 的本 质 属性 。 服 片 面认 识 。 克
１例如 ， 事 件独 立 性 的 教 学 中有 如 下 实 例 ：随 机 抛 掷 一 ． 在 “
枚 匀 称 的 分 币 ． 掷 一 百 次 ． 一 百 次 抛 掷 的 结 果 是 互 相 独 立 抛 这 的。” 对此 不 少 学 生 认 为 ： 果 第一 次抛 掷 正 面 朝 上 。 如 那第 二次
次 抛 掷 时 ． 有 绝 对 的 把 握 可 以 断 定 正 面 朝 下 ． 种 概 率 甚 至 就 这
可 以接 近 ｌ
在这 个 问 题 上学 生 忽 略 了概 念 的 本 质 ．即 对分 币来 说 。 每
一
的现 象 例 如受 “ 从 正 态 分 布 的 随 机 变量 经线 性 变 换 后 仍 服 服 从 正 态 分 布 ” 一 重 要结 论 的 影 响 ． 生 伪 造 了 定 理 “ 从 标 准 这 学 服
他 总 在 自己 的公 文 包里 带 着 一 枚 御 了火 药 的 炸 弹 他 认 为 在 一 辆 公共 汽车 上 不 太 可 能有 个 乘 客 带 着 炸 弹 ．并 进 一 步推 论 ： 在
一
三 、 例是 说 明“ 觉会 发 生 错 误 ” 反 直 的有 效 手 段
概 率 论 与 实 际 生 活 密切 相 关 ． 们 在 日常 生 活 中 总是 有 意 人
正 态 分 布 的 随机 变 量 经 线 性 变 换 后 仍 服 从标 准 正 态分 布 ” 对 。 于 反 驳 伪造 定 理 ． 反 例 可 以说 是 唯一 有 效 的方 法 。 举
次抛 掷 正 面朝 上与 正 面 朝 下 的 概 率 都是 １ ．而 两 次抛 掷 的 ／ ２
结 果 之 间并 无 联 系 ． 不 影 响 ． 无 因果 关 系 。为 纠 正 错 误 ． 互 更 可 举 一 个 与 实 际生 活 密 切 相 关 的反 例 ： 先 生 每 天 乘公 共 汽 车上 张 下 班 ． 担 心 可 能 哪 一 天 会 有 一 个 乘 客 带 着 隐 藏 的 炸 弹 ． 是 他 于
辆公 共 汽 车 上 同 时有 两 个 人 带 着 炸 弹是 更加 不 可 能 的事 ． 于
是 就安 心 地 乘 公共 汽车 。 实 是 这样 吗 ？ 生 经 过 讨论 可知 ， 事 学 张 先 生带 不 带 炸 弹 并 不 影 响 其 他 人 带 炸 弹 的 概 率 ． 张先 生 的想 法 无 非 是 以为 硬 币抛 出 的 正 反 面 会 影 响 下 一 次 抛 掷 结 果 的另 一
识 或无 意 识 地 运 用概 率 知 识 奇 怪 的是 ． 率 论 中 大 多数 问题 概
的解 答 总 是 有 悖 常 识 的 ． 人 的 直 觉 相 矛 盾 ． 至让 人 迷 惑 不 与 甚 解 。 果 教 学 中能 有 效 利 用 这 一 点 ， 激 发学 生 的好 奇 心 ， 学 如 可 使 生 对 概 率论 产生 极 大 的兴 趣
（ 以下 简称 分 布 函数 ） 教 学 是 《 率 论 》 学 中 的难 点 之 一 ， 的 概 教 其 原 因是 学 生 常常 把 离 散 型 随机 变 量 的分 布 函数 与 《 学 分 析 》 数
中的 分段 函数 混 为 一 谈 例 ： 散 型 随机 变 量 Ｘ 的 概 率 分 布列 为 Ｐ Ｘ Ｏ ’ ， Ｉ ＝ 离 Ｉ ＝ ｌ． Ｐ Ｘ ｌ ： ， Ｉ ＝ ｆ ， 分 布 函数 Ｊ ｝ ＰＸ ２＝ 求 。
实 践 讲 堂
反 例在《 概率论》 学 中的作 用 教
张 丽 （ 江市季 市 中学 ， 苏 靖 江 靖江 ２４ ０ ） １ ５ ０
在数 学 教 学 中 ． 例 的应 用 非 常 广 泛 。 当地 应 用 反例 。 反 恰 对
另 一 段 没 有 意义 二 、 例 是 克 服 “ 信 重 要 结论 ” 反 迷 的有 效 措 施
反 例 的 应 用 ． 求 学 生 要 具 备 一 定 的相 关 知 识 ． 例 要 简 要 举
概 率 累 积 ， 不是 《 学分 析 》 分 段 函 数 那样 某 一段 的定 义对 而 数 中
练、 易懂 ． 否则 将 弄 巧 成 拙 。
１ ０ ２０ ９ ３ １￣ ０
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个 要 么 与这 两 个 一 样 ． 么就 是 不 同 的 由于 它 出 现 两 种 情 要
况 的 机会 是 均 等 的 ． 它 与另 外 两 个 硬 币是 否 一 致 的 概 率 也 是 故
相等 的 ． 于是 三 个 硬 币 都 一 样 的 概率 就 是 １ 。 ／ ２ 另 有 一 部 分学 生 认 为 三 个 硬 币 完 全 一致 的 概 率 一 定 小 于
掌 握 了列 表 法 和 公式 法 ． 生 就 可 以养 成 良好 的解 题 习惯 ． 学
不再 只凭 直 觉 轻率 地 下结 论 。 因为 缺少 正 确 的解 题技 能 ． 们 正 人 常常 凭直 觉 来 判 断 问题 ．而 在 概率 论 中 直觉 又 是 最 容易 发 生错
误的 ． 这也 是 为 什 么有 些人 被 赌博 游 戏 所迷 惑 的原 因所 在
种 形 式 而 已
如 大 部 分 学 生 认 为一 家 四 个 孩 子 的 性 别 组 合 最 可 能 的 是 两 男 两女 ： 为 四个 相 同 的硬 币抛 掷 的 正 反 面组 合 最 可 能 的是 认
两 个正 面朝 上 ． 两个 正 面 朝 下 他 们 的根 据 是 一 个 人 性 别是 男
１２。 ／
错解 ：
０ ｘ＜Ｏ
到 底 哪 一种 观 点 更 接 近 正 确答 案 呢？ 刻 正 是 将列 表法 和 此
公 式 法 介 绍 给学 生 的最 好 时 机 ． 运用 列 表 法 和 古典 概 型 公 式 法
（） ｛
１２ ／ Ｆ ｘ） （ ＝
ｌ６ ， １３ ／
０ ≤ ＜ １
出 现 了 正 面朝 上 ． 由于 不 可 能 总 是 出现 同样 的 结 果 ． 此 下 一 因
到 了这 样 整 洁 的 结 论 这 一 例题 可 提 醒 学 生不 能盲 目祟 拜 某一
重要 结 论 ． 而要 不 断 围 绕 一个 中心 提 出多 个 移 ． 生 也 往 往 有 伪 造 定 理 ． 学
生 利 用 组合 知识 可 解 得 共 有 １ ２ ３ 不 同分 法 。但 这 ０ １，１ ４ １ １种
里 ２ ３ ４ ９ １ ， 有 满 足 ，＋ ２ ＋＋＝≠ ０没 ｚ ／＋ 。２ 这 一 重 要 条 件 ， 样 得 同
抛 掷 正 面 朝 下 的概 率 会 比 正 面朝 上 的概 率 大 ： 如果 连 续 几 次 都