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(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2=a2-2ab+b2
解： (y- )2=
（a+b)2=
.
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)=
4x2 y2 4xy 1
.
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a-b)2=a2-2ab+b2
(2) (y- )2.
(a+b)2=a2+2ab+b2
比较 ：(a+b)2 与 a2+b2
运用完全平方公式计算：
(1)(4m2－3n)2 ；
(2) (a-b)2与(b-a)2相等吗?
例1 运用完全平方公式计算：
（a+b)2=
.
1、第一天有a个男孩一起去老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(1)(4m+n)2；
例3 运用完全平方公式计算：
a
(1)(4m2－3n)2 ；
例1 运用完全平方公式计算：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
例2、运用完全平方公式计算：
(4)(-2m-1)2
(a-b)2=a2-2ab+b2
例1 运用完全平方公式计算：
(4)(-2m-1)2
解： (y- )2=
(a +b)2 = a2 + 2 a b + b2
(2)(－2xy－1) ； (4)(-2m-1)2
2
(1)(4m2－3n)2 ；
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应
解：原式＝(2xy) 2 • 2xy •1 (1) 解：(y- )2=
完全平方公式(课件)八年级数学上册(人教版)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2
倍. (简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.
思考 你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.2完全平方公式
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15
=x2 ＋8x ＋15.
一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种
植不同的新品种.
p2+2p+1
P2-2p+1
m2-4m+4
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4)
(m-2)2=_________.
计算：(a+b)2，(a-b)2.
(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
=1002-2×100×1+12
=10000+400+4
=10000-200+1
=10404
=9801
利用完全平方公式简便计算：
课件《完全平方公式》优质PPT课件_人教版2
（1）（p+1）=_p__+_1_+__2_p_；（m+ 例1 运用完全平方公式计算:
(2)(a+b+c) 2. 例2 运用完全平方公式计算:
22
2）2 =_4_m__2+__4_+_4_m__；
灵活应用完全平方公式进行计算.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
灵活应用完全平方公式进行计算.
（2）（p-1）=__p__+_1_-_2_p_；（m-2）=_4_m___+_4_-_4_m__. (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
计算：(1)(x+2y)2. 另外两个长方形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形的面积都是ab；
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= [(a+b)+c]2
例1 运用完全平方公式计算:
其中两项为两数的平方和；
(2)(－3m－4n)2；
例1 运用完全平方公式计算:
例2 运用完全平方公式计算:
化简（x+1)2+2(1-x)-x2.
= 10 000 +400 +4 = 10 404 .
(2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2×100 × 1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.
针对训练 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
探究 计算下列多项式的积. （1）（p+1）2 =_p_2_+_1_+__2_p_；（m+2）2 =_4_m__2+__4_+_4_m__；
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自己做
(2) (3) .
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2 (2). (a-b)2=a2-b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
歌声像气势飞鸿的激水，不断从声源 扩大到 可远可 近的周 遭。被 沉睡中 人们的 闹钟似 得扰闹 着；刺 饶着早 起人们 的进行 曲一样 ；持续 着喜宴 人们的 激奋曲 。不同 生活宿 命的人 们，被 秋意带 动着不 同的变 迁。如 同悠扬 持续的 歌声， 唤示着 一种缔 结与生 命奥义 相关的 一种联 系或者 价值。 我也曾数十次地感受着秋意带来生活 特别的 感触， 以及带 来了生 活不同 的意义 。在过 去二十 二载的 秋季之 时，不 曾以笔 绘秋， 以文摹 凉。秋 季带给 除了童 年时候 与伙伴 一起嬉 戏的情 景，不 曾认真 的感受 秋真正 的面貌 和内涵 。 我就在电脑前，听着一曲《简单爱》 。凝思 举笔， 灵慧泼 墨。于 秋的感 触中， 牵引的 情绪， 以及秋 的哲学 意义是 怎么样 ？我不 知道怎 样继续 ，才能 构成秋 的一曲 歌谣， 一首诗 颂，一 纸佳b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
(2) (3) .
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2 (2). (a-b)2=a2-b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
歌声像气势飞鸿的激水，不断从声源 扩大到 可远可 近的周 遭。被 沉睡中 人们的 闹钟似 得扰闹 着；刺 饶着早 起人们 的进行 曲一样 ；持续 着喜宴 人们的 激奋曲 。不同 生活宿 命的人 们，被 秋意带 动着不 同的变 迁。如 同悠扬 持续的 歌声， 唤示着 一种缔 结与生 命奥义 相关的 一种联 系或者 价值。 我也曾数十次地感受着秋意带来生活 特别的 感触， 以及带 来了生 活不同 的意义 。在过 去二十 二载的 秋季之 时，不 曾以笔 绘秋， 以文摹 凉。秋 季带给 除了童 年时候 与伙伴 一起嬉 戏的情 景，不 曾认真 的感受 秋真正 的面貌 和内涵 。 我就在电脑前，听着一曲《简单爱》 。凝思 举笔， 灵慧泼 墨。于 秋的感 触中， 牵引的 情绪， 以及秋 的哲学 意义是 怎么样 ？我不 知道怎 样继续 ，才能 构成秋 的一曲 歌谣， 一首诗 颂，一 纸佳b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
14.2.2第1课时完全平方公式 课件 2024-—2025学年人教版数学八年级上册
课堂训练
4.（2021•台湾）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ C ）
A．2482+248×52+522=3002 B．2482-248×48-482=2002 C．2482+2×248×52+522=3002 D．2482-2×248×48-482=2002
课堂训练
5.（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2=4x2-2（m-1）xy+16y2，则m的值 为 -7 ． 【解析】（2x+4y）2=4x2+16xy+16y2，∴-2（m-1）=16，解得m=-7.故
2
解：原式=x2-6x+9+x2-9+4x-2x2
=-2x.
当x=
1 2
时，原式=-2×（
1 2
）=1．
课堂训练
8.利用乘法公式计算：982-101×99.
解：原式=(100-2)2-(100+1)(100-1) =1002-400+4-1002+1 =-395.
课堂训练
9.(1)已知x+y=8，xy=12，求x2-xy+y2的值． 解：∵x+y=8，xy=12，x2-xy+y2=（x+y）2-3xy ∴x2-xy+y2=82-3×12=64-36=28．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式及其结构特征.（重点） 2.理解完全平方公式的探索及推导过程，灵活应用完全平方公 式进行计算和解决实际问题.（难点）
课件《完全平方公式》精品ppt课件_人教版2
随堂演练
1.(1)若(x-5)2=x2+kx+25，则k= -10 ； (2)若4x2+mx+9是完全平方式，则m= ±12.
解析：（1）∵(x-5)2=x2-10x+25=x2+kx+25， ∴k=-10. （2）∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴4x2+mx+9=(2x±3)2，∴m=±12.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 =x2-(4y2-12y+9)
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项
= x2-4y2+12y-9.
(2)计算(a+b+c)2时可将 = x2-4y2+12y-9.
当作的完全符平方号式中与的a原，把来的当作符完全号平方相式中反的b．.
（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） ［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］
=(x2+y2)2
∵5+5+2与5+（5+2）的值相等；
1、我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
2) a+b-c=a+(____) （2）∵4x2+mx+9是完全平方式，
为［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］ ； (2)计算(a+b+c) 时 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
在下列括号内填上适当的项，使等式成立。
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小结:当所给的二项式 中两项符号相同时,一 般选用“和”的完全 平方公式;
当所给的二项式 中两项的符号相反时, 一般选用“差”的完 全平方差公式.
（a+b)2 与（-a-b)2相等吗？ 相等 （a-b)2与（b-a)2相等吗？ 相等 （a-b)2 与 a2-b2相等吗？ 不相等
解题时常用结论：
(-a-b)2 =(a+b)2
动脑筋
的证明
完全平方公式
想一想 (a+b)2=a2+2ab+b2 ;
(a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式 推证公式
= a 2 + 2 a (−b) +(−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符
()
1.(a-b)(a+b)(a +b ) (-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2=
(a-b)2 =(b-a)2 .
22
=16m2+8mn+n2
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多项式乘以多项式相乘知识点回顾
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一
项,再把所得的积相加。
(a+b)•(m+n)= am
an+
bm
+bn
探索完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律：
1） (x + 1)2 =(x+1)(x+1)= 2+ ++1 = 2 +2x+1
2） (m + 2)2 =(m+2)(m+2)=2+2+2+4= 2 +4m+4
3） (2x + 2)2 =(2x+2)(2x+2)=4 2+2+2+1= 4 2 +4x+1
4） (a + b)2 =(a+b)(a+b)= 2 + ab + ab+= 22 +2ab+ 2
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
∴2 + 2 + 2 − − − ,
1
= 2 (22 + 22 + 2 2 − 2 − 2 − 2),
1
= 2 (2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 )
1
各项都变号.
遇“加”不变，遇“减”都变
探索添括号法则
请同学们完成下列运算并探索添括号法则．
（1）4+5+3
（2）4-5-3
（3）a+b+c
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八年级上册 RJ
14.2.2 完全平方公式
第2课时
初中数学
知识回顾
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 ，(a-b)2=a2-2ab+b2. 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
2.计算：
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
a+(b+c)=_______；
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (1) (x+2y-3)(x-2y+3)；
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
例1 运用乘法公式计算：
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)． 解：(2) (x－y－m＋n)(x－y＋m－n)
3.当x2-xy=18，xy-y2=-15时，求x2-2xy+y2的值. 解：x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=(x2-xy)-(xy-y2). 因为x2-xy=18，xy-y2=-15， 所以x2-2xy+y2 =18-(-15)
=18+15 =33.
=x2-(2y-3)2
=(a+b) +2(a+b)c+c 2 a+(b+c)=_______；
有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用Байду номын сангаас式.
2
[x+(2y-1)]2
14.2.2 完全平方公式
第2课时
初中数学
知识回顾
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 ，(a-b)2=a2-2ab+b2. 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
2.计算：
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
a+(b+c)=_______；
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (1) (x+2y-3)(x-2y+3)；
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
例1 运用乘法公式计算：
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)． 解：(2) (x－y－m＋n)(x－y＋m－n)
3.当x2-xy=18，xy-y2=-15时，求x2-2xy+y2的值. 解：x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=(x2-xy)-(xy-y2). 因为x2-xy=18，xy-y2=-15， 所以x2-2xy+y2 =18-(-15)
=18+15 =33.
=x2-(2y-3)2
=(a+b) +2(a+b)c+c 2 a+(b+c)=_______；
有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用Байду номын сангаас式.
2
[x+(2y-1)]2
《完全平方公式》ppt课件人教版初中数学1
=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2
(1)(p+1)2 =(p+1)(p+1)= ____________;
(2)(m+2)2 =(m+2)(m+2)= ____________;
(1)(6a+5b)2
（2）(a-b)2
（1）a²+b²=
。
师一共给了这些孩子多少块糖？
（a+b）²=
。
(3）1022
2 2 2 （4）ab=
。
共同特点：(a b) a 2ab b 解：原式=4m2-4m+1
(3)(p-1)2 =(p-1)(p-1)=_____________;
2、“探究”两数差的平方有什么共同特点？ （a+b）² - 2ab
= x2 + 2·x·2y+（2y）2
(3)(p-1) =(p-1)(p-1)=_____________; 2 (2)(m+2)2 =(m+2)(m+2)= ____________;
和（或差）的平方 它们的积的两倍
9x2 12
4y2
－4m
a2 +2ab
你能根据109思考的两个图的面积验证公式吗？
完全平方和公式：
完全平方差公式：
b ab b²
b ab b²
a a² ab
a
a² ab
ab
(a b)2 a 2+2ab +b2
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
=(p+1)(p+1)=
____________;
课件《完全平方公式》精品ppt_人教版1
答案：8 原式=[x+(2y-3）][x-（ 2y-3）]
你知道怎么算这种式子吗？ （4）a+b+c=a-（ ） ②积中两项为两数的平方_____，另一项为两数的____的_______，且符号与等式左边符号________． ②积中两项为两数的平方_____，另一项为两数的____的_______，且符号与等式左边符号________．
你能用一个式子概括上述规律吗？
=
怎么证明呢？
代数证明
你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 运用完全平方公式计算： 这节课我们学会了什么？ 这个符合完全平方公式还是平方差公式？ 你知道怎么算这种式子吗？ （1）（x+2y-3）（x-2y+3） ③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子． 观察式子，回答下列问问题： 运用完全平方公式计算： 运用完全平方公式计算： 已知x，y的和与积求平方和 思考：怎么检验添括号是否正确呢？ 观察式子，回答下列问问题： （2）（2x+y+z）（2x-y-z）
例题 运用完全平方公式计算： 方法一：
方法二：
哪种方法比较简单？
总结：为了简便，可以先把括号内变形为首项为正的．
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
例题 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：在等式右边的括号内填上适当的项：
完全平方公式
知识回顾
多项式乘多项式的法则 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两个括号，就用_________________ ．
1．如何判断应该选择哪个公式？
你知道怎么算这种式子吗？ （4）a+b+c=a-（ ） ②积中两项为两数的平方_____，另一项为两数的____的_______，且符号与等式左边符号________． ②积中两项为两数的平方_____，另一项为两数的____的_______，且符号与等式左边符号________．
你能用一个式子概括上述规律吗？
=
怎么证明呢？
代数证明
你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 运用完全平方公式计算： 这节课我们学会了什么？ 这个符合完全平方公式还是平方差公式？ 你知道怎么算这种式子吗？ （1）（x+2y-3）（x-2y+3） ③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子． 观察式子，回答下列问问题： 运用完全平方公式计算： 运用完全平方公式计算： 已知x，y的和与积求平方和 思考：怎么检验添括号是否正确呢？ 观察式子，回答下列问问题： （2）（2x+y+z）（2x-y-z）
例题 运用完全平方公式计算： 方法一：
方法二：
哪种方法比较简单？
总结：为了简便，可以先把括号内变形为首项为正的．
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
例题 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：在等式右边的括号内填上适当的项：
完全平方公式
知识回顾
多项式乘多项式的法则 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两个括号，就用_________________ ．
1．如何判断应该选择哪个公式？
人教版《完全平方公式》优秀课件
＝9 801. 一公式的拓展应用，突破难点．
＝[(a＋b)＋c]2 理解完全平方公式的结构特征，并能灵活应用公式进行计算．
＝(a－(a＋b)2b＝)2＋a2此2－(a2＋a处bb＋)cb＋可2c2 先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多
教学设计
构加方些的通归语教特公原特上纳过师言征式因点(或：几可叙．．．：减公个以述如去式这在：公)它((样前两式aa＋－们的面个左bb积运的数、)) ＝＝的算基的右aa2例础边和倍＋－子上的(．或22aa继，结这bb差＋＋续让构两)的bb鼓学，个平励生并公方学观尝式，生察试叫等发算说做于现式明(乘它这与产法们个结生的的公果这)平式间完些方特的的全和点一结平， ＝你＝(＝2＝此样2＝理＝在看解举教((12(((教理完(语在看2＝＝＝ (举(＝谈在一 ＝教((此样2aa31121223． ． ． ． ．)))))))))－－a能(1[处化[解(完；：例材材解全言完；([1例(一解公[材处化(((((((9((((xaaaamxxpxama002完完完教教aaa＋9＋＋b＋b＋列 可 ， 完 全 (： 例 例 完 平 叙 全 ： 谈 此 式例 可 ，＋＋＋＋ －＋＋＋＋＋1200＋＋))全全全材材(22)bbbb＝00出先但全平(55全方述平(：例的 5先但2222b1bbbbb(11＝＝22))))00x平平：平例：例：yyyy)＋ ＋2)))2222))())下让要平方平公：方你的拓 让要2＋＋＋＋－－－－－－((1＋22＋＋[＋a＋pp方方运方4＝运4运acc0＝＝2列学求方公方式两公对过展 学求2ccc22333＋＋：：3))＋c02222－22公公]用公用]]用(y00))))2222__p－(((((((代生明公式公的个式完程应 生明]－11运运00(aaaa＋xxx[__－2－式式乘式乘乘x))＋＋＋＋＋＋－－－1__数独白式的式推数的全中用 独白22a－3用用2)1__b的的法的法法b＝＝)112bbbb222a(式立每的探的导的探平，， 立每)__)(＋完完x＝))))(yyyb]2几几公推公公((__pcccc2－＋＋＋pp＋y吗思种结求结过和求方应突 思种b全全__＋＋＋＋－＝1＋ ＋－何 何 式 导 式 式2__233302？考算构过构程过公注破考算(平平cccc1a__或y)))0113a解解计及计计2222；；；)2__＋2，法特程特、程式意难 ，法)))c＝方方差＋((]__－＋释释算其算算pp3__然的征中征结中有边点 然的_公公＋＋)2)__22．．：应：：的_a后局，，，构，了辩． 后局__×b式式_11(用__c平_)－)自限并学并特学哪析自限1＝＝__计计._．0方；；b_主和能生能点生些各主和__算算0)_＋，__×_发优灵表灵、表认项发优：：___(等1__－言越活现活几现识的言越_＋___于__b，性应出应何出？符，性_1__)它_22__口．用观用解观它号口．_＝__们_22述公察公释察与特述___a__的；2解式角式，角平征解__－平__题进度进灵度方，题__2方__思行的行活的差边思a__22b和；；路计差计应差公对路＋，，算异算用异式照，b加2可．：．．：有两可.上先有有什个先(或不些些么公不减给学学区式给去出生生别的出)题只只和结题它目是是联构目22们中侧侧系特中积“重重？征“的运观观，运2倍用察察教用．完某某师完这全个个应全两平单单完平个方独独整方公公的的详公式式 式 式 细 式叫计子子地计做算，，书算(”而而写”乘的不不解的法要知知题要的求道道过求)完，将将程，全允几几，允平许个个帮许方他式式助他公们子子学们式算联联生算．法系系理法的起起解的多来来这多 还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释： (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
＝[(a＋b)＋c]2 理解完全平方公式的结构特征，并能灵活应用公式进行计算．
＝(a－(a＋b)2b＝)2＋a2此2－(a2＋a处bb＋)cb＋可2c2 先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多
教学设计
构加方些的通归语教特公原特上纳过师言征式因点(或：几可叙．．．：减公个以述如去式这在：公)它((样前两式aa＋－们的面个左bb积运的数、)) ＝＝的算基的右aa2例础边和倍＋－子上的(．或22aa继，结这bb差＋＋续让构两)的bb鼓学，个平励生并公方学观尝式，生察试叫等发算说做于现式明(乘它这与产法们个结生的的公果这)平式间完些方特的的全和点一结平， ＝你＝(＝2＝此样2＝理＝在看解举教((12(((教理完(语在看2＝＝＝ (举(＝谈在一 ＝教((此样2aa31121223． ． ． ． ．)))))))))－－a能(1[处化[解(完；：例材材解全言完；([1例(一解公[材处化(((((((9((((xaaaamxxpxama002完完完教教aaa＋9＋＋b＋b＋列 可 ， 完 全 (： 例 例 完 平 叙 全 ： 谈 此 式例 可 ，＋＋＋＋ －＋＋＋＋＋1200＋＋))全全全材材(22)bbbb＝00出先但全平(55全方述平(：例的 5先但2222b1bbbbb(11＝＝22))))00x平平：平例：例：yyyy)＋ ＋2)))2222))())下让要平方平公：方你的拓 让要2＋＋＋＋－－－－－－((1＋22＋＋[＋a＋pp方方运方4＝运4运acc0＝＝2列学求方公方式两公对过展 学求2ccc22333＋＋：：3))＋c02222－22公公]用公用]]用(y00))))2222__p－(((((((代生明公式公的个式完程应 生明]－11运运00(aaaa＋xxx[__－2－式式乘式乘乘x))＋＋＋＋＋＋－－－1__数独白式的式推数的全中用 独白22a－3用用2)1__b的的法的法法b＝＝)112bbbb222a(式立每的探的导的探平，， 立每)__)(＋完完x＝))))(yyyb]2几几公推公公((__pcccc2－＋＋＋pp＋y吗思种结求结过和求方应突 思种b全全__＋＋＋＋－＝1＋ ＋－何 何 式 导 式 式2__233302？考算构过构程过公注破考算(平平cccc1a__或y)))0113a解解计及计计2222；；；)2__＋2，法特程特、程式意难 ，法)))c＝方方差＋((]__－＋释释算其算算pp3__然的征中征结中有边点 然的_公公＋＋)2)__22．．：应：：的_a后局，，，构，了辩． 后局__×b式式_11(用__c平_)－)自限并学并特学哪析自限1＝＝__计计._．0方；；b_主和能生能点生些各主和__算算0)_＋，__×_发优灵表灵、表认项发优：：___(等1__－言越活现活几现识的言越_＋___于__b，性应出应何出？符，性_1__)它_22__口．用观用解观它号口．_＝__们_22述公察公释察与特述___a__的；2解式角式，角平征解__－平__题进度进灵度方，题__2方__思行的行活的差边思a__22b和；；路计差计应差公对路＋，，算异算用异式照，b加2可．：．．：有两可.上先有有什个先(或不些些么公不减给学学区式给去出生生别的出)题只只和结题它目是是联构目22们中侧侧系特中积“重重？征“的运观观，运2倍用察察教用．完某某师完这全个个应全两平单单完平个方独独整方公公的的详公式式 式 式 细 式叫计子子地计做算，，书算(”而而写”乘的不不解的法要知知题要的求道道过求)完，将将程，全允几几，允平许个个帮许方他式式助他公们子子学们式算联联生算．法系系理法的起起解的多来来这多 还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释： (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
课件《完全平方公式》优秀课件完美版_人教版2
14.3.2.2 方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
问题五 大家还记得完全平方公式吗？
利用完全平方公式因式分解 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，我们把 运用完全平方公式分解因式．
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
2a 4ab 4b 16 提公因数 方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
就得到因式分解的完全平 方公式：
把方整法式 ：的当乘两法个公平式方项—的—符完号全同平时方2为公负式号倒时过，来先将负号提出来，再进行因式分解
1、a2 4a 4 a 2 2a 2 22 a 2 2
2、25x4 20x2 4 5x2 2 2 5x2 2 2 2 5x2 22
例1 因式分解
(1) 16x2 24x 9 （2） - x2 4xy 4 y2
分析：16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号中填空
3、看是否有这两数积的2倍
和
这样的式子叫做完全平方式．
a +2ab+b =（a+b） 方法：若式子有整体满足完全平方式可2直接进行因式分解2，需注意中间项的符2号
问题五 大家还记得完全平方公式吗？
利用完全平方公式因式分解 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，我们把 运用完全平方公式分解因式．
方法：若式子中有公因数或公因式，应先提公因数或公因式，再进行因式分解
2a 4ab 4b 16 提公因数 方法：若式子有整体2满足完全平方式可直接2进行因式分解，需注意中间项的符号
方法：若式子有整体满足完全平方式可直接进行因式分解，需注意中间项的符号
就得到因式分解的完全平 方公式：
把方整法式 ：的当乘两法个公平式方项—的—符完号全同平时方2为公负式号倒时过，来先将负号提出来，再进行因式分解
1、a2 4a 4 a 2 2a 2 22 a 2 2
2、25x4 20x2 4 5x2 2 2 5x2 2 2 2 5x2 22
例1 因式分解
(1) 16x2 24x 9 （2） - x2 4xy 4 y2
分析：16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
把整式的乘法公式——完全平方公式 倒过来 就得到因式分解的完全平 方公式：
a2 2ab+b2 =（a b）2
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个 数的积的2倍，等于这两个数的和（或差） 的平方
1、在下面括号中填空
3、看是否有这两数积的2倍
和
这样的式子叫做完全平方式．
a +2ab+b =（a+b） 方法：若式子有整体满足完全平方式可2直接进行因式分解2，需注意中间项的符2号
完全平方公式 PPT课件 12 人教版
利用完全平方公式计算：
² 54
=
997²=
比较下列各式之间的关系：
(1) (-a -b)2 与(a+b)2
(2) (a - b)2 与 (b - a)2 (-b +a)2 与(-a +b)2
相等
相等
你会了吗
1.(1.2m+3n)²=
2 2.(-2a +b)² =
通过这节课的学 习你学到了什么
课堂小结：
(a+b)2= a2 +2ab+b2 1、完全平方公式：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数； 3、公式的逆向使用： 4、解题时常用结论：
a2 +2ab+b2 = (a+b)2
a2 - 2ab+b2= (a-b)2
(-a-b)2 =(a+b)2 (a-b)2 =(b-a)2
( a b ) a 2 ab b
2 2 2
的示意图吗?
说明：学生分成2人一组动手折纸， 并互相交流结果。
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab a
b²
ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
(ab ) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
b²
(a-b)²
(8-3)² =8² +3² ▁（2 ×8 ×3 ）
－ 2 ×6 ×4 ） (6-4)² =6² +4² ▁（ 聪明的同学们，我们已经学习了用字母
－
表示数，你们能比较思考一下，用字母
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诊断
小华解的有误吗？
( 3y1)2 9y2 6y1
错误
首项和中间项的符号错了
应改为: (3y−1)2＝(3y)2−2•(3y )•1+12=9y2+6y+1
注意：首项，未项的符号都是正的，中间项的 符号与前面运算符号一致
人教版《完全平方公式》课件推荐（P PT优秀 课件）
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完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b2 (a-b)2= a2 - 2ab + b 2
即：两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍。
公式的结构特征：
1、左边是一个二项式的完全平方的形式， 2、公式右边是一个三项式，
结构是:“首平方，尾平方，首尾积的二倍放中央”
3、公式右边的符号特征：平方项的符号都是正的， 中间一项的符号与左边运算符号一致。
例1: 运用完全平方公式计算：
(1) (4m+5)2 解: (4m+5)2 = (4m)2 +2•(4m) •5 +52
(a+b)2 = a2 + 2 a b + b2 =16m2 +40m +25
(2) (x − 2y)2 解：(x − 2y)2 =x2 − 2•x •(2y) +(2y)2
(-a+b)2 __=_(b-a)2 ___(a-b)2
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=
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例2: 计算：(1) 10022 ; (2) 9992 .
观察 & 思考
完全平方公式(a ±b)2=a2 ±2ab+b2
把10022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ?
(a − b)2= a2 − 2 ab + b2
=x2 − 4xy +4y2
(3) (− 3m+9)2 解: (− 3m+9)2 = (− 3m)2 +2•(− 3m) •9 +92
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 =9m2 − 54m +81
(4) (-3y-7)2 解：(-3y-7)2 =(-3y)2 -2•(-3y) •7 +72
(a±b)2 =a2±2ab+b2
“想一想”：
有一个财主家有一块边长为(a+b)的 正方形土地，阿凡提有三块土地，一块 是边长为 a 的正方形土地，一块是边长 为b的正方形土地，一块是长为a、宽为 b 的长方形土地，阿凡提提出愿意用三 块土地换财主的一块土地，财主一听， 大喜过望。”请问：财主真的占了便宜 吗？
b²
(a+b)²
=a2+2ab+b2 a a² ab
你能用多项式的乘法法则来 进行证明吗？
ab
(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a−b)2=?
证明方法一：
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
财b 主 土 地a
a
b
阿
凡 提
a2
土
b2
地
ab
b
a
财主 多ab
a
b
财主土地
a2
ab
b2
阿凡提土地
通过比较得知:
财主土地面积:S财 = S阿 + ab= a2+ab+b2+ab = a2+2ab+b2
(a+b)2 = a2+2ab+b2
两数和的完全平方公式
(a+b)2= a2+ab+ab+b2
b
ab
活动三：
① (2m+3n)2= 4m2 +12mn +9n2 ② (-2m-3n)2= (-2m)2 -2•(-2m)•(3n) +(3n)2
= 4m2+12mn+9n2 ③ (2m-3n)2= 4m2-12mn+9n2 ④ (-2m+3n)2= (-2m)2+2•(-2m)•(3n)+(3n)2
=4m2-12mn+9n2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 =9y2+42y +49
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随堂练习(1)
1.运用完全平方公式计算： (1) (x − 3)2 =x2 − 2•x•3+9
=x2 − 6x+9
(2) (− 2a+1)2=(− 2a)2+2•(− 2a)•1+1 =4a2 − 4a+1
证明方法二：
(a-b)2 = [(a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2
图形法验证
两数差的完全平方公式：
b ab b² a
a² ab
a
b
a
b
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a b)2 a 2 a b b(a b)
a 2 2ab b 2
错误
第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2;
应改为: (-2a +３)2＝ (-2a)2+2•(-2a)•３+９ =4a2-12a+1
注意：首项，未项平方要添括号
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诊断
小亮解的有误吗？
（2）(2m5)24m225
错误
少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2m+5)2＝ (2m)2+2•(2m)•5 +25 =4m2+20m+25
注意：完全平方公式右边有三项，别忘了间 项，“首尾乘积的２倍”
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观察 & 思考
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议一议
你能用语言来描述我们发现的规律吗？ 当所给的二项式的符号相同时，就用 两数和的完全平方公式 (-a-b)2 _=__(a+b)2 当所给的二项式的符号相反时，就用
两数差的完全平方公式
(3) (2m+3)2 = 4m2 +12m+9
(4) (− 3y − 1)2 =(− 3y)2−2 •(− 3y)•1+1 =9y2+6y+1
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小明解的有误吗？
（１）( 2 a3)2 2 a 2 1a2 9
a、b怎样确定？
(1) 10022 = (1000+2)2 =1000000+4000+4 =1004004
小华解的有误吗？
( 3y1)2 9y2 6y1
错误
首项和中间项的符号错了
应改为: (3y−1)2＝(3y)2−2•(3y )•1+12=9y2+6y+1
注意：首项，未项的符号都是正的，中间项的 符号与前面运算符号一致
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完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b2 (a-b)2= a2 - 2ab + b 2
即：两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍。
公式的结构特征：
1、左边是一个二项式的完全平方的形式， 2、公式右边是一个三项式，
结构是:“首平方，尾平方，首尾积的二倍放中央”
3、公式右边的符号特征：平方项的符号都是正的， 中间一项的符号与左边运算符号一致。
例1: 运用完全平方公式计算：
(1) (4m+5)2 解: (4m+5)2 = (4m)2 +2•(4m) •5 +52
(a+b)2 = a2 + 2 a b + b2 =16m2 +40m +25
(2) (x − 2y)2 解：(x − 2y)2 =x2 − 2•x •(2y) +(2y)2
(-a+b)2 __=_(b-a)2 ___(a-b)2
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=
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例2: 计算：(1) 10022 ; (2) 9992 .
观察 & 思考
完全平方公式(a ±b)2=a2 ±2ab+b2
把10022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ?
(a − b)2= a2 − 2 ab + b2
=x2 − 4xy +4y2
(3) (− 3m+9)2 解: (− 3m+9)2 = (− 3m)2 +2•(− 3m) •9 +92
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 =9m2 − 54m +81
(4) (-3y-7)2 解：(-3y-7)2 =(-3y)2 -2•(-3y) •7 +72
(a±b)2 =a2±2ab+b2
“想一想”：
有一个财主家有一块边长为(a+b)的 正方形土地，阿凡提有三块土地，一块 是边长为 a 的正方形土地，一块是边长 为b的正方形土地，一块是长为a、宽为 b 的长方形土地，阿凡提提出愿意用三 块土地换财主的一块土地，财主一听， 大喜过望。”请问：财主真的占了便宜 吗？
b²
(a+b)²
=a2+2ab+b2 a a² ab
你能用多项式的乘法法则来 进行证明吗？
ab
(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a−b)2=?
证明方法一：
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
财b 主 土 地a
a
b
阿
凡 提
a2
土
b2
地
ab
b
a
财主 多ab
a
b
财主土地
a2
ab
b2
阿凡提土地
通过比较得知:
财主土地面积:S财 = S阿 + ab= a2+ab+b2+ab = a2+2ab+b2
(a+b)2 = a2+2ab+b2
两数和的完全平方公式
(a+b)2= a2+ab+ab+b2
b
ab
活动三：
① (2m+3n)2= 4m2 +12mn +9n2 ② (-2m-3n)2= (-2m)2 -2•(-2m)•(3n) +(3n)2
= 4m2+12mn+9n2 ③ (2m-3n)2= 4m2-12mn+9n2 ④ (-2m+3n)2= (-2m)2+2•(-2m)•(3n)+(3n)2
=4m2-12mn+9n2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 =9y2+42y +49
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随堂练习(1)
1.运用完全平方公式计算： (1) (x − 3)2 =x2 − 2•x•3+9
=x2 − 6x+9
(2) (− 2a+1)2=(− 2a)2+2•(− 2a)•1+1 =4a2 − 4a+1
证明方法二：
(a-b)2 = [(a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2
图形法验证
两数差的完全平方公式：
b ab b² a
a² ab
a
b
a
b
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a b)2 a 2 a b b(a b)
a 2 2ab b 2
错误
第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2;
应改为: (-2a +３)2＝ (-2a)2+2•(-2a)•３+９ =4a2-12a+1
注意：首项，未项平方要添括号
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诊断
小亮解的有误吗？
（2）(2m5)24m225
错误
少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2m+5)2＝ (2m)2+2•(2m)•5 +25 =4m2+20m+25
注意：完全平方公式右边有三项，别忘了间 项，“首尾乘积的２倍”
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观察 & 思考
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议一议
你能用语言来描述我们发现的规律吗？ 当所给的二项式的符号相同时，就用 两数和的完全平方公式 (-a-b)2 _=__(a+b)2 当所给的二项式的符号相反时，就用
两数差的完全平方公式
(3) (2m+3)2 = 4m2 +12m+9
(4) (− 3y − 1)2 =(− 3y)2−2 •(− 3y)•1+1 =9y2+6y+1
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小明解的有误吗？
（１）( 2 a3)2 2 a 2 1a2 9
a、b怎样确定？
(1) 10022 = (1000+2)2 =1000000+4000+4 =1004004