高一数学必修一 1.3.1函数的单调性同步练习及答案解析

1.3.1 单调性与最大（小）值

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满分 实际得分

45分钟

100分 一

、

选

择

题

(本

大

题

共

5

小

题

，

每

小

题

6

分

，共

30分)

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的 是( )

A ．y ＝

B ．y ＝3x 2＋1

C ．y ＝2

x

D ．y ＝|x |

2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)， 当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且 (x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负

3．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2

，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

4.如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 ( )

A ．(8，＋∞)

B ．[8, ＋∞)

C ．(∞,8)

D ．(∞,8]

5．函数y ＝x 2

＋2x －3的单调递减区间为( )

A ．(－∞，－3]

B ．(－∞，－1]

C ．[1，＋∞)

D ．[－3，－1]

二、填空题 (本大题共4小题，每小题6分，共24分)

6.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.

7.已知函数

2(1)21f x x x x +=+-，[1，2]，则()f x 是 (填序号).

①[1，2]上的增函数； ②[1，2]上的减函数； ③[2，3]上的增函数； ④[2，3]上的减函数.

8．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0

①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③

f (x 1)＋f (x 2)2

x 1＋x 22.

其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上) 9．已知函数f (x )＝

3－ax

a －1

(a ≠1)． 若a >0，则f (x )的定义域是________. 三、解答题(本大题共3小题，共46分) 10．（14分）若函数f (x )＝ax ＋1

x ＋2

在区间(－2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围

11．（16分）已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (0)的值； (2)求f (x )的最大值.

12．（16分）定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0

(1)试求f(0)的值；

(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论

一、选择题

1.D 解析：由函数单调性定义知选D.

2. A 解析：因为(x 1－2)(x 2－2)<0，若x 12时，f (x )单调递增且f (－x )＝－f (x ＋4)，所以有f (x 2)

3.C 解析：f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2

＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2

()3f x x ax =--图象的对称轴是直线2a x =,它的递减区间是,2a ⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦, 因为

()f x 在区间(,4]-∞上递减,所以(,4]-∞⊆,2a ⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦,所以4,8.2a a ≤≥故

5. A 解析：该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝2

x ＋2x －3图象的对称

轴为直线x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数． 二、填空题

6. －3 解析： f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意得m

4

＝2，∴m ＝8.∴f (1)＝2×12－8×1＋3

＝3.

7.③ 解析：()()2

2

21112x f x x x ++=-=+-,所以()[]2

2,2,3f x x x =-∈，

由二次函数的知识知,

()x f 是[2，3]上的增函数.

8. ②③ 解析：由f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1，可得

f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

>1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连

线的斜率大于1，显然①不正确；由x 2f (x 1)>x 1f (x 2)得

f (x 1)x 1>f (x 2)

x 2

，即表示点(x 1，f (x 1))与原点连线的斜率大于点(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③是正确的．

9.⎝⎛⎦⎤－∞，3a 解析：当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3

a

，即此时函数f (x )的定义域是⎝

⎛⎦⎤－∞，3a . 三、解答题 10.解：f (x )＝

ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a

x ＋2

＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1

则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)

(x 1＋2)(x 2＋2).

∵函数f (x )＝

ax ＋1

x ＋2

在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，故a >1

2.

即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.

点评：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)