2018-2019年上海市奉贤中学高三上开学考数学试卷及答案

奉贤中学高三上开学考

一. 填空题

1. 设集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，若{2}A

B =，则A B = 2. 74lim 35

n n n →∞+=- 3. 抛物线的焦点为椭圆22

154

x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中点，则此抛物线的标准方程 为

4. 二项式82)x 的展开式中的常数项为

5. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos 2cos b A a B c C +=-， 则C ∠=

6. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为

7. 把函数sin y x =的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的

12倍（纵坐标不变），再把所 得图像上所有点向左平行移动3

π个单位长度，得到的图像所表示的函数解析式为 8. 若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n

+（0t >）的最小值为9，则t = 9. 在随机抽取的9位同学中，至少有2为同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）

10. 在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意*n ∈N ，都有1n n a a +≤，且对任意的*k ∈N ， 数列{}n a 中恰有k 个k ，则2018a =

11. 已知P 为双曲线22

:1916

x y C -=上的点，点M 满足||1OM =，且0OM PM ⋅=，则当 ||PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为

12. 对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：

① 若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点(1,0)A 对称；

② 若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数；

③ 若对x ∈R ，有(1)()f x f x -=-，则2是()f x 的一个周期；

④ 函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称；

其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）

二. 选择题

13. 空间两条直线a 、b 与直线l 都成异面直线，则a 、b 的位置关系是（ ）

A. 平行或相交

B. 异面或平行

C. 异面或相交

D. 平行或异面或相交

14. 奇函数()f x 在区间[1,4]上为减函数，且有最小值2，则它在区间[4,1]--上（ ）

A. 是减函数，有最大值2-

B. 是增函数，有最大值2-

C. 是减函数，有最小值2-

D. 是增函数，有最小值2-

15. 函数||y m x =

与y =

在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（ ）

A. m >

B. m ≥

C. 1m >

D. 1m ≥

16. 数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n ∈N ，都有11n n a a a n +=++，则

122018

111a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ） A.

20172019 B. 40362019 C. 40342019 D. 20182019

三. 解答题

17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC AC BC ===，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.

（1）求证：PQ ⊥平面1B CQ ；

（2）求直线1CB 与平面PCQ 所成角的大小.

18.

已知函数2()sin sin()2f x x x x πωωω=+⋅+

（0ω>）的最小正周期为π. （1）求ω的值；

（2）求函数()f x 在区间2[0,

]3

π上的取值范围.

19. 已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n ∈N

.

（1）证明：数列{2}n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；

（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由.

20. 已知函数2|1|()4

x m f x x +-=-，0m >且满足(2)2f =-. （1）求实数m 的值；

（2）判断函数()y f x =在区间(,1]m -∞-上的单调性，并用单调性的定义证明；

（3）若关于x 的方程()f x kx =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.

21. 已知圆C 过定点(0,1)A ，圆心C 在抛物线22x y =上，M 、N 为圆C 与x 轴的交点.

（1）求圆C 半径的最小值；

（2）当圆心C 在抛物线上运动时，||MN 是否为一定值？请证明你的结论；

（3）当圆心C 在抛物线上运动时，记||AM m =，||AN n =，求

m n n m

+的最大值，并求此 时圆的方程.

参考答案

一. 填空题

1. {1,2,5}

2.

73 3. 24y x = 4. 112 5. 23π 6. π 7. 2sin(2)3

y x π=+ 8. 4 9. 0.985 10. 64 11.

125 12. ①②③④

二. 选择题

13. D 14. A 15. C 16. B

三. 解答题

17.（1）证明略；（2）3π

θ=.

18.（1）1ω=；（2）3

()[0,]2

f x ∈. 19.（1）12(1)n n n a -=+-；（2）存在234

3915a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩成等差数列.

20.（1）1m =；（2）单调递增，证明略；（3）102

k <<. 21.（1）min 1r =；（2）||2MN =；（3

）

a =

），22((1)2x y ±+-=.