多元函数的极限讨论.

多元函数的极限探讨

数学与应用数学专业 2010级

摘要:

多元函数理论是一元函数理论的发展，多元函数的极值在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多，因此，对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显的计较困难，于是我们可以通过求一元函数极限的方法类比来求二元函数的极限，再从二元推广到多元。所以本文的重点在于二元函数的极限探讨。二元函数毕竟不同于一元函数，它有新的.自身的性质和特点。本文将介绍二元函数的极限求解方法。

关键词：

多元函数；极限；二元函数

To explore the limits of multivariate functions

Grade 2010, Mathematics and Applied Mathematics

Abstract:

The theory of multivariate function is the development of a meta function theory, the extreme value of multivariate function is very important in higher mathematics, but because of multivariate function, therefore, to determine the ultimate existence and the method, compared to the limit of one variable function on the significant computational difficulties, many of the concepts we can. Multivariate extreme value transformation function is a function extremum for a function. The theorem can be extended to the function of two variables, but a function of two variables is different from the function of one variable, it is new. The nature and features of its own. This paper will introduce the method of multivariate function extreme solution of one yuan and two yuan function.

Keywords:Multivariable function ;limit; function of two variables

1、绪论

极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在

文献中有记载.例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的.随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出,但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑.直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认. 数学分析中的许多基本概念都可以用极限来描述.如函数y ＝f(x)在0x x 处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本公具,是贯穿数学分析的一条主线。学好极限需要从以下两方面着手.1：是考察所给函数是否存在极限;2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限.

对于一元函数而言，其极限的求法及理论已经有归纳和总结，但关于多元函数极限求法及理论的探讨却不多.由于知识迁移的负作用，我们往往认为多元函数极限的求法与一元函数极限的求法相类似，其实不然，因此讨论多元函数极限的求法及理论就尤为重要.由于高维空间几何性质的复杂性, 多元函数的极限的理论基础以及求解较之一元函数复杂得多,这是初学者的一个难点. 多元函数的极限理论包括重极限理论与累次极限理论,累次极限理论的基础就是一元函数的极限理论,因而可以利用一元函数求解极限的方法加以求解.对于重极限来说，它和累次极限完全不同且应用范围更为广泛，它在多元函数微积分学中有着其重要的作用。本文先是简单介绍了一元函

数极限的基本理论以及举例，然后再在一元函数求极限的理论基础上来着重研究以二元，三元函数为代表的多元函数的极限，并且附以例题说明，以对二元，三元，多元函数的极限问题有一个更深层次的理解。

2、一元函数的极限问题 2.1数列极限的定义

设}{n x 是一个数列，a 是实数。如果对任意给定的0>ε，总存在一个正整数N ，当N n >时，都有ε<-||a x n ，我们就称a 是数列}{n x 的

极限，或者称数列}{n x 收敛，且收敛于a ，记为a x n n =∞

→lim

或)(∞→→n a x n ，这时也称数列}{n x 极限存在。用计较直观的话来说就是，对任意给定的一个小的整数ε，只要n 扩充大（即N n >），就能够保证|||a x n -小于这个ε.

2.2、函数在点0x 点的极限的定义

设函数)(x f 在0x 点的附近（但可能除掉0x 点本身）有定义，又设

A 是一个定数。如果对任意给定的0>ε，一定存在0>δ，使得当

δ<-<||0a x n 时，总有ε<-|)(|A x f ，我们就称A 是函数)(x f 在0x 点的极

限，记为A x f n =∞

→)(lim ，或者记为)()(0x x A x f →→。这时也称函数)(x f 在0x 点极限存在，其极值是A 。

2.3函数极限的性质和运算

和数列极限的性质完全相仿，函数极限也具有以下性质。

2.3.1 性质1 ： 若A x f x x =→)(lim

，B x g x

x =→)(lim 0

，且B A >，则存在0>δ，使当δ<-<||0a x n 时，)()(x g x f >。