环状河网水流的数值计算方法ppt

对于河网每一个节点，都可建立上述的节点水位方程，形 成以河网的节点水位为基本未知变量的线性代数方程组：
AZ = R
(13)
其中， 为系数矩阵， 为节点水位列阵， 为右端项列阵。 R A Z
• 为使模型具有可扩充性、可移植性和通用性，节 点水位方程的求解采用矩阵标识法。根据节点水位 方程系数矩阵的高稀疏性，对矩阵中非零元素进行 代码标识。按照代码指示，将非零元素用一维数组 存储，排除零元素，节约内存。求解时，由代码指 示，只对非零元素进行运算，从而大大提高方程组 求解计算的效率。
Z26(14)
18
20 4
22
25 (13)
Z 25(13)
Z
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)
Z24(10)
上图所示为一规则河网示意图，共有22条 内河道，9条外河道，15个基本节点。设各节 点均为无调蓄能力节点，每条河道长均为 20，底坡1：10000，河道断面为梯形，底宽 50m，边坡1：3，河床糙率0.025。
∆ • 选用的计算参数为∆x＝1公里， t ＝5分钟。计算 总时长29小时。 • 各外河道边界条件为： Z(23)=9，Z(24)=8，Z(25)=7，Z(26)=7， Z(27)=8+3.0*sin(3.14*t/12) ，Z(28)=6 Q(29)=100，Q(30)=80，Z(31)=10。
1.2 环状河网模型的建立
对于环状河网，其节点分为内节点和外节点。为了 减少方程组的阶数，通常以内节点构成基本河网。 对于环状河网，内河道和外河道因为边界条件的不 同而计算的形式不同。 外河道的计算由于外边界条件的不同而分为两类： 水位型边界和流量型边界。这两种形式采用追赶法 求解的递推公式如下：
Pressimann格式离散图
∆x / 2
n +1
(1−θ )∆t
∆t
n
j
θ∆t
∆x
j +1
pressimann四点线性隐格式
n n ( f j +1 + f j ) f M = 2 n +1 n +1 n n ∂f f j +1 − f j f j +1 − f j ) + (1 − θ )( ) M =θ( ∆x ∆x ∂x n +1 n +1 n n ∂f f j +1 + f j − f j +1 − f j M = 2∆t ∂t
1
2
1.2.2交叉节点水位方程的建立 交叉节点水位方程的建立
节点水位方程建立的依据是水量平衡原理和能量平衡原 理。 水量平衡原理表示流入某节点的水量之和等于该节点的蓄 m 水量的变化，即： dZ i j ∑1 Q i = A i dt (10) j= 能量平衡原理表示节点所连接的各个河道断面上水位和流 量与节点平均水位之间，必须符合实际的能量衔接要求。
(i = L 1 , L , L 2 - 1)
(6a)
•
流量型边界条件：
QL1 = PL1 − VL1 * Z L1
( PL1 = QL1 (t ),VL1 = 0)
(i = L1 ,L , L 2 - 1)
Z i = S i +1 − Ti +1 * Z i +1 Qi +1 = Pi +1 − Vi +1 * Z i +1
（3）
θ 式中， 为权重系数，0 ≤ θ ≤ 1
离散后的圣维南方程组
Q j +1
n +1
− Qj
n +1
+ C j Z j +1
n +1
n +1
+ CjZ j
n +1
n +1
= Dj
n +1
（4） （5）
E jQ j
n +1
+ G j Q j +1
+ F j Z j +1
− Fj Z j
=Φj
由方程(4)和(5)组成的方程组为常系数线性方程组。对于任意河道，设首 断面号为 L1 ，末断面号为 L2 ，则每条河道有 L2 − L1个河段，有 2 ⋅ ( L2 − L1 + 1) 个未知变量，可以列出2 ⋅ ( L2 − L1 + 1) 个方程，结合河道两端的边界条件， 形成封闭的代数方程组，可以得到唯一的解。
图3 典型节点水位演变过程线
12 11 10 9 8 7 6 5 4 0 5 10 15 20 25 30 35 时间 t(h) 水 位 Z( (m) 节点1 节点3 节点8 节点13 节点15 外边界（27河道处）
• 运用上述数值方法求解该算例，可得各节点的水 位及流量随时间的演变过程。图3显示了5个典型 节点的水位波动过程。由图可见，随着外边界水 位的正弦曲线变化，内部节点的水位依距离远近， 受到不同的影响：最靠近变化边界的节点15受变 化边界（边界27）的影响最大，随之作正弦波动， 但相位上有滞后现象。某一时段之后，其它相关 边界条件的影响也显露出来，使得典型节点的水 位波动变得较为复杂。节点13和节点8受非恒定 边界的影响逐渐变小，至节点3和节点1已基本不 受其影响。可见，该计算结果是合理的，也说明 本文的算法是有效的。
(6b)
1.2.1水位流量递推关系的建立 水位流量递推关系的建立
由上面两式得出，末断面的流量都可表达成 (7) Z 这里， 末＝Z L 表示与该外河道相连接的基本节点水位 。
2
Q L2 = f ( Z L2 )＝f ( Z 末 )
内河道的计算采用双追赶方程求解。
Qi = α i + β i * Z i + ξ i * Z L2 (i = L2 - 2, L 2 - 3, L , L1 )
(8a) (8b)
Qi = θ i + ηi * Z i + γ i * Z L2
(i = L1 + 2, L1 + 2,L, L 2 )
Z 设 Z 首＝Z L为首节点水位， 末＝Z L 为末节点水位，式(8)表示首、 末断面流量可以用首、末断面水位的线性组合求得。当首、 末断面的水位已知时，利用式(8a)和(8b)，可以推出下式： (9) θi − α i + γ i * Z首 − ξi * Z末 Zi = β i − ηi 求得 后代入式（8a）中即可求出 。 Qi Zi
5. 结 论
• 本模型的节点编码具有任意性，模型具有 可扩充性和较强的通用性，可以用于解决工 程实际问题。 • 模型的计算速度快，且具有较好的精度。 • 本模型适用于平原地区缓流水域，对于山 区的急流不再适用。
谢 谢！
环状河网水流的数值计算方法
钟娜 王玲玲 河海大学水电学院 2006.5.27
Hohai University
模型建立的必要性
河网水流的水动力状况，对于平原地区特别是我国 东部沿海经济发达地区的经济发展和社会生活具有 重要的意义。长江及珠江三角洲城市水域的流通以 及水质问题已越来越被人们所重视，对于河网水流 水动力条件数值模拟的精度要求也越来越高。由于 城市河网交错复杂，大部分以环状形式出现，故本 文对环状河网进行建模和水力计算方法研究。
1.2.2交汊节点水位方程的建立 交汊节点水位方程的建立
这种衔接一般分为三种情况： • 如果节点可以概化为一个几何点，出入该节点的水 流平缓，不存在水位突变的情况，则各节点断面水位相等， 均等于该点的平均水位，即 Zi = Z j = L = Z (11a) • 如果各断面的过水面积相差悬殊，流速有明显的改 变，但仍属于缓流的情况，按照Bernouli方程，当略去节 点的局部损失时，各个断面之间的能量水头应该相等，即 2 (11b) • ui Ei = Z i + = Ej =L= E 2g
计算水流方向为正表示沿箭头所指方向，为负表示 流向逆箭头方向。
• 河道断面编码 每条河道独立编码，首节点对应
于首断面，末节点对应于末断面，首断面向末断 面递增的方向表示河道的计算流向。
3. 河网的水力计算流 程
程序计算步骤
• 首先输入河道几何参数，计算的时间步长、空间 步长及迭代的允许误差等。 • 计算外河道和内河道的追赶系数。 • 建立节点水位方程组。 • 求解节点水位方程。（利用超松弛迭代法将有助 于加速收敛。） • 内外河道的断面水位回代，直至计算结束。
2. 河网的概化
• 节点编码 对河道中节点进行统一编码，编码顺
序可以任意。但为了编程的方便，需对节点的类 型进行分类：一类为普通节点，即几条河流的交 汇处；另一类节点为建有水工建筑物，如闸，堰 等的特殊节点。
• 河道的编码 对于外河道和内河道进行统一编
码，通常编码先从内河道开始。
• 河道流动方向 对于内河道，流向是任意的，
• 河网水流模型
– 单一河道水流的模拟计算
– 环状河网模型的建立
• 河网的概化
– 节点编码 – 河道的编码 – 河道流动方向 – 河道断面编码
• 环状河网的水力计算流程 • 算例 • 结论
1.河 网 水 流 模 型 河
1.1单一河道水流的模拟计算 单一河道水流的模拟计算
河网模型控制方程组为圣维南方程组 ∂Z ∂Q 连续方程
模型建立的理论依据
对于环状河网的求解，可以利用显式差分求解，但工程应用 中为了满足收敛及计算稳定性要求，一般倾向于利用隐式求 解。早期曾出现过对断面所有未知量建立方程组直接求解的 一级解法，以及以河道的首、末断面水力要素为基本未知量 的二级解法，但这二类方法的方程组系数矩阵都过于庞 大，很难应用于大型河网，因此，本文采用以节点水位为基 本未知量的三级解法。为了使模型具有可扩充性、可移植性 和通用性，对于系数矩阵的求解采用矩阵标识法。
• 一般情况下，当节点建有堰、闸等水工建筑物时， 节点的断面动力衔接条件可写为： (11c) aZ + bQ + cZ + dQ = e
i i j j
将流量与节点水位关系式（11）代入水量平衡方程（10）， 得到与节点相邻的节点水位为未知变量的线性代数方程： f i (Z i, j ) = 0 (12)
1.2.1水位流量递推关系的建立 水位流量递推关系的建立
• 水位型边界条件：
Z L1 = PL1 − V L1 * Q L1
Qi = S i +1 − Ti +1 * Q i +1 Z i +1 = Pi +1 − Vi +1 * Qi +1
( PL1 = Z L1 (t ),VL1 = 0)
B
∂t
+
∂x
=q
（1）
动量方程
QQ ∂Q ∂ αQ 2 ∂Z + A + gA ∂x + g c 2 AR = 0 （2） ∂t ∂x
3 m Q m 式中，为流量， / s ；为水位， ；A为过 Z 水断面面积， 2 ； 为动量校正系数； 为水 m α B
m m 面宽， ；R 为水力半径， ；c 为谢才系 1/ 2 c = R 1 / 6 / n ； n 为河床的造率；t 为 m 数， / s ， m s x 时间， ； 为流程， ；q 为单位流程上侧向 g m 出流量， 3 / s ⋅ m ，负号表示流入，为重力加 g = 9.81m / s 2 。 速度，
4、 算 例 、
算例概化图
Q30(3)
Z 31(3)
Q
9
29 (3)
Z 28(12)
28 (12) (6) 10 (9) 11 12
Z 27(15)
27 (15)
30 31 29 (3) 13 (5) (2) 5 15 6 (8) 7 17 19 (11) 8 (14) 26 14 16 (1) 23 1 (4) 2 (7) 3 (10) 24 21