期权定价的数值方法
美式看跌期权定价的数值解法
美式看跌期权定价的数值解法美式期权定价通常采用数值方法，包括二叉树法、有限差分法和monte carlo模拟法。
其中，二叉树法和有限差分法都属于逆向求解的方法，可以求出美式期权的最优执行时刻以及价格，但对于路径依赖期权和具有多标的资产的期权，这两种方法受到了限制。
monte carlo模拟方法的原理虽然是正向求解，但20世纪90年代以来，学者们通过将树图分析技术以及动态规划原理引入monte carlo模拟中，已经实现了美式期权的monte carlo模拟定价。
本文首先介绍了lsm方法的理论框架和基本原理，其次以单一标的资产的美式看跌期权为例，给出了具体的算法实现步骤以及matlab 程序，最后通过一个实例说明lsm方法的可行性及优缺点。
一.lsm方法的理论框架和基本原理为模拟美式期权定价，首先设立以下基本假定：标的资产价格演化过程遵循几何布朗运动市场是无摩擦；无风险利率r为固定的常数。
为简化计算，将期权的有效期[0，t]均分为个子区间，这样期权只可能在n+1个交易时点行权：0=t0<t1<t2<……<tn=t。
在t时刻前的某一可能执行点tn时刻，若立即行权，期权价值即执行期权获得的收益现金流max（k-st，0），是已知的；若继续持有，期权价值即为继续持有该期权的期望收益它是个条件期望，依赖于下一时点期权决策的价值，需逆向求解，这是一般的monte carlo模拟法无法做到的。
然而通过实证研究发现，只要标的资产价格过程具有马尔科夫性，拟合的条件期望函数可用多个不同阶的拉格朗日多项式线性组合而成，根据标的变量个数的不同，选择不同个数的多项式的线性组合。
因此，我们将所有（m条）样本路径在时点tn的价格stn和stn2为解释变量，将对应样本路径上的期望收益作为被解释变量，建立如下线性回归模型：将各个资产价格样本路径带入到回归方程，就可得到期权在各个时点继续持有的价值无偏估计。
期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
期权定价数值方法
期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权 利。
期权类型
按行权时间可分为欧式期权和美式期权，按交易场所可分为场内期权和场外 期权。
期权定价模型
Black-Scholes模型
基于无套利原则，通过随机过程和偏微分方程等方法，推导出标的资产价格和波 动率的关系。
二叉树模型
将连续的时间和空间离散化为有限个元素，通过建立线性方程组来求解期权价格。优点是 适用于处理不规则区域和复杂边界条件，精度较高。缺点是对于某些复杂期权或边界条件 ，需要使用高阶元素，计算量较大。
蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Si…
通过随机抽样来模拟期权价格的波动过程，并利用此模拟结果来估算期权价格。优点是适 用于各种类型的期权和边界条件，计算速度快。缺点是对于某些特殊期权或边界条件，需 要设计特定的抽样方法，精度相对较低。
风险中性概率
在蒙特卡洛模拟中，使用风险中性概率来计算标的资产价格在未 来的可能性，该概率将风险中性概率和实际概率联系起来。
估计期权收益
通过模拟标的资产价格路径，可以估计期权的收益，从而得到期 权的预期价格。
蒙特卡洛模拟法的实现步骤
定义参数
确定影响期权价格 的因素，如标的资 产价格、行权价、 剩余期限、波动率 和无风险利率等。
05
偏微分方程法在期权定价 中的应用
偏微分方程的推导
基于无套利原则
通过无套利原则，推导出偏微分方程，该方程描述了资产价格变 化的随机过程，以及投资者对风险和收益的权衡。
风险中性概率
在风险中性概率下，衍生品的价格可以表示为标的资产价格和相 应期限的贴现值之积。
标的资产价格动态
标的资产价格的变化受到多种因素的影响，如市场利率、波动率 、股息等。
第12章 期权定价的数值方法
S it S it De
r it
其中， D 表示红利。
26
因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之 后再加上未来红利的现值。在 it 时刻： ◦ 当 it 时，这个树上每个节点对应的证券价 格为： * j i j
S0 u d j 0,1......i
t pd 12 2 t pu 12 2
2 pm 3
32
基本原理：期权 A 和期权 B 的性质相似，我们 可以得到期权 B 的解析定价公式，而只能得到 期权 A 的数值方法解，这时就可以利用期权 B 解析法与数值法定价的误差来纠正期权 A 的数 值法的定价误差。 用 f B 代表期权 B 的真实价值（解析解），f A ˆ 和 ˆ 表 表示关于期权 A 的较优估计值， f fB A 示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同 样的有限差分过程得到的估计值。
e
r q t
pu 1 p d
e
r q t
相应有
p
d ud
式（ 12.5 ）和（ 12.6 ）仍然成立：
u e d e
t t
21
可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权 价格； 如果时刻 i∆t 在除权日之前，则节点处证券价 格仍为：
为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的时 间段，则上式的近似方程为：
S t t S t (r q )S t t S t t (12.9)
(12.10)
或
或
2 ln S t t ln S t r q t t 2
期权定价的数值方法
随机抽样值
0.52 1.44 －0.86 1.46 －0.69 －0.74
该时间步长中的 股票价值变化 0.236
0.611 －0.329
0.628 －0.262 －0.280
19
（二）、单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
▪ 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循 的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时， 这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。
期权定价的数值方法
1
二、基本二叉树方法的扩展
▪ 支付连续红利率资产的期权定价 ▪ 支付已知红利率资产的期权定价 ▪ 已知红利额 ▪ 利率是时间依赖的情形
2
连续红利率资产的期权定价
▪ 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风 险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q， 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
其中
p e(rq)t d ud
u, d表达式仍然适用
3
支付已知红利率资产的期权定价
▪ 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红 利与资产价格之比），只要调整在各个结点上的证券价 格，就可算出期权价格。调整方法如下：
▪ 如果it 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i
S t t S t r qS t t S t t
或
ln
ห้องสมุดไป่ตู้
S
t
t
ln
S
t
r
q
2
2
t
t
S
t
t
S
t exp
r
q
2
2
金融工程学期权定价的数值方法课件
ud
PPT学习交流12来自同样，在风险中性世界中，股票期权未来 价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等 于该期权当前的价格，即
fe rf(T t) p fu (1 p )fd
其中
erf (T t) d p
ud
PPT学习交流
13
例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，则一份3个月期以该股票为标的资产，且 执行价格为10.5元的欧式看涨期权的价值是多少？
ud
fd
E S T p S u 1 p S d S 0 e r fT t
f0p fu 1 pfde r fT t
PPT学习交流
11
风险中性定价原理 假定股票的上升概率为p。在风险中性世界 中，股票未来价格的期望值按无风险利率贴现 的现值必须等于该股票目前的价格，因此有
S e r f( T t)u S p d S ( 1 p )
构造无风险组合：
S0 : c :1
因为无风险，则有
u S T c u d S T c d
2 2 1 1 8 0 0.25
S0
c0
uST cu
1rf Tt
c0 0.631068
S 0 c 0 d S T c de rfT t
c0 0.632995
PPT学习交流
2
例：S020;Xc 21;u110%;
7
⒋ 美式期权的两步二叉树定价法
定价的过程从二叉树的末端开始倒推到起 始点，在每个节点上必须检验期权是否会被提 前执行，如果会被提前执行，则以行权收益为 该节点的期权价格，否则按照标准公式计算期 权价格，末端节点的价格均按照欧式期权计算。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
期权定价的数值方法1
S 2
2. BS定价公式可用于欧式期权、美式看涨期权定价。对美式 看跌期权定价只能用二叉树、蒙特卡罗模拟等求出。
3. 二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续 运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间 隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉 树图的末端开始倒推计算出期权价格。
期权定价
作业1
16
1. 列出影响期权价格的6个因素。
期权定价
作业2
17
1. 设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期 权的价格，其中X3>X2>X1且X3-X2=X2-X1，所有期权的到 期日相同，请证明：
c2 ≤0.5(c1 + c3)
2. 某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为 2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月 后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率 均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧 式看跌期权价格等于多少？
若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用两状 态的二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程
数学意义：用无穷期的二叉树模型来逼近一个标的资产价格连续 变化的期权定价模型
2. 思路：推导出n期的二叉树模型，然后令n趋于无穷
Su4 Su3Su2 SuSu2 SuS
S
S
Sd
Sd
Sd2 Sd2
可能值，直到当前时刻 4. 对美式期权，需在每个结点处进行比较
该结点提前执行时期权的回报 VS 不提前执行时后一结点 期权价值到该点的贴现值
取较大者作为该结点的期权价值
期权定价
8
1. 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动 率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个 月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值
期权定价的数值方法
期权定价的数值方法小结1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。
2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。
从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。
3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和Crank-Nicolson方法等。
5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。
其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。
6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。
二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。
模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。
蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。
蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。
《金融衍生品》课件_第11章_期权定价数值方法
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
ud
第4章--期权定价的数值方法课件
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
22
（五）、二叉树方法的一般定价过程
§ 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期
划分成N个长度为 t 的小区间，令 fij(0iN ,0ji)
表示在时间 it 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，
同时用
Suj表di示j 结点
处(i, 的j) 证券价格，可得：
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
27
§ 把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，其价值用
表示S *，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值，
假设在期权有效期内只有一次红利。
S*(it)S(it)
it
(8.9)
S * (i t) S (i t) D e r( i t) it
§ 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简 单和直观的方法
§ 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式 期权和奇异期权）定价模型的基本手段
§ 对于所有不能给出解析式的期权，都可以 通过二叉树模型给出。
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
3
一、二叉树模型的基本方法
首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔△t，，并假 设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：
14
§ 第二期本来有四种状态，但若规定u=1/d，则第 二、三两种状态为同一结果，可以将其合并，由 期权的定义式
cuu max(0,SuuX)max(0,u2S0X) cud cdumax(0,SudX)max(0,udS0X) cdd max(0,SddX)max(0,d2S0X)
2021/1/24
fer t pfu1pfd
期权定价的数值方法
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
直接调用 c=latticeeucall(52,50,0.1,6/12,0.2,500)得到：c= 5.5644 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,100)得到：p=1.1308； 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,200)得到：p=1.1240； 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,500)得到：p=1.1259 由以上计算可以看出：随着二叉树阶段数的增加，即时间间隔 ∆t 的减少，二叉树模型 的计算结果与期权价格的解析解也逐步接近。
T T T − r∆t
u = eσ
, d = e −σ
∆t
p=
e r∆t − d = 0.5076 u−d
∆t
股票价格的运动如图所示，期权的二叉树图如图所示。
u = eσ
= 1.1224, d = e −σ
∆t
= 0.8909
2
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
股票价格的运动
股票价格的运动
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)); end end price=lattice(1,1);
function [price,lattice]=latticeamcall(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT)); d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j=0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,(S0*(u^j)*(d^(N-j))-K)); end for i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=max(exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)),-K+S0*u^j*d^ (i-j)); end end price=lattice(1,1); function [price,lattice]=latticeamput(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT)); d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j=0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,-(S0*(u^j)*(d^(N-j))-K)); end for i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=max(exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)),K-S0*u^j*d^( i-j)); end end price=lattice(1,1);
期权定价数值方法
03
数值方法概述
离散化方法
向前离散化
将时间区间[0, T]分成n个小区间 ，以时间段[t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)，并在此小区间上应 用Black-Scholes方程的解。
向后离散化
与向前离散化相反，将时间段 [t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)， 并在此小区间上应用BlackScholes方程的解。
改进方向探讨
采用更高效的算法
结合机器学习技术
研究和发展更高效的数值方法，以减少计 算时间和资源消耗。
利用机器学习算法来优化和改进数值方法 ，提高其效率和准确性。
精细化建模
跨学科融合
在期权定价模型中引入更多的市场因素和 风险因素，以更准确地反映实际情况。
借鉴其他学科（如物理学、化学等）的数 值方法，将其应用于期权定价领域，以寻 求新的突破。
期权定价数值方法
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • 常见的期权类型和定价模型 • 数值方法概述 • 数值方法在期权定价中的应用 • 期权定价的数值方法优缺点及
改进方向
目录
• 期权定价数值方法在金融风险 管理中的应用
• 研究展望与未来发展趋势
01
引言
背景介绍
期权定价模型的发展 历程
当前期权定价模型研 究的现状和挑战
随机抽样
从已知概率分布中随机抽取样本点， 通过这些样本点计算期权价格的期望 值。
方差减少技术
通过一些技巧来减少模拟误差，例如 Bootstrap方法。
有限元素法
将标的资产价格变化的空 间离散化，划分为有限个 元素；
解有限元素法的线性方程 组，得到每个时刻的标的 资产价格；
金融工程12期权定价的数值方法课件
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12.二1 叉树定价模型:参数确定的方法
倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法， 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
如果是欧式期权，可通过将T 时刻的期权价值的预期值在t时间长度内
以无风险利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值；
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12.1 二叉树定价模型的一般定价过程
2. 为了达到一定的 精确度，一般需要大量 的模拟运算。
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相应地，期权价值也会有所不同，分
别为 f u 和 f d 。
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12.1
二叉树定价模型
二叉树模型的思 想实际上是在用 大量离散的小幅 度二值运动来模 拟连续的资产价 格运动
相同期 限下步 长越小
精确度 越高
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12.1 二叉树定价模型:参数确定的方法
无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头
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12.2
蒙特卡罗模拟
随机路径：
在风险中性世界中， 为了模拟路径 dSrqSdtSdz，我们把期权的有效期
分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为
lnSt tlnSt rq22 t t 或 St tStexprq22 t t
重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的 期望值。
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12.2
蒙特卡罗模拟
Monte Carlo: Based On Probability & Chance
郑振龙《金融工程》第2版课后习题(期权定价的数值方法)【圣才出品】
郑振龙《金融工程》第2版课后习题第十二章期权定价的数值方法1．二叉树数定价方法的基本原理是什么？答：二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机漫步模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。
同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率p 是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。
实际上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克一舒尔斯偏微分方程。
2．一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10%，波动率为每年30%。
请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。
并应用控制方差技术对这一估计进行修正。
答：（1）由题意，二叉树模型各参数可计算为表12-1。
表12-1二叉树模型参数计算表121=∆t 0833.03.0ee u t==σ0833.03.0--==eeu tσ9170.00905.19170.00833.0*1.0--=--=∆e d u d e p t r 1-p 0.08331.09050.91700.52660.4734根据以上参数画出时间间隔为一个月的二叉树图（如图12-5）。
图12-5无红利股票期权二叉树其中股票在第j 个节点（j=0,1,2,3……）的价格等于Su j d i-j 。
期权价值采取倒推法，在最后一列的节点处，期权价值等于MAX（X-S T ,0）,在假定期权未提前执行的基础上，从最后一列节点处的期权价值可倒推出倒数第二列节点的期权价值。
由于该期权是美式期权，要检查提前执行期权是否较有利。
（2）①在D、E 节点，提前执行的期权价值均为0，显然，不可提前执行。
②在F 节点，如果提前执行，期权价值=50.00-42.0483=7.9517>7.53681美元，因此，F 节点的期权价值应为7.9517美元。
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可编辑
1
Su p
S 1-p Sd
把期权的有效期分为很多很小的时间间
隔 t ，并假设在每一个时间间隔 t 内证
券价格只有两种运动的可能：
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su ；
2、下降到原先的 d 倍，即 Sd
相应地，期权价值也会有所不同，分
别为 fu 和 fd 。
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2
二叉树模型的思想实 际上是在用大量离散 的小幅度二值运动来 模拟连续的资产价格 运动
将 fu fd 代入上式就可得到：
Su Sd
f ert pfu 1 p fd
其中 p ert d
ud
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4
在风险中性世界里：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
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9
如何解决节 点不重合的问 题
Su
S
Sd
Su2-D S-D
除权日
Sd2-D
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10
在已知红利额的情况下,为了使得二叉树的节点重合减少计算量,我 们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权 有效期内所有未来红利的现值。
可编辑
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倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在 t 时间
长度内以无风险利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提 前执行期权和继续再持有 t 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中 较大者作为本结点的期权价值。（见书本案例 12.1）
可编辑
6
二叉树一般定价过程
假设把该期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 Su j d i j
表示结点 (i, j) 处的证券价格
可得：fN，j max(X Su jd N j ,0)，其中 j 0,1, , N
若期权不被提前执行，t 后，则：fij ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ] 所以 fij (0 i N,0 j i) 实际上表示在时间 it 时第j个结点处的 美式看跌期权的价值
j 0,1, ,i
S0*u jd i j
j 0,1, ,i
（ S0* 为零时刻的 S* 的值）
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（一） p 0.5 的二叉树图 （二）三叉树图 （三）控制方差技术 （四）适应性网状模型
Sert pSu (1 p)Sd e rt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则： S 2 2t pS 2u 2 (1 p)S 2d 2 S 2[ pu (1 p)d]2
2 t pu 2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分 方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情 形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数 值方法（Numerical Procedures）为期权定价，主要包括二叉 树方法（Binomial Trees）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值 方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻 为零时刻。
e (rq)t pu (1 p)d
p e (rq)t d ud
u e t d e t
对于股价指数期权来说，q 为股票组合的红利收益 率；对于外汇期来说，q 为国外无风险利率，因此
以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。
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可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：Su dj i j , j 0,1,, i
如果时刻it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S(1 )u j d i j j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价
格为： S (1 i )u j d i j
假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在0到τ之间，则在iΔt时刻不确定部分的价值为： 当 it 时 S*(it) S(it) 当 it 时（表示红利） S*(it) S(it) Der( it)
综上可得在 it 时刻：
当 it 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：S0*u jd i j Der( it) 当 it 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
相同期 限下步 长越小
精确度 越高
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无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头
当 Su u S时d,股 票fd 价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合 此时 fu fd
Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S f Su fu ert
再设定：u 1（第三个条件的设定则可以所不同， 这是Cox、Ross和
Rubinstein所d用的条件）
t 由以上三式可得，当 很小时：
p e rt d ud
u e t
d e t
从而 f ert pfu 1 p fd
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
若有提前执行的可能性，则 fij max{X Su jdi j ,ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]} 这样推至 f00 即为当前期权的价格。
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q 当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，
r q 因此：