5.2连带勒让德函数

(x2
1)l
Plm (x)

(1) m
(l (l

m)! m)!
Plm (x)
即：Plm (x)与 Plm (x) 是线性相关的
三、应用举例
2u 0 0 r a,0 ,0 2

u
ra

f ( ,)
①
解：设u＝R(r)()()代入①中方程及有关边条件
(x)
(n) (x)=v (x)
m
y(x) (1 x 2 ) 2 v(x)
(x) C0 y0 (x) C1 y1 (x)
v(x) (m) C0 y0(m) (x) C1 y1(m) (x)
m
m
y(x)

C0 (1
x2) 2
y (m) 0
(
x)

C1
(1

Pl (x) 是m=0时的连带勒让德函数
2） Pl (x) 是l次多项式
当m>l时，
P(m) l
(x)

0
l 0,1, 2L L m 0,1, 2L L l
3) x= cos
①的解可写为


lm
l
( )
l(l
1) Plm (c
os
)

sin m
( )Pl(m)
Alm

1 al
Plm (cos ) cosm, f ( ,) Plm cosm, Plm cosm
1 (l m)! 2l 1 1
al (l m)! l
2 0
0
f
( ,)Plm (cos ) cos m sin d d
l 0,1, 2L L m 1, 2L l
u(r, ,)
其中：Alm , Al0 , Blm由以上三式给出
Pl m
(x)
3. Plm (x)
由连带勒让德方程 d [(1 x2 ) dy ] [ m2 ]y 0
dx
dx
1 x2
可知：m → -m方程不变 可推测：Plm (x) 是解，则 Plm (x) 也一定是解
Plm (x)

(1

x
2
)

m 2
2l l!
d lm dxlm
m
x2) 2
Pl(m) (x)

(1 x2 ) 2l l!
2
d lm dxlm
(x2
1) l
2. Plm (x) 的正交归一性
Plm (x), Pkm (x)

(l (l

m)! m)!
2 2l
1

lk
3. Plm (x)
Plm (x)

(1) m
(l (l

m)! m)!
m
y(x)

Pl m
(x)

(1
x2
)
2
P (m) l
(x)
②的解为：
l l(l 1)
l 0,1,2
ylm
(x)

Plm (x)

(1
x2
m
)2
P(m) l
(x)
m

0,1,2

l
注：
1）Plm (x) －m阶l次连带勒让德函数 Pl(m) (x) － l次勒让德函数的m阶导数
(1 x2 )v(x) 2(m 1)xv(x) [ m(m 1)]v(x) 0 ③
可以证明：若(x)是勒让德方程的解，即： (1 x2 )(x) 2x(x) (x) 0 则 v(x) (m) (x) 一定是③的解
证明：用数学归纳法 m=0时，③式变为 (1 x2 )v(x) 2xv(x) v(x) 0 就是勒让德方程，即：v(x) (x) (0) (x)
l
(cos ) m

0,1,2 0,1,2

l
4)前几阶次的连带勒让德函数
l 0 m 0 P0 (x) 1 P0 (cos ) 1
l 1 m 0
P10 (x) P1(x) x
1
P10 (cos ) cos
1
m 1
P11
(x)
设m=n时结论是正确的：
(1 x2 ) (n) (x) 2(n 1)x (n) (x) n(n 1) (n) (x) 0
求导一次：
(1 x2 ) (n1) (x) 2x (n1) (x) 2(n 1)x (n1) (x)

(1
x2
)
2
P (1) 1
(x)

(1
x2
)
2
3x
P11(cos ) sin
m 0 l 2 m 1
P20
(x)

P2 (x)

1 2
(3x 2
1)
P20 (cos )

1 2
(3 c os
2
1)
1
1
P21 (x)

(1

x2
)
2
P (1) 2
(x)

y

0
P(x) 2x , Q(x) m2
1 x2
1 x2 (1 x2 )2
|x|<1内解析
定理保证连带勒让德方程在|x|<1内一定有解析解

y(x) Cl xl | x | 1 l0
利用已知勒让德方程的解来求连带勒让德方程的解
m
设： y(x) (1 x2 ) 2 v(x) 代入②中方程，整理得：
§2.连带勒让德函数
一、连带勒让德方程本征值问题及其解
当u=u (r,,φ)不具有旋转对称性时，经变量分离后 ()所满足的方程为连带勒让德方程
1
s in
d
d
(sin
d) ( d

m2 )
sin 2
0

①


( ) 0,
①为连带勒让德方程的本征值问题
x2) 2
y (m) 1
(
x)
⑤
解的收敛性： 1） |x|<1⑤式收敛
2）x=±1 ≠l(l+1), y0, y1均发散→y (x)发散 =l(l+1), l=偶数，y0(x)收敛， y1(x)发散 l=奇数， y1(x)收敛，y0(x)发散
(x) Pl (x)
v(x) (m) Pl(m) (x)

(1

x2
)
2
3x
P21 (cos ) 3cos sin

2
m2
P22
(
x)

(1

x
2
)
2
P (2) 2
(
x)
ห้องสมุดไป่ตู้
(1

x
2
)3
P22 (cos ) 3sin 2

二、连带勒让德函数 Plm (x) 的性质
1. Plm (x) 的微分表达式 m
Plm (x)

(1
④
R(0)
解②得：


m
m
m2
()
Cm
cos
m

Dm
sin
m
m 0,1, 2L L
解③得：
llm(l()l

1) Pl m
(cos
)
解④得： Rl (r) Al r l
l 0,1, 2L L m 0,1, 2L L l
迭加特解得通解：
l
u(r, ,)
r l Plm (cos ) Alm cos m Blm sin m
l0 m0
代入边条件定解：
l
u(a, ,)
al Plm (cos ) Alm cos m Blm sin m f ( ,)
l0 m0
—本征值，m2——是的本征值
设x= cos，则①又可表达为：
d dx
[(1
x2
)
dy ] dx

[

m2 1 x2
]y

0

②

y(x) x 1
将方程变成二阶常微分方程的标准形式：
y 2x 1 x2
y


1

x
2

(1
m2 x2
)
2
2(n 1) (n1) (x) n(n 1)(n1) (x) 0
整理得：
(1

x2
)

(
n1)
(
x)

2(n

2)
x

( n 1)
(
x)

(n 1)(n 2)(n1) (x) 0
(n+1) (x)是③的解 《证毕》
得：
() () (0) (2 )

0
0 2
②
和
1
s in
d
d
(sin
d) ( d


sin 2

)

0
③
| 0,2
和
d (r 2 dR ) R 0 0 r a
dr dr
1
Al0 al
2l 1 1
2 2
2 0
0
f
( ,)Plm (cos )sindd
Blm
1 al
(l m)! 2l 1 1
(l m)! 1
2 0
0
f ( ,)Plm (cos )sin m sindd
l 0,1, 2L L m 0,1,L l