5.2连带勒让德函数
关联勒让德函数
勒让德函数（Legendre functions）是一类特殊的数学函数，它们是勒让德微分方程的解。
勒让德函数在物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，特别是在描述球形对称问题和电势分布中常被使用。
勒让德函数包括勒让德多项式和勒让德球谐函数两种形式。
1. 勒让德多项式（Legendre polynomials）通常表示为Pn(x)，其中n是多项式的次数。
勒让德多项式具有以下特点：
-是关于自变量x的多项式；
-是正交函数，即在一定区间上的内积为零；
-满足勒让德微分方程。
2. 勒让德球谐函数（Legendre spherical harmonics）通常表示为Ylm(θ, φ)，其中l和m 是整数，θ和φ是球坐标系中的角度。
勒让德球谐函数具有以下特点：-描述球形对称问题中的解；
-与勒让德多项式有关，也涉及球坐标系的角度。
勒让德函数可以通过递推关系、积分定义和级数展开等方式求解。
它们在物理学中的应用包括描述量子力学中的杂化原子轨道、球形边界值问题中的电势、地球的引力场等。
此外，勒让德函数还与球面谐振子、球谐函数叠加和球形天体力学等领域密切相关。
连带勒让德
u(1, ) C n Pn (cos ) 6 cos 2 2
2 C P (cos ) 6 [ 2 cos 1] 2 n n n 0
2 C P ( x ) 6 [ 2 x 1] 2 12x 2 4 n n n 0
4(2 P2 P0 ) 4 P0 8 P2
z
( x, y, z )
x R sin cos y R sin sin z R cos ( 0 2 , 0 )
r
y
x球坐标系源自以球谐函数代替球坐标系中R, 可绘函数图形; 通常 以球谐函数加上某正数代替R ,观察球谐函数变化
Y ( , )
方程①
d 2 R dR n( n 1) R 0 2 dt dt
11/16
辅助方程
2 n(n 1) 0
( n)( n 1) 0
n, (n 1)
Rn Cn exp( nt ) Dn exp( (n 1)t )
Cnr n Dnr ( n1)
Cnr n
un (r , ) Rn (r ) Pn (cos ) Cnr n Pn (cos )
u( r , ) C n r n Pn (cos )
n 0
12/16
边界条件
u r 1 6 cos2 2
n 0
(m n, n 1,2,)
4/16
球函数方程
令
1 Y 1 2Y (sin ) 2 n(n 1)Y 0 2 sin sin
经线方向 纬线方向
Y ( , ) ( )( )
勒让德多项式及球函数PPT课件
π 0
cos2
sin 2
l/2
d
1 π
π
d 1
0
电子科技大学物理电子学院
19.2 勒让德多项式的性质
19.2.1 勒让德多项式的性质
1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） Pn (x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn1(x) 的零点与 Pn (x) 的零点互相分离．
Pl (x) 1 ， (1 x 1) （19.1.14）
【证明】 如从 x 回到原来的变量 ， x cos
，则
Pl
(x)
1 π
πcos i sin cos l d
0
Pl (x)
1 π
π cos i sin cos l d 1
0
π
π 0
cos2
sin 2
cos 2
l
/2
d
1
1 128
(63cos 5
35cos 3
30 cos )
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105 x 2
5)
1 512
(231cos
6
126
cos
4
105 cos
2
50)
电子科技大学物理电子学院
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 19.1
电子科技大学物理电子学院
2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
Pl (x) (1)l Pl (x)
（19.2.1）
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
勒让德函数
勒让德函数勒让德函数，又称为拉格朗日函数，是拉格朗日于1934年提出的一个经典函数，用来表示给定边界条件下的最优化问题，它对数学和最优化理论有着重要的意义。
一般地，勒让德函数是用来求解最优化问题的经典优化技术，它可以求解无约束优化问题和约束优化问题的最优解。
它的特点是可以将最优化问题转换为函数极小(或极大)的问题，这样就可以用微分技术来求解，要解最优化问题，就要根据勒让德函数的性质，求出满足约束条件的最优解是什么。
勒让德函数最早用来解决线性编程问题，但它也有广泛的应用，如基本组合优化(选择最优组合)、二次凸优化(使函数最小)等，甚至可以用来处理非线性函数最优化问题。
勒让德函数的结构如下：$$F(x)=f(x)+sum_{i=1}^n lambda_i g_i (x)$$其中，$f(x)$是待最优化的函数，$g_i(x)$是约束条件函数，$lambda_i$是拉格朗日乘子，用来控制约束条件。
当$f(x)$有最值，$g_i(x)$满足约束条件时，$lambda_i$可以确定使得$F(x)$取最值，从而可以求出最优解。
勒让德函数是一个功能强大的优化工具，因为它可以求解无约束优化问题和约束优化问题，它比较容易理解，也容易应用，所以它用来解决最优化问题的范围很广。
勒让德函数的应用很广泛，在很多领域都可以看到它的身影，如管理学、经济学、投资学、工程和科学等。
比如，在基于约束的投资组合的构建中，可以用勒让德函数来调整不同的投资组合，以获得最佳的投资组合；计算多晶物体的极限承载力时，勒让德函数可以帮助我们找到最佳的材料参数，以达到最大的承载力。
此外，勒让德函数也可以用来研究复杂系统的结构演化，研究复杂系统中复杂网络动力学机制等。
至此，可以看出勒让德函数是解决最优化问题的一个强大的优化技术。
它在实现经济效率、科学发展和科学研究等多个领域都有着重要的意义，是研究最优化理论的重要组成部分。
同时，它也为复杂系统的结构演化和复杂网络动力学机制等研究提供了重要的技术手段。
对连带勒让德方程和连带勒让德函数的粗略理解
对连带勒让德方程和连带勒让德函数的粗略理解球坐标系下的拉普拉斯算符(),,u r θϕ∆，当(),,u u r θϕ=不具有旋转对称性时，经分离变量后()θΘ所满足的方程为连带勒让德方程()220,1sin 0sin sin d d m d d θπθμθθθθθ=⎛⎫Θ⎛⎫+-Θ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Θ<∞①令x=cos θsin d d dx d d dx d dxθθθΘΘΘ==- ()()2211sin sin sin sin 1sin sin sin 1d d d d dxd d dx d d d d dx dx d d x dx dx θθθθθθθθθθθΘΘ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Θ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦令y Θ=上式变为：()()2221101x d dy m x y dx dx x y x μ=±⎛⎫⎡⎤-+-= ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭<∞②将上述方程进行整理()()2222112d dy d y dy x x x dx dx dx dx⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦ 故，上式转化为：()222221201d y dy m x x y dx dx x μ⎛⎫--+-= ⎪-⎝⎭即()222222220111d y x dy m y dx x dx x x μ⎡⎤⎢⎥-+-=⎢⎥---⎣⎦即()2222220111x m y y y xx x μ⎡⎤⎢⎥'''-+-=⎢⎥---⎣⎦③（这就是标准的二阶常微分方程()()0y P x y Q x y '''-+=的形式）1x <内解析定理保证连带勒让德方程在1x <内一定有解析解。
()0l l l y x C x ∞==∑1x <③式的解为：()1l l l μ=+ 0,1,2,3l =()()()()()221mm mlm l ly x P x xP x ==- 0,1,2m l = 式中()mlP x 表示m 阶l 次连带勒让德函数()()()()()()222221112!m m mll mlm l l lm P x xP x x d x l dx=--=-⋅()()m l P x 表示l 次勒让德函数的m 阶导数。
数学物理方法--球函数
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
施密特型连带勒让德函数的准确计算公式及其重要应用
施密特型连带勒让德函数的准确计算公式及其重要应用
施密特型连带勒让德函数是一种常用的数学函数，它可以用来计算两个变量之
间的关系。
它的准确计算公式为：
施密特型连带勒让德函数：
F(x,y)=1-∑[(x-y)^2/(x+y)^2]
其中，x和y分别表示两个变量。
施密特型连带勒让德函数的重要应用在于可以用来衡量两个变量之间的相关性。
它可以用来检测两个变量之间的线性关系，以及它们之间的非线性关系。
此外，它还可以用来检测两个变量之间的强度，以及它们之间的稳定性。
施密特型连带勒让德函数在统计学中有着广泛的应用，它可以用来分析不同变
量之间的关系，以及它们之间的相关性。
此外，它还可以用来检测不同变量之间的统计显著性，以及它们之间的稳定性。
总之，施密特型连带勒让德函数是一种常用的数学函数，它可以用来计算两个
变量之间的关系，并且在统计学中有着广泛的应用。
它的准确计算公式为：
F(x,y)=1-∑[(x-y)^2/(x+y)^2]，它可以用来检测两个变量之间的线性关系，以及它们之间的非线性关系，以及它们之间的强度和稳定性。
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
勒让德函数
将其代入勒让德方程，得
[( k c )( k c 1 ) n ( n 1 )]a k x
k0 kc
( k c )( k c 1 ) a k x
k c2
0
k0
c ( c 1) a 0 x
c2
c ( c 1) a 1 x
2
引入参数 分解可得两个常微分方程
0
"
d d 2 sin sin n n 1 sin 0 d d
10.1 勒让德方程的引出
第一个方程与自然周期条件 2 结合，构成本征值问题
x
n2k
,
n 0,1, 2,
k 0
n 阶勒让德多项式
Pl ( x )
( 1 ) ( 2 l 2 k )!
k
2 k ! ( l k )! ( l 2 k )!
l
x
l2k
1
l
d
l l
( x 1)
2
l
2 l ! dx
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) P3 ( x ) P4 ( x )
第十章 勒让德多项式
勒让德方程的引出 勒让德方程的求解 勒让德多项式 函数展开成勒让德多项式的级数
10.1 勒让德方程的引出
10.1 勒让德方程的引出
在球坐标系下
x r sin co s y r sin sin z r co s (0 r , 0 π, 0 2 π )
数学物理方法第六章-勒让德函数课件
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, … 均为零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
45
递推公式的证明方法: (1)母函数关系式为
对t求导得
两边乘以(1-2xt+t2), 再将母函数关系式代入 左边, 即有
两边比较 t l 的系数(l≥1), 即得式(6.2.13)
46
x Pl ( x)t l Pl ( x)t l1
l0
l0
lPl ( x)t l1 2 x Pl ( x)t l11 lPl ( x)t l12
§6.3.1 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 1. “正交性”与“正交归一关系式”浅析
(1)、三维欧几里得(Euclid)空间 三维欧几里得空间的基矢i，j，k如果用 ek 或
10
§6.1.2 勒让德方程的本征值问题
二阶线性齐次常微分方程
(1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程.
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数.
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解. 在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称
比较等式两边t l的系数, 即得式(6.2.14)
lPl (x)tl xPl(x)tl
Pl(x)tl1
l0
l0
l0
lPl (x)tl xPl(x)tl
《数学物理方法》第六章勒让德函数
①为了讨论系数的解析性质，以判定z0=0是方程的 常点、正则奇点还是非正则奇点，必须将p(x)及q(x) 分别延拓为
但为叙述与书写方便，仍采用x⇔z的记号
12
2. 系数递推公式 由此得系数递推公式
13
3. 由递推公式求系数，得通解
14
勒让德多项式 微分表达式-罗德里格斯(Rodrigues)公式; 母函数; 积分表达式—施列夫利公式和拉普拉斯
积分 递推公式．
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式 证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明．
二项式展开定理为
32
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
36
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
37
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部．
式(6.1.17)乘以任意常数仍为勒让德方程的解 历史上为了让这个多项式与函数(1-2xt+t2)-1/2
的展开系数一致，选择最高次幂项的系数Cl 为
大学物理-连带勒让德多项式
例以
为基，在 x 的区间 [1,1] 上将函数 f (x) = sin2
=1 x2 展开为广义傅里叶级数。
解：由于这里 m = 2，且所给函数满足展开为广义傅里叶级
数的条件，而
，因此有
其中展开系数可按
进行计算，即
利用连带勒让德函数的微分表示，有 将上式代入 Cl2 的表达式，得到 分部积分一次，有
记作：
—连带勒让德函数
II．m < 0
(K.F.Riley: Mathematical Methods for Physics and Engineering-p594)
将 m = –|m| 代入连带勒让德方程，得到
与 (I) 相同，上式的解为
III. 连带勒让德函数的微分形式 由 (I)、(II) 可得，连带勒让德方程的解为
连带勒让德方程可化为施—刘型方程，其中 (x) = 1，
a = –1，b = 1，而本征函数
，故由施—刘型
本征值问题的正交性定理，有 II. 连带勒让德函数的模
(连带勒让 德方程中， m2是参量， l (l+1) 是本 征值)
由连带勒让德函数的微分形式 (取 m≥ 0)，有
为书写方便，令 则有 对上式分部积分，得到
(即m<0与m>0的 解是一样的)
将罗德里格斯公式代入连带勒让德方程的解，得到
说明：由于 Pl (x) 是 l 次多项式，最多只能对它求导 l 次， 否则，进一步求导为零，这样就限制了 m 的取值。
前几个连带勒让德函数为
(二) 连带勒让德函数的正交性与完备性
I. 连带勒让德函数在区间 [–1,1] 具有正交性
§8–2 连带勒让德函数
(一) 连带勒让德函数 (associated Legendre functions) 若所求的定解问题不具有绕极轴的旋转对称性，则
施密特型连带勒让德函数的准确计算公式及其重要应用
施密特型连带勒让德函数的准确计算公式及其重要应用
1.施密特型连带勒让德函数的径向分量可以通过勒让德函数的级数表示：
2.施密特型连带勒让德函数的角向分量可以通过施密特函数的级数表示：
1.多元函数的展开：施密特型连带勒让德函数在多元函数的展开中起到重要作用。
它们可以用来展开具有球对称性的函数，并且可以将函数分解为径向和角向的两个分量，从而简化计算过程。
2.球坐标系的求解：施密特型连带勒让德函数在球坐标系的求解中也有广泛的应用。
例如，在电磁学中，通过施密特型连带勒让德函数可以求解电势和电场分布等问题。
3.量子力学中的球形势阱问题：在量子力学中，球形势阱是一个常见的物理模型。
通过施密特型连带勒让德函数，可以求解球形势阱中的波函数和能级等问题。
4.非球对称体系的模拟：施密特型连带勒让德函数可以应用于非球对称体系的模拟中。
通过将非球对称体系的问题转化为球对称体系的问题，可以简化计算过程，并得到准确的结果。
总之，施密特型连带勒让德函数的准确计算公式和重要应用在物理学中有广泛的应用。
它们不仅可以简化计算过程，还可以提供准确的结果，并对物理问题的求解和分析提供了重要的工具。
第六章 勒让德函数
上式为恒等式：在 x 0的邻域内成立，故有 (k 2)(k 1)Ck 2 [k (k 1) l (l 1)]Ck 0
数学物理方法
得系数递推公式：
Ck 2 k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) Ck Ck (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
数学物理方法
以上只是一般性的论断，并未提供具体求出级数解得方 法，即如何确定常数 1 , 2 , g , ck , d k 。事实上，这些常数的确 定在一般情况下很困难。 但在一定条件下，会出现（1） ， （2）或（3）式中级数没 有负幂项的情形，这样的解称为正则解。 关于正则解，有如下定理：
2.将级数解代入方程，求待定系数。
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
（1）
数学物理方法
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
数学物理方法
例：求厄米特方程 w 2 zw w 0 在 z0 0 邻域内的解。
解：1.级数解的形式 由于 p( 程的常点。 级数解具有以下形式：
w( z ) Ck z k
k 0
k 0
改变第一项的求和指标：
k 2 k k ( k 1) C x ( k 2)( k 1) C x k k 2 k 0 k 0
代入（4）式，有：
k {( k 2)( k 1) C [ k ( k 1) l ( l 1)] C } x 0 k 2 k k 0
勒让德函数
an
为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式, 并
且使所得的多项式在x=1处取的值等于1, 取an为
an
(2n)! 2n (n!)2
1
3
5
(2n 1) (n 1, 2, n!
).
有
an2
(2n 2)! 2n (n 1)!(n
2)!
10. 3 勒让德多项式
(2n 4)! an4 2!2n (n 2)!(n 4)!
10. 3 勒让德多项式
10. 3 勒让德多项式
将10.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (n k)(k
(k 1) n 1)
ak
2
可以将其它系数一一推算出来，即
an2
n(n 1) 2(2n 1)
an
an4
(n 2)(n 3) 4(2n 3)
an2
n(n 1)(n 2)(n 3) 2 4(2n 1)(2n 3)
r
2
dR dr
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d 2
d 2
10.1 勒让德方程的引出
引入参数nn 1 分解整理得
r
2
d2R dr 2
2r
dR dr
n
n
1
R
0
欧拉型方程
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d 2
2
nn 1
0
球函数方程
欧拉方程通解
R(r ) A1r n A2r (n1)
xn2k 2k )!
10. 3 勒让德多项式
5.2连带勒让德函数
x2) 2
⑤
解的收敛性： 1） |x|<1⑤式收敛
2）x=±1 ≠l(l+1), y0, y1均发散→y (x)发散 =l(l+1), l=偶数，y0(x)收敛， y1(x)发散 l=奇数， y1(x)收敛，y0(x)发散
(x) Pl (x)
v(x) (m) Pl(m) (x)
设m=n时结论是正确的：
(1 x2 ) (n) (x) 2(n 1)x (n) (x) n(n 1) (n) (x) 0
求导一次：
(1 x2 ) (n1) (x) 2x (n1) (x) 2(n 1)x (n1) (x)
l
(cos ) m
0,1,2 0,1,2
l
4)前几阶次的连带勒让德函数
l 0 m 0 P0 (x) 1 P0 (cos ) 1
l 1 m 0
P10 (x) P1(x) x
1
P10 (cos ) cos
1
m 1
P11
(x)
§2.连带勒让德函数
一、连带勒让德方程本征值问题及其解
当u=u (r,,φ)不具有旋转对称性时，经变量分离后 ()所满足的方程为连带勒让德方程
1
s in
d
d
(sin
d) ( d
m2 )
sin 2
0
①
( ) 0,
①为连带勒让德方程的本征值问题
2(n 1) (n1) (x) n(n 1)(n1) (x) 0
整理得：
(1
x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1 x2 ) (n) (x) 2(n 1)x (n) (x) n(n 1) (n) (x) 0
求导一次：
(1 x2 ) (n1) (x) 2x (n1) (x) 2(n 1)x (n1) (x)
Alm
1 al
Plm (cos ) cosm, f ( ,) Plm cosm, Plm cosm
1 (l m)! 2l 1 1
al (l m)! l
2 0
0
f
( ,)Plm (cos ) cos m sin d d
l 0,1, 2L L m 1, 2L l
Pl (x) 是m=0时的连带勒让德函数
2） Pl (x) 是l次多项式
当m>l时，
P(m) l
(x)
0
l 0,1, 2L L m 0,1, 2L L l
3) x= cos
①的解可写为
lm
l
( )
l(l
1) Plm (c
os
)
sin m
( )Pl(m)
Pl m
(x)
3. Plm (x)
由连带勒让德方程 d [(1 x2 ) dy ] [ m2 ]y 0
dx
dx
1 x2
可知：m → -m方程不变 可推测：Plm (x) 是解，则 Plm (x) 也一定是解
Plm (x)
(1
x
2
)
m 2
2l l!
d lm dxlm
m
y(x)
Pl m
(x)
(1
x2
)
2
P (m) l
(x)
②的解为：
l l(l 1)
l 0,1,2
ylm
(x)
Plm (x)
(1
x2
m
)2
P(m) l
(x)
m
0,1,2
l
注：
1）Plm (x) －m阶l次连带勒让德函数 Pl(m) (x) － l次勒让德函数的m阶导数
§2.连带勒让德函数
一、连带勒让德方程本征值问题及其解
当u=u (r,,φ)不具有旋转对称性时，经变量分离后 ()所满足的方程为连带勒让德方程
1
s in
d
d
(sin
d) ( d
m2 )
sin 2
0
①
( ) 0,
①为连带勒让德方程的本征值问题
u(r, ,)
其中：Alm , Al0 , Blm由以上三式给出
y
0
P(x) 2x , Q(x) m2
1 x2
1 x2 (1 x2 )2
|x|<1内解析
定理保证连带勒让德方程在|x|<1内一定有解析解
y(x) Cl xl | x | 1 l0
利用已知勒让德方程的解来求连带勒让德方程的解
m
设： y(x) (1 x2 ) 2 v(x) 代入②中方程，整理得：
l
u(r, ,)
r l Plm (cos ) Alm cos m Blm sin m
l0 m0
代入边条件定解：
l
u(a, ,)
al Plm (cos ) Alm cos m Blm sin m f ( ,)
l0 m0
(x2
1)l
Plm (x)
(1) m
(l (l
m)! m)!
Plm (x)
即：Plm (x)与 Plm (x) 是线性相关的
三、应用举例
2u 0 0 r a,0 ,0 2
u
ra
f ( ,)
①
解：设u＝R(r)()()代入①中方程及有关边条件
④
R(0)
解②得：
m
m
m2
()
Cm
cos
m
Dm
sin
m
m 0,1, 2L L
解③得：
llm(l()l
1) Pl m
(cos
)
解④得： Rl (r) Al r l
l 0,1, 2L L m 0,1, 2L L l
迭加特解得通解：
(1
x2
)
2
3x
P21 (cos ) 3cos sin
2
m2
P22
(
x)
(1
x
2
)
2
P (2) 2
(
x)
(1
x
2
)3
P22 (cos ) 3sin 2
二、连带勒让德函数 Plm (x) 的性质
1. Plm (x) 的微分表达式 m
Plm (x)
(1
得：
() () (0) (2 )
0
0 2
②
和
1
s in
d
d
(sin
d) ( d
sin 2
)
0
③
| 0,2
和
d (r 2 dR ) R 0 0 r a
dr dr
1
Al0 al
2l 1 1
2 2
2 0
0
f
( ,)Plm (cos )sindd
Blm
1 al
(l m)! 2l 1 1
(l m)! 1
2 0
0
f ( ,)Plm (cos )sin m sindd
l 0,1, 2L L m 0,1,L l
2(n 1) (n1) (x) n(n 1)(n1) (x) 0
整理得：
(1
x2
)
(
n1)
(
x)
2(n
2)
x
( n 1)
(
x)
(n 1)(n 2)(n1) (x) 0
(n+1) (x)是③的解 《证毕》
l
(cos ) m
0,1,2 0,1,2
l
4)前几阶次的连带勒让德函数
l 0 m 0 P0 (x) 1 P0 (cos ) 1
l 1 m 0
P10 (x) P1(x) x
1
P10 (cos ) cos
1
m 1
P11
(x)
(x)
(n) (x)=v (x)
m
y(x) (1 x 2 ) 2 v(x)
(x) C0 y0 (x) C1 y1 (x)
v(x) (m) C0 y0(m) (x) C1 y1(m) (x)
m
m
y(x)
C0 (1
x2) 2
y (m) 0
(
x)
C1
(1
m
x2) 2
Pl(m) (x)
(1 x2 ) 2l l!
2
d lm dxlm
(x2
1) l
2. Plm (x) 的正交归一性
Plm (x), Pkm (x)
(l (l
m)! m)!
2 2l
1
lk
3. Plm (x)
Plm (x)
Hale Waihona Puke (1) m(l (l
m)! m)!
x2) 2
y (m) 1
(
x)
⑤
解的收敛性： 1） |x|<1⑤式收敛
2）x=±1 ≠l(l+1), y0, y1均发散→y (x)发散 =l(l+1), l=偶数，y0(x)收敛， y1(x)发散 l=奇数， y1(x)收敛，y0(x)发散
(x) Pl (x)
v(x) (m) Pl(m) (x)
(1
x2
)
2
P (1) 1
(x)
(1
x2
)
2
3x
P11(cos ) sin
m 0 l 2 m 1
P20
(x)
P2 (x)
1 2
(3x 2
1)
P20 (cos )
1 2
(3 c os
2
1)
1
1
P21 (x)
(1
x2
)
2
P (1) 2
(x)
—本征值，m2——是的本征值
设x= cos，则①又可表达为：
d dx
[(1
x2
)
dy ] dx
[
m2 1 x2
]y
0
②
y(x) x 1
将方程变成二阶常微分方程的标准形式：
y 2x 1 x2
y
1
x
2
(1
m2 x2
)
2
(1 x2 )v(x) 2(m 1)xv(x) [ m(m 1)]v(x) 0 ③