第十四章分析力学基本概念与分析静力学汇总

确定质点系统位形的广义坐标：

★ 广义坐标与自由度
对于刚体系统或质点 －刚体系统，一般不采用 公式计算自由度，而是按 照系统中物体的顺序，逐 个确定每个物体所需的独 立变量数，其总和即为系 统的自由度数。
机械臂共有4个自由度。
★
虚位移与虚功
在某一瞬时，质点或质点系符合约束的、无限小的、假想的 位移，称为该质点或质点系的虚位移 ( virtural isplacement ) 。 以 ri 表示 虚位移与实位移的区别： 真实位移dri—满足约束条件，在一定的主动力、一定的 起始条件、一定的时间间隔d t内发生的真实存在的位移， 其方向是唯一的。 虚位移ri—满足约束条件，不涉及主动力 、与起始条件无 关、假想发生而实际并未发生的位移，其方向不是唯一的。
f (ri ) 0, i 1,2 , , n(质点数)； 1,2, , s(约束数)
i ) 0, i 1,2 , , n(质点数)； 1,2, , s(约束数) f (ri ， r
★
约
束
y vC
C
yC R C R 0 vC 0 x v C 0 C R 0 x
或
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约束方程的一般形式： f(ri) = 0 (i=1,2,…,n; =1,2,…,s) f(xi, yi, zi) = 0 (i=1,2,…,n; =1,2,…,s) ri＝ (xi, yi, zi) —第i个质点的位矢； —约束数。
* 弹性静力学—约束是指对变形的限制。
★
单摆
约
束
曲柄-滑块机构
★
约
束
② 双面与单面约束 双面约束 ( bilateral constraint) —— 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 ( unbilateral constraint) —— 约束方程不能写成等式、 但是可以写成不等式的约束。 y
即 f(ri) = 0 和 f(ri，t) ≦0（或≧ 0） (i=1,2,…,n ; =1,2,…,s)
系统的约束方程：
A 的约束方程： x 2+ y 2= l 2 xA2 + yA2 = R 2 (OA); yB = 0 (B); ( xB - xA ) 2 + yA2 = l 2 (AB).
★
2）约束的分类
约
束
① 定常(稳定）与非定常（不稳定）约束
定常约束 (steady constraint) －约束方程中不显含时间的约束：
■ 刚体静力学与分析静力学
研究范围的局限性—不能研究平衡位形的稳定性。
只能确定平衡位形，不能确定平衡的类型
■ 刚体静力学与分析静力学
分析静力学 ( analytical statics ) —以一般质点系统为研究 对象，以功、能概念与功能原理为基础，应用数学分析方法， 研究平衡位形及其类型。 由静力学力矩平衡方程得到 FP l1 = FQ l2
第14章 分析力学
基本概念与分析静力学
(Basic Concept of Analytical Mechanics and Analytical Statics )
第14章
分析力学基本概念与分析静力学
■ 刚体静力学与分析静力学 ■ 分析力学的基本概念 ■ 虚位移原理 ■ 以广义坐标表示的质点系平衡条件 ■ 讨论
★
虚位移与虚功
虚 功 ( virtual work ) ：作用在质点系上的有功力在相应虚
位移上所作的功。
力的虚功：
对于单个力 对于力系
W = F • r
x
O R
C*
x
可以积分为 圆轮所受约束 为完整约束。 xC R 0
★
y yB
约
束
B
yA
A
vA
O
xA
xB
x 约束方程不可积分，所以导 弹所受的约束为非完整约束。
A xB x A x A yB y A y
★ 广义坐标与自由度
广义坐标—唯一地确定质点系在空间位形或构形的独立 坐标（变量）。通常用 q j 表示。 自由度—质点系的广义坐标个数。 N－广义坐标个数 空间质点系： N = 3 n - s n－质点数； s－约束个数； 平面质点系： N = 2 n - s N = 2 n - s =22-3=1 确定质点系统位形的直角坐标： xA , yA , xB
■ 刚体静力学与分析静力学
刚体静力学— 研究系统处于平衡状态时,作用在 系统上的力必须满足的条件。 理论的不充分性: 对 于某些变形体平衡条件 只是必要的而不是充分 的。 概念的不完善性—约束, 只是对刚体的运动起限制 的物体。
■ 刚体静力学与分析静力学
方法的复杂性—解除约束的 方法和过程, 对于多刚体、多约 束的系统过于复杂。
f (ri ) 0, i 1,2, , n(质点数)； 1,2, , s(约束数) f (ri ，t ) 0, i 1,2, , n(质点数)； 1,2, , s(约束数)
非定常约束 ( unsteady constraint ) －约束方程中显含时间的约束：
由功能原理得到
FP d1 = FQ d2
FP l1 = FQ l2
■
分析力学的基本概念
★ ★ ★ ★
约 束 广义坐标与自由度 虚位移与虚功 理想约束
★
1） 约束定义
约
束
刚体静力学中 约束－对某一物体的运动加以 限制 的其它物体。 只能用语言和 文字描述。
分析静力学中 约束－对物体的运动施加的某种限制。 需用数学方程描述。
B
O y
x
yB 0(双面约束)
单面约束还是双面约束？ 约束方程？
O
B
x
yB 0(单面约束)
★
约
束
x
O l A A0 y
x
O
单面约束还是双面约束？ l 约束方程？
A0 y A
x y l (双面约束)
2 2 2
x 2 y 2 l 2 (单面约束)
★
③完整与非完整约束
约
束
完整约束 ( holonomic constraint ) —— 约束方程不包含 质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的 约束。 非完整约束 ( nonholonomic constraint) —— 约束方程包 含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。