极限的计算方法.ppt
合集下载
《极限的运算》课件
重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
极限计算方法
x3 1 . 例： 求 lim 2 x2 x 3 x 5
解
x)3 lim1 lim( x 3 1) (lim x 2 x 2
x2
8 1 7
lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim3x lim5
x 2
x 2 x 2 x 2
lim x A, lim y B.
x A , y B . 其中lim 0,lim 0.
由无穷小量运算法则,得
lim[( x y) ( A B)] lim( )
0. (1)成立.
lim[ x y A B] lim[( A )( B ) AB] ( 2)成立. lim[( A B ) ]
2 lim ( x 2 x 3) 0, 解 x 1
c 2、 型，c 0 0
先求倒数的极限
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
0, 某一时刻，在此时刻之后，||
|B| 取 , 某一时刻，在此时刻之后，恒有： 2 1 1 B B B B B 2 2 1 2 1 2 2 , 有界， B( B ) B , 故 B( B ) B 2
（*）式=0
(lim x) 2 3lim x lim 5
x 2 x 2 x 2
x3 1 x 2 lim 2 2 x 2 x 3 x 5 3 lim( x 3x 5)
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
极限的计算
x
x
x 1 1 1+ lim1+ 1 1+ x = lim x = x→∞ x = e = lim x x→ ∞ 1 x→∞ 1 x e−1 1 1− 1− lim1− x x x→∞ x
a0 x + a1 x +L+ an−1 x + an 一般的： lim m 一般的： x→∞ b x + b xm−1 +L b + m−1 x + bm 0 1 a0 n=m b 0 = 0 n< m ∞ n > m
n
n−1
趋于某一点时的极限
例2
lim x −1 （ ） x −1 x→ 2 lim 2 = 解 x→2 x − 3x + 5 lim( x2 − 3x + 5)
3
两个重要极限
x −1 知识 回顾 求lim 2 x→ x + 3x − 4 1
3
3 2
x −1 ( x − 1)( x + x + 1) lim 2 解： = lim x→ 1 x + 3 x − 4 x→ 1 ( x − 1)( x + 4) x2 + x + 1 3 lim = x→ 1 x+4 5
1 3 x
3−0+ 0 3 = = 2+ 0+ 0 2
x→∞
x→∞
连接
2x3 + 3x2 + 5 练习 求lim 3 . 2 x→∞ 7x + 4x − 1
3 5 2+ + 3 3 2 解 2x + 3x + 5 x x = 2. lim 3 = lim 2 x→∞ 7x + 4x − 1 x→∞ 4 1 7 7+ − 3 x x
x
x 1 1 1+ lim1+ 1 1+ x = lim x = x→∞ x = e = lim x x→ ∞ 1 x→∞ 1 x e−1 1 1− 1− lim1− x x x→∞ x
a0 x + a1 x +L+ an−1 x + an 一般的： lim m 一般的： x→∞ b x + b xm−1 +L b + m−1 x + bm 0 1 a0 n=m b 0 = 0 n< m ∞ n > m
n
n−1
趋于某一点时的极限
例2
lim x −1 （ ） x −1 x→ 2 lim 2 = 解 x→2 x − 3x + 5 lim( x2 − 3x + 5)
3
两个重要极限
x −1 知识 回顾 求lim 2 x→ x + 3x − 4 1
3
3 2
x −1 ( x − 1)( x + x + 1) lim 2 解： = lim x→ 1 x + 3 x − 4 x→ 1 ( x − 1)( x + 4) x2 + x + 1 3 lim = x→ 1 x+4 5
1 3 x
3−0+ 0 3 = = 2+ 0+ 0 2
x→∞
x→∞
连接
2x3 + 3x2 + 5 练习 求lim 3 . 2 x→∞ 7x + 4x − 1
3 5 2+ + 3 3 2 解 2x + 3x + 5 x x = 2. lim 3 = lim 2 x→∞ 7x + 4x − 1 x→∞ 4 1 7 7+ − 3 x x
小学数学极限的基本概念与运算课件
添加副标题
小学数学极限的基本概念与 运算课件
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 极限的基本概念
03 极限的运算
04 极限的应用
05 极限的几何解释
添加章节标题
极限的基本概念
极限的定义
极限可以用符号表示，表示 变量趋近于某个值的趋势。
极限的运算包括求极限、判断 极限的存在性等，是数学分析
连续函数的几何解释
极限的几何意义：在数轴上表示函数值无限接近某一点 连续函数的定义：在定义域内，函数值始终保持连续变化 极限的运算性质：极限的四则运算性质，包括加、减、乘、除等 连续函数的性质：在定义域内，函数值始终保持连续变化，没有间断点
极限思想在几何中的应用
极限在几何图形中的应用：通过极限思想， 可以更好地理解几何图形的形状和变化，例 如直线的定义、圆的形成等。
极限的复合运算
极限的加法运算：将两个函数的极限值相加得到新的函数的极限值。 极限的减法运算：将两个函数的极限值相减得到新的函数的极限值。 极限的乘法运算：将两个函数的极限值相乘得到新的函数的极限值。 极限的除法运算：将一个函数的极限值除以另一个函数的极限值得到新的函数的极限值。
极限的等价变换
等价变换的概念：极限的等价变换是指在进行极限运算时，可以将复杂的表达式 通过等价变换化为简单的形式，从而更容易求得极限。
等价变换的规则：等价变换需要遵循一定的规则，如加减乘除、指数、对数等运 算的等价变换规则。
等价变换的例子：例如，在求极限时，可以将分母或分子的多项式进行因式分解、 化简根式等操作，从而简化计算过程。
等价变换的意义：等价变换是极限运算中的一种重要技巧，它可以帮助我们快速 准确地求得极限值，提高解题效率。
小学数学极限的基本概念与 运算课件
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 极限的基本概念
03 极限的运算
04 极限的应用
05 极限的几何解释
添加章节标题
极限的基本概念
极限的定义
极限可以用符号表示，表示 变量趋近于某个值的趋势。
极限的运算包括求极限、判断 极限的存在性等，是数学分析
连续函数的几何解释
极限的几何意义：在数轴上表示函数值无限接近某一点 连续函数的定义：在定义域内，函数值始终保持连续变化 极限的运算性质：极限的四则运算性质，包括加、减、乘、除等 连续函数的性质：在定义域内，函数值始终保持连续变化，没有间断点
极限思想在几何中的应用
极限在几何图形中的应用：通过极限思想， 可以更好地理解几何图形的形状和变化，例 如直线的定义、圆的形成等。
极限的复合运算
极限的加法运算：将两个函数的极限值相加得到新的函数的极限值。 极限的减法运算：将两个函数的极限值相减得到新的函数的极限值。 极限的乘法运算：将两个函数的极限值相乘得到新的函数的极限值。 极限的除法运算：将一个函数的极限值除以另一个函数的极限值得到新的函数的极限值。
极限的等价变换
等价变换的概念：极限的等价变换是指在进行极限运算时，可以将复杂的表达式 通过等价变换化为简单的形式，从而更容易求得极限。
等价变换的规则：等价变换需要遵循一定的规则，如加减乘除、指数、对数等运 算的等价变换规则。
等价变换的例子：例如，在求极限时，可以将分母或分子的多项式进行因式分解、 化简根式等操作，从而简化计算过程。
等价变换的意义：等价变换是极限运算中的一种重要技巧，它可以帮助我们快速 准确地求得极限值，提高解题效率。
2.3极限的运算法则
当以自然数n代替x 时 也有同样的结论!
此公式体现求极限的重要思想： 抓大放小！
n n 练习： 计算 lim x . x n n n
x
x
Solution.
n n lim x n n n x
x
x
1, 0, 1,
x0 x0 x0
练习：P76 第9 题
2
类型4推广
型
（1）通过通分创造条件整出“0”因子（2）约分
0 型 0
0 含根式的 型未定式 0 x 1 2 (2)lim 2 x 1 3 (1)lim x 4 x2 2 x 3 x3
例6
求下列函数的极限
分析:含有根式的0/0型，若没有相同的零因子
1 a 0
解得
a 1 ， b 3
，
ab 2
.
课后思考：P77 第15题可参考此法
3 1 ) 例6 lim( 3 x 1 1 x 1 x
2 x x ( 2) 原式= lim x 1 1 x3 (1 x )(2 x ) 2 x lim lim 1 2 2 x 1 (1 x )(1 x x ) x 1 1 x x
x 1 x 1
3 21 2
例2
求
x2 1 lim x2 x 2
2
类型1
x 1 x 2 3 解 lim x 2 x 2 lim ( x 2) 4
x 2
lim ( x 2 1)
对初等函数求极限时，能代尽量代
例3 解
2
x 1 求 lim x2 x 2
用一句话概况这公式：
极限等于分子分母最高次项之比
2 极限的运算
x2
5x x2
4
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
例 4
求
lim
n
2n2 2n3 3n2 1
解 将分子分母同除以n2 得
lim
n
2n2 2n3 3n2 1
lim (2 2 n n
lim (3
n
3 n2
1 n2
)
)
2 3
lim(xy)lim xlim y lim xylim xlim y lim x lim x (lim y0)
y lim y
例 3
求
lim
x2
5x x2 4
解 因为
所以
lim
x24
lim (x2 4)
x2
0
0
x2 5x lim 5x 10
x2
lim
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
例 4
lim
n
2n2 2n3 3n2 1
2 3
例 5
求
lim
x
4x32x2 1 3x4 1
解 将分子分母同除以x4 得
lim
x
4x32x2 1 3x4 1
lim
x
4 x
2 x2
3
1 x4
例 1 求lim(3x2 2x1) x1
解 lim(3x2 2x1) lim 3x2 lim 2xlim1
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x1
5x x2
4
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
例 4
求
lim
n
2n2 2n3 3n2 1
解 将分子分母同除以n2 得
lim
n
2n2 2n3 3n2 1
lim (2 2 n n
lim (3
n
3 n2
1 n2
)
)
2 3
lim(xy)lim xlim y lim xylim xlim y lim x lim x (lim y0)
y lim y
例 3
求
lim
x2
5x x2 4
解 因为
所以
lim
x24
lim (x2 4)
x2
0
0
x2 5x lim 5x 10
x2
lim
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
例 4
lim
n
2n2 2n3 3n2 1
2 3
例 5
求
lim
x
4x32x2 1 3x4 1
解 将分子分母同除以x4 得
lim
x
4x32x2 1 3x4 1
lim
x
4 x
2 x2
3
1 x4
例 1 求lim(3x2 2x1) x1
解 lim(3x2 2x1) lim 3x2 lim 2xlim1
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x1
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
极限的计算公式ppt
x sin x
1 sin x
lim
x
1.
x 2x cos x x 2 cos x 2
x
SUCCESS
THANK YOU
2022/3/22
课题三、极限的计算方法
上页 下页
等价无穷小替换求极限
利用等价无穷小替换能较方便求出某些较复杂的极限。 常用的等价无穷小（x 0 ）
sin x ~ x tan x ~ x ln(1 x) ~ x arctanx ~ x
例二、求极限 lim x2 1
x0 x 2
解： lim x2 1 0 1 1
x0 x 2 0 2 2
例三、求极限 lim cosx 1
x
x
解：
cosx 1 11 2
lim
x x
主页 下页
课题三、极限的计算方法
约去零因子法：
例四、求极限 lim x2 4
x2 x 2
解： x2 4
3 1
x
x
课题三、极限的计算方法
重要极限：lim sin x 1
x0 x
例九、求极限 lim sin 2x
x0 3x
解： lim sin 2x lim sin 2x 2 2 .
x0 3x x0 2x 3 3
例十、求极限 lim tan 3x
x0 x
解：
lim
tan 3x
lim
sin
3x
3
1 3 3.
例十九、求极限 lim ln(1 x2 )(ex 1)
x0 (1 cos x) sin 2x
解：因为 1 cosx ~ 1 x2;ex 1 ~ x;ln(1 x2 ) ~ x2;sin 2x ~ 2x.
函数的极限.ppt
例2.1.8．lim n
1 n2
0
例2.1.9．lim 2 n
1 n2
2
§2. 2
2.2 无穷小量与无穷大量
函数(包括数列)的变化趋势，有两种重要情况，一是趋于0，趋 于0 的量叫无穷小量；一是趋于，趋于 的量叫无穷大量。对无 穷小量和无穷大量的分析，将给极限的计算带来方便。
2.2.1 无穷小量
解： lim f (x) lim 2x2 2 10
x2
x2
例2.1.2． f (x) sin x , 求 lim f (x)。 x0
解：lim f (x) lim sin x 0
x0
x0
§2. 1
例2.1.2．f (x) c , 求 lim f (x) 。 x2
解： lim f (x) lim c c ,见图2.1-2。
=0
证毕
§2. 3
在使用极限的四则运算法则时，应注意其使用的条件，那就是
lim f (x) , lim g(x) 都存在，以及商的极限中，lim g(x) 0 。忽视
无穷小量的倒数，是无穷大量。
定理 2.2.3：
lim f (x) A lim f (x) A 0
xx0
xx0
符号“”读作“当且仅当”。
于是，若 lim f (x) A, 则
x x0
f (x) = A +
其中， = f (x) –A(当x x0时)为无穷小量。
利用这一性质分析极限，有些情况下是很方便的。
定义 2.1.3 若随着 | x | 无限变大，f (x)无限趋 于常数A，见图2.1-6。 则称当时，f (x)的极限是A，记为
当，f (x)A 或 lim f (x) A
CH13-极限的运算ppt课件
( )( ) 2 2
.
8
x2
练习 计算 lim
.
x0 2 x2 4
解 采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原 式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用 解 x 1 时 ,分 子 ,分 母 的 极 限 都 是 零 .( 00 型 ) 先 约 去 分 子 和 分 母 的 公 因 子 ( x 1 ) 后 再 求 计 算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某 域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx
.
8
x2
练习 计算 lim
.
x0 2 x2 4
解 采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原 式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用 解 x 1 时 ,分 子 ,分 母 的 极 限 都 是 零 .( 00 型 ) 先 约 去 分 子 和 分 母 的 公 因 子 ( x 1 ) 后 再 求 计 算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某 域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限
则若有函数()在0 的某邻域内恒有
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
极限的计算方法
x 3 3
e 1 3 e 4 e
利用两个重要极限计算
1 ln(1 x) (4) lim lim ln (1 x) x x 0 x 0 x
ln[ lim (1 x)
x 0
x
1
] ln e
x ln e ln x 1 ln x ln e (5) lim lim lim x x e x e x e x e e( 1 xe ） e x x 令： 1 ＝ t , e e ＝t 1, x e时，t 0
1 ln(1 t ) 1 原式＝lim e lim ln(1 t ) t t 0 t 0 et e 1 ln e e 1
利用等价无穷小代换计算极限
如果：
x x0
lim ( x) 0, lim ( x) 0
x x0
( x) 而 lim 1则称在x x 0时 ( x)与 ( x) x x0 ( x ) 是等价无穷小量，记为～ . 常用等价无穷小代换： 在x 0时下列无穷小等价：
'
利用罗必塔法则计算极限
例5：计算下列极限
2 arctgx 1 x
x
(1) lim
x
lim
x
11x 2 x12
x
x2 lim 1 2 x 1 x
x x x
x(e 1) 2(e 1) e 1 xe 2e (2) lim lim 3 2 x 0 x 0 x 3x x x x x x xe e 1 e ＋xe e 1 lim lim ＝ 2 x 0 x 0 3x 6x 6
1 x2 1 (2) lim x 0 1 cos 2 x
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
人教版高中数学课件：高二数学课件-数列的极限
在研究数列的极限时，需要特别关注 初始项的选择，以确保数列的收敛性 和收敛速度。
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性，即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性，即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动，不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性，即如果 一个数列收敛到极限a，那么对 于任何正整数n，都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限，我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中，如果一个数列的极限值存在，那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如，对于等差数列，其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限，可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质，即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值，那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要， 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界， 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件，则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在正整 数N，使得当$n, m > N$ 时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$，则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
如何求极限
1 ln(1+t) −1 式 lim ∴原 ＝ = e lim ln(1+t)t t→ 0 t→ 0 et = e−1 ln e = e−1
三、利用等价无穷小代换计算极限
如果：
x→Байду номын сангаас0
lim α(x) = 0, lim β(x) = 0
x→x0
∂(x) 而lim =1 称 x →x0时 (x)与 (x) 则 在 ∂ β x→x0 β (x) 是 价 穷 量 记 α～ . 等 无 小 ， 为 β 常 等 无 小 换 用 价 穷 代 ： 在 →0时 列 穷 等 ： x 下 无 小 价
利用两个重要极限计算
1+ x −1 ( 1+ x −1)( 1+ x +1) (4) lim = lim x→0 sin 2x x→0 sin 2x( 1+ x +1) 1+ x −1 x 1 = lim = lim ⋅ x→0 sin 2x( 1+ x +1 ) x→0 sin 2x 1+ x +1 1 2x 1 1 = lim ⋅ = 2 x→0 sin 2x 2 4
2 2 2
1 = lim =− x→ 0 2 2 x ( 1− x2 +1)
(1− x −1)
2
二、利用两个重要极限计算
(1) sin x lim =1 x→ 0 x 1x lim(1+ ) = e ∞ x→ x lim(1+ x) = e
0 x→ 1 x
(2)
利用两个重要极限计算极限
1.
sin ∂(x) 一 地 若lim∂(x) = 0,则 lim 般 ： ， =1 x→x0 x→x0 ∂(x) tgx 另 lim ， ＝ 1 x→ 0 x 特 ： 限 “0 ” 未 式 征 极 为 0 型 定 注 若 限 式 是 0” ， 不 利 ： 极 形 不 “0 型 则 能 用 上 公 计 。 述 式 算
三、利用等价无穷小代换计算极限
如果：
x→Байду номын сангаас0
lim α(x) = 0, lim β(x) = 0
x→x0
∂(x) 而lim =1 称 x →x0时 (x)与 (x) 则 在 ∂ β x→x0 β (x) 是 价 穷 量 记 α～ . 等 无 小 ， 为 β 常 等 无 小 换 用 价 穷 代 ： 在 →0时 列 穷 等 ： x 下 无 小 价
利用两个重要极限计算
1+ x −1 ( 1+ x −1)( 1+ x +1) (4) lim = lim x→0 sin 2x x→0 sin 2x( 1+ x +1) 1+ x −1 x 1 = lim = lim ⋅ x→0 sin 2x( 1+ x +1 ) x→0 sin 2x 1+ x +1 1 2x 1 1 = lim ⋅ = 2 x→0 sin 2x 2 4
2 2 2
1 = lim =− x→ 0 2 2 x ( 1− x2 +1)
(1− x −1)
2
二、利用两个重要极限计算
(1) sin x lim =1 x→ 0 x 1x lim(1+ ) = e ∞ x→ x lim(1+ x) = e
0 x→ 1 x
(2)
利用两个重要极限计算极限
1.
sin ∂(x) 一 地 若lim∂(x) = 0,则 lim 般 ： ， =1 x→x0 x→x0 ∂(x) tgx 另 lim ， ＝ 1 x→ 0 x 特 ： 限 “0 ” 未 式 征 极 为 0 型 定 注 若 限 式 是 0” ， 不 利 ： 极 形 不 “0 型 则 能 用 上 公 计 。 述 式 算
极限的计算方法
2. lim c f ( x) = c lim f ( x)
3. lim[ f ( x) g ( x)] = [lim f ( x)] [lim g ( x)]
f ( x) lim f ( x) 4. lim = (lim g ( x) ≠ 0 g ( x) lim g ( x)
)
利用四则运算法则计算极限
利用等价无穷小代换计算极限
ln( 1 + αx) αx (3) lim = lim =α x →0 x →0 x x
x 1 1 + x sin x 1 1+ x 1 (4) lim = lim = lim 2 = 2 2 x →0 x →0 x →0 x sin x x 2
2 1 2 2
x 1 cos x 1 (5) lim = lim = x x →0 x (1 e ) x →0 x ( x ) 2
1 2 2
利用等价无穷小代换计算极限
1 sin x( cos x 1 ) tgx sin x (6) lim = lim 3 x →0 x →0 sin x x3 x 1 x2 1 sin x(1 cos x) = lim = lim 23 = x →0 x →0 x 3 cos x x 2 tgx sin x xx 但是, lim ≠ lim 3 = 0 3 x →0 x →0 x sin x
利用两个重要极限计算
sin 3 x (5) lim x →π tg 5 x 令 : x = π + t , x → π 时t → 0 sin( 3t + 3π ) sin 3t = lim 原式 = lim t →0 tg (5t + 5π ) t →0 tg 5t = lim
sin 3t 3t t →0 tg 5 t 5t