不等关系与不等式的性质基本不等式
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(B )
A．当 x>0 且 x≠1 时，lg x＋lg1x≥2 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
解析：A 中利用基本不等式时不能保证各项为正；C 中 利用不等式时不能使等号成立；在 D 中函数为增函数，故当 x＝2 时有最大值，因此 B 正确，故选 B.
解析：(1)因为 c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0， 所以 c≥b，由题设可得 b＝1＋a2， 所以 b－a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34>0，所以 b>a. 综上，c≥b>a. (2)作差比较法
(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
解析：当 c＝0 时，A 不正确；ab<0 时，B 不正确；取 a＝3，b＝c＝2，d＝1，D 不正确；由不等式的性质知 C 为 真命题．
4．(2012·温州十校联合体期末联考)若 x＞0，则 x＋2x的
最小值为
.
解析：x＋2x≥2 2，当且仅当 x＝ 2时取等号，最小值 为 2 2.
5．(2012·广东省佛山上期期末考试)下列结论正确的是
【拓Βιβλιοθήκη Baidu演练 1】
(1)已知非零实数 a，b 满足 a>b，则下列不等式中成立的
是( )
A．a2>b2
11 B.a<b
C．a2b>ab2
ab D.b2>a2
(2)设 a，b，c，d∈R，给出下列命题：
① ac>>db⇒a＋c>b＋d；② ac>>db⇒a－c>b－d；
③ ac>>db⇒ac>bd；④ ac>>0b⇒ac>bc；
题的是______．
解析：(1)A 中 a＜0 时不成立；B 中 c＝0 时不成立，C 中 b＝0 时不成立，故选 D.
(2)由②ac>db⇔bc－abad>0，可知①③⇒②. 同时，若 ab>0，bc－abad>0，则 bc>ad，即①②⇒③； 若 bc>ad，bc－abad>0，则 ab>0，即②③⇒①.
⑤ac>bc⇒a>b；⑥a>b⇒ac2>bc2.
其中命题正确的是
(填入所有正确命题的序号)．
解析：(1)因为 a>b，所以 a3>b3，所以ba2>ab2，故选 D. (2)①是不等式的同向可加性；④是不等式的可乘性．
二 比较数(式)的大小
【例 2】(1)已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2， c－b＝4－4a＋a2，试比较 a，b，c 的大小； (2)若 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大 小．
(3)注意逆代．因为 1＝x＋y，所以8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)． 解析：(1)因为 0<x<2，所以 0<3x<6,8－3x>2>0， 所以 y＝ 3x8－3x≤3x＋28－3x＝82＝4. 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝43时，取等号．
所以当 x＝43时，y＝ 3x8－3x的最大值是 4.
第37讲 不等关系与不等式的性质、 基本不等式
1．(改编)已知 x＞1，则 M＝x3＋2x＋1 与
N＝(x＋1)2 的大小关系为( A )
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．不能确定
解析：因为 x＞1，所以 M－N＝x3＋2x＋1－(x＋1)2 ＝x2(x－1)＞0，即 M＞N，故选 A.
2．已知 a，b，c 满足 c<b<a，且 ac<0，则下列结论一定
成立的是( D )
A．ab>bc
B．c(b－a)<0
C．cb2<ab2
D．ac(c－a)>0
解析：由 c<b<a，且 ac<0，可知 a>0，c<0，b∈(c，a)， 可知 D 选项一定成立．
3．下列命题中，为真命题的是( C )
A．a，b∈R，且 a>b，则 ac2>bc2 B．a，b∈R，且 ab≠0，则ab＋ba≥2 C．a，b∈R，且 a>|b|，则 an>bn(n∈N*) D．若 a>b，c>d，则ac>bd
三 利用基本不等式求最值
【例 3】(1)设 0<x<2，求函数 y＝ 3x8－3x的最大值； (2)求a－3 4＋a 的取值范围； (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
分析：(1)属“积大”问题，可直接应用基本不等式；
(2)属“和小”问题，要分拆，使积一定，即a－3 4＋a＝ a－3 4＋(a－4)＋4.
≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4.
当且仅当4－3 a＝4－a，即 a＝4－ 3时，取等号． 所以a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋ 4，＋∞)．
＝－2xy(x－y)．
因为 x<y<0，所以 xy>0，x－y<0，所以－2xy(x－y)>0.
所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
【拓展演练 2】 设 a>0，b>0，且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小．
解析：由同底数幂的运算法则，可考虑作商比较． aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b. ①当 a>b>0 时，ab>1，a－b>0，则(ab)a－b>1， 于是 aabb>abba. ②当 b>a>0 时，0<ab<1，a－b<0，则(ab)a－b>1， 于是 aabb>abba. 综上所述，对于不相等的实数 a，b，都有 aabb>abba.
(2)显然 a≠4. 当 a>4 时，a－4>0， 所以a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4
≥2 a－3 4×a－4＋4＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时取等号． 当 a<4 时，a－4<0. 所以a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－[4－3 a＋(4－a)]＋4
一 不等式性质的应用
【例 1】(1)(2013·山东省诸城市模拟)设 a>b>c，则下列
不等式成立的是( )
A．ab>ac
B．a|c|>b|c|
C．|ab|<|bc|
D．(a－b)|c－b|>0
(2)已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad，以其
中两个作为条件，余下一个作结论，则可以组成一个真命
A．当 x>0 且 x≠1 时，lg x＋lg1x≥2 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
解析：A 中利用基本不等式时不能保证各项为正；C 中 利用不等式时不能使等号成立；在 D 中函数为增函数，故当 x＝2 时有最大值，因此 B 正确，故选 B.
解析：(1)因为 c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0， 所以 c≥b，由题设可得 b＝1＋a2， 所以 b－a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋34>0，所以 b>a. 综上，c≥b>a. (2)作差比较法
(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
解析：当 c＝0 时，A 不正确；ab<0 时，B 不正确；取 a＝3，b＝c＝2，d＝1，D 不正确；由不等式的性质知 C 为 真命题．
4．(2012·温州十校联合体期末联考)若 x＞0，则 x＋2x的
最小值为
.
解析：x＋2x≥2 2，当且仅当 x＝ 2时取等号，最小值 为 2 2.
5．(2012·广东省佛山上期期末考试)下列结论正确的是
【拓Βιβλιοθήκη Baidu演练 1】
(1)已知非零实数 a，b 满足 a>b，则下列不等式中成立的
是( )
A．a2>b2
11 B.a<b
C．a2b>ab2
ab D.b2>a2
(2)设 a，b，c，d∈R，给出下列命题：
① ac>>db⇒a＋c>b＋d；② ac>>db⇒a－c>b－d；
③ ac>>db⇒ac>bd；④ ac>>0b⇒ac>bc；
题的是______．
解析：(1)A 中 a＜0 时不成立；B 中 c＝0 时不成立，C 中 b＝0 时不成立，故选 D.
(2)由②ac>db⇔bc－abad>0，可知①③⇒②. 同时，若 ab>0，bc－abad>0，则 bc>ad，即①②⇒③； 若 bc>ad，bc－abad>0，则 ab>0，即②③⇒①.
⑤ac>bc⇒a>b；⑥a>b⇒ac2>bc2.
其中命题正确的是
(填入所有正确命题的序号)．
解析：(1)因为 a>b，所以 a3>b3，所以ba2>ab2，故选 D. (2)①是不等式的同向可加性；④是不等式的可乘性．
二 比较数(式)的大小
【例 2】(1)已知实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2， c－b＝4－4a＋a2，试比较 a，b，c 的大小； (2)若 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大 小．
(3)注意逆代．因为 1＝x＋y，所以8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)． 解析：(1)因为 0<x<2，所以 0<3x<6,8－3x>2>0， 所以 y＝ 3x8－3x≤3x＋28－3x＝82＝4. 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝43时，取等号．
所以当 x＝43时，y＝ 3x8－3x的最大值是 4.
第37讲 不等关系与不等式的性质、 基本不等式
1．(改编)已知 x＞1，则 M＝x3＋2x＋1 与
N＝(x＋1)2 的大小关系为( A )
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．不能确定
解析：因为 x＞1，所以 M－N＝x3＋2x＋1－(x＋1)2 ＝x2(x－1)＞0，即 M＞N，故选 A.
2．已知 a，b，c 满足 c<b<a，且 ac<0，则下列结论一定
成立的是( D )
A．ab>bc
B．c(b－a)<0
C．cb2<ab2
D．ac(c－a)>0
解析：由 c<b<a，且 ac<0，可知 a>0，c<0，b∈(c，a)， 可知 D 选项一定成立．
3．下列命题中，为真命题的是( C )
A．a，b∈R，且 a>b，则 ac2>bc2 B．a，b∈R，且 ab≠0，则ab＋ba≥2 C．a，b∈R，且 a>|b|，则 an>bn(n∈N*) D．若 a>b，c>d，则ac>bd
三 利用基本不等式求最值
【例 3】(1)设 0<x<2，求函数 y＝ 3x8－3x的最大值； (2)求a－3 4＋a 的取值范围； (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
分析：(1)属“积大”问题，可直接应用基本不等式；
(2)属“和小”问题，要分拆，使积一定，即a－3 4＋a＝ a－3 4＋(a－4)＋4.
≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4.
当且仅当4－3 a＝4－a，即 a＝4－ 3时，取等号． 所以a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋ 4，＋∞)．
＝－2xy(x－y)．
因为 x<y<0，所以 xy>0，x－y<0，所以－2xy(x－y)>0.
所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
【拓展演练 2】 设 a>0，b>0，且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小．
解析：由同底数幂的运算法则，可考虑作商比较． aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b. ①当 a>b>0 时，ab>1，a－b>0，则(ab)a－b>1， 于是 aabb>abba. ②当 b>a>0 时，0<ab<1，a－b<0，则(ab)a－b>1， 于是 aabb>abba. 综上所述，对于不相等的实数 a，b，都有 aabb>abba.
(2)显然 a≠4. 当 a>4 时，a－4>0， 所以a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4
≥2 a－3 4×a－4＋4＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时取等号． 当 a<4 时，a－4<0. 所以a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－[4－3 a＋(4－a)]＋4
一 不等式性质的应用
【例 1】(1)(2013·山东省诸城市模拟)设 a>b>c，则下列
不等式成立的是( )
A．ab>ac
B．a|c|>b|c|
C．|ab|<|bc|
D．(a－b)|c－b|>0
(2)已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad，以其
中两个作为条件，余下一个作结论，则可以组成一个真命