分数巧算之裂项法
分数裂项[001]
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分数裂项什么是分数裂项在数学中，分数裂项是指将一个分数拆分成两个或多个分数之和的技巧。
通常，我们会遇到一些复杂的分数，例如2/3、3/4等等。
利用分数裂项的方法，我们可以将复杂的分数拆分成更简单的分数，从而更方便地进行计算和运算。
如何进行分数裂项以下是分数裂项的一些常见方法：方法1：利用分子分母进行分数裂项当一个分数的分子和分母都是整数时，我们可以通过构造等式的方式进行分数裂项。
例如，对于分数2/3，我们可以将其拆分成1/3 + 1/3。
这样，我们就将原本较大的分母3拆分成了两个分母都为3的分数，从而简化了计算。
同样地，对于分数3/4，我们可以将其拆分成1/4 + 1/4 + 1/4，将分母4拆分成了三个分母都为4的分数。
方法2：利用分数的倒数进行分数裂项当一个分数的倒数是一个整数时，我们可以通过将分数的倒数进行分数裂项，进而拆分原分数。
例如，对于分数4/9，其倒数是9/4，而9/4可以拆分成2 + 1/4。
因此，我们可以将分数4/9拆分为2 + 1/4。
同样地，对于分数7/8，其倒数是8/7，而8/7可以拆分成1 + 1/7。
因此，我们可以将分数7/8拆分为1 + 1/7。
方法3：利用倍数进行分数裂项当一个分数的分子比分母大1倍时，我们可以通过构造等式的方式进行分数裂项。
例如，对于分数5/4，我们可以将其拆分成1 + 1/4。
在这种情况下，我们可以看到，分子5刚好比分母4多1倍，因此，我们可以将分数5/4拆分为1 + 1/4。
同样地，对于分数11/10，我们可以将其拆分成1 + 1/10。
在这种情况下，分子11比分母10多1倍，因此，我们可以将分数11/10拆分为1 + 1/10。
分数裂项的应用分数裂项在数学中的应用非常广泛。
它可以简化复杂的分数计算，使得计算更加简单和直观。
在代数运算中，分数裂项可以用于分数的加减运算、乘除运算以及方程的求解等。
例如，在分数的加减运算中，我们可以利用分数裂项将加法或减法运算转化为分数的加法或减法运算，从而简化求解过程。
分数裂项法则
分数裂项法则分数裂项法则是数学中的一种常见方法，用于将一个分数拆分成多个分数的和。
它在代数运算和数学证明中经常被使用。
本文将介绍分数裂项法则的概念、应用和解题方法。
一、分数裂项法则的概念分数裂项法则是指将一个分数拆分成多个分数的和的方法。
通过将分子或分母进行合理的分解，可以将一个分数变换成多个分数的和，从而使问题更容易处理。
这种方法在分式的化简、方程的求解和数学证明中都有广泛的应用。
1. 分式的化简在化简分式时，我们常常需要将一个复杂的分式拆分成多个简单的分式。
通过分数裂项法则，我们可以将分子或分母进行合理的分解，得到多个简单的分式，从而简化计算过程。
2. 方程的求解在解方程时，有时需要对方程进行变形，使得方程的形式更加简单，从而便于求解。
分数裂项法则可以帮助我们将方程中的分式进行拆分，得到更容易处理的形式，进而解出方程。
3. 数学证明在数学证明中，分数裂项法则常常被用于将一个复杂的分数进行拆分，从而方便对其进行推导和证明。
通过分数裂项法则，我们可以将一个分数拆分成多个分数的和，进一步推导出所需的结论。
三、分数裂项法则的解题方法1. 分数裂项法则的基本原理是将分子或分母进行分解，使其变为多个分数的和。
2. 在拆分分子时，可以利用分子因式分解的方法，将分子分解成多个较简单的因式，然后将它们作为分数的分子。
3. 在拆分分母时，可以将分母分解成多个较简单的因式，然后将它们作为分数的分母。
4. 拆分后的分数可以进一步化简，消去公因式或进行合并，得到最简形式的分数。
四、例题解析以下是一个应用分数裂项法则解题的例子：将分数1/[(x+1)(x+2)]拆分成多个分数的和。
解：首先，我们可以将分母(x+1)(x+2)进行分解，得到x+1和x+2两个因式。
然后，将1拆分成两个分数的和，分别以x+1和x+2为分母，分子为适当的常数。
设拆分后的两个分数为A/(x+1)和B/(x+2)。
根据分数的相加原则，原分数1/[(x+1)(x+2)]可以表示为(A/(x+1))+(B/(x+2))的形式。
小学奥数教程-分数裂项计算 (含答案)
教师版
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【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 × (1 − 1 + 1 − 1 + … + 1 − 1 ）= 50
1×3 3×5 5× 7
99 ×101 2 3 3 5
99 101 101
【答案】 50 101
【巩固】 计算：
【考点】分数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 =1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
【答案】 1 2
【例 4】 计算： (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ×128 = 8 24 48 80 120 168 224 288
【答案】12
【巩固】 251 + 251 + 251 + + 251 + 251
4 × 8 8 ×12 12 ×16
2000 × 2004 2004 × 2008
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式
=251 16
×
1 1×
2
+
2
1 ×
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
分数裂项讲解
分数裂项讲解
分数裂项，指的是将一个分式中的分子或分母拆分成两个或多个部分，然后再将分式进行简化的方法。
这种方法在解决某些数学题目时非常有用，可以把复杂的式子变得简单易懂，方便我们进行计算。
下面以一个数学题目为例来讲解分数裂项的具体步骤。
题目：将$\frac{x+2}{x^2-x-6}$拆分成两个部分。
解法：
1. 首先，我们可以将$x^2-x-6$分解成$(x-3)(x+2)$，于是原式变成$\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}$。
2. 我们可以发现，分母部分中有一个$x+2$与分子部分相同，于是可以将原式拆分成$\frac{x+2}{x+2}×\frac{1}{x-3}$。
3. 化简得到：$\frac{1}{x-3}$。
通过分数裂项，我们成功将原式拆分成了两个部分，并进行了简化。
这种方法在许多数学题目中都是非常实用的。
分数裂项还有一些其他的应用，例如在部分分式分解中。
在部分分式分解中，我们需要把一个分式写成多个分数之和的形式，这时候分数裂项也非常有用。
通常的做法是，将分母拆分成多个部分，然后将每个部分拆分成简单的分式。
这样，就可以将原式分解成多个简单的分式相加，从而更容易进行计算。
总之，分数裂项是一种非常实用的方法，在解决数学题目时非常有用。
我们通过将分式进行拆分和简化，可以把复杂的式子变得简单易懂，方便我们进行计算。
因此，在数学学习中，我们需要充分掌握分数裂项的技巧，灵活运用在解决各种问题中。
分数的裂项公式
分数的裂项公式分数的裂项公式是一种重要的数学公式，它可以将一个分数拆分成若干个分数的和，从而简化计算。
在学习和应用该公式时，需要理解其基本概念，掌握运用技巧，并注意一些常见的注意事项。
首先，我们来看一下裂项公式的基本概念。
裂项公式是指，对于任意一个分数a/b，可以将其拆分成若干个形如c/d的分数之和，即：a/b = c1/d1 + c2/d2 + … + cn/dn其中，c1、c2、…、cn和d1、d2、…、dn分别为分子和分母，它们满足以下条件：1. 所有的ci和di都应为正整数；2. 分子和分母的最大公约数为1，即gcd(ci, di) = 1；3. 所有的di均不为0。
其次，我们来讨论一下裂项公式的运用技巧。
在实际应用中，我们通常根据分母的因数来分解分数，具体步骤如下：1. 对于分数a/b，我们先找出它的一组互质的分母d1、d2、…、dn，使得d1 × d2 × … × dn = b；2. 根据这组分母，我们分别将a/b表示成如下形式：a/b = (a × d1)/(b × d1) + (a × d2)/(b × d2) + … + (a × dn)/(b × dn)3. 然后，我们对每个拆分分数进行简化，即求出它们的最简形式；4. 最后，将这些最简形式的分数相加，得到a/b的裂项表达式。
需要指出的是，裂项公式的应用不仅局限于分式的计算，还可以在一些数学问题中起到很好的辅助作用。
例如，在求解一些无理数的连分数表示时，就可以利用裂项公式将无理数拆分成分数的和，进而得到连分数的展开式。
最后，我们来谈一谈在应用裂项公式时需要注意的一些事项。
首先，要保证拆分的所有分数都是正整数，而且每个分数的分母都不为0。
其次，为了简化计算，应该选择一个合适的分母进行拆分，以尽量减小后续计算的难度和错误率。
此外，在进行裂项计算时，还应避免因未简化分数而造成计算错误，以及注意计算结果的范围是否正确。
分数裂项PPT课件
4/5。
练习题二及答案
练习题二
计算1/3+1/15+1/35+1/63的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到1/3=1/1-1/3, 1/15=1/3-1/5, 1/35=1/5-1/7, 1/63=1/7-1/9。然后将这些分数相加，得到原式 =1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9=1-1/9=8/9。
裂项的局限性
分数裂项法虽然可以化简一些复杂的分 数，但是其适用范围有限，不能解决所
有数学问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择 合适的数学方法，综合考虑各种方法的
优缺点。
另外，裂项法在处理一些特殊情况时可 能会遇到困难，例如分子中含有未知数
的情况，需要谨慎处理。
05
分数裂项的练习题与答案
练习题一及答案
答案
5/6。
THANKS
感谢观看
其次，要确保分子经过裂项后能 够相互抵消，留下非零常数。
最后，要确保整个等式在裂项后 仍然成立，可以通过代入法进行
验证。
裂项的适用范围
分数裂项法适用于有理函数的计算，特别是有理函数求极限、求积分等 问题。
对于一些难以直接化简的复杂有理函数，分数裂项法可以将其转化为容 易处理的形式，简化计算过程。
需要注意的是，裂项法并不适用于所有函数，特别是无理函数、三角函 数等。
答案
8/9。
练习题三及答案
练习题三
计算(2^2)/(2^2+4^2)+(3^2)/(3^2+4^2)+(4^2)/(4^2+4^2)的值。
计算过程
首先将每个分数进行裂项，得到(2^2)/(2^2+4^2)=2/(2+4), (3^2)/(3^2+4^2)=3/(3+4), (4^2)/(4^2+4^2)=4/(4+4)。然后将这些分数相加，得到 原式=2/(2+4)+3/(3+4)+4/(4+4)=5/6。
小升初数学分数裂项简便方法
小升初数学分数裂项简便方法数学分数裂项是指将一个分数写成若干个分数的和的形式。
这在小升初数学中经常会出现，因此学会使用简便方法进行分数裂项操作可以提高解题的效率。
下面将为大家介绍一种简便的分数裂项方法。
首先我们来看一个例子：将分数$\frac{5}{8}$写成若干个分数的和的形式。
我们可以通过观察分子和分母的数值大小关系来进行分数裂项。
既然5小于8，那么我们可以将$\frac{5}{8}$拆分为一个整数和一个真分数：$\frac{5}{8} = 1 + \frac{-3}{8}$这里，我们将分数$\frac{5}{8}$拆分为了一个整数1和一个真分数$\frac{-3}{8}$。
接下来，我们进一步对真分数$\frac{-3}{8}$进行分数裂项。
我们能够观察到-3也小于8，因此我们可以将真分数$\frac{-3}{8}$表示为一个整数和一个真分数的和：$\frac{-3}{8} = 0 + \frac{-3}{8}$至此，我们将分数$\frac{5}{8}$成功地裂项成了一个整数1和两个真分数$\frac{-3}{8}$的和。
接下来，我们来解决一个稍微复杂一些的分数裂项问题：将分数$\frac{17}{9}$写成若干个分数的和的形式。
由于分子17大于分母9，我们可以立刻将分数$\frac{17}{9}$拆分为一个整数和一个真分数：$\frac{17}{9} = 1 + \frac{8}{9}$观察分数$\frac{8}{9}$，可以发现分子8也大于分母9，所以我们再次将分数$\frac{8}{9}$拆分为一个整数和一个真分数的和：$\frac{8}{9} = 1 + \frac{-1}{9}$至此，我们得到了分数$\frac{17}{9}$的分数裂项形式为：$\frac{17}{9} = 1 + 1 + \frac{-1}{9}$可以看出，我们将分数$\frac{17}{9}$裂项成了两个整数1和一个真分数$\frac{-1}{9}$的和。
分数巧算之裂项法
【举一反三】 计算：
3 3 3 3 3 (1) 6 12 20 30 42
7 7 7 7 7 (2) 42 56 72 90 110
1 1 1 1 ....... 2 3 3 4 4 5 49 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ....... 2 3 3 4 4 5 5 49 50 1 1 2 50 24 12 50 25
【举一反三】 计算：
1 1 1 通过拆分，我们将例2转化成了 n(n 1) n n 1
的形式，因此
1 1 1 1 1 原式 5 ( ) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 5 6 25 6
【举一反三】计算：
8 8 8 8 8 (1) 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28
3 (
1 1 1 1 1 ) 20 30 42 56 72
分母写成两个 相邻的数的乘积
1 1 1 1 1 3 ( ) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ( ) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 1 1 3 ( ) 4 9 5 5 3 36 12
1 1 1 将每一个分数分裂成两分数的差，即 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 ...... 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ...... ( ) ( ) 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
分数裂项法总结.知识讲解
若干个分数连加，如果每个分数的 分母，都是两个相邻自然数相乘， 且分子是1时，就可以利用裂项法 式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
1111111 2 6 12 20 30 42 56
1＋ 1＋ 1＋ L＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
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【举一反三】计算：
(1) 3 3 3 3 3 6 12 20 30 42
(2) 7 7 7 7 7 42 56 72 90 110
仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式： 6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
原来可以 这样拆分啊
这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自
然数乘积的形式。Biblioteka 1 1 1 ...... 1
6 12 20
2450
1 1 1 ....... 1
分数裂项巧求和
学习中这样一个有趣的现象： 如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数
的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写 成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的 两个自然数。（这种方法称为“裂项法” ）
如：
1 1 1 1 2 1 2
1 1 1; 23 2 3
1 11 3 4 3 4
1 ...... （去掉括号）
223344
48 49 49 50
1 1 50
（ 中 间 的 数 都是相 同的分 数一减 一加的 形式， 结果为 0）
49 50
小结： 通过以上的介绍可以看到在分数计
算中，有的计算如果运用通分等思想， 由于题目过于复杂，不容易计算，而使 用裂项法就使解题变得十分的简单。
【举一反三】 计算：
(1) 1 1 1 ...... 1 1
1 2 2 3 3 4
1819 19 20
(2) 1 1 1 ......
1
1
1112 1213 1314
2008 2009 2009 2010
这道题目与例1相 比有什么不同？
例2、计算
5 5 5 5 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
分子不是1，而是5。
我们可以这样想：
5 5 1 ; 5 5 1 ; 5 5 1 ; 1 2 1 2 23 23 3 4 3 4
5 5 1 ; 5 5 1 45 45 56 56
通过拆分，我们将例2转化成了 1 1 1
n(n 1) n n 1
的形式，因此
原式 5 ( 1 1 1 1 1 ) 1 2 23 3 4 45 5 6
5 5 6
25 6
【举一反三】计算： (1) 8 8 8 8 8
23 24 24 25 25 26 26 27 27 28
(2) 2 2 2 2 2 3 4 45 56 67 78
例3、计算
1 1 1 ...... 1
6 12 20
2450
分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母 并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？按照常规做法， 我们应该先通分，再求和。
20 30 42 56 72
3( 1 1 1 1 1 ) 20 30 42 56 72
1
1
1
1
1
分 母写成 两个 相 邻的数 的乘积
3(
)
45 56 67 78 89
3(1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) 4556677889
3(1 1) 49
3 5 5 36 12
1 1 1 ;...... 45 4 5
我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的 题目简单化。
例1.计算：
1 1 1 ...... 1 1
1 2 2 3 3 4
48 49 49 50
分析与解：此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母
是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差，所以我们可以
例3、计算
33333 20 30 42 56 72
分析与解：这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前 面知识，将原式中的分数进行拆分，如：
3 3 1 ; 3 3 1 ; 3 3 1 ....... 20 20 30 30 42 42
将拆分后的数代入到原式中，题目就变成了前面已学的类型：
3 3 3 3 3 20 30 42 56 72 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
23 34 45
49 50
1 1 1 1 1 1 1 ....... 1 1
2334455
49 50
1 1 2 50
24 12 50 25
【举一反三】 计算：
(1) 1 1 1 1 ...... 1
2 6 12 20
90
(2) 1 1 1 1 1 20 30 42 56 72
将每一个分数分裂成两分数的差，即
1 n(n 1)
1 n
n
1
1
1 1 1 ...... 1 1
1 2 2 3 3 4
48 49 49 50
(1 1) (1 1) (1 1) ...... ( 1 1 ) ( 1 1 )
12 23 34
48 49 49 50
111111
1111