等比数列的定义及其通项公式

等比数列的定义及其通项公式

【基础回顾】

1.等比数列的定义

1

n n a q a -=（q 为常数且0q ≠，n ∈N +且2n ≥） 2.等比数列的通项公式及其性质

11n n m n n m a a q a a q --−−−→==←−−−推广

特例 等比数列中没有零这个项且其中的项要么全部是正或全部是负或正负间隔出现，总之，等比．．数列的奇数项符号相同．．．．．．．．．．，偶数项的符号相同．．．．．．．．.等比数列的通项形式是指数式．．．

. 3.等比中项

2211(2)(1)()n n n n n k n k m n p q a a a n a a a n k a a a a m n p q -+-+−−−→−−−→=≥=≥+=+=+←−−−←−−−推广推广特例特例

4.等比数列的证明

（1）定义法：1

(2n n a q n a -=≥，n ∈N +，q 是非零常数) （2）等比中项法：211n n n a a a -+=⋅（2n ≥，且0n a ≠）

（3）通项公式法：n n a kq =（,k q 为常数，且0kq ≠）

（4）求和法：n n S Aq B =+，且0A B +=，0AB ≠.

5.函数性质

【典型例题】

例1 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .

（1）数列n a ，1n a -， ，2a ，1a 也成等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比；

（2）依次取出{}n a 的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比；

（3）数列{}n ca （其中c 为常数且0c ≠）是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比. 例2 在等比数列{}n a 中.

（1）已知13a =，2q =-，则6a = ；（2）已知32n n a =⨯，则1a = ，d = ；

（3）它的首项和公比均为2，若它的末项为32，则这个数列共有 项；

（4）已知12a =，7128a =，则q = ；（5）已知427a =，3q =-，则7a = ；

（6）已知320a =，6160a =，则n a = ；（7）若4n n a a +=，则q = . 例3 （1）已知{}n a 为等比数列，且243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于 ；

（2）已知等比数列{}n a 中，3833a a +=，4732a a =，且数列{}n a 是递增数列，则数列{}n a 的公比q 为 .

练习：（1）等比数列1a -，2a ，8a ， 的第四项为 ；

（2）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1235a a a ⋅⋅=，78910a a a =，则456a a a = . 例4 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数和第三个数的和是12，求这四个数.

【夯实基础】

1.在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 的值为（ ）

A.4

B.

32 C.169

D.2 2.已知数列a ，(1)a a -，2(1)a a -， 是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）

A.1a ≠

B.1a ≠或0a ≠

C.0a ≠

D.1a ≠且0a ≠

3.公差不为0的等差数列{}n a 中，2a 、3a 、6a 依次成等比数列，则公比等于（ ） A.12 B.13

C.2

D.3 4.已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a 是不为0的常数），那么数列{}n a 是（ ） A.一定是等差数列 B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列

D.既不是等差数列，也不是等比数列

5. ABC 的三边a 、b 、c 成等比数列，则角B 的取值范围是（ ） A.[0,]6π B.(0,]6π C.[0,]3π D.(0,]3

π 6.已知等比数列32781,,,,,41632

x y -- ，则x = ，y = . 7.若正项等比数列{}n a 的公比1q ≠，且356,,a a a 成等差数列，则3546

a a a a ++等于 . 8.在83和272

之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 . 9.设a 、b 、c 成等比数列，x 是a 、b 的等差中项，y 是b 、c 的等差中项，则a c x y

+= .

10.已知{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列，且公差与公比均为d （0d >，且1d ≠）.若11a b =，333a b =，555a b =，求n a 和n b .

11.已知有穷数列{}n a 共有2k 项（整数2k ≥），首项12a =，设该数列的前n 项和为n S ，且1(1)2n n a a S +=-+（1,2,,21n k =- ），其中常数1a >.

（1）求证：数列{}n a 是等比数列；

（2）若2

212k a -=，数列{}n b 满足2121log ()(1,2,,2)n n b a a a n k n

== ，求数列{}n b 的通项公式.

12.已知数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，若11a =，142n n S a +=+（n ∈N +）

（1）求证：1{2}n n a a +-为等比数列；（2）求证：{}2n n a 为等差数列；（3）求n a ，n S ；