基于分数Black_Scholes模型的外汇期权定价及其评判检验
实验三Black-Scholes 期权定价方法
实验三Black-Scholes 期权定价方法一、实验概述本试验用Matlab7.0 工具绘制期权到期收益图，在此基础上进一步了解欧式期权的特征。
进一步利用Black-Scholes 期权定价对看涨期权进行定价过程。
二、实验目的1.理解欧式期权的形态特征2.掌握欧式期权的参数估计方法3.利用国泰安和锐思数据库对股票的收益率进行参数估计。
4.培养学生利用数据库和相关软件进行金融计算的能力。
三、实验工具天琪期货据库和锐思数据库，MATLAB7.0软件。
四、实验原理4.1 欧式看涨期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，看涨期权到期收益为max{(),0}S T K -。
4.2欧式看跌期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，看涨期权到期收益为max{(),0}K S T -。
4.3 二元期权和备兑认购期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，二元期权到期收益为1,()1,()if S T K if S T K>⎧⎨-≤⎩。
备兑认购期权的到期收益()max{(),0}S T K S T +-4.4 Black-Scholes 股票期权定价股票价格服从对数正态分布；●在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；● 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；● 股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；● 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施;● 金融市场不存在无风险套利机会；● 金融资产的交易可以是连续进行的；● 可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。
股票的价格为 ()20exp /2t t S S z t σμσ⎡⎤=+-⎣⎦对上述方程两边取自然对数可得，20ln 2t t S z t S σσμ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中右边的表达式是一个均值为 2(/2)t μσ-，方差为t 2σ的正态随机变量，波动率是σ，漂浮率是μ。
Black-Scholes期权定价公式的探讨
尔可夫过程，也不是半鞅； ⑤如果Ｈ＞ｌ／２，则将来与过去增量
协方差大于零，Ｈ＜ｌ／２时小于零，Ｈ＝ｌ／２
时等于零。 Ｈ—ＳＳ，Ｈ∈（０，１）较Ｈ＝ｌ／２的标准布朗
运动更灵活，而且Ｈ＞ｌ／２时，将来与过 去增量正相关，使得ＦＢＭ模型的定价更 有说服力。统计数据显示，大多数的市场 都是单向分数的，即Ｈ∈（０．５，１）。Ｈ≠１／２ 时ＦＢＭ就不能使用马尔可夫过程和半 鞅的性质来求积分，原古典随机积分的
ｋ熹＝Ｎ（ｄ－）
ｆｒａｃｔｉｏｎ８１ Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ Ｎ（ｄ－）
参数（Ｔ－ｔ）和
ｒ一州一Ｎ’（ｄ１）
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ｏ一鲁一一弓警警“唧（廿．１）Ｎ㈣ ｆｒ珊一ｔｑ。进一
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万方数据
１９
统计与决策
ｉＺ ７ｌ一７ｉ办ｒ｛，
二是分数Ｗｉｃｋ—Ｉｔｏ随机积分，『＝面 ◇代表Ｗｉｃｋ乘积，Ｈ∈（０．５，１），Ｉ ｆ（ｔ，ｗ）ｄＢ。
（ｔ）＝。ｌⅡｉｒａ㈨Ⅲ∑ｆ（ｔｋ，ｗ）◇（Ｂ加）一Ｂ删。
（４）几何分数布朗运动 在分数Ｈｉｄａ测试函数空间里，分数 布朗运动的随机微分方程是 ｄＳ（ｔ）＝斗Ｓ（ｔ）ｄｔ＋盯Ｓ（ｔ）ｄＢ小），Ｓ（０）＝ｓ＞０，也
外汇期权定价研究
外汇期权定价研究外汇期权定价是一个重要的问题，它涉及到外汇市场的风险管理和交易策略。
外汇期权是一种金融衍生品，其价值和风险来自于汇率波动。
因此，外汇期权的定价需要考虑到汇率变动的不确定性和概率分布。
外汇期权的定价理论主要有两种方法：一种是基于风险中立定价原理的Black-Scholes模型，另一种是基于随机波动性和复杂概率分布的Monte Carlo模拟方法。
Black-Scholes模型是一种基于风险中立的定价模型，它假设市场参与者对于未来的汇率波动是持相同的看法，并且市场是无摩擦和无风险套利的。
在Black-Scholes模型中，外汇期权的定价取决于五个变量：当前汇率，行权价格，无风险利率，期权时间和波动率。
其中，波动率是一个关键的变量，它反映了汇率波动的程度和方向。
Monte Carlo模拟方法是一种基于随机性和概率分布的定价方法。
它将汇率波动建模为随机过程，并通过模拟随机路径来计算期权的价值和Delta等Greeks。
Monte Carlo模拟方法的优点是可以处理复杂的波动性和分布特征，而缺点是计算复杂度高，并且需要大量的模拟次数才能得到准确的定价结果。
除了这些主流的定价方法，还有一些其他的定价方法，如数值积分和树形结构模型等。
数值积分方法主要是基于数学积分理论，通过数值计算来得到期权价值和Hedge参数。
而树形结构模型则是一种仿生学方法，它将期权价格建模为一棵树状结构，并通过向下生长和向上回溯的方法来计算期权的价值和风险敞口。
综上所述，外汇期权的定价是一个复杂的问题，需要考虑到汇率波动的概率分布和复杂性，以及市场参与者的行为和套利等因素。
不同的定价方法有各自的优缺点，并且需要在实际操作过程中进行不断地校正和改进。
因此，外汇市场参与者需要充分理解不同的定价方法和风险敞口，以便制定有效的交易策略和风险管理计划。
基于分数Black-scholes模型的外汇期权定价及其评判检验
品质量 和档次 ． 强品牌在 国际市场上 的知 名度 。 增 从而 扩大 出 口。事 实也 是如此 ，２０ ０ ５年～ ０ ６年 。外商 投资企业 出 ２０
口 、进 口 总 额 已 占 我 国 出 口 、进 口 总 额 已接 近 ５ ，８ 、 ８１％
５ ． ％和 ５ ． ％ 、 ９ ０ ８２ ９ ８ ０ ５ ． ％。 ７ ７
外 汇期 权 是 期 权 家 族 的 重 要 一 支 ． １８ 年 １ 自 ９２ ２月 １ ０ 日美 国 费 城 交 易 所 （ＨＬ 推 出 了外 汇期 权 交 易 以来 。 汇 Ｐ Ｘ） 外 期 权 得 到 了迅 速 的 发 展 ． 目前 已 成 为 国 际 上 一 种 发 展 成
熟、 运用广泛 的能有 效规避 和控制 汇率 风险的外 汇衍生 工 具 我 国已加入 了 ＷＴ 成 功规避汇 率风险也成 为我 国企 Ｏ． 速率使进 口贸易额 回到长期均衡 。 从模型 （ ） ４ 得知 ， 外商直 接投资与我 国进 口贸易额 呈正 向关 系 ． 短期 内外 商直 接投 资每 增加 １ ， 带 动滞后 三 、 ％ 将
【 关键词 】 外汇期权 分形 市场 分数布 朗运动 定价偏差 【 中图分类号 ｌ ３． 【 Ｆ ０ 文献标识码 ｌ 【 ８ ９ Ａ 文章 编号 ｌ ０— ０５ ０８ ２ ０６— ３ １ ６ ２２（ ¨ ） —¨ ８ ０ ０ ２０ ０ ０ 【 作者简介 】 强， 傅 重庆大学经济与工商管理学院教授 ， 士生导师 ， 博 主要研 究方向为金 融数学和金 融 系统动力学 ；
情况． 外商 直接投 资将 以 ５ ． ％的速率 使进 口贸易额 回到 ３２ ８
长期 均 衡
三、 结论 通过 上述的分析 ． 可以得 出如下一 些结论 ： １ 商直 接投 资与我 国进 出 口贸易之 间都存 在着长期 夕 均衡关 系。外 商直接投资每增加 １ 我 国进 出口贸易额 会 ％， 分别 同方向增加 ６ ％和 ５ ％． ７ ９ 外商直 接投 资推动 了我 国进
基于Black-Scholes模型的欧式期权定价研究
基于Black-Scholes模型的欧式期权定价研究摘要：期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。
期权定价是金融衍生工具理论研究和实际应用的核心问题。
本文介绍了金融衍生品概况，利用随机过程的知识，系统研究了基于Black-Scholes模型的欧式期权定价问题。
文章推导出了标的资产的价格过程，进而应用风险中性法详细解析了Black-Scholes模型。
关键词：期权定价，伊藤过程，Black-Scholes模型，风险中性。
1 金融衍生品概论1.1 金融衍生品及其市场期权是最基本的金融衍生品之一。
金融衍生工具（derivative instruments）又称金融衍生品（derivatives）或金融证券（derivative securities），是一种金融工具，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产（underlying asset）的价格。
这就是说金融衍生品的价值是由其标的资产价值衍生（derived）而得到的。
其中，用来作为标的资产的可以是债券、股票、货币等基础金融工具，也可以是其它实物资产，或者是金融衍生品本身。
从金融工程学角度看，远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生品。
市场上还存在的的其它衍生品，如掉期（swaps）、按揭抵押债券（mortgage-backed securities）、结构化债券（structured securities）等都可以看作上述三种基本衍生工具及债券、股票的基础金融工具不同组合的产物。
金融衍生品市场是一个非常巨大的市场，表1和表2分别列出了5年前交易所内外交易的金融衍生产品市值。
目前全球每年的交易额超过100万亿美元，而全世界所有国家的当年GDP总和也不过30万亿美元。
这个市场发展极其迅猛，也对全世界的经济走势产生了极其深远的影响。
从原理上来讲，金融衍生品市场首先是规避风险的工具，通过交易使得风险从风险厌恶者手中转移到风险喜好者手中。
基于Black-Scholes公式的供应链期权契约的定价研究
结论方程组（9）则为实现供应链协调的期权价格及期权执 行价格的计算公式。方程组即能够保证期权供应链契约协调又
要实现供应链的协调，则
（4） 成立。即（4）=（2）。得：
能够达到金融市场期权定价的标准，得到在使用 Black-Scholes 期权定价公式下的（co.ce）的期权供应链契约协调。
三、结语
在大量使用弹性数量契约的环境下，引入期权供应链契约， （5） 将现货市场风险分担，达到供应链协调。供应商作为领导者，如
当中避免成员的自私从而导致双重边际化（Double Marginalization）,实现协调各决策者之间的利益。因此供应商作为领导者给 出以下价格参数来激励零售商采用。
参数设置及其定义： r：零售商的单位产品在市场的零售价格；w：供应商出售给 零售商的单位产品的批发价格；c：供应商的单位产品的生产成 本(不包括商务成本)；ce：单位产品的期权价格；co：单位产品的期 权执行价格；M：零售商的期权购买量；νs：单位产品在供应商处 的产品残值；νr：单位产品在零售商处的产品残值；P：供应商和 零售商因为缺货而导致的损失 （如商誉损失和顾客损失）；T：供 应链中零售商对供应商的转移支付；F(x)：市场需求 D 的分布函 数；f(x)：市场需求 D 的概率密度函数；μ：需求 D 的期望 供应链的总利润表示为：
由于等式（5）成立，可得要实现供应链的协调，供应商的价 格策略必须满足条件：
何给出一份具有吸引力的价格参数显得尤为重要，通过 Black-Scholes 期权定价公式的引入，为供应商在制定期权价格 以及期权执行价格提供了重要的工具。零售商作为理性经济人
（6） 和跟随者，通过对供应商的定价分析，找到适合自身的最优订货
.一部Al分l的风R险ig补h偿t。s在R两e极s化e供rv应e链d当.中，零售商与供应商互相
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
Black-Scholes 期权定价模型
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Concept of Theorem
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Proof of Theorem (1)
▪ According to Definition 1.1.2, to check that is a probability measure,
we must verify that
(Fubini’s Theorem)
x f x, ydydx f x, ydy
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So,
xfXxdxEX
Therefore, concluding
E X E E X |Y
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Summary:
When Y is discrete,
E X|YyP Yy
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随机分析
黎曼积分 勒贝格积分 Ito积分 Stratonovich积分
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微积分号称三百多年来最伟大的数学，俨然成了无 敌于天下的数学老大，然而当狄里克雷(Dirichlet)大 侠将他的魔鬼狄里克雷函数从瓶子里放出来时，微 积分却对之无可奈何。
狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实 数范围上、值域为0,1的不连续函数。 当 自变量x为有理数时，f(x) = 1； 自变量x为无理数时，f(x) = 0。 狄利克雷函数的图像关于Y轴成轴对称，是一个偶函数；它 处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不 连续的可测函数。
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Conditional Expectation
Discrete: E X |Y y x X P x |Y y
基于Black-Scholes模型的期权定价新方法
基于Black-Scholes模型的期权定价新方法沈玉波;张待见;宋立新【摘要】考虑到实际金融市场的不完备性以及收益率分布的厚尾性,基于经典Black-Scholes模型并运用函数的下凸性,期权定价公式H（a）=E[（X-a）2]被推广为Hk（a）=E[（X-a）2k].通过DJSH（道琼斯上海）指数收益率的GARCH模型,并使用随机模拟的方法对这两个公式进行定价比较.结果表明这种方法有效提高了定价,从而降低了风险.%Actual financial markets are incompleted and distributions of yield rate are fat-tailed,so based on the classical Black-Scholes model and using downward convex property of function,option pricing formula H（a）=E[（X-a）2] is generalized to Hk（a）=E[（X-a）2k].With the GARCH model of DJSH rate and by using the method of stochastic simulation,effects of the two pricing formulas are compared.The results show that the new formula of option pricing effectively increases the price and reduces the risk.【期刊名称】《大连理工大学学报》【年(卷),期】2011(051)004【总页数】4页(P621-624)【关键词】Black-Scholes公式;GARCH模型;Girsanov定理【作者】沈玉波;张待见;宋立新【作者单位】大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024;大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024;大连理工大学数学科学学院,辽宁大连116024【正文语种】中文【中图分类】O212.90 引言次贷危机的蝴蝶效应引发全球经济的动荡不堪.为了应付金融危机，全球性大规模联手救市展开，降息成为全球救市最直接的手段.尽管金融危机最主要的原因不是金融衍生品的定价不足，但是若整个金融市场的衍生品定价提高，则会对金融危机有所缓解，特别是应对全球金融风暴这样的突发高风险事件.为了期权卖出者将来不再因为突发高风险事件而破产，用新的定价方法来提高价格是有必要采取的手段，为此本文延续Black－Scholes模型简单易操作且结果精确的优点，并且考虑到金融风险分布的厚尾特性，引入H k（a）＝E［（X－a）2k］（k≥1）来放大高风险突发事件在定价中的作用.1 经典Black－Scholes模型经典Black－Scholes模型的主要假设有［1～4］（1）标的资产的价格服从对数正态分布，μ和σ为常数；（2）标的资产允许卖空；（3）不存在无风险套利机会；（4）资产交易是连续的；（5）没有交易费用或税收，所有资产高度可分；（6）资产在有效期内无红利支付；（7）无风险利率r为常数，且对所有到期日都相同.在以上假设下，完备的概率空间（Ω，F，P）上，资产价格St模型定义如下：基于资产价格St的欧式看涨期权定价公式如下：下面给出一个很重要的定理，主要用于计算过程中的测度变换.定理1（Girsanov Theorem）［5］在完备的概率空间（Ω，F，P）上，假设在测度P下是一个鞅，W t是（Ω，F，P）上的一个D维布朗运动，X t是D维可测适应过程且定义测度Q使得则对每一个固定的T∈［0，＋∞），W t是（Ω，F，Q）上一个D维布朗运动.2 基于经典Black－Scholes模型的新定价方法2.1 新方法的提出及证明下面从数学的角度来分析一下经典的Black－Scholes模型定价公式，以欧式看涨期权为例，用X代表（ST－K）＋，E［（ST－K）＋］事实上就是函数的极小值点.将式（4）一般化，利用的最小值点ak作为期权的定价，由下凸函数的性质可以肯定这样的定价要比原定价高，但尚需通过股票指数DJSH（道琼斯上海）收益率的GARCH模型随机模拟，分别应用两个公式进行定价比较.下面仍给市场以经典模型的假设，资产价格服从对数正态过程，分析H k（a）＝E ［（X－a）2k］（k＝1，2，…）的函数性态，有（1）H（a）＝E［｜X－a｜］时，最小值点α是X的中位数，此时尾部对α没有影响；（2）H1（a）＝E［（X－a）2］时，最小值点β是EX，尾部对β产生影响；（3）H k（a）＝E［（X－a）2k］，a≥0，k＝1，2，…时，假设EX2k＜＋∞，由控制收敛定理［6、7］可推得H k（a）＝E［（X－a）2k］关于a可导，由可知H k（a）＝E［（X－a）2k］在正半轴上有唯一的最小值点ak.换个角度来说ak为方程H′k（a）＝－2kE［（X－a）2k－1］＝0的实根，即E［（X－a）2k－1］＝0的实根.由以上判断可知：正半轴上根是唯一的，当a＜0时，H′k（a）＝－2kE［（X－a）2k－1］＜0恒成立，所以方程无负实根.综上H′k（a）＝0有唯一的正实根ak.这样就可以用ak作为期权的定价.资产价格服从模型仍是这样就可以得到其导数的表达式，但是比较复杂，下面具体就k＝2时进行分析.H2（a）的导数为三次多项式，由三次方程的公式解可得卡尔丹公式x3＋px＋q＝0的解为从而看跌期权的定价为2.2 新方法下看涨－看跌期权平价关系对于两个相同有效期T－t，相同敲定价格K的欧式看涨和看跌期权有平价公式新定价的欧式看涨－看跌期权平价关系为3 随机模拟对于定价新公式，可以选择不同的k，随着k的增大，突发事件的放大作用也增大，这正是所想要的结果.本文以k＝2为例，采用随机模拟的方法［8］，以两年期的DJSH指数的欧式看涨期权为例，分别使用Black－Scholes公式和基于Black－Scholes模型的新定价公式为它定价并进行比较.GARCH模型一定程度地反映现实市场的不完备性，并且运用计量经济软件Eviews可以很方便地得到，因此采用DJSH（2006～2009）的数据，用GARCH （1，1）模型对DJSH指数的对数日收益率建模.用估计好的对数日收益率的GARCH（1，1）模型模拟出DJSH指数的1 000个日价格，然后对基于该指数的两年期欧式看涨期权进行定价.设定常用的无风险年收益率r＝0.05，T＝720 d，即2 a，选择两个执行价格K1＝276.00，K2＝278.00，分别用式（5）和经典Black－Scholes模型进行定价，计算得到定价的平均价格和价格的标准差，为了明确比较，列成表1.表1 定价的平均价格和价格标准差Tab.1 Mean price and its standard deviation of option pricing应用公式K1＝276.00 K2＝278.00平均价格标准差平均价格标准差Black－Scholes公式 27.372 201 81 1.743 521 67225.562 526 97 1.751 301 921新定价公式 27.818 447 18 0.620 262 322 25.818 447 18 0.623 029 379从表1中可以看出，新公式下期权平均定价有所提高，而且标准差减少了很多，这正是期望得到的.4 结语本文对Black－Scholes定价公式进行了推广得到了新定价公式.实例模拟表明：新的期权定价公式放大了突发高风险事件的作用，有效提高了定价，并且这种定价没有因为高风险突发事件增大定价的标准差，从而降低了风险.从公式的得出过程来看，新定价公式不仅适用于基于股票的期权定价，且由于金融衍生品定价的前提和市场环境都是相似的，可以将新方法推广应用于各种金融衍生产品.【相关文献】［1］朱浩民.衍生性金融商品［M］.北京：中国人民大学出版社，2005［2］姜礼尚.金融衍生产品定价的数学模型与案例分析［M］.北京：高等教育出版社，2004 ［3］HULL J C，ZAGRODNY D.Option，Futures，and Other Derivatives［M］.5thed.Beijing：Huaxia Publishing House，2000［4］BHLMANN H.Mathematical Methods in Risk Theory［M］.New York：Springer，1970［5］胡必锦，朱自清.鞅分析及其应用［M］.武汉：华中科技大学出版社，1988［6］程士宏.测度论与概率论基础［M］.北京：北京大学出版社，2006［7］汪嘉冈.现代概率论基础［M］.上海：复旦大学出版社，1988［8］邓留宝，刘柏年，杨桂元.Matlab与金融模型分析［M］.合肥：合肥工业大学出版社，2007。
对Black-Scholes期权定价模型的修正及检验
S 定价模型中，对于波动率的估计有赖于历史数据的数量。因
此，我们要考虑到数据选取的准确性。其次，与无风险利率一
样，这种对波动率计算的方法没有考虑到市场对其的未来预
期，故也可能存在一定的偏差。
对于以上所述的种种问题，需要提出合适的方法加以修
正。对于红利的问题，本文主要参考了 Merton 提出的两种红
其中，d1=
ln（（S0-∑Kaie-rt））+（r+
滓2 2
）（T-t）
滓 姨T-t
d2=d1- 滓 姨T-t 2. 存在连续红利时 B-S 模型的变形。对于期限较长的期 权，通常把其标的股票所支付的红利看做是连续的。因为红利
□·56·２０12． 11 下旬
的每一次支付都会使股票的价格下降相同的幅度，因此也可
□财会月刊·全国优秀经济期刊
对Black-Scholes期权定价模型的修正及检验
王未卿 洪 贤 邓静涛
（北京科技大学东凌经济管理学院 北京 100083）
【摘要】 Black-Scholes 期权定价模型是期权定价研究历史上的一个里程碑。受当时研究条件的限制，原始的 BlackScholes 期权定价模型的假设条件并不完善，故其在准确性以及适用性上存在着不足。本文从原始 Black-Scholes 期权定价 模型出发，基于对红利、交易费用和波动率的分析，在比较原始模型的基础上，对原始模型进行修正，从而整合出新的修正 模型。同时，本文选取通用电气作为研究对象，通过市场中真实的数据进行期权价格的实证研究，结果表明修正后的模型在 准确性与适用性方面相比于原始模型有了一定的提升。
Black-Scholes期权定价模型解析
虑任何交易成本和其他费用
二、无收益资产的期权定价公式
• （一）无收益欧式看涨期权的价格
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
（1）
式中：N(d)为标准正态分布函数值。
• 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系， 可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ：
p Xer(T t) N (d2 ) SN (d1)
（2）
• 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平 价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差 分三种数值方法以及解析近似方法求出。
三、有收益资产的期权定价公式
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
c er(T t)[FN (d1) XN (d2 )] （3） p er(T t)[ XN (d2 ) FN (d1)] （4）
• 其中：
d1
ln( F
/
X)
2
T
2(T t
t)
d2
ln( F
/
X)
2 2(T
T t
t)
d1
T t
• （一）有收益资产欧式期权的价格
• 当标的资产已知收益的现值为I时，用（S－I）代 替式（1）和（2）中的S即可求支付固定收益证券 的欧式看涨和看跌期权的价格。
• 当标的资产的收益为按连续复利计算的固定收益率
q（单位为年）时，用 Seq(T t) 代替式（1）和
（2）中的S即可求出支付连续复利收益率证券的欧 式看涨和看跌期权的价格。
• 使用Black-Scholes期权模型可能出现一下问题：
BLACKSCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 简介斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
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为何证券价格能够用几何布朗运动表 达？
一般认同旳“弱式效率市场假说”：
证券价格旳变动历史不包括任何对预测证券价格将来变动有用旳信 息。
马尔可夫过程：只有变量旳目前值才与将来旳预测有关，变量过去 旳历史和变量从过去到目前旳演变方式与将来旳预测无关。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
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结论
几何布朗运动很好地描绘了股票价格旳运动过 程。
2024/9/22
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参数旳了解
μ：
几何布朗运动中旳期望收益率，短时期内旳期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券旳系统性风险、无风险利
连续复利收益率旳问题：尽管时间序列旳收益率加总能够很轻易旳实现；但是 横截面旳收益率加总则不是单个资产收益率旳加权平均值，因为对数之和不是 和旳对数。但是在很短时间内几乎能够以为是近似。JP摩根银行旳 RiskMetrics措施就假定组合旳收益率是单个资产连续复利收益率旳加权平均。
2024/9/22
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
1
Black-Scholes期权定价模型旳基本思绪
期权是标旳资产旳衍生工具，其价格波动旳起源就是标旳资产价 格旳变化，期权价格受到标旳资产价格旳影响。
标旳资产价格旳变化过程是一种随机过程。所以，期权价格变化 也是一种相应旳随机过程。
对基于Black-Scholes模型的认股权证定价理论的实证分析
对基于Black-Scholes模型的认股权证定价理论的实证分析一、引言上个世纪70年代初期,Black 和Scholes 通过研究股票价格的变化规律,运用套期保值的思想,成功的推出了无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。
从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。
Black-Scholes模型的推导可以从两条线索展开而得到相同的结论:1.由Black and Scholes(1973)开创的偏微分方程;2.由Harrison and Kreps(1979)以及Harrison and Pliska(1981)首先提出的鞅方法。
虽然二者形式上有所不同,但最后导出的结论完全相同。
虽然基于鞅方法已成为衍生金融工具定价的主流手段,但由Black and Scholes首创的偏微分分析方法过程简单而且直观,直到今天仍极具深刻的经济学意义。
从数学角度看,该分析思路必须使用随机过程理论的伊藤定理来求解偏微分方程,最后引入边界条件得到欧式期权的定价公式,即布莱克-舒尔斯期权定价公式。
本文首先对Black-Scholes模型及其在认股权证定价中的运用做了相关思想阐述和公式推导,然后把公式在我国认股权证上海CWB1中进行了实证运用,进而通过对上海CWB1的理论价值和其实际价格作对比,分析了认股权证定价公式的有效性。
二、理论准备1.Black——Scholes 微分方程的基本假设及构造(1)Black——Scholes 微分方程用到的基本假设:①无风险债券的利率r为常数,并对所有到期日都相同;②股票价格遵循随机游走,故股价呈现对数正态分布,其波動率σ2为常数;③股票无股利支付;④股票期权为“欧式”,即只能在到期日执行;⑤无交易费用、税收和保证金等成本;⑥证券可无限细分并持有;⑦允许卖空。
对于欧式期权而言,可以求得Black——Scholes 微分方程的解析解。
而对于美式期权而言,仅能得到Black——Scholes 微分方程的数值解。
第13章-投资分析(4)Black-Scholes期权定价模型
27
13.5 B-S买权定价公式
对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权 （买权）的在定价日t的定价公式为
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
2019/11/26
i 1
i 1
N
D(wT ) t D( i ) t N T ,[ D(i ) 1], 证毕. i 1
在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到
dwt t dt
cov(dwt , dws ) 0
（13.3） （13.4）
所以，dwt 概率分布的性质
dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
2019/11/26
11
B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何 布朗运动来代表股价的波动
st xt , a(st ,t) st , b(st , t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微 分方程求出价格f。
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
若股票价格服从几何布朗运动
dSt Stdt Stdwt
设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对 数正态分布，即
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
由（13.10）可得
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （13.11）
(完整)BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK—SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model)，1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会（The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B—S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二）荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C-期权初始合理价格 L —期权交割价格 S —所交易金融资产现价 T —期权有效期r -连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N （）—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
22
Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
39
Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
40
运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
Black-Scholes期权定价模型解析
虑任何交易成本和其他费用
二、无收益资产的期权定价公式
• （一）无收益欧式看涨期权的价格
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
（1）
式中：N(d)为标准正态分布函数值。
• 使用Black-Scholes期权模型可能出现一下问题：
• 1. 计算错误； • 2. 期权市场价格偏离均衡； • 3. 使用的参数错误；
• 4. Black-Scholes期权定价模型建立在众多假定
的基础上，假设与市场实际情况有较大偏差。
d1
ln( S
/
X)
(r 2 T t
/ 2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d1
T t
(T-t)为期权的剩余期限，r为无风险利率，X为期权的行权价 格， σ为标的资产价格波动率，S为标的资产价格。
(二)无收益欧式看跌期权的价格
• 在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（1） 也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
• 近似为7.2824元。
2．美式看跌期权
• 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减 小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美 式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只 能通过较复杂的数值方法来求出。
• Black-Scholes不合用于美式期权的定价。
四、Black-Scholes微分分程
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
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相关函数不为零， 即有持 久性和 反持久 性， 或者 说具有 “长
程相关性”。下 面给出 分数布 朗运动 的定义 和一些 基本性
质：
称随机过程 ＢＨ（ｔ）是分数布朗运动，若其连续且满足： Ｐ（ＢＨ（０）＝０）＝１， ＢＨ（ｔ）－ ＢＨ（Ｓ）￣Ｎ（０，｜ｔ－ ｓ｜２Ｈ） 其中 ｔ，ｓ 为两个不同的时点，Ｈ 为参数， 且 Ｈ!（０，１）。
【参 考 文 献 】 ［１］张 晓 峒 ． 计 量 经 济 分 析 ［ Ｍ］ ． 北 京 ： 经 济 科 学 出 版 社 ．
２０００， （９）． ［２］张二 震 ， 马 野 青 ， 方 勇．贸 易 投 资 一 体 化 与 中 国 的 战 略
［ Ｍ］ ．北京： 人民出版社．２００４， （１）． ［３］王 晨 钟．ＦＤＩ 对 我 国 出 口 贸 易 及 出 口 商 品 结 构 影 响 的
实证分析［ Ｊ］ ．利用外资， ２００４，（５）．
６８
期权定价模型拓展到外汇期权领域得到的， 因此称之为
ＢＳＧＫ 模型。该模型是建立在与实际不相符合的有效市场
假设上， 这一假设认为汇率的波动是独立的， 即遵循随机
游走的布朗运动， 且其收益率服从正态分布。但长期的市
场验证及大量的实证研究发现， 外汇市场价格变化的经验
以计算外汇期权的价格， 如下：
Ｃ（Ｓ（ｔ），ｔ）
＝Ｅ＾ｔ｛ｅｘｐ［－ ｒｄ（Ｔ－ ｔ）］（Ｓ（Ｔ）－ Ｋ）＋｝
＝ｅｘｐ［－ ｒｄ（Ｔ－ ｔ）］Ｅｔ｛Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［ｒ＊ｔ＋"（ＢＨ（Ｔ）－ ＢＨ（ｔ））－
１ ２
"２（Ｔ２Ｈ－
ｔ２Ｈ）］－
Ｋ｝
＝ｅｘｐ［－ ｒｄ（Ｔ－ ｔ）］∫Ａ｛Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［ｒ＊ｔ＋"√Ｔ２Ｈ－
等有效市场假说无法解释的现象， 因此， 在对金融资产（ 特
别是外汇期权） 定价时， 运用分形市场假说中的分数布朗
运动代替有效市场假说中的标准布朗运动来建立定价模
型， 能够更加准确的刻画市场的真实性。
２０００ 年 ， Ｈｕ 和 !ｋｓｅｎｄａｌ 等 介 绍 了 分 数 布 朗 运 动 的
Ｗｉｃｋ 积分， 并在 ２００３ 年通过分数白噪声发展了当郝斯特
分布具有厚尾性， 并表 现出正 的高峰 度， 即所 谓的“尖 峰厚
尾”， 而且汇率之间 在不同的 时间存 在着长 期相关 性， 并不
是 随 机 游 走 的 。传 统 的 基 于 有 效 市 场 的 正 态 分 布 假 设 无 法
完全反映这些特征， 也就是说外汇市场并不是一个有效市
场。１９８９ 年， Ｐｅｔｅｒｓ 提出了分形市场假说， 并用 Ｒ／Ｓ 分析方
ｔ２Ｈｘ－
１ ２
"２（Ｔ２Ｈ－
ｔ２Ｈ）］－
Ｋ｝
１
－
ｅ
ｘ２ ２
ｄｘ
√２%
｛ ｝ 其中
Ａ＝ ｘ：ｘ$
１ｎ（
ｋ Ｓ
）
＋
１ ２
"２（Ｔ２Ｈ－
ｔ２Ｈ）－
（ｒｄ－
ｒ!） （Ｔ－
ｔ）
＝－ ｄ２
"√Ｔ２Ｈ－ ｔ２Ｈ
作积分变换可得得到欧式看涨外汇期权的定价公式为： Ｃ（Ｓ（ｔ），ｔ）＝Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［－ ｒｆ（Ｔ－ ｔ）］Ｎ（ｄ１）－ Ｋｅｘｐ［－ ｒｄ（Ｔ－ ｔ）］Ｎ（ｄ２） （ ７）
法证明了不同资本市场都存在着分形结构与非周期循环；
我国学者侯永建、杨胜刚等以 Ｒ／Ｓ 分析方法对外汇市场作
了分形分析， 分形市场假说由于不依赖于汇率波动的独立
及正态分布等假设， 而且能够利用这一假说中的分数布朗
运 动 很 好 地 解 释 外 汇 市 场 中 的 “尖 峰 厚 尾 ”和 长 期 相 关 性
系数 Ｈ＞１／２ 时的分数布朗运动的 Ｗｉｃｋ 积分， Ｂｅｎｄｅｒ 和 Ｅｌ－
ｌｉｏｔｔ 等将分数布朗运 动的 Ｗｉｃｋ 积 分推广 到了郝 斯特系 数
Ｈ!（０，１）的情形， 并且给出了欧式未定权益的分数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃ－
ｈｏｌｅｓ 模型。本文在前人的工作基础上， 推导出了外汇期权
的分数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ 定价模型， 并对中国招商银行给出的
价格月刊
２００８·２
总第 ３６９ 期
经济分析
基于分数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ 模型的外汇期权定价及其评判检验
傅 强 王 凯 刘晓羽
【摘 要】笔者打破传统的有效 市 场假 设 ， 在 假定 外 汇 市场 为 分 形市 场 的 前提 下 ， 结 合 Ｂｅｎｄｅｒ 和 Ｅｌｌｉｏｔｔ 等 给 出的 欧 式未定权益的分数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ 模型， 建立了基于分数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ 模型的欧式外汇定价公式。利用招商银行提供的 外汇期权交易数据进行了实证检验， 检验结果表明： 基 于 分 数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ 模 型 的 外汇 期 权 定价 公 式 的定 价 性 能与 定 价精度都优于传统的外汇期权定价公式。
价格用 Ｐ 表示， 则 ＢＳＧＫ 模型如下：
Ｃ＝Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［－ ｒ!（Ｔ－ ｔ）］Ｎ（ｄ１）－ Ｋｅｘｐ［－ ｒｄ（Ｔ－ ｔ）］Ｎ（ｄ２）
（ １）
Ｐ＝Ｋｅｘｐ［－ ｒｄ（Ｔ－ ｔ）］Ｎ（－ ｄ２）－ Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［－ ｒ!（Ｔ－ ｔ）］Ｎ（－ ｄ１）
（ ２）
其中： ｄ１＝
１ｎ（
Ｓ Ｋ
）
＋（ｒｄ－
数 为 零，这 时 是 标 准 布 朗 运 动 。分 数 布 朗 运 动 的 上 述 性 质 使
得它成为数理金融合适的工具。
３．基于分数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ 的欧式外汇期权定价模型
假定外汇汇率价格 Ｓ（ｔ）满足分数布朗运动：
ｄＳ（ｔ）＝$（ｔ）Ｓ（ｔ）ｄｔ＋"（ｔ）Ｓ（ｔ）ｄＢＨ（ｔ）
（ ３）
【关键词】外汇期权 分形市场 分数布朗运动 定价偏差 【中图分类号】Ｆ８３０．９ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１００６－ ２０２５（２００８）０２－ ００６８－ ０３ 【作者 简 介】傅强 ， 重 庆 大学 经 济 与工 商 管 理学 院 教 授， 博 士 生 导师 ， 主 要 研究 方 向 为金 融 数 学和 金 融 系统 动 力 学 ； 王凯， 重庆大学数理学院硕士研究生， 主要研究方向为金融数学与动力系统分析； 刘晓羽， 重庆大学数理学院硕士研究 生， 主要研究方向为金融数学与动力系统分析 （重庆 ４０００４４） 。
业的一个重要任务。虽然我国各银行已开始推出个人外汇 期权， 但它只是外汇期权中最简单的一种， 因此对于外汇 期权的研究， 特别是对于定价模型的研究， 将对我国外汇 期权市场的发展提供重要理论和实践意义。
外 汇 期 权 的 定 价 模 型 中 最 具 影 响 力 的 当 属 ＢＳＧＫ 模 型 ， 该 模 型 是 Ｇａｒｍａｎ 和 Ｋｏｈｌｈａｇｅｎ（１９８３）将 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ
此处 #（ｔ）为对数外汇价格的期望率， "（ｔ）为外汇价格的波动
率。
无风险债券满足： ｄＭ（ｔ）＝（ｒｄ（ｔ）－ ｒ!（ｔ））Ｍ（ｔ）ｄｔ
（ ４）
在风险中性概率测度Ｐ＾下，有： ｄＳ（ｔ）＝ｒ＊（ｔ）Ｓ（ｔ）＋"（ｔ）Ｓ（ｔ）ｄＢＨ（ｔ） （ ５）
其中： ｒｄ（ｔ）为国内货币无风险利率， ｒｆ（ｔ）为国外货币无风 险利
品质量和档次， 增强品牌在国际市场上的知名度， 从而扩大 出口。事实也是如此， ２００５ 年～２００６ 年， 外商投资企业出 口 、进 口 总 额 已 占 我 国 出 口 、 进 口 总 额 已 接 近 ５８．１８％、 ５８．２９％和 ５８．７０％、５９．７０％。
２．外商直接投资和我国进出口贸易之间关系由 短期偏 离向长期均衡调整的速度很快， 每年对上一年非均衡偏离 的纠正程度出口为 ３０％、进口为 ５４％。短期而言， 进出口变 动受误差修正项的影响， 外商直接投资对我国进出口贸易 的短期变动影响敏感。因此， 我国政府相关部门及企业界， 应大力 响应党 中央的 号召， 积 极发展 ＦＤＩ，从而带 动 我 国 出 口贸易的持续稳定发展。
指数 Ｈ!（０，１）的分 数布朗 运 动 是பைடு நூலகம்一 个 具 有 平 稳 增 量 的
连续的零均值高斯过程，且协方差函数：
Ｅ（ＢＨ（ｔ）ＢＨ（Ｓ））＝
１ ２
（｜ｔ｜２Ｈ＋｜ｓ｜２Ｈ－
｜ｔ－
ｓ｜２Ｈ）
如果 Ｈ＜１／２， 相关系数为负， 该过程的增量是负相关的，当
Ｈ＞１／２ 时，相关系数为正，它是正相关的，当 Ｈ＝１／２ 时相关系
ｄ１＝
１ｎ（
Ｓ Ｋ
）
＋
１ ２
"２（Ｔ２Ｈ－ ｔ２Ｈ）＋（ｒｄ－
ｒｆ） （Ｔ－ ｔ）
"√Ｔ２Ｈ－ ｔ２Ｈ
ｄ２＝
１ｎ（
Ｓ Ｋ
）
－
１ ２
"２（Ｔ２Ｈ－
ｔ２Ｈ）＋（ｒｄ－
ｒ!）
（Ｔ－
ｔ）
"√Ｔ２Ｈ－ ｔ２Ｈ
欧式外汇看跌期权的公式可相应给出： Ｃ（Ｓ（ｔ），ｔ）＝Ｋｅｘｐ［－ ｒｄ（Ｔ－ ｔ）］Ｎ（－ ｄ２）－ Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［－ ｒｆ（Ｔ－ ｔ）］Ｎ（－ ｄ１） （ ８） 当 Ｈ＝１／２ 时，基于分数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ 模型的欧式看涨、 看跌外汇期权定 价公式 （ ７） 、（ ８） 与 ＢＳＧＫ 模型 得到的 定价 公式（ １） 、（ ２） 相同， 为方便起见， 将 基于分 数 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ 模型的欧式外汇期权定价公式记为 Ｆ－ ＢＳＧＫ 模型。
个人外汇期权的参考数据进行了该模型定价性能的评判
和检验。
二 、外 汇 期 权 定 价 模 型
１．欧式外汇期权定价 ＢＳＧＫ 模型
ＢＳＧＫ 模型现在被广泛运用于外汇期权定价上， 该模
型假设汇率具有对数正态分布特征， 遵循标准布朗运动，
假设报价币种的无风险利率为 ｒｆ， 被报价币种无风险利率 为 ｒｄ， 即 期 汇 率 为 Ｓ（ｔ）， 汇 率 波 动 率 为 "， 执 行 价 格 为 Ｋ， 期 权有效时间（ 年） 为 Ｔ－ ｔ， 看涨期权价格用 Ｃ 表示， 看跌期 权