整式方程与分式方程

整式方程与分式方程

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一次函数一章有哪些知识点：

常考题型:

本课知识结构图:(本节课重点)

教学过程ﻩ

一、整式方程的解法

1.一元一次方程和一元二次方程的解法

一元一次方程的解法同学们都很熟练了,我们主要回顾一下一元二次方程的解法。

一元二次方程的解法主要有四种：

（1）直接开平方法：

适用于（mx+n)2=h (ｈ≥0）的一元二次方程。

（２）配方法：

适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是,具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程,用配方法解才较简便。

配方法是通过配方将一元二次方程化成（m ｘ+n ）２=h （h ≥0）的形式，再利用直接开平方

法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

其基本步骤是:

①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；

②把常数项移到等式的右边;

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数;

⑤利用直接开平方法解此方程

用配方法解一元二次方程要注意,当二次项系数不为1时,一定要化为１，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方

(3)公式法： 适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式()

042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程。

注意:当b 2-4ａc ≥0时,方程才有实数解;当b 2－4ａc ＜０时，原方程无实数解。

（4）因式分解法:

适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 例题 用适当的方法解下列方程：

（1）(2x+1)2=2５ (2)01422

=--x x (3）３x 2+8x-１=０ (４） ｘ2-９x ＝0

二、可化为一元二次方程的分式方程的解法

1．适宜用“去分母”的方法的分式方程

解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母,化为整式方程来解。

解分式方程要注意验根！

分析:本例是一道分式方程，通常采用去分母法。

（1)首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式,如本例ｘ2-17x ＋60可分解因式为

（ｘ－5）（x-１２）．

（２）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“（x-5)（x-12）”.

(３)用此整式去乘方程的每一项,便可约去分母,将分式方程转化为整式方程求解．

(4)最后应检验,至此例可找到本例完整解答.

解:原方程就是

)

12)(5(4512354---=--+-x x x x x x ， 方程两边都乘以)12)(5(--x x ，约去分母,得

45)5)(3()12(4-=----x x x x ，

整理后，得

018112=++x x ．

解这个方程，得

9,

221==x x . 检验:0)12)(5(9,221≠--==x x x x 代入,

∴ 9,221==x x 均为原方程根.

在去分母的过程中要注意两点:(１）必须注意符号的变化规律(如本例“１２－x ”与“ｘ-１2”的关系）;(2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏．

2．适宜用“换元法”的分式方程

适宜用换元法的分式方程有两种,一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法;二是不看系数,方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法，

下面的例题中的两个方程,分别具有这两种特点。

例题 解下列方程：

(1)061512=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ； （２）112)1(31)2(82222=+-+-+x

x x x x x . (１)分析：观察方程(1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同,因而,可考虑同底换元法为宜．

解：(1)设y x x =+1

.则原方程可化为 0652=++y y ,

0)3)(2(=++y y ,

∴ 3,221-=-=y y ．

当y 1＝-2时，即3

221-=⇒-=+x x x ； 当y 2=-3时,即4

331-=⇒-=+x x x . ，均不为代入检验把0)1(4

3,3221+-=-=x x x ∴ 4

3,3221-=-=x x 均为原方程的根. (2)分析:观察方程(2)可发现这个方程左边两个分式中的1222-+x x x 与x

x x 2122+-互为倒数，根据这个特点,可以用倒数换元法来解.

解:设y x x x =-+1222，那么y

x x x 12122=+-,于是原方程变形为 1138=+

y y , 去分母,得 031182=+-y y ，

0)1)(38(=--y y ,

解得 y 1＝8

3,y 2=1.

当 y=83时，831

222=-+x x x . 去分母并整理,得

031652=++x x .

解得 3,5

1

21-=-=x x . 当y=1时，即11

222=-+x x x . 去分母并整理，得

211

23-=∴-=x x . 检验:把21,3,51321-

=-=-=x x x 分别代入原方程的分母,各分母都不等于０,所以它们都是原方程的根.

∴原方程根是:21,3,5

1321-=-=-=x x x ． 由此可以看出,解分式方程“转化”为整式方程(一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解,然后再根据分式方程特点，考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.