最新微积分第七章无穷级数
微积分第7章无穷级数
N N ( )使得当n N 时,对[a,b ]上的一切 x ,都
有
rn ( x) b a .
于是，当n N 时有
x
x
x
s( x)dx x0
x0 sn ( x)dx
x0 rn ( x) dx
b
q
(x
x0
)
.
根据极限定义，有
x
x
nx
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数 an xn 在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包
含端点．
定理5 如 果 幂 级 数 an xn 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s( x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x)
例3 研究例1中的级数
x ( x2 x) ( x3 x2 ) ( xn xn1 )
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和s( x) 0，
但并不一致收敛．
对于任意一个自然数
n
,
取 xn
1 ，于是 n2
sn ( xn )
x n
x1
1 x1
an x1n
nqn1 1 x1
an x1n ,
由比值审敛法可知级数 nq n1 收敛，
n1
于是 nqn1 0 (n ),
故数列 nqn1有界，必有M 0 ，使得
nqn1 1 M x1
(n 1,2,)
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推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论 级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：
例如：
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节 正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理 二、比较审敛法 三、比值审敛法 四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点：部分和序列 单调递增。
当
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
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根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
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幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
无穷级数收敛与发散分析
无穷级数收敛与发散分析在数学中，无穷级数是由无穷多个数相加或相乘而成的表达式。
了解无穷级数的收敛与发散性质对于理解数学和应用中的许多问题都至关重要。
本文将详细讨论无穷级数的收敛与发散，并对其中的关键概念和定理进行解释。
无穷级数收敛概念首先，我们来定义无穷级数的收敛性。
设有一个无穷序列 {a_n}，则对应的无穷级数可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...若存在一个数 S，使得对于任意给定的ε > 0，总存在正整数 N，使得当 n > N 时，部分和 S_n 与 S 的差的绝对值小于ε，则该无穷级数被称为收敛的，即S_n → S 当n → ∞ 。
无穷级数发散概念与收敛相对的是发散。
当无穷级数不存在收敛的情况时，我们称其为发散的。
也就是说，无穷级数的部分和随着项数的增加而无限增大或无限震荡。
常见的无穷级数接下来，我们将讨论几个常见的无穷级数，并分析它们的收敛性。
1. 等比级数：由等比数列构成的无穷级数。
例如：1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + ... 通过求和公式，我们可以得知这个级数的和为 2。
因此，这个等比级数是收敛的。
2. 调和级数：由调和数列构成的无穷级数。
调和数列的通项为1/n。
例如：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 经过研究，我们可以证明这个级数是发散的。
3. 幂级数：由幂函数构成的级数。
幂级数可以写作∑(a_n)*(x^n)，其中 a_n 是常数，x 是变量。
幂级数的收敛性与变量 x 的取值范围有关。
根据幂级数的收敛半径定理，我们可以确定幂级数的收敛区间。
4. 绝对收敛和条件收敛级数：在讨论无穷级数的收敛性时，还有一个重要的概念是绝对收敛和条件收敛。
如果无穷级数的绝对值级数收敛，那么我们称该级数为绝对收敛级数。
如果无穷级数本身是收敛的，但其绝对值级数发散，那么我们称该级数为条件收敛级数。
收敛与发散的判定方法判断无穷级数的收敛与发散可以使用多种方法，包括比较法、比值测试法、根值测试法等。
《数学分析》第七章 无穷级数
第七章无穷级数一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点无穷级数是数学分析的重要内容之一，它在研究函数的分析性质、函数逼近、近似计算和微分方程定性理论等领域起着非常重要的作用. 无穷级数的核心是收敛性理论，它的本质就是“无穷多项的和”，但不是从“有限项相加”到“无限项相加”的简单推广，两者有着本质的区别，例如，对于有限项求和而言，加法交换律、结合律以及加法和乘法的分配律总是成立，有限个连续函数的和也是连续函数，但这些规律和性质却不能直接搬到无穷级数上去. 这就要求人们要用一种新的数学思想来研究无穷级数.本章内容由数项级数、函数列与函数项级数、幂级数与傅里叶级数四部分组成，后两者氏特殊的函数项级数. 本章重点是各种级数的收敛性和一致收敛性的概念及其判别法，难点主要有以下几点：●数项级数收敛性判别方法；● 函数列与函数项级数一致收敛性判别法以及一致收敛的函数列与函数项级数的性质；● 幂级数的收敛半径以及和函数的性质，函数的幂级数展开； ● 将函数展成傅里叶级数的条件和方法.三、本章的基本知识要点（一）数项级数 1.级数的收敛性（1）级数收敛和发散的定义 若数项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛，称S 为数项级数的和，记为∑∞==1n n u S 或.∑=n u S若{}n S 发散，则称级数∑∞=1n nu发散.（2）级数收敛的条件① 级数收敛的必要条件：级数∑∞=1n nu收敛.0lim =⇒∞→n n u② 级数收敛的柯西准则（充要条件） （10）级数∑∞=1n nu收敛⇔0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，+∈∀N p ，有.21ε<++++++p n n n u u u（20）级数∑∞=1n nu发散⇔00>∃ε，+∈∀N N ，N n >∃0，+∈∃N p 0，使得.0210000ε≥++++++p n n n u u u（3）收敛级数的性质 ① 线性运算性质：若级数∑nu和∑nv都收敛，则对任意常数d c ,，级数()∑+n ndv cu也收敛，且().∑∑∑+=+n n n nv d u c dv cu② 级数的收敛性与前面有限项的值无关：去掉，增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.③ 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 2.正项级数收敛性的判别 （1）（充要条件）正项级数∑nu收敛⇔部分和数列{}n S 有界（即+∈∃R M ，+∈∀N n ，有.M S n ≤）（2）(比较原则) 设∑nu和∑nv是两个正项级数，且+∈∃N N ，N n >∀，有n n v u ≤，则① ∑nv收敛⇒∑nu收敛； ②∑nu发散⇒∑nv发散.（3）(比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，l v u nnn =∞→lim，则① 当+∞<<l 0 时，级数∑nu和∑nv同敛态；② 当0=l 且级数∑nv收敛⇒∑nu收敛；③ 当+∞=l 且级数∑nv发散⇒∑nu发散.（4）(比式判别法或称达朗贝尔判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及常数)1,0(∈q .① 0N n >∀有q u u nn ≤+1⇒∑n u 收敛； ② 0N n >∀有11≥+nn u u ⇒∑n u 发散. （5）(比式判别法的极限形式) 设∑n u 是正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则 ① 当1<q 时，级数∑nu收敛；② 当1>q 或+∞=q 时，级数∑nu发散.注 当1=q 时不能用本法判别级数的敛散性.（6）(根式判别法或称柯西判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及正常数l .① 0N n >∀有1<≤l u n n ⇒∑nu收敛；② 0N n >∀有1≥n n u ⇒∑nu发散.（7）(根式判别法的极限形式) 设∑nu是正项级数，且l u n n =，则① 当1<l 时，级数∑nu收敛；② 当1>l 或+∞=l 时，级数∑nu发散.注 当1=l 时不能用本法判别级数的敛散性.（8）(积分判别法) 设f 为],1[+∞上的非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.3.一般项级数收敛性的判别（1）(交错级数的莱布尼茨判别法) 若交错级数∑+-n n u 1)1(（0>n u ）满足条件：数列{}n u 单调递减且趋于0，则∑+-n n u 1)1(收敛.（2）级数条件收敛和绝对收敛的定义 ① 若级数∑nu 收敛，则称级数∑nu绝对收敛;② 若级数∑nu收敛而∑nu发散，则称级数∑nu条件收敛.③ 绝对级数的级数一定收敛.（3）(阿贝尔判别法) 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则∑nn b a 也收敛.（4）(狄利克雷判别法) 若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a ，又级数∑nb的部分和数列有界，则∑nn ba 收敛.（二）函数列与函数项级数 1.函数列及其一致收敛性（1）函数列的收敛域及极限函数① 设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x f n ，若对E x ∈0，数列(){}0x f n 收敛，则称0x 为函数列(){}x f n 的收敛点，若数列(){}0x f n 发散，则称0x 为函数列(){}x f n 的发散点，函数列(){}x f n 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，数列(){}x f n 收敛，设)()(lim x f x f n n =∞→，则称)(x f 为函数列(){}x f n 的极限函数或称函数列(){}x f n 在D上点点收敛于函数)(x f ，记为.),()(lim D x x f x f n n ∈=∞→或)()(x f x f n → ),(∞→n .D x ∈② 函数列极限的N -ε定义：⇔∈=∞→D x x f x f n n ),()(lim 对每一固定的D x ∈，0>∀ε，恒存在正数),(x N N ε=（一般说来N 的值与ε和x 有关），使得当N n >时，总有.)()(ε<-x f x f n（2）函数列一致收敛的定义① 函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f ⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，有.)()(ε<-x f x f n记为)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈② 函数列(){}x f n 在D 上不一致收敛于函数)(x f ⇔00>∃ε，+∈∀R N ，总存在正整数N n >0与点D x ∈0，使得.)()(0000ε≥-x f x f n（3）函数列一致收敛的判别法① 利用函数列一致收敛的定义.② 柯西准则：)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当N m n >,时，对一切D x ∈，都有.)()(ε<-x f x f m n③ 确界极限判别法：函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x f x f n Dx n④ 优数列判别法：若+∈∃R N ，当N n >时，对一切D x ∈，有n n a x f x f ≤-)()(，且0lim =∞→n n a ，则函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于)(x f .注 数列}{n a 称为优数列.（4）一致收敛函数列的性质① 连续性：若函数列(){}x f n 在D 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数)(x f 在D 上也连续，且D x ∈∀0，有).(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →→∞→∞→=② 可积性：若函数列(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f ，且每一项都连续，则)(x f 在],[b a 上也可积，且.d )(lim d )(lim d )(⎰⎰⎰→∞→∞==bab a ban n n n x x f x x f x x f③ 可微性：设函数列(){}x f n 在],[b a 上有定义，若],[0b a x ∈为(){}x f n 的收敛点，(){}x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数，且(){}x f n '在],[b a 上一致收敛，则(){}x f n 在],[b a 上一致收敛，其极限函数)(x f 在],[b a 上可导，且()).(d d lim )(lim d d )(d d x f x x f x x f x n n n n →∞→∞==2.函数项级数及其一致收敛性（1）函数项级数的收敛域及和函数设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x u n ，称++++)()()(21x u x u x u n ，.E x ∈为定义在E 上的函数项级数，记为∑∞=1)(n nx u或∑).(x u n 并称)()(1x u x S nk k n ∑==，E x ∈， ,2,1=为函数项级数∑)(x u n 的部分和数列. 若E x∈0，部分和数列)}({0x S n 收敛，则称0x 为函数项级数∑)(x u n的收敛点，若数列)}({0x Sn发散，则称0x 为函数项级数∑)(x u n 的发散点. 级数∑)(x u n的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，级数∑)(x u n的和数列(){}x S n 收敛于函数)(x S ，则称)(x S 为级数∑)(x u n的和函数，记为)()()()(21x S x u x u x u n =++++ ，.D x ∈注 函数项级数的收敛性指的就是它的和函数列的收敛性.（2）函数项级数一致收敛的定义 设(){}x S n 是函数项级数∑)(x u n的部分和数列，若(){}x S n在D 上一致收敛于函数)(x S ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛，即0>∀ε，+∈∃R N ，N n >∀，D x ∈∀，有.)()(ε<-x S x S n（3）函数项级数一致收敛的判别法 ① 利用函数项级数一致收敛的定义. ② 柯西准则：函数项级数∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔0>∀ε，+∈∃RN ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有.)()(ε<-+x S x S n p n或.)()()(21ε<++++++x u x u x u p n n n注 当1=p 时得到函数项级数一致收敛的必要条件：∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于零.③ 确界极限判别法：函数项级数∑)(x u n在D 上一致收敛于函数)(x S⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x S x S n Dx n④ 优级数判别法：设函数项级数∑)(x u n定义在数集D 上，∑nM为收敛的正项级数，若对一切D x ∈，有n n M x u ≤)(，,,2,1 =n 则级数∑)(x u n在D 上一致收敛.⑤ 阿贝尔判别法：设 （10）∑)(x u n在区间I 上一致收敛；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的； （30）)}({x v n 在I 上一致有界.则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.⑥ 狄利克雷判别法：设（10）∑)(x u n的部分和数列在区间I 上一致有界；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的； （30）在I 上0)(→→x v n ).(∞→n则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.（4）一致收敛函数项级数的性质 ① 连续性：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在],[b a 上也连续.② 逐项求积：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰⎰∑=.d )(d )(babannx x u x x u③ 逐项求导：若函数项级数∑)(x u n在],[b a 上每一项都有连续的导函数，],[0b a x∈为∑)(x u n的收敛点，且)(x u n∑'在],[b a 上一致收敛，则∑=)()(x u x S n在上可导，且可逐项求导，即().)(d d)(d d ∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛x u xx u x n n （三）幂级数1.幂级数的一般形式：()∑∞=-0n nnx x a ；特殊形式：x an n n∑∞=0.2.阿贝尔定理：若幂级数x ann n∑∞=0在0≠=x x 收敛，则对满足不等式x x <的任何x ，幂级数x ann n∑∞=0收敛而且绝对收敛；若幂级数x a nn n ∑∞=0在x x =发散，则对满足不等式x x >的任何x ，幂级数x a n n n ∑∞=0发散.3.幂级数的收敛半径和收敛区间 幂级数x ann n∑∞=0的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径.（1）当0=R 时，幂级数x ann n∑∞=0仅在0=x 处收敛；（2）当∞=R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(+∞-∞上收敛；（3）当0>R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(R R +-内收敛；对一切满足不等式R x >的x ，幂级数x ann n∑∞=0都发散；在R x ±=处，可能收敛也可能发散.（4）()R R ,-称为幂级数x ann n∑∞=0的收敛区间.4.幂级数收敛半径定理：对于幂级数x a n n n ∑∞=0，若ρ=→∞n n n a lim ，或ρ=+∞→nn n a a 1lim ，则（1）当+∞<<ρ0时，幂级数x a n n n ∑∞=0的收敛半径是ρ1=R ；（2）当0=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是+∞=R ；（3）当+∞=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是0=R .5.幂级数的一致收敛性质 （1）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，则在它的收敛区间()R R ,-内任意闭区间],[b a 上幂级数都一致收敛.（2）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，且在R x =（或R x -=）时收敛，则幂级数在],0[R （或]0,[R -）上一致收敛.6.幂级数的分析性质 （1）幂级数x ann n∑∞=0的和函数是()R R ,-内的连续函数；若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（或左）连续.（2）幂级数x ann n∑∞=0与其逐项求导及逐项积分所得的幂级数具有相同的收敛区间.（3）设幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数为()x f ，()R R x ,-∈∀，则① ()x f 在x 可导，且()∑∞=-=11n n nxnax f ；② ()x f 在0与x 这个区间上可积，且()x n a t t f n n n x11d +∞=∑⎰+=. （4）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数，则在()R R ,-内具有任意阶导数，求可逐项求导任意次，即() +++++='-x na x a x a a x f n n 1232132， () +-++⋅+=''-x a n n x a a x f n n 232)1(232， ()() +-++=+x a n n n a n x fn n n 12)1()1(!（5）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在0=x 的某邻域内的和函数，则幂级数的系数与()x f 在0=x 处的各阶导数有如下关系： ()()() ,2,1,!0,00===n n fa f a n n7.幂级数的运算 （1）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在此邻域内相等.（2）幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内相等 ,2,1,0,==⇒n b a n n（3）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0的收敛半径分别为a R 与b R ，则有x a x ann n nn n∑∑∞=∞==0λλ，a R x <.()x b a x b x ann n n nn n nn n∑∑∑∞=∞=∞=+=±0，R x <. x c x b x a n n n n n n n n n ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛000,R x <. 其中λ为常数，},m in{b a R R R =，kn nk k n ba c -=∑=.8. 泰勒级数（1）设()x f 在0x x =处存在任意阶的导数，则称()()()()()()()() +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f 00200000!!2 为()x f 在0x 的泰勒级数，当00=x 时，称级数()()()()() +++''+'+x n f x f x f f nn !0!20002为函数的麦克劳林级数.（2）()x f 在0x 的泰勒级数收敛于()()0lim =⇔∞→x R x f n n ，其中()x R n 为()x f 在0x 的泰勒公式余项.（3）余项的形式 ① 皮亚诺型余项()()()nn x x o x R 0-=，()()x o x R n n =.② 拉格朗日型余项 ()()()()()101!1++-+=n n n x x n fx R ξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()10001)!1(++-+-+=n n x x n x x x fθ，10<<θ. ()()()()xn fx R n n n 11!1+++=ξ（ξ介于0与x 之间）()()x n x fn n 11)!1(+++=θ，10<<θ. ③ 柯西型余项()()()()()01!x x x n fx R n n n --=+ξξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()()100011!++---+=n n n x x n x x x fθθ，10<<θ.()()()()x x n fx R n n n ξξ-=+!1（ξ介于0与x 之间）()()()()xn x x x fn nn 10011!++--+=θθ，10<<θ.④ 积分型余项()()()()t t x t f n x R nx x n n d !101-=⎰+.()()()()t t x t f n x R nx n n d !101-=⎰+.（4）五个基本展开式① R ,!!21e 2∈+++++=x n x x x nx .② ()()R ,!121!5!3sin 12153∈+--+-+-=--x n x x x x x n n . ③ ()()R,!21!4!21cos 242∈+-+-+-=x n x x x x nn .④ ()()()()1,!11!21112<++--++-++=+x x n n x x x nααααααα.⑤ ()()(]1,1,1321ln 132-∈+-+-+-=+-x nx xx x x nn . 9. 函数的幂级数展开的方法（1）直接法先求出函数在0x x =处的各阶导数，其次估计余项，证明()0lim =→∞x R n n ，最后写出函数的展开式.（2）间接法利用基本展开式，经过四则运算或变量替换得到函数的幂级数展开式，或在收敛区间内用逐项求导或逐项积分求出函数的导数或原函数，再经逆运算得到函数的幂级数展开式（四）傅里叶级数1.三角函数系与三角级数（1）函数列 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 统称为三角函数列或三角函数系.（2）三角函数系具有正交性，即在三角函数系中，任何两个不同的函数的乘积在[]ππ,-上的积分都等于零，而其中任何一个函数的平方在[]ππ,-上的积分都不等于零.（3）由三角函数系产生的形如()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的级数称为三角级数. （4）若级数 ()∑∞=++102n n n b a a 收敛，则级数 ()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.2.以π2为周期的函数的傅里叶级数 （1）傅里叶系数公式若在整个数轴上()()∑∞=++=10sin cos 2n n n nx b nx a a x f 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系：()x nx x f a n d cos 1⎰-=πππ， ,2,1,0=n ， ()x x x f b n d sin 1⎰-=πππ， ,2,1=n .（2）以()x f 的傅里叶系数为系数的三角级数称为()x f 的傅里叶级数，记为()x f ～()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a .（3）收敛定理：若以π2为周期的函数()x f 在[]ππ,-上按段光滑，则在没一点[]ππ,-∈x ，()x f 的傅里叶级数收敛于()x f 在点x 处的左、右极限的算术平均值，即()()()∑∞=++=-++10sin cos 2200n n n nx b nx a a x f x f ，其中n n b a ,为()x f 的傅里叶系数.（4）收敛定理的推论：若()x f 是以π2为周期的连续函数，且在[]ππ,-上按段光滑，则()x f 的傅里叶级数在()+∞∞-,上收敛于()x f .3.以l 2为周期的函数的傅里叶级数 设()x f 是以l 2为周期的函数，级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++10sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ，其中()x l x n x f l a l l n d cos 1π⎰-=， ,2,1,0=n ，()x lx n x f l b l l n d sin 1π⎰-=， ,2,1=n ，称为函数()x f 的傅里叶级数，n n b a ,称为傅里叶系数.4.正弦级数与余弦级数（1）设()x f 是以l 2为周期的可积偶函数，或是定义在[]l l ,-上的可积偶函数，则()x f 可展成余弦级数()x f ～lx n a a n n πcos 210∑∞=+，其中 ()x lxn x f l a l n d cos 20π⎰=， ,2,1,0=n .（2）设()x f 是以l 2为周期的可积奇函数，或是定义在[]l l ,-上的可积奇函数，则()x f 可展成正弦级数()x f ～lxn b n n πsin1∑∞=， 其中 ()x lxn x f l b l n d sin 20π⎰=， ,2,1=n . 5.贝塞尔不等式及其推论（1）贝塞尔不等式若函数()x f 在[]ππ,-上可积，则()()x x fb a a n nn d 1221222⎰∑-∞=≤++πππ，其中n n b a , 为()x f 的傅里叶系数.（2）推论1（黎曼-勒贝格定理）：若()x f 为可积函数，则()0d cos lim =⎰-∞→x nx x f n ππ，()0d sin lim =⎰-∞→x nx x f n ππ.（3）推论2：若()x f 为可积函数，则()0d 21cos lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π，()0d 21sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π. 5.傅里叶级数部分和的积分表达式若()x f 是以π2为周期的函数，且在[]ππ,-可积，则它的傅里叶级数部分和()x S n 可写成()()t t tn t x f x S n d 2sin221sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰-πππ，当0=t 时，被积函数中的不定式有极限212sin221sin lim 0+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n t tn t来确定.四、基本例题解题点击【例1】讨论下列级数的敛散性： 1.()∑∞=2ln ln 1n nn ； 2. ()∑-1na （1>a ）； 3. ∑nn n !； 4. ∑33n n .【提示】本题涉及到正项级数的几种常用的敛散性判别法，其中第三题困难之处在于寻找与()1-na 同阶无穷小，利用()1-a x 的泰勒展开式，将展开式中的x 替换为n1后即可知()1-na 与n1同阶. 【解】1. 当e 2>n 时，()21ln 1ln n n n <，而∑21n收敛，故()∑∞=2ln ln 1n n n 收敛. 2. 0ln 1lim 11lim 0>=-=-+→∞→a x a na x x nn ，而∑n 1发散，故()∑-1na 发散.3. 由于 1e 11lim lim 1<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→+∞→nn n n n n n u u ，故∑n n n!收敛.4. 由于1313lim lim 3<==∞→∞→nn n n n n u ，故∑33n n 收敛. 【例2】设∑a n2与∑bn 2都收敛，证明下列级数也都收敛：1.∑n n b a ； 2. ()∑+2n n b a ; 及 3. ∑na n. 【证明】1.由()b a b a n n n n 2221+≤及∑a n 2和∑b n 2的收敛性可知∑n n b a 收敛. 2. 由()b b a a n b a n n n n n 2222++≤+及∑a n2和∑bn 2的收敛性与上小题的结果可知()∑+2n nb a收敛.3. 由⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤a n n a n n 22121及∑a n 2与∑n21的收敛性可知∑n a n 收敛. 【例3】判断级数()nnn ln 1∑-的收敛性（中国地质大学2006年硕士研究生入学试题）. 【提示】考查交错级数收敛的判别法与级数的条件收敛性.【解】当e >x 时，0ln 1ln 2<-='⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx x ，所以，当3≥n 时，n n ln 单调递减，且0ln lim =∞→n n n ，由交错级数的莱布尼茨判别法可知()nn n ln 1∑-收敛，但是()n n n n 1ln 1≥-，而∑n1发散，故()nn n ln 1∑-条件收敛. 【例4】证明下列级数收敛:1. nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111cos ； 2.()∑∞=-12sin 1n nn n . 【证明】1. 设n n u n cos =，nn n v ⎪⎭⎫⎝⎛+=11.对于级数∑∞=1n n u ，由于⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→n n 及∑=nk k 1cos 有界，由狄利克雷判别法可知∑∞=1n nu收敛.又数列{}n v 单调递增有上界，根据阿贝尔判别法，原级数收敛.2. 由于22cos 1sin 2nn -=，故原级数收敛性证明可转化为下面两个级数的收敛性：()∑∞=-121n n n，()∑∞=+-1122cos 1n n nn .根据莱布尼茨判别法可知，级数()∑∞=-121n n n收敛.级数()()∑∑∞=+∞=+-=-11112cos 12122cos 1n n n n nn nn ，有数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→nn ，而()()∑∑=+=+-=-nk k nk k k k 11112cos 1cos 211cos 212cos 1 ()()()()1cos 112cos 12cos 13cos 5cos 1cos 3cos 1cos 211≤-++-++--+=+n n n . 由狄利雷判别法可知，级数()∑∞=+-1122cos 1n n nn 收敛. 因此级数()∑∞=-12sin 1n n nn收敛.【例5】讨论下列函数列在给定区间上的一致收敛性：1. ()x x x f nnn +=1， （1） []1,0∈x ； （2） []δ-∈1,0x ()10<<δ.2. ()nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=1，[]1,0∈x .【解】1. （1）()()⎪⎩⎪⎨⎧=<≤==∞→.1,21,10,0lim x x x f x f n n 由于(){}x f n 中的每一项都在[]1,0上连续，而其极限函数()x f 在[]1,0上不连续，因此函数列(){}x f n 在[]1,0上不一致收敛.（2）因为 ()()0lim ==∞→x f x f n n，[]δ-∈1,0x . 又 ()()()()n nnn x n x x x x f x f δδδδ-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--≤≤-≤≤1111sup sup 1010. 所以，()()0sup lim 10=--≤≤∞→x f x f n x nδ，故函数列(){}x f n 在[]δ-1,0上一致收敛. 2. ()()e 1lim lim x nn n n n x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→∞→，[]1,0∈x .又 ()()()0e 11<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='--x n n n x x f x f ，故()()x f x f n -在[]1,0上严格单调递减，即有()()0e 111≤-≤-⎪⎭⎫⎝⎛+-x f x f n n n .由此得 ()()()∞→→-⎪⎭⎫⎝⎛+≤--n n x f x f n n 0e 111. 故函数列(){}x f n 在[]1,0上一致收敛.【例6】证明函数列 ()()nn x nx x f -=1 ),2,1( =n 在闭区间]1,0[上收敛，但不一致收敛.【证明】]1,0[∈∀x ，显然有()()01lim lim =-=∞→∞→n n n n x nx x f . 即()()nn x nx x f -=1在闭区间]1,0[上收敛于零，但是由于()∞→→⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n f nn e 1111，从而()00sup lim ]1,0[≠-∈∞→x f n x n，因此()x f n 在]1,0[上不一致收敛. 【例7】讨论下列函数项级数的一致收敛性： 1.()∑∞=++12n n nnn x x ，[]1,0∈x ；2.()∑∞=+-121n nxn ，()+∞∞-∈,x ；3.()∑∞=+-1cos 1n nxn ，.2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππx 【解】1. 因为()n n n n nn x nx nn x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+∑∑∞=∞=+11122，故设()n x x u n 2=，()nn n x x v ⎪⎭⎫⎝⎛+=1.由优级数判别法，易证()∑∞=1n n x u 在[]1,0上一致收敛.[]1,0∈∀x ，数列(){}x v n 单调递增，且()e e ≤≤x n x v ，[]1,0∈x ，+∈N n ，由阿贝尔判别法可知，原级数在[]1,0上一致收敛.2. 此级数为交错级数，由莱布尼茨判别法易证该级数在()+∞∞-,上收敛，设()x S n 与()x S 分别为级数()∑∞=+-121n nxn 的前n 项部分和与和函数，则()()01cos 11→<++≤-nx n x S x S n ()∞→n .由柯西准则可知()∑∞=+-121n nxn 在()+∞∞-,上一致收敛.3. 设()()nn x u 1-=，()x n x v n cos 1+=. 则级数()∑∞=1n n x u 的部分和数列在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致有界. 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀2,2ππx ，(){}x v n 单调递减且趋于零. 并且 []()01lim 0sup lim 2,2==-∞→-∈∞→nx v n n x n ππ， 即(){}x v n 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛于零. 由狄利克雷判别法知，原级数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛.【例8】设()x x x u n n ln =，(]1,0∈x . 1. 讨论()∑∞=1n n x u 在(]1,0上的收敛性和一致收敛性.2. 计算()x x u n n d 11⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=.【解】1. ()∑∞=1n n x u 的部分和为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈--=.1,0,1,0,1ln 1x x xxx x x S n n由此可知()∑∞=1n n x u 在(]1,0上收敛且和函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=.1,0,1,0,1ln x x xx x x S 又()())1(1ln 1lim 1ln lim lim 111S x xx x x S x x x≠-=+-=-=+→+→+→，即和函数()x S 在(]1,0上不连续，因此()∑∞=1n n x u 在(]1,0上不一致收敛.2. ()()1d 1ln d ln d 1ln d 1ln d 10101010101+-=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰∑∞=x x x x x x x x x x x x x x u n n.6111d 1d 121211011011π-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑⎰⎰∑∞=∞=-∞=-n n n n n n x n x x n x【知识扩展提示】利用极限函数或和函数的不连续性来证明函数列或函数项级数的不一致收敛性是一种非常简洁而又十分有效地办法.【例9】求下列幂级数的收敛半径和收敛域：1. ()x n nn n 111+∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+； 2. x n nn211∑⎪⎭⎫⎝⎛+. 【解】1. 因为 ()e 11lim 11lim 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→n n n n n n n n ,所以幂级数的收敛半径是e1=R . 当e 1±=x 时，()nn n n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++e 11e 11111，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 严格单调递减且收敛于e （当∞→n 时），从而有e 111>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n ，即1e 111>⎪⎭⎫⎝⎛++n n ，所以有()0e 111lim 1≠⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n n ， 由级数收敛的必要条件知，幂级数在e 1±=x 处发散，因此原幂级数的收敛域为.e 1,e 1⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2. 【解法一】令y x =2，则原幂级数为y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11.由于111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，故幂级数的收敛半径为.1=R 当1±=y 时，因为 ()0e 111lim ≠=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，所以幂级数y n n n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11在1±=y 处发散，故y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的收敛域为()1,1-，由()1,12-∈=y x 得 ()1,1-∈x ，即原幂级数的收敛域为()1,1-.【解法二】令()x n x u n nn 211⎪⎭⎫⎝⎛+=，则()()()()x x nx n x u x u nn n n n n n n 22221111111lim lim =+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++∞→+∞→， 由正项级数收敛的比式判别法可知，当12<x 即()1,1-∈x 时原幂级数绝对收敛，当12>x 时幂级数发散，因此幂级数的收敛半径为1=R ，易证当1±=x 时幂级数发散，故原幂级数的收敛域为()1,1-.【知识扩展提示】求幂级数的收敛域一般分为两步：首先求收敛半径，其次考虑级数在端点处的敛散性. 对于缺少偶次项或奇次项的幂级数（如第2题）可以用变量替换或用正项级数收敛性判别法来确定收敛半径和收敛域.【例10】求∑∞=+11n nn x的收敛域与和函数.【解】由于111lim =+→∞n n n ，故收敛半径为1=R ，又∑∞=+111n n 发散，()∑∞=+-111n n n 收敛，因此幂级数的收敛域为[).1,1- 令()∑∞=+=11n nn x x f ，()()∑∞=++==111n n n xx xf x g ，则()xxx x g n n -=='∑∞=11， 所以 ()()().1ln d 1d 00x x t ttt t g x g xx---=-='=⎰⎰ 从而当0≠x 时，()()()x x x x g x f ---==1ln 1，又显然有()00=f ，故 ()()[)()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=.0,0,1,00,1,1ln 1x x xx x f 【知识扩展提示】通常利用幂级数的四则运算性质、逐项求导性质及逐项积分性质来求幂级数的和函数【例11】求x sin 2在0=x 处的幂级数展开式.【解】因为 ()()∑∞=-=02!21cos n nnn xx ，R x ∈，所以()()()()()()∑∑∞=--∞=-=--=-=12121022!221!22121212cos 121sin n nn n n nn x n n x x x ，.R x ∈【例12】求函数()x x f 2=在ππ<<-x 上的傅里叶展开式，并计算∑∞=121n n.【解】 补充定义()ππ2=f ，再把()x f 延拓为周期为π2的周期函数，则()x f 在R 上连续，且在[]ππ,-上按段光滑. 由收敛定理知，()x f 可以展成傅里叶级数，由于ππππ22032d 1==⎰-x x a .()nx nx x a nn 2241d cos 1-==⎰-πππ，,,2,1 =n0d sin 12==⎰-πππx nx x b n ， ,2,1=n .所以当ππ<<-x 时，()().cos 143122nx nx f n n ∑∞=-+=π当π=x 时，上面等式也成立，于是∑∞=+=1222143n nππ，故.61212π=∑∞=n n五、扩展例题解题点击【例1】利用柯西收敛准则证明： 1.()∑-nn 1收敛； 2.∑n 1发散.【证明】1. 0>∀ε，令ε11+=N ，则当N n >时，对+∈∀N p ，有（1）若p 为奇数，()pn n n p +-+++-+-112111ε<+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=11111312111n p n p n n n n . （2）若p 为偶数，则()pn n n p +-+++-+-112111 ε<+<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1111121312111n p n p n p n n n n . 所以，()∑-nn 1收敛.2. 取210=ε，0>∀N ，总存在正整数N n >0，00n p =，则000000021212121212111ε==++>+++++n n n n n n . 所以，∑n 1发散.【例2】讨论∑n1cos ln 的敛散性. 【提示】 利用同阶无穷小.【解】由于 21cos 2sin limcos ln lim 020==-→→x x x xx x x ，所以 2111cosln lim 2=-→∞nn n ，又∑n21收敛，所以，∑n1cos ln 收敛. 【例3】证明：∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n11ln 1 收敛. 【证明】由nn n 111ln 11<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+，得 ()()nn n n n n n n n 23111111111ln 10<+++=+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<， 而∑n231收敛，故∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 11ln 1 收敛. 【例4】设()x f 1在],[b a 上黎曼可积，令()()t t f x f xann d 1⎰=+， ,2,1=n 证明：(){}x f n在],[b a 上一致收敛于0（清华大学2003年硕士研究生入学试题）.【证明】由于()x f 1在],[b a 上黎曼可积，从而在],[b a 上有界，即存在0>M ，使得()M x f ≤1，从而有()()()a x M t t f x f xa -≤≤⎰d 12，()()()()22321d d a x M t a t M t t f x f xax a-=-≤≤⎰⎰， 依次可推出()()()!11--≤-n a x M x f n n ，所以有()()()!11--≤-n a b M x f n n .易证正项级数()()∑---!11n a b n 收敛，由级数收敛的必要条件可知()()0!1lim 1=---∞→n ab n n ，故(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于0.【例5】设t t nt t a n d sin sin 320⎰⋅=π，证明∑∞=11n na 发散（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）.【证明】213230320d sin sin d sin sin d sin sin I I t t ntt t t nt t t t nt t nn +=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰ππππ.2d d sin sin 2203301n t t n t t nt t I n πππ=<⋅=⎰⎰, 828d 2d sin sin 2332322n n t t t t t nt t I nn πππππππππ<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⋅=⎰⎰.因此，n a n π211>，由此得∑∞=11n na 发散. 【例6】设f 在0=x 的某邻域内有定义，()0f ''存在，证明：∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛的充要条件是()()000='=f f （南京大学2002年硕士研究生入学试题）.【证明】充分性. 由于()0f ''存在，故()()()()()02120lim 2lim lim 0020f x f x f x x f xx f x x x ''='-'='=→→→.从而，()()02111lim2f nn f n ''=∞→，而∑n21收敛，因此，∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛. 必要性. 由∑⎪⎭⎫ ⎝⎛n f 1绝对收敛可知，01lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n f n ，又由于f 在0=x 处连续，故()00=f . 又()()()()x x f x f x f f x x 00lim 0lim 0→→=-='，从而有()01lim f n nf n '=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→，由于∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛，所以().00='f 【例7】设(){}x f n 是定义在],[b a 上的无穷次可微函数序列且逐点收敛，并在],[b a 上满足()M x f n ≤'.1. 证明：(){}x f n 在],[b a 上一致收敛；2. 设()()x f x f n n ∞→=lim ，问()x f 是否一定在],[b a 上处处可导，为什么（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）？【证明】1. 0>∀ε，将区间],[b a 分成K 等份，分点为()Ka b j a x j -+=，K j ,,2,1 =，使得ε<-Kab . 由于(){}x f n 在有限个点{}K j x j ,,2,1, =上收敛，因此N n m N >>∀>∃,0，使得()()ε<-j n j m x f x f 对每个K j ,2,1=都成立，于是，],[b a x ∈∀，设],[1+∈j j x x x ，则()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f n j n j n j m j m m n m -+-+-≤-()()()()()()()εηξ12+<-'+-+-'=M x x f x f x f x x f j n j n j m j m. 因此，(){}x f n 在],[b a 上一致收敛.2. 不一定. 令()nx x f n 12+=在]1,1[-上满足题中条件，但是()()x x f x f n n==∞→lim 在]1,1[-上不能保证处处可导（在0=x 处就不可导）.【例8】证明：函数()∑=nnx x f 3sin 在()+∞∞-,上连续，且有连续的导函数.【证明】由于对()+∞∞-∈∀,x ，有nnnx 331sin ≤， ,2,1=n且级数∑n31收敛，故由优级数判别法知∑nnx 3sin 在()+∞∞-,上一致收敛.又n nxn nx 23cos sin ='⎪⎭⎫ ⎝⎛，而n n nx 221cos ≤，() ,2,1,,=+∞∞-∈n x ， 由∑n21收敛知∑nnx 2cos 在()+∞∞-,上一致收敛. 又nnx 2cos () ,2,1=n 在()+∞∞-,上连续，从而由可积性定理知()x f 在()+∞∞-,上具有连续的导函数，从而()x f 也在()+∞∞-,上连续.【例9】将所有有理数排成一个数列{}n r ，试讨论函数()()∑-=2sng nn r x x f 的连续性（厦门大学2006年硕士研究生入学试题）.【解】 因为()212sng nnn r x ≤-，且∑21n收敛，故由优级数判别法知()∑-2sng nn r x 在R 上一致收敛. R 0∈∀x ，当{}n r x ∉0时，通项()2sng nn r x -在0x x =处连续，由一致收敛函数项级数的和函数连续性定理知，()x f 在0x x =处连续. 当{}n k r r x ∈=0时，因为()()()2sng 2sng kk kn nn r x r x x f -+-=∑≠，右边第一项在k x x =处连续，第二项在k x x =处间断，因此()x f 在k x x =处不连续. 综上所述，()x f 在所有无理点处连续，在所有有理点处不连续.【例10】求下列级数的收敛域：1. ()()n x x n n 2111+++∑； 2. .113212nn n x x n ⎪⎭⎫⎝⎛+-++∑ 【解】1. 令x x y 21++=，则原级数为()y n n n ∑+11，易求得其收敛域为[]1,1-，即当1112≤++≤-x x 时，原级数收敛，解次不等式得01≤≤-x . 因此原级数的收敛域为[].0,1-2. 令x xy +-=11，则原级数为y nn n n ∑++2321. 由于3321lim 2=++∞→n n nn n，所以幂级数y n n n n ∑++2321的收敛半径为31，易求得其收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31，因此当311131≤+-≤-x x 时，原级数收敛，解不等式得 221≤≤x ，故原级数的收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 【例11】设有幂级数x n nnn n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1221，求1. 收敛半径与收敛域.2. 和函数在收敛域内的导函数.【解】1. 由于n n nn n n22n 21222n ≤+≤，且222lim 2lim 2==→∞→∞n n n n n n ，故2n 21lim 2n=+→∞n n n ，因此收敛半径为21=R . 当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+12121212121n n n nn n n n n 收敛，故收敛域为.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 2. 令()x n nx f n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1221，.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈x 因为 ()∑∞=-=-11ln n n n xx ，[).1,1-∈x故 ()()().21ln 11211121111xx x nx x x x n x f n nn n n---=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+='∑∑∞=-∞= 【例12】求幂级数()∑∞=+11n nxn n 的收敛域及和函数.【解】由于 ()11lim =+→∞nn n n ，故()∑∞=+11n n x n n 的收敛半径为1=R ，又当1±=x 时，级数()()∑∞=±+111n nn n 发散，因此，()∑∞=+11n nxn n 的收敛域为()1,1-.令()()∑∞=-+=111n n xn n x f ，()1,1-∈x ，则由幂级数的逐项可积性，得()()()∑∑⎰⎰∞=∞=-+=+=11011d 1d n n n x n xx n t tn n t t f .()().1d 1d 1211101xx xt t n t tn n n n xnx n n-==+=+∑∑⎰⎰∑∞=∞=+∞= 所以， ()()22211211x x x x x x n n n --='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∑∞=，()()()2221212x x x x x f -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此()()()21121x xx xf xn n n n-==+∑∞=. 【例13】求级数()∑∞=+1!1n n n的和. 【解】令()()x n n x f nn ∑∞=+=1!1，易求得该幂级数的收敛域为()+∞∞-,. 由幂级数的逐项求导和逐项积分性质，有()()()∑∑∞=∞==--=-='11e !11!1n x n n n x n x x n x x f . 故 ()()e x t e t x f x xt 11d 0-+==⎰. 从而有()().11!11==+∑∞=f n nn【知识扩展提示】利用幂级数求数项级数的和，要记住几个基本幂级数展开式.【例14】将下列函数在0=x 处展成幂级数： 1. ()t ttx f xd sin 0⎰=； 2. ()()x x f 22ln +=. 【解】1. 因为()()!121sin 120+-=+∞=∑n t t n n n，R t ∈，从而()()!121sin 20+-=∑∞=n t t t nn n ，于是()()()()()()∑∑⎰⎰∞=+∞=+⋅+-=+-==0120020!12121d !121d sin n n n n x n n xn n x t n t t t t x f ，R x ∈ 2. 因为()()nxx nn n ∑∞=--=+1111ln ，(]1,1-∈x ，所以。
微积分教学课件第7章无穷级数第4节广义积分敛散性的判别
若 p 1 ，则x 0 是瑕点，
lim x1 p f ( x) lim(1 x)q1 1 , 1 p 1 , p 0 ;
x0
x0
若 q 1 ，则x 1 是瑕点，
lim x1q f ( x) lim(1 x) p1 1 , 1 q 1 , q 0 ;
x0
x0
因此，当 p 0 且 q 0 时，该广义积分收敛；
1
lim x 2 f ( x) lim
1
1,
x0
x0 1 x2
所以瑕积分 1
1
dx 收敛.
0 x(1 x 2 )
10
例5 判别瑕积分 1
1
dx 的敛散性.
1 (1 x 2 )(4 x 2 )
解 易知 x 1 为瑕点， 由于
1
lim (1 x) 2 f ( x) lim
1
1,
x ( 1)
当 p 1且 A 0时， f ( x)dx 发散. a 证略.
4
例1 判别广义积分 x pex dx 的敛散性，其中 1
p, 为常数，且 0 .
解 由罗必塔法则，
lim x2
x
x pex
lim
x
x p2 ex
0
故广义积分 x pex dx ( 0) 收敛. 1
5
例2
判别广义积分
1
arctan x 1 x
dx
(
0)
的敛散性.
解
由于
lim
x
x
arctan x 1 x
x
lim x 1
x
arctan x
,
2
所以，当 1 时，该广义积分收敛；
当 1 时，该广义积分发散.
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1无穷级数整理一、数项级数（一） 数项级数的基本性质1•收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2•收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数 ，总存在N 使得对于任何两个 N大于的正整数 m 和n 总有S m S n•（即部分和数列收敛）3•收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛） ，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散4•对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变 5•在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性 （二） 数项级数的性质及敛散性判断 1•正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛 （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数U nn 1V n 收敛时，级数 U n 亦收敛；若I ，则当级数1n 1n 散时，级数V n 亦发散•n 1V n 之间自某项以后成立着关系:n 1存在常数c0，使 U n CV n (n 1,2,），那么 （i ）当级数V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时，级数 n 1V n 亦发散•推论：设两个正项级数U n 和 n 1V n ，且自某项以后有1U n 1 U n4，那么V n（i ）当级数n V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时, n 1V n 亦发散•（3）比较判别法的极限形式 （比阶法）：给定两个正项级数Un n 1和 V n ，若 lim U nn 1nV n那么这两个级数敛散性相同（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若I 0,则当级数U n 发常用度量:①等比级数：q n，当q 1时收敛，当q 1时发散；n 01②P-级数：丄，当p 1时收敛，当p 1时发散（p 1时称调和级数）;n 1 n p1③广义P-级数：p，当p 1时收敛，当p 1时发散•n 2 n In n④交错p-级数：（1）n12，当p 1时绝对收敛，当Op 1时条件收敛•n 1 n pu（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数u n，当lim 口r 1时n U nn 1级数u n收敛；当1血乩r 1时级数u n发散；当r 1或r 1时需进一步判断• n 1 n U n n 1（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数u n，设r lim n u n，那么r 1nn 1时此级数必为收敛，r 1时发散，而当r 1时需进一步判断•（6 ）柯西积分判别法：设u n为正项级数，非负的连续函数 f （x）在区间［a,）上单调n 1下降，且自某项以后成立着关系：f（U n） U n，则级数U n与积分° f（X）dx同敛散.n 12•任意项级数的理论与性质（1 ）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数U n，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数V n，其中n 1 n 1 Un| U nV n 一!-------- ；将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数W n ,其中2 n 1U n| U nW n 一!------- ，那么若级数U n绝对收敛，则级数V n和W.都收敛；若级数U n 2n 1 n 1 n 1 n 1条件收敛，则级数V n和W n都发散.n 1 n 1③ 绝对收敛级数的更序级数(将其项重新排列后得到的级数)仍绝对收敛，且其和相同④若级数 U n 和 V n 都绝对收敛，它们的和分别为 U 和V ，则它们各项之积按照任何方n 1n 1式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积 U nV n 也绝对收敛，且和也为UV .n 1n 1注:C nU nV n ，这里C nUN n U 2V n 1U n 1V 2 U n V 1n 1n 1n 1且U n 单调减少(即U n U n J,则 (1)"勺山收敛，其和不超过第一项，且余和的符号n 1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数(一)幕级数1•幕级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西-阿达马定理：幕级数 a n (x x 0)n 在x x oR 内绝对收敛，在 x x 0 Rn 0内发散，其中R 为幕级数的收敛半径•(2)阿贝尔第一定理：若幕级数a n (xx 0)n 在x 处收敛，则它必在x x 0 x 0n 0内绝对收敛；又若a n (x x 0)n 在x处发散，则它必在 x x 0 x 0也发散•n 0推论1：若幕级数a n x n 在x (0)处收敛，则它必在 x 内绝对收敛；又若幕n 0级数a n X n 在x( 0)处发散，则它必在 x 时发散•n 0推论2：若幕级数a n (x X 0)n 在x处条件收敛，则其收敛半径 R I X 。
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sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
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综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
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例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
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定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
无穷极数知识点总结
无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。
无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。
2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。
收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。
无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。
无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。
4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。
绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。
5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。
比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。
6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。
无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。
7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。
无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
无穷级数公式
无穷级数公式无穷级数公式是数学中的一个重要概念，它描述了一个数列无限求和的结果。
在数学中，无穷级数公式被广泛应用于各种领域，如微积分、概率论、统计学、物理学等。
本文将介绍无穷级数公式的定义、性质、应用及相关的重要定理等内容。
一、无穷级数公式的定义无穷级数公式是指一个数列的无限求和，通常表示为：$S=sum_{n=1}^{infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$ 其中，$a_n$表示数列的第n项，$S$表示无穷级数的和。
如果这个无穷级数的和存在，我们就称之为收敛的无穷级数，否则称之为发散的无穷级数。
二、无穷级数公式的性质1. 无穷级数的和具有可加性，即如果有两个收敛的无穷级数$S_1$和$S_2$，那么它们的和$S=S_1+S_2$也是一个收敛的无穷级数。
2. 如果一个无穷级数收敛，那么它的每一项必须趋近于零，即$lim_{ntoinfty}a_n=0$。
3. 如果一个无穷级数收敛，那么它的任意一个部分求和必定是有界的。
4. 如果一个无穷级数发散，那么它的任意一个部分求和必定是无穷大的。
5. 如果一个无穷级数收敛，那么它的各项之和的顺序可以改变，即可以通过重新排列项的顺序得到相同的和。
三、无穷级数公式的应用无穷级数公式在数学中有着广泛的应用，下面列举一些常见的应用：1. 微积分中的泰勒级数：泰勒级数是一种无穷级数，它可以把一个函数表示为无限项的多项式和，它在微积分中有着重要的应用。
2. 概率论中的期望：在概率论中，期望是一个随机变量的平均值，它可以通过一个无穷级数来表示。
3. 物理学中的级数电路：级数电路是一种由电阻、电容、电感等元件组成的电路，它可以通过无穷级数来描述。
4. 统计学中的正态分布：正态分布是一种常见的概率分布，它可以通过一个无穷级数来表示。
四、相关的重要定理1. 比较判别法：如果一个无穷级数的每一项都非负，那么可以通过比较这个无穷级数与一个已知的收敛的无穷级数或发散的无穷级数来判断它的收敛性。
微积分第七章 无穷级数
∞
当
q ≥1
时，几何级数
∞
aq n 发散 ∑ 发散.
n =1
∞
n=1
1−q
例3 判别无穷级数∑ 1 的收敛性. ) n=1 n(n+1 解:因为 sn = 1 + 1 + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 因为 1⋅2 2⋅3 3⋅4 n(n+1 ) =(1− 1)+(1 −1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(1 − 1 ))=1− 1 , 2 2 3 n n+1 n+1 1 )=1 所以 lim sn = lim (1− , 从而这级数收敛, 它的和是 1. n→∞ n→∞ n+1 提示: un = 1 = 1 − 1 . n(n+1 n n+1 )
简写形式
1 ∑n n=1
∞
一般项
1 ∑n 1
备注 调和级数 等比级数 几何级数
=a+aq+aq2 + ⋅ ⋅ ⋅ +aqn +
⋅⋅⋅
1 1 1+ 1 + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ∑np ∑np p—级数 级数 2p 3p np n=1 1 ∞ 1 1 1 + 1 +⋅⋅⋅ + 1 +⋅⋅⋅ ∑n(n+1) ∑n(n+1) 1⋅2 2⋅3 n(n+1 ) n=1 1 上页 下页 返回 第七章 无穷级数 微积分
一、无穷级数的基本概念
给定一个数列 u1, u2, u3, ⋅ ⋅ ⋅, un, ⋅ ⋅ ⋅, 则由这数列构成的表达式 u1+u2+u3+ ⋅ ⋅ ⋅ +un+ ⋅ ⋅ ⋅
微积分第七章无穷级数
u2
un)
k
lim
n
sn
ks
.
微积分
第七章 无穷级数
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§7. 2 无穷级数的基本性质
性性质质11
如果
un
s
,
则
kun ks .
n1
n1
性性质质22
如果 un s
、 vn
,
则
(un vn)s
.
n1
n1
n1
这是因为, 如果 un 、 vn 、 (un vn) 的部分和分别为
级数举例:
级数的展开形式
简写形式 一般项 备注
n 1
1 n
1
1 2
1 3
1 n
aqn aaqaq2 aqn
1
1 np
1
1 2p
1 3p
1 np
n 1
1 n
1
12n1131n1 调121n和1级3 数
1 n(n 1)
1n121
1 1 11 n(2n31) 12 n2(n31)
微积分
第七章 无穷级数
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级数的部分和: 级数的前n项的和
n
sn ui u1 u2 u3 un
称为级数
un
高等数学无穷级数
高等数学无穷级数第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义P264 ∑an=a1+a2+ +an+n=1∞an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n1+2+3+ +n+1-1+1-1+ +(-1)n-1+2、定义Sn=∑uKK=1nan=Sn+1-Sn如{Sn}收敛，则∑an收敛n=1∞3、几个重要极限等比级数（几何）∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散；n=0∞P级数∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散；∞1P=1当，∑ 又称调和级数。
n=1n4、级数性质 P266性质5是级数收敛的必要条件即∑an收敛→liman=0n=1n→∞∞例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1 3n例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞20正项级数判别法∑un∞n=1un≥0正项级数部分和数列{Sn}单调递增∴正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散n=1n=1例、判别下列级数敛散性∞（1）∑n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于∞14n2+n≥14n2+n2=11? 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1sin2（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn比较判别法的极限形式如limun=A 则有n→∞Vn∞∞0<a</aA=0 如∑Vn 收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1判别下列级数敛散性例、∑lnn=1∞n+1 nlnn+1∞1=1 又∑发散，∴原级数发散 1n=1nn limn→∞1例、（1）∑ （2）∑(1-cos) nn=1n2+1+nn=1∞1∞ （3）∑lnn n=2n∞1解：（1）由limn→∞nn2+n+n=lim=1 21n→∞n+n+nn111-cos21（2）lim=lim= 1n→∞n→∞12n2n2∵ ∑∞12n=1n 收敛∴原级数收敛lnn1（3）∵ >nn∴∑例、P2712、比判别法∞(n≥3) ∵ ∑1 发散，nn=1∞lnn 发散n=1n例7.7 7.8 设正项级数∑un的一般项满足n=1∞un+1lim=ρ n→∞un则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定3、根值法设∑un为正项级数，如limun=ρn=1∞n→∞则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定正项级数判别其敛散性的步骤：≠0发散首先考察limun? n→∞=0需进一步判别?①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如un含形如nα（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察{Sn}n→∞是否有上界。
无穷级数的收敛性与应用
无穷级数的收敛性与应用无穷级数是数学中一个重要的概念，它由一个无穷个数的和组成。
在研究无穷级数时，人们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
本文将探讨无穷级数的收敛性以及在实际应用中的一些使用。
首先，我们来介绍无穷级数的概念。
一个无穷级数可以表示为：S = a₁ + a₂ +a₃ + ... + aₙ + ...，其中 a₁，a₂，a₃等是一系列实数或复数。
当一个无穷级数的部分和序列 Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ 随着 n 的增加而趋向于一个极限值，我们称该无穷级数收敛。
如果部分和序列没有趋向于一个有限的值，我们称该无穷级数发散。
那么，如何判断一个无穷级数是否收敛呢？数学家们发现了一些收敛性判定法则，例如比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
其中，比较判别法是最常用的一种方法。
比较判别法的基本思想是将所研究的级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较。
如果所给级数与一个已知收敛级数具有相同的特性，那么该级数也是收敛的；反之，如果所给级数与一个已知发散级数具有相同的特性，那么该级数也是发散的。
接下来，我们将讨论一些无穷级数的收敛性。
著名的调和级数是一个经典的例子。
调和级数的一般形式是：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ₙ + ...。
数学家们发现，调和级数是发散的，即其部分和无限增长。
这一发现告诉我们，无穷级数不一定收敛，我们需要对每一个级数进行具体分析。
然而，不仅仅是判断无穷级数的收敛性，无穷级数在实际应用中也扮演着重要的角色。
一个典型的例子是泰勒级数。
泰勒级数是一种用无限次多项式来逼近一个函数的方法。
通过将函数展开成无穷级数的形式，我们可以在给定点的附近进行更精确的函数近似。
泰勒级数在物理学、工程学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
例如，我们可以使用泰勒级数来近似计算三角函数。
在计算机科学中，三角函数的计算是非常耗时的，使用泰勒级数近似计算可以大大提高计算效率。
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微积分第七章无穷级数第七章无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。
（2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。
（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。
（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
（10）掌握函数«Skip Record If...»的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在«Skip Record If...»上的函数展开成傅氏级数，会将定义在«SkipRecord If...»上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。
二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．§7.1常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质1：若级数«Skip Record If...»收敛于和s，则级数«Skip Record If...»也收敛，且其和为ks．(证明)性质2：若级数«Skip Record If...»、«Skip Record If...»分别收敛于和s、σ，则级数«Skip Record If...»也收敛，且其和为s±σ．(证明)性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数«Skip Record If...»收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数«Skip Record If...»收敛，则它的一般项u n趋于零，即«Skip Record If...»．(证明)；一、概念定义:设已给定数列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…,«Skip Record If...»…,称形式加法«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为«Skip Record If...», 即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…, 其中称«Skip Record If...»为一般项.将其前«Skip Record If...»项的和: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»称为级数的前«Skip Record If...»项的部分和,或简称部分和.注1: 由上我们便得到一个数列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…, «Skip Record If...»,…,从形式上不难知道«Skip Rec ord If...»=«Skip Record If...»,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义: 当«Skip Record If...»时,若部分和数列«Skip Record If...»有极限«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,就称常数项级数«Skip Record If...»收敛,且称«Skip Record If...»为其和,并记为: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip RecordIf...»+…+«Skip Record If...»+… , 若数列«Skip Record If...»没有极限,就称«Skip Record If...»发散.注1: 当级数收敛时,其部分和«Skip Record If...»又可看成为«Skip Record If...»的近似值. 两者之差«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…称为级数«Skip Record If...»的余项.用«Skip Record If...»代替«Skip Record If...»所产生的误差就是它的绝对值,即«Skip Record If...».注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数«Skip Record If...»的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列«Skip Record If...»的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设«Skip Record If...»为一数列,令«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»=«Skip Rec ordIf...»,…,«Skip Record If...»=«Skip Record If...», «Skip Record If...», 则«Skip Record If...»这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数):«Skip Record If...»的敛散性.其中«Skip Record If...»解: 我们先考虑其部分和: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»利用中学知识,得«Skip Record If...»=«Skip Record If...» («Skip Record If...»时)(I)当«Skip Record If...»时,由于«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»=«Skip Record If...», 故几何级数收敛,且收敛于«Skip Record If...».(II)当«Skip Record If...»时,由于«Skip Record If...»=«Skip Record If...»不存在,故此时几何级数发散.(III)当«Skip Record If...»时,此时几何级数为: «Ski p Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)此时级数发散.(IV)当«Skip Record If...»时,级数为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»不存在.故此时级数发散.«Skip Record If...»综上所述,几何级数在«Skip Record If...»时收敛,在«Skip Record If...»时发散.[例2] 证明级数«Skip Record If...»收敛.证: 首先,由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...» =«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»原级数收敛,且收敛于«Skip Record If...». [例3] 证明调和级数«Skip Record If...»发散.证: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip RecordIf...»+…+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...».显然«Skip Record If...»不存在. 故原级数发散.一、性质性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...».证: 设«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...». 即«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...».«Skip Record If...»«Skip Record If...»注1: 若反之,则不一定成立.即«Skip Record If...», 原级数«Skip Record If...»不一定收敛. 如调和级数«Skip Record If...»发散,但«Skip Record If...».注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若«Skip Record If...»,则原级数«Skip Record If...»一定不收敛.性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证: «Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…的部分和序列为«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…的部分和序列为«Skip Record If...».则«Skip Record If...», 由于«Skip Record If...»为有限数,则«Skip Record If...»为一个有限数.则«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同敛散.若原级数收敛,则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»收敛. 即«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…收敛若原级数发散,则«Skip Record If...»不存在, 故«Skip Record If...»也不存在. 则«Skip Record If...»发散. 即«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…发散.性质3: 若级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»,则它的各项都乘以一常数«Skip Record If...»所得的级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...».即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»性质4: 若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别收敛于«Skip Record If...»和«Skip Record If...»,则级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...».注1: «Skip Record If...»称为级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的和与差.注2: 若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之中有一个收敛,另一个发散,则«Skip Record If...»发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某«Skip Record If...»项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: «Skip Record If...»是发散的,但«Skip Record If...»是收敛的.注3: 由此知,级数加括号与不加括号时的敛散性是不尽相同的,后面我们要讲它们有相同敛散性时的情况.[例4] 判别级数«Skip Record If...»的敛散性.解: 因级数«Skip Record If...»与级数«Skip Record If...»均收敛,由性质4可知«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»收敛.§7.2常数项级数的审敛法一、内容要点正项级数及其审敛法：1．正项级数的概念；2．基本定理：正项级数«Skip Record If...»收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{s n}有界．(证明)3．比较审敛法：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，且u n≤v n (n = 1, 2, …)．若级数«Skip Record If...»收敛，则级数«Skip Record If...»收敛；反之，若级数«Skip Record If...»发散，则级数«Skip Record If...»发散．(证明)推论：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，如果级数«Skip Record If...»收敛，且存在自然数N，使当n≥N时有u n≤kv n (k > 0)成立，则级数«Skip Record If...»收敛；如果级数«Skip Record If...»发散，且当n≥N时有u n≥kv n (k > 0)成立，则级数«Skip Record If...»发散．4．比较审敛法的极限形式：设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，(1) 如果«Skip Record If...»，且级数«Skip Record If...»收敛，则级数«Skip Record If...»收敛；(2) 如果«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，且级数«Skip Record If...»发散，则级数«Skip Record If...»发散．(证明)5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或«Skip Record If...»)时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；6．根值审敛法(柯西判别法)：设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»，则当ρ < 1时级数收敛；ρ > 1(或«Skip Record If...»)时级数发散；ρ = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；7．极限审敛法：设«Skip Record If...»为正项级数，(1) 如果«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)，则级数«Skip Record If...»发散；(2) 如果p>1，而«Skip Record If...»，则级数«Skip Record If...»收敛．(证明)交错级数及其审敛法:1．交错级数的概念：2．莱布尼茨定理：如果交错级数«Skip Record If...»满足条件：(1) u n≥u n + 1 (n = 1, 2, 3, …)；(2) «Skip Record If...»则级数收敛，且其和s≤u1，其余项r n的绝对值|r n |≤u n + 1． (证明)绝对收敛与条件收敛：1. 绝对收敛与条件收敛的概念；2. 定理：如果级数«Skip Record If...»绝对收敛，则级数«Skip Record If...»必定收敛．(证明)一、教学要求和注意点（略）前面所讲的常数项级数中,各项均可是正数,负数或零.正项级数是其中一种特殊情况.如果级数中各项是由正数或零组成,这就称该级数为正项级数.同理也有负项级数.而负项级数每一项都乘以«Skip Record If...»后即变成正项级数,两者有着一些相仿的性质,正项级数在级数中占有很重要的地位.很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.设«Skip Record If...»为一正项级数, «Skip Record If...»为其部分和.显然部分和序列«Skip Record If...»是一个单调上升数列.由此不难得下面的定理.定理: 正项级数«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界.证: “«Skip Record If...»” «Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界.“«Skip Record If...»” «Skip Record If...»有界,又«Skip Record If...»是一个单调上升数列«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛.定理1(比较审敛法) 设«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是两个正项级数,且«Skip Record If...»«Skip Record If...».那么1)如果«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...»收敛.2)如果«Skip Record If...»发散,则«Skip Record If...»发散. 证: 设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的部分和,显然由«Skip Record If...»«SkipRecord If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(1) «Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界«Skip Record If...»«Skip Record If...»有界«Skip Record If...»«Skip Record If...»也收敛.(2) «Skip Record If...»发散«Skip Record If...»«Skip Record If...»无界«Skip Record If...»«Skip Record If...»无界«Skip Record If...»«Skip Record If...»也发散.推论: 设两个正项级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»,如果对于«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为某一自然数)的«Skip RecordIf...»,恒成立不等式«Skip Record If...»(«Skip Record If...»的常数),则利用级数的性质及定理1的证明方法仍可得定理1的结论.[例1]: 讨论«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»的敛散性.其中常数«Skip Record If...».解 (1) 当«Skip Record If...»时,因«Skip Record If...»,而«Skip Record If...»发散, «Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»发散(2) 当«Skip Record If...»时,对于任意实数«Skip Record If...»,总存在自然数«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»«Skip Record If...»,因此«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»,于是«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»<«Skip Record If...».这表明«Skip Record If...»有上界,又«Skip Record If...»单调上升,故«Skip Record If...»存在«Skip Record If...»«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»收敛.综上所述,当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»-级数发散;当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»-级数收敛.[例2] 若正项级数«Skip Record If...»收敛,则 (1) «Skip Record If...»收敛, (2)«Skip Record If...»收敛, (3)«Skip Record If...»收敛. 证: (1)由«Skip Record If...», 由于正项级数«Skip Record If...»收敛,则由比较审敛法, 知«Skip Record If...»收敛(2)«Skip Record If...», 由于正项级数«Skip RecordIf...»收敛,«Skip Record If...»收敛,则«Skip RecordIf...»收敛,(3)由于«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»,从而«Skip Record If...»,则由比较审敛法,则«Skip Record If...»收敛.比较审敛法的极限形式: 设两个正项级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»,如果存在极限:«Skip Record If...»(1)当«Skip Record If...»,则级数«Skip Record If...»与«Skip RecordIf...»同时收敛或同时发散.(2)当«Skip Record If...»时,如果«Skip Record If...»收敛,则级数«SkipRecord If...»必收敛.(3)当«Skip Record If...»,如果«Skip Record If...»发散,则«Skip RecordIf...»必发散.证: 1)因«Skip Record If...»,根据极限的定义,对于«Skip Record If...»,必存在正整数«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,恒成立不等式«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»由比较审敛法的推论可知两级数同时收敛,或同时发散.2) «Skip Record If...»,即«Skip Record If...»,则存在«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»,得«Skip RecordIf...»,由比较审敛法知,如果级数«Skip Record If...»收敛,则级数«Skip Record If...»必收敛.3) «Skip Record If...»,即«Skip Record If...»,则存在«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»,得«Skip Record If...»,比较审敛法知,当«Skip Record If...»发散,则«Skip Record If...»必发散.[例3] 证明«Skip Record If...»收敛.证: 由«Skip Record If...»,又«Skip Record If...»收敛,则由比较审敛法的极限形式«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛定理2: (达朗贝尔D’Alembert判别法) 设正项级数«Skip Record If...»,如果极限«Skip Record If...»,则1)当«Skip Record If...»时,级数收敛;2)当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时,级数发散.3)当«Skip Record If...»时,法则失效. (证明略)注1: 习惯上,我们也称达朗贝尔判别法为比值审敛法.[例4] 证明«Skip Record If...»收敛.证: «Skip Record If...» , 由达朗贝尔判别法知, 原级数收敛.[例5] 讨论«Skip Record If...» («Skip Record If...»)的敛散性.解: «Skip Record If...»当«Skip Record If...»时, 由比值审敛法知,原级数收敛.当«Skip Record If...»时, 由比值审敛法知,原级数发散.当«Skip Record If...»时,判别法失效.但此时原级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...»发散.«Skip Record If...»«Skip Record If...»时,原级数收敛.;«Skip Record If...»时,原级数发散.定理3: (Cauchy判别法) 设«Skip Record If...»为正项级数,如果«Skip Record If...»,则1)当«Skip Record If...»时,级数收敛;2)当«Skip Record If...»(或为«Skip Record If...»)时,级数发散.3)当«Skip Record If...»时,法则失效. (证明略)注1:习惯上,我们称 Cauchy判别法为根值审敛法.[例6] 证明«Skip Record If...»收敛.证: «Skip Record If...»,故由根值审敛法知,原级数收敛.任意项级数的敛散性一、交错级数及其审敛法交错级数又称莱布尼兹级数,它具有下列形式:«Skip Record If...»或«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»定理1: (莱布尼兹判别法) 若交错级数«Skip Record If...»满足:1) «Skip Record If...» , 2) «Skip Record If...»则级数«Skip Record If...»收敛,其和«Skip Record If...»,余项«Skip Record If...»的绝对值«Skip Record If...».证: 先考察交错级数«Skip Record If...»前«Skip Record If...»项的和«Skip Record If...»,并写成«Skip Record If...»,或«Skip Record If...»根据条件(1)可知:«Skip Record If...»是单调增加的,且«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»有界,故«Skip Record If...»再考察级数的前«Skip Record If...»项的和«Skip Record If...»,显然«Skip Record If...»,由条件(2),得«Skip Record If...»最后,由于«Skip Record If...»,得«Skip Record If...»,即交错级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»,且«Skip Record If...»,其余项«Skip Record If...»的绝对值仍为收敛得交错级数,所以«Skip Record If...».[例1] 证明交错级数«Skip Record If...»收敛.证: (1) «Skip Record If...», (2) «Skip Record If...».由上述定理知, 交错级数«Skip Record If...»收敛.且其和«Skip Record If...».一、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义1: 设有级数«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)为任意实数,这样的级数称为任意项级数.定义2: 设«Skip Record If...»为任意项级数,其各项的绝对值组成的级数«Skip Record If...»收敛,就称«Skip Record If...»绝对收敛;若«Skip Record If...»收敛,但«Skip Record If...»不收敛,就称«Skip Record If...»为条件收敛.定理2: 若任意项级数«Skip Record If...»绝对收敛,则«Skip Record If...»收敛.证: 因«Skip Record If...»,且级数«Skip Record If...»收敛,由正项级数的比较判别法知,级数«Skip Record If...»收敛,再由级数的性质4知级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...»收敛.注1: 定理2反之则不一定成立.如: «Skip Record If...»收敛,但«Skip Record If...»为调和级数是发散的.[例2] 证明«Skip Record If...»=«Skip Record If...»对«Skip Record If...»都是绝对收敛的.证: 下面我们莱证明«Skip Record If...»是收敛的.事实上,对«Skip RecordIf...»,«Skip Record If...»=«Skip Record If...».由比值判别法知, «Skip Record If...»是收敛的,所以«Skip Record If...»对«Skip Record If...»都是绝对收敛的.[例3] 证明«Skip Record If...»在«Skip Record If...»时为条件收敛,而在«Skip Record If...»时为绝对收敛.证: 首先,我们知道«Skip Record If...»为一个莱布尼兹级数,且有当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»单调下降趋于零.故对«Skip Record If...»,原级数«Skip Record If...»总是收敛的.其次,考虑其绝对值级数«Skip Record If...»,也就是«Skip Record If...»-级数.由上一节的例1的结果知,当«Skip Record If...»时发散, «Skip Record If...»时收敛.综上所述, «Skip Record If...»在«Skip Record If...»时为条件收敛,而在«Skip Record If...»时为绝对收敛.绝对收敛的级数的几个注释:注1: 绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变其和.这也叫级数的重排.对于一般的级数则不成立.如«Skip Record If...»=«Skip Record If...», 而«Skip Record If...»注 2: 对于级数的乘法,我们规定两个级数按多项式乘法规则形式地作乘法:«Skip Record If...»其中«Skip Record If...».如果两个级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»都绝对收敛,则两个级数相乘所得到的级数«Skip Record If...»也绝对收敛.且当«Skip Record If...»,«Skip Record If...»时, «Skip Record If...».若;两个级数不绝对收敛,则不一定成立.§7.3幂级数一、内容要点函数项级数的概念：函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数．幂级数及其收敛性：1．幂级数的概念；2．幂级数的收敛性：(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数«Skip Record If...»当x = x(x0≠ 0)时收敛，则适合不等式|x | < |x0 |的一切x使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数«Skip Record If...»当x = x0时发散，则适合不等式|x | > |x0 |的一切x使这幂级数发散．(证明)推论：如果幂级数«Skip Record If...»不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得当|x | < R时，幂级数绝对收敛;当|x | > R时，幂级数发散；当x = R或x = -R时，幂级数可能收敛也可能发散．(2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念；(3) 幂级数的收敛半径的求法:定理２：如果«Skip Record If...»，其中a n、a n + 1是幂级数«Skip Record If...»的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径«Skip Record If...»(证明).3．幂级数的运算：幂级数的加法、减法、乘法、除法；4．幂级数的和函数的性质：性质1：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛域I上连续．性质2：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式«Skip Record If...»．逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．性质3：幂级数«Skip Record If...»的和函数s(x)在其收敛区间( R , R)内可导，并有逐项求导公式«Skip Record If...»逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．二、教学要求和注意点一、函数项级数地一般概念前面讲过常数项级数,其各项均为一个常数.若讲各项改变为定义在区间I上的一个函数,便为函数项级数.设«Skip Record If...», «Skip Record If...»是定义在区间I上的函数,序列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»是一个函数列,对于I上某一固定的点,它为一数列,对另外一点,它又为另外一个数列.将其各项相加,便得式子:«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...», (1)简记为«Skip Record If...».称为定义在I上的函数项级数.注: 事实上,我们已经接触过函数项级数了,只不过出现的形式不同.如«Skip Record If...»-级数«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»等等.对于«Skip Record If...»I 处,上述函数项级数即为一个常数项级数:«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...» (2)若级数(2)收敛,就称«Skip Record If...»是函数项级数(1)的一个收敛点; 若级数(2)发散,就称«Skip Record If...»是函数项级数(1)的一个发散点.显然,对于«Skip Record If...»,«Skip Record If...»不是收敛点,就是发散点,二者必居其一.所有收敛点的全体称为函数项级数(1)的收敛域, 所有发散点的全体称为函数项级数(1)的发散域.若对于I中的每一点«Skip Record If...»,级数(2)均收敛,就称函数项级数(1)在I上收敛.对于收敛域中的每一个点«Skip Record If...»,函数项级数«Skip Record If...»为一个收敛的常数项级数,且对于不同的点,收敛于不同的数(和).因此,在收敛域上,函数项级数的和是点«Skip Record If...»的函数.记为«Skip Record If...».则«Skip Record If...»=«Skip Record If...». «Skip Record If...»又称为和函数.若将其部分和函数记为«Skip Record If...», 则«Skip Record If...».同理,称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的余项.«Skip Record If...»为«Skip Record If...»代替«Skip Record If...»时的误差.显然,也有«Skip Record If...» («Skip Record If...»为收敛域中任一点)二、幂级数及其收敛性幂级数是函数项级数中的最简单的一种,它具有下列形式:«Skip Record If...»(3) ,其中«Skip Record If...»叫做幂级数的系数.显然,幂级数在«Skip Record If...»上都有定义.从幂级数的形式不难看出,任何幂级数在«Skip Record If...»处总是收敛的.而对«Skip Record If...»的点处,幂级数的敛散性如何呢?先看下列定理.定理1(阿贝尔Abel定理) 设幂级数«Skip Record If...»=«Skip Record If...» (3)若幂级数(3)在«Skip Record If...»«Skip Record If...»处收敛,则对于满足条件«Skip Record If...»的一切«Skip Record If...»,级数(3)绝对收敛.反之,若它在«Skip Record If...»时发散,则对一切适合不等式«Skip Record If...»的«Skip Record If...»,级数(3)发散.证: «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...», 对«Skip Record If...»,有«Skip Record If...»又«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...», «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛. «Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛.«Skip Record If...»«Skip Record If...»绝对收敛.第二部分用反证法即可.(自证)由定理1不难知: 设«Skip Record If...»为任一收敛点,«Skip Record If...»为任一发散点.则必有«Skip Record If...»。