常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式

(1) 0)(='C (2) 1

)(-='μμμx x

(3) x x cos )(sin ='

(4) x x sin )(cos -='

(5)

x x 2

sec )(tan =' (6)

x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='

(8) x x x cot csc )(csc -='

(9)

a a a x

x ln )(=' (10) (e )e x

x '=

(11)

a x x a ln 1

)(log =

'

(12)

x x 1)(ln =

'，

(13)

211)(arcsin x x -=

' (14)

211)(arccos x x --

=' (15)

21(arctan )1x x '=

+

(16)

21(arccot )1x x '=-

+

函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则

（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）

（3） v u v u uv '+'=')(

（4） 2v v u v u v u '-'='

⎪⎭⎫ ⎝⎛

反函数求导法则

若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应

区间

x

I 内也可导，且

)(1)(y x f ϕ'=

' 或 dy dx dx dy 1=

复合函数求导法则

设

)

(u

f

y=

，而

)

(x

uϕ

=

且

)

(u

f

及

)

(x

ϕ

都可导，则复合函数

)]

(

[x

f

yϕ

=

的导数为

dy dy du

dx du dx

=

或

２. 双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式：

常用积分公式表·例题和点评

⑴

d k x kx c =+⎰ (k 为常数)

⑵1

1

d (1)1

x x x c μ

μμμ+≠-=++⎰ 特别，2

11

d x c x x =-+⎰,

32

23x x c =+⎰,

x c =⎰ ⑶

1d ln ||x x c x =+⎰

⑷d ln x

x

a

a x c a

=+⎰, 特别，e d e x x

x c =+⎰ ⑸sin d cos x x x c =-+⎰

⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺

2

2

1d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰

⑻

2

2

1d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰

⑼arcsin (0)x x c a a

=+>,

特别，arcsin x x c =+⎰ ⑽

2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，2

1

d arctan 1x x c

x =++⎰

⑾

22

11d ln (0)2a x

x c a a a x a x +=+>--⎰

或

22

11d ln (0)2x a

x c a a x a x a -=+>+-⎰ ⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰

⒀cot d ln sin x x x c =+⎰

⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c

x x x x

c x ⎧-+⎪=

=⎨+⎪⎩

⎰⎰

⒂

πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x c

x x x x c x ⎧++⎪

==⎛⎫

⎨++ ⎪⎪

⎝⎭⎩

⎰⎰

⒃(0)

a x >==

ln x c ++

⒄2(0)

arcsin 2a a x x c a >==+⎰

⒅

x

2(ln 2

a a x c >==++

⒆22

22sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax

ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩

⎰⎰

⒇

12222212

123d ()2(1)()2(1)n

n n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰

（递推公式） 跟我做练习

(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24

⑴

2)x x =

-[套用公式⒅]

1

ln (2)2

x =

-+

⑵

[

1

(24)42

x x x =

-+⎰

⎰

2145)2

2

x x x =

-++

=(请你写出答案)

⑶

2)x x =

-

ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]

⑷

1

2x x =

2122x =

+

=(请你写出答案)

⑸

2)x x =

-

232arcsin

23x -=[套用公式⒄]

⑹

[

1(42)42

x x x =

---⎰

⎰

214)2

2

x x x =-

+-+

=(请你写出答案)

⑺

=

=[套用公式⑼]2

arcsin

3

x -=