第九章力矩分配法原理
第九章-力矩分配法原理
等截面直杆的传递系数
CAB=1/2 SBA=2i
A
i
B
CAB=0
SBA=0
A
i
B
CAB= －1 SBA=－i
A
i
B
i
4
§9-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
固定支座
4i
1/2
铰支座
3i
0
定向支座
i
－1
问题：下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB？
MAB
MAB
θ MAB
1
8m
4m
4m
最后弯矩 0
86.6 －86.6 124.2 －124.2
15
§9-2 多结点的力矩分配
例9.2 力矩分配法计算并画M图。
A 15kN/m
↓↓ ↓↓↓ ↓
B
150kN ·m ∑MCg =－140 10kN
C
D
E
i=3
i=1
i=2
4m
8m
8m
2m
μ
Mg 40
3/7 4/7 ∑MBg =108 80
1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。 使AB杆件的A杆端发生单位转角时在A端所需施加的力矩，记作SAB 习惯上将发生转动的杆端称为“近端”，而杆件的另一端称为“远端
当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度AiB
1
A
i
B
1
A
i
B
1
A
BB
2
§9-1 力矩分配法的基本概念
如果把近端改成固定支座，转动刚度SAB的数值不变， 此时SAB表示当固定支座发生单位转角时在A端引起的杆端弯矩。
09第九章_力矩分配法
09第九章_力矩分配法第九章力矩分配法本章的问题：A.力矩分配法的适用条件是什么？B.什么叫固端弯矩？约束力矩如何计算？C.什么是转动刚度、分配系数和传递系数？D.什么是不平衡力矩？如何分配？E.力矩分配法的计算步骤如何？F.对于多结点的连续梁和无侧移的刚架是如何分配和传递弯矩的？力矩分配法是位移法的渐近法。
适用于连续梁和无结点线位移的刚架。
§ 9－1力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，属于位移法的渐近方法。
适用范围：是连续梁和无结点线位移的刚架。
针对本方法，下面介绍有关力矩分配法的几个相关概念。
1、名词解释（1）转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
杆端的转动刚度以S表示，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
图9－1给出了等截面杆件在A端的转动刚度S AB的数值。
关于S AB 应当（1）在S AB（2）S AB在图9－1中，由图9－1远端固定：远端简支：远端滑动：远端自由：i图9－1各种结构的转动刚度（2）分配系数图9－2所示三杆AB 、AD 、AC 在刚结点A 连接在一起。
远端B 、C 、D 端分别为固定端，滑动支座，铰支座。
假设有外荷载M 作用在A 端，使结点A 产生转角θA ，然后达到平衡。
试求杆端弯矩 M AB 、 M AC 、 M AD 。
由转动刚度的定义可知：M AB = S AB θA = 4i AB θA M AC = S AC θA = i AC θA M AD= S AD θA = 3i AD aθM A θ=式中将A θ即：杆AB的转动刚度与交于A点的各杆的转动刚度之和的比值。
注意：同一结点各杆分配系数之和应等于零。
即Σμ=μAB+μAC+μAD=1总之：作用于结点A的力偶荷载M，按各杆端的分配系数分配于各杆的A端。
（3）传递系数在图9－2中，力偶荷载M作用于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。
由位移法的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下：M AB = 4i ABθA M B A = 2i ABθAM AC = i ACθA M CA =－i ACθAM AD =3i ADθA M DA = 0由上式可看出，远端弯矩和近端弯矩的比值称为传递系数用C AB表示。
力矩分配法
iAB=EI/8=3i iBC=EI/6=4i
4(3i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2
, 3(4i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2 BC
BA
将分配系数写在B结点下方的方框内。
(2) 计算各杆端的固端弯矩MF(查表8-1)。
ql2 1282
MF
64kN m
AB
12
图见图9-4(b)所示 。
为了计算更加简单起见,分配弯矩Mμ,及传递弯矩MC的具体 算式可不必另写,而直接在图9-4表格上进行即可. 例9-2 计算图9-5(a)所示刚架的M图。
解: (1) 计算分配系数 。
设i=EI/4, iAB=EI/4=i, iAC=EI/4=i, iAD=2EI/4=2i。
BA
BA
BA
AB
AB
AB
以上就是力矩分配法的基本思路,概括来说:先在B结点加上附加 刚臂阻止B结点转动,把连续梁看作两个单跨粱,求出各杆的固端弯矩 MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和),然后去掉
附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求 出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续 梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。 用力矩分配法作题时,不必绘图9-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格 式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。
第一步放松C结点。
C结点的不平衡力矩MC=60-88=-28kN·m，将其反号分配：
M 283/ 7 12kN m M 28 4 / 7 12kN m
CD
CB
80kN
60kN
11kN/m
(a)
力矩分配法的基本原理
A
MAB
=3i 1
。则劲度系数与杆件的远端支承
EI
SAB=MAB=3i
情况有关，由转角位移方程知 远端固定时： SAB= 4i 远端铰支时： SAB= 3i
A
MAB
=i 1
A
EI
SAB=MAB=i
EI
远端滑动支撑时： SAB= i 远端自由时： SAB= 0
MAB =0
SAB=MAB=0
B
MBA
B
B B MBA
图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角
Z1，其典型方程为
r11Z1+R1P=0
绘出MP图（图b), 可求得自由项为
R1P=
R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等
于结点1的杆端固端弯矩的代数和
，即各固端弯矩所不平衡的
差值，称为结点上的不平衡力矩。
绘出结构的 图（见图c)，计算系数为：
力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连
续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。
1.劲度系数、传递系数
1
⑴劲度系数(转动刚度)Sij
A
EI
定义如下：当杆件AB的A端转 MAB 动单位角时，A端(又称近端)的弯 =4i 1
L SAB=MAB=4i
矩MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB表示。它标志着该杆端抵抗转 动能力的大小，故又称为转动刚度
例 9—1 试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
解：
30kN/m
(1)计算各杆端分配系数
50kN
60 55.5 67.2 32.2
AB=
AB=0.445 AC=0.333
9力矩分配法
CB 1
CD 0
③传递系数
1 CCB 2
CBC 0
第9章 力矩分配法
§9-3 对称结构的计算
取一半结构进行计算，注意杆件截半后，线刚度增倍。 例9-3-1 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
q
A EI1 F
B
EI2
K
l2
C
解：设梁的线刚度为i1=EI1/l1 柱的线刚度为i2=EI2/l2
⑸最后一轮循环最后一个结点分配后只向其他结点传递。
第9章 力矩分配法
⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）， 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
A
B
C
D
E
B、D同时分配后向C传递，C分配后再同时向B、D传递，如此循 环。
A
B
C
D
E
F
B、D同时分配后同时向C、E传递，C、E同时分配后再同时向B、 D传递，如此循环。
A
B
15.86 3m 3m
C M (kNm) 6m
结点
A
B
C
解：① 不平衡力矩
m
g AB
Pl 8
20 6 8
15
m
g BA
Pl 8
15
mBgC
ql2 8
9
mBg
m
g BA
mBgC
6
杆端
AB
BA BC CB ②分配系数
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -15
15
-9 0
平衡
分配传递 -1.72 -3.43 -2.57 0
第9章 力矩分配法
§9-1 力矩分配法的基本概念
结构力学-力矩分配法
•
3、转动刚度S：
• 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上= 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加 的力矩。AB 杆A 端的转动刚度SAB与AB 杆的线刚度 i（材料的性质、横截面 的形 状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而 与近端支承无关。当远端是不同支承时， 等截面杆的转动刚度如下：
状态。一般2～3个循环就可获得足够的精度。 ⑤叠加：最后杆端弯矩： M=∑M分配＋∑M传递＋MF
取EI=8
μBA=0.6 μBC=0.4 μCB=0.4
24kN/m
50kN
A
i=2 B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C i=2
C
2EI 8m
EI 8m i=1
4m 2EI 4m
MB=－128 24kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动） 的刚结点转动刚度SAB的数值不变。
4、传递系数C：
• 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩 的比值。即：C＝M远/M近
• 利用传递系数的概念，远端弯矩可表达 为：MBA=CABMAB
• 等截面直杆的转动刚度和传递系数如下 表。
例题 1
i=2 B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C i=2
i=1
M图（kN.m)
192
8m
8m
4m
50kN C
100 4m
固端弯矩 最后弯矩 0
ΔMik
0
ΔMki/2
ΔM´
ΔM´之比
i之比
－128
128 －75
86.6 －86.6 124.2 －124.2
力矩分配法
问题的提出：
力矩分配法： 力矩迭代法 无剪力分配法
力矩分配法 ：主要用于计算连续梁和无结点线位移的刚架。
力矩迭代法 ：适用于有结点线位移的刚架。
无剪力分配法 ：适用于符合倍数关系的有结点线位移的刚架。
§1 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法依据
1. 理论基础：位移法 2. 解题方法：渐进法 3. 适用范围：连续梁、无结点线位移的刚架 4. 杆端弯矩及结点转角正负号规定同位移法
§3 力矩分配法中特殊问题的处理
一、刚结点集中力偶的处理
刚结点的集中力偶对杆端弯矩表达式没有影响，也就是不产生固端弯矩。 集中力偶的正负号规定以绕刚结点逆时针转为正，分配计算与固端弯矩等效。
二、支座移动和温度变化时的计算
（一）特点 把支座移动、温度变化看作广义荷载。 荷载引起的杆端弯矩
支座移动、温度变化引起的杆端弯矩
二、基本概念
（一）转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
数值上等于使杆端产生单位转角时在转动端需施加的力矩。
1. 转动刚度用SAB表示，施力端A称为近端，B端称为远端。 2. SAB与杆件的弯曲线刚度i=EI/l有关，还与远端的支承情况有关。 3. SAB是指施力端在没有线位移条件下的转动刚度。 4. A端可为固定铰或可动铰支座，也可为可转动（但不能移动）的刚结点。
（二）分配系数
M1 0
M12 M13 M14 M
Z1
M 12 4i1 S121 M 13 3i1 S131 M i S 1 14 1 14
1
M M S12 S13 S14 S
1 j
S
S1 j
S12 M 12 M M 12 S S13 M 13 M 13 M S S M 14 14 M 14 M S
9力矩分配法
21.4
6.1
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
1.8 3.5 2.6
… … ...
14
q 12kN / m
A
EI
1 EI
10m
10m
2 EI
10m
BA
q 12kN / m
1
B 2
q 12kN / m
A
M
u 1
ql2 / 8
1
ql2 / 12
M
u 2
2
B MF 0
28.6
100
-28.6 -57.1 -42.9
分0
配
21.4
6.1
传 递
0.429 0.571 0.571 0.429 150 -100 100 0 0 -28.6 -57.1 -42.9 0 -9.2 -12.2 -6.1 1.8 3.5 2.6 0 -0.8 -1.0
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
SAB 4i
AiB SAB 3i
对等直杆，SAB只与B端的
支撑条件有关。
A端一般称为近端（本端），
AiB
B端一般称为远端（它端）。
SAB i
4
M
d BA
SBA B
M
d BC
SBC B
M
u B
M
d BA
M
d BC
0
B
S BA
1 SBC
(
M
u B
)
M
d BA
S BA SBA SBC
q 12kN / m B
第九章 力矩分配法和近似法PPT课件
数。
M B AC A BM A B (91 )
5
第九章 力矩分配法和近似法
SAB = 4i
三、弯矩分配系数m
如用位移法求1解：
D 设iAAD点M 有iA力AZ C1 矩iAMB ，B 求MMAB、MAC和MM M M ADA A A B C D 4 3 iiA iA A C B SD SAABA A B=A =11 3 iiS S S A A A B C D Z Z Z 11 1
m Aj 1
A
7
第九章 力矩分配法和近似法
例9-1: 试用力矩分配法计算图示刚架，EI为常数。
解1）AE的内力是静定的，原结
E
20kN
构可转换为9-3b图进行计算
4m
C
2）计算A结点各杆的弯矩分配系数
A
80
D
SAB
4EI 4
EI
S AC
EI 4
4m
SAD
3EI 4
3EI 4
由（9-2）式计算各杆的分配系数
近端
A
fA l
MBA = 2 iAB fA
远端
B
远端固定
CAB
MBA MAB
1 2
远端铰支
MAB = 3iABfA
A
fA
MAB= iABfA
A
fA
MBA = 0
B
MBA = - iAB fA
B
CAB
MBA MAB
0
远端定向
CAB
MBA MAB
1
杆AB仅在近端A有转角时，引起远端B的弯矩MBA称为传 递弯矩，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系
mAB
8 0.39 84.58
第九章 力矩分配法
BC ( M B ) M BC
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 F 200kN 150 kN m MAB = 20kN/m 8 90 300 F= 150 kN m M BA EI EI C B A 2 20 6 90kN m MBCF= 3m 6m 3m 8 MB= MBAF+ MBCF= 60 kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150
Hale Waihona Puke 第9章 力矩分配法【例9-6】设图示连续梁支座A顺时针转动了0.01rad，支座B、C分别下沉了
ΔB =3cm和ΔC =1.8cm，试作出M图，并求D端的角位移θD。已知 EI=2×104kN· m2。
A =0.01rad
B A EI
B
C EI =3cm 4m EI
C =1.8cm
D
4m 3.47 A
分 配 与 传 递
-5.72
+2.86 +2.86 -0.41 +0.21 +0.20 -81.93 +81.93
-11.43 -8.57
4i 0.625 4i 3 0.8i DE BA 0.375
2、计算固端弯矩
F M DE 2kN m F M DC 5.62kN m F M CD 9.38kN m
力矩分配法的基本原理
力矩分配法的基本原理1.力的平衡原理：在一个静力学平衡系统中，所有作用于该系统上的力合力矩必须为零。
这意味着系统中的每个部分都必须承受适当的力矩，以维持平衡。
2.力矩的定义：力矩是由力施加在物体上产生的旋转运动的趋势。
力矩的大小等于力的大小与其与旋转轴之间的垂直距离（力臂）的乘积。
力矩可以使物体旋转或改变其运动状态。
3.力的传递：力矩可以通过刚性连接的物体传递，例如通过杆件、杆节等。
在一个系统中，力矩可以通过连续的力传递链传递到各个部分，直至达到平衡。
4.杰克逊方法：力矩分配法的一种经典方法是杰克逊方法。
它基于以下原理：在一个静力学平衡系统中，每个部分所受到的力矩等于其负载与其力臂之积的总和。
根据杰克逊方法，力矩可以通过计算负载和力臂的乘积，并将其加总以获得每个部分所受到的合力矩。
5.多级力矩分配：力矩分配法可以按层次进行，从整体系统逐渐细分到部分系统。
这种分级方法可以使计算变得更简单明了，同时保证了结果的准确性。
6.力矩均衡：力矩分配法的目标是使系统中的力矩均衡，以确保系统中各个部分正常工作，避免超载或过载。
通过适当的力矩分配，可以优化系统的工作效率和安全性。
力矩分配法的应用领域包括机械工程、结构工程、航空航天工程等。
在这些领域中，力矩分配法可以用于计算和分配各个部分间的负载，确保系统的平衡和安全运行。
力矩分配法可以帮助工程师设计和优化机械系统和结构，提高其工作效率和寿命。
总结起来，力矩分配法基于力的平衡原理和力矩的定义，通过计算和分配各个部分间的力矩，实现系统的力矩均衡。
通过杰克逊方法和多级分配，可以有效地计算和分配力矩，保证系统的安全和可靠性。
力矩分配法是一种重要的工程设计和分析方法，在不同领域的工程问题中具有广泛的应用。
04-讲义：9.1 力矩分配法的基本原理
)
式(9-6e)中，AB、AC、AD 为各杆端的分配系数。公式右端的第一项为荷载单独作用在基本
结构上产生的杆端弯距，即固端弯距；第二项为结点 A 转动角度 1 时在近端所产生的弯距，这相
当于把 A 结点的不平衡力矩(
M
F Aj
)反号后按各杆端的分配系数分配给各近端，因此第二项称为该
点（A 结点）各杆端的分配弯矩。所以各杆近端的最终杆端弯矩为杆端固端弯矩和分配弯矩的代数
249
为近端，另一端称为远端。
各近端弯距为：
MAB
M
F AB
S AB
M
F Aj
S Aj
M
F AB
AB
(
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F Aj
)
MAC
M
F AC
S AC
M
F Aj
S Aj
M
F AC
AC
(
M
F Aj
)
(9-6e)
MAD
M
F AD
S AD
M
F Aj
S Aj
M
F AD
AD
(
M
F Aj
以上即为力矩分配法的基本运算过程。为了与杆端最后弯矩有所区别，运算过程中可以在分配
250
弯矩上加右上标“ ”，在传递弯矩上加右上标“ C ”。 【例 9-1】用力矩分配法计算图 9-4(a)所示连续梁，并绘 M 图和 FS 图。已知 EI 为常数。
图 9-4 例 9-1 图
(a)连续梁计算简图 (b)力矩分配法计算过程 (c) M 图(kN.m) (d) FS 图(kN)
转动刚度 SAB 与杆件线刚度 i（与材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长有关）及远端支承 情况有关，而与近端支承情况无关。如图 9-1(f)所示，是将图 9-1(a)中近端改成铰支座，转动刚度 SAB 的数值不变。此时 SAB 就代表使 A 端产生单位转角时所需要施加的力矩值。因此，在确定杆端转动
力矩分配法
第十八章力矩分配法力矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩，以SAB表示。
A是施力端（近端），B为远端。
1S AB=4i1S AB=3iS AB= i1S AB=0远端固定远端铰支远端滑动远端自由第一节力矩分配法的基本原理1S AB =4i1S AB =3iS AB = i 1S AB =0远端固定远端铰支远端滑动远端自由转动刚度远端固定，S =4i 远端简支，S =3i 远端定向，S =i 远端自由，S =0S AB 与杆的线刚度i 和远端支承情况有关。
i —杆件的线刚度，lEI i二、传递系数M AB = 4i AB ϕAM BA = 2i AB ϕA21==AB BA ABM M C M AB = 3i AB ϕA 0==ABBA ABM M C M AB = i AB ϕAM BA = -i AB ϕA1-==ABBA ABM M C ϕAlAB远端固定ABϕAϕAAB远端铰支远端滑动M BA = 0远端支承转动刚度传递系数固定S=4i C =1/2简支S=3i C =0定向S=i C = -1自由S=0三、力矩分配法的基本原理杆端弯距：取结点A 作隔离体，由∑M =0，得分配系数CA BDi ABi AC i ADAAB A AB AB S i M ϕϕ==4A AC A AC AC S i M ϕϕ==AAD A AD AD S i M ϕϕ==3}M M ABM ACM ADAAD AC AB S S S M ϕ)(++=∑=++=AAD AC AB A SMS S S M ϕMSSM AADAD ∑=M SS M A ABAB ∑=M S S M AACAC ∑=注：1）分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩。
2）结点集中力偶顺时针为正。
∑=AAkAkSS μMM Ak Ak μ=分配弯矩A ϕM1321=++=∑A A A Ak μμμμ各杆的远端弯矩M kA 可以利用传递系数求出。
第9章 力矩分配法
2ql
11 32
l
A
l
l
结点 杆端
B B1
A A1
1 1A 1B 1C 1/2 3/8 1/8
C C1
2ql
ql 2 / 4
MF 0 所得的结果是 分配 0 传递 近似解吗? M 0 q
-1/4 1/4 1/8
0
0
3 64
3 64
3 3 9 3 16 32 64 64
11 32 1 16 1 3 64 64
练习
20 kN / m 40 kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20 kN / m
4m
40 kN .m
60
A
60
B
40 kN .m
u MB
C
M 60 40 100kN.m
u B
作图示梁的弯矩图(利用传递系数的概念)
20kN.m A
EI
60
40kN.m
10 kN
B
EI
C
6m
4m
练习:作弯矩图
1.固定结点，计算固端弯矩 f M AB ql2 / 12 100kN.m f M BA 100kN.m
q 12kN / m
A
EI
B
EI
C
M M 0 分配系数： 4i 4 BA 0.571 4i 3i 7 3i 3 BC 0.429 4i 3i 7 2.放松结点 不平衡力矩：M B 100kN.m 分配弯矩：
… … ...
A
q 12kN / m
EI
1
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∑MAg = －45
MABg
M=15
－ 50
50
－ 80
10 1/2 20 10 15
A MADg
－ 40
70 10 － 65
70 65
－1
－10
40 100
－ 10 C
B
A
D
10
80
M图（kN ·m)
C
§9-2 多结点的力矩分配
力矩分配法计算多结点结构，只要逐次放松每一个结点，应用单结 点力矩分配法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。
2、传递系数C： 当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：
C M远 M近
∴远端弯矩可表达为： M BA CAM B AB
等截面直杆的传递系数
CAB=1/2 SBA=2i
A
i
B
CAB=0
SBA=0
A
i
B
CAB= －1 SBA=－i
A
i
B
i
§9-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩及 结点不平衡力矩
200kN
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M AB g
结2点00不 6平衡1力50kN 矩要8反号分配.
m μ
A
3i
3m
M BA g
20结0点 6不平15衡0k力N矩 m
=8固端弯矩之和
A
④
⑤A
i
B
i
B
i
B
i 4i>SAB>3i
§9-1 力矩分配法的基本概念
二、力矩分配法的基本原理
1、单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法
M1A=4i1Aθ=S1Aθ
S 1A M S
B
M
A
1
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
S 1B M S
M
θ
M1B
1 M1A
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S 1C M
44mm
A
C
D
杆端
BA
AB
AD
AC
CA
DA
μ
4/9
3/9
2/9
Mg
－ 50
50
－ 80
分配与传递
10
20
15
10
－10
M
－ 40
70
－ 65
10
－ 10
§9-1 力矩分配法的基本概念
例9.1力矩分配法的计算过程也可在计算简图中列表进行。
100kN AB AC15AkDN·m 40kN/m
B
4/9 2/9A 3/9 ↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D
第九章力矩分配法原 理
§9-1 力矩分配法的基本概念
一、名词解释
1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。 使AB杆件的A杆端发生单位转角时在A端所需施加的力矩，记作SAB 习惯上将发生转动的杆端称为“近端”，而杆件的另一端称为“远端
当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度
A
i
B
1
A
i
B
1
A
i
B
1
A
固定支座
4i
1/2
铰支座
3i
0
定向支座
i
－1
问题：下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB？
MAB
MAB
θ MAB
1
√ ① ②
1
MAB
1
③④
1
Δ
确定转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）、远端看支承。
§9-1 力矩分配法的基本概念
问题：如下杆件转动刚度SAB=4i 的是（
）
√① A
i
B
√② A
i
B
√③ A
S
C M1C
∑M1= M1A+M1B
a)分配系数与分配弯矩 (∑μ=1)
1 j
S1 j S
——分配系数，μ1j等于杆1j的转动刚度S1j与交于结
点1的各杆转动刚度之和的比值(j=A，B，C)。
M1j 1jM——近端获得的分配弯矩
§9-1 力矩分配法的基本概念
M1A=4i1Aθ=S1Aθ
3）叠加1）、2）步结果得到杆端的最后弯矩。 计算过程可列表进行。
例9.1 力矩分配法计算并画M图。
解：1）求μ
μAB= 4/9 μAC= 2/9
μAD= 3/9
2）求Mg MABg= 50
MBAg= － 50
MADg=－ 80
∑MAg=MABg+MADg+MACg － M =50+－80－15= －45 kN·m
Mg －150
B 4i 3m1/2 1/2 6m
150∑M－B9g0
C
M BC g
20 62 8
90kN
m
－15
1/2200kN－30
20kN/m －30↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
∑MBg=150－90=60kN·m
M－A1－50165
∑MBg
B 151020
－－12900
C
2）放松结点，
相当于在结点上施加反号
S 1A M S
B
M
A
1
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
S 1B M S
θ
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S 1C M
S
C
b)传递弯矩
MA1=2i1Aθ=(1/2)M1A =C1AM1A
MB1= 0= C1BM1B
MC1=－i1Cθ=(－ 1)M1C=C1CM1C
Mj1C1jM1j——传递弯矩：远端获得的由近端分配 弯矩传递而来的弯矩。
3、放松结点C，按单结点 的力矩分配法计算，结点
M传
B又取得新的不平衡力矩
MB传
M分 M分 M传
+
MB传 －(∑MCg +MC传)
4、重复2、3步骤直至结果
M传 M分 M分
收敛。
5、杆端最后弯矩：M=Mg ＋ ∑M分＋∑M传
+ ··
§9-2 多结点的力矩分配
注意： ①多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。
=
1、加入刚臂，锁住刚结点， 由结点力矩平衡条件求结点
不平衡力矩∑MBg、∑MCg。
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传
MABg
∑MBg ∑MCg
MBAg MBCg MCBg －∑MBg
MCDg
+
∑MCg +MC传
BB
§9-1 力矩分配法的基本概念
如果把近端改成固定支座，转动刚度SAB的数值不变， 此时SAB表示当固定支座发生单位转角时在A端引起的杆端弯矩。
A
i
B
A
i
B
A
i
B
A
B
与近端支承形式无关
AB杆的线刚度 i 影响SAB的因素 （材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）
AB杆的远端支承形式
§9-1 力矩分配法的基本概念
的即结单点结不点平结衡构力在矩结，点并力将 165
MBAg
它偶按作分用配下系的数力分矩配分给配各法个
300
近端并传递到远端。
AA
SBA=4×3i=12i
－15
MBCg 120 －∑MBg =－6900
BB
CC
－30
M－图30（kN ·m)
SBC=3×4i=12i μBA=μBC= 12i/24i=1/2
结点
B
4 4mm
70 65
40 110000kkNN 110000 BB i=1
AA1155kkNN·↓↓·m↓↓m4↓↓i↓0↓4=↓k0↓1↓kN↓↓N↓/↓m↓/↓m↓ DD
MABg
∑MA1g 0 M=15
A MADg MACg CC
80 i=2
MM图图（（kkNN.m·m) )
22mm
22mm