近世代数-4—6结合律、交换律及分配律

第 2 讲一、算律§4—6 结合律、交换律及分配律（2课时）(Associative Law Commutative Law and distributive law ) 定义 任一个D B A 到⨯的映射都叫做D B A 到⨯的一个代数运算。

定义 若A A A 到是⨯ο的代数运算，则可称ο是A 的代数运算或称二元运算。

§4、结合律：•代数运算就是二元运算，当元素个数2>时，譬如4321,,,a a a a 同时进行运算：4321a a a a οοο，这已经超出了我们定义的范围，这个符号至少现在是没有意义的。

•对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果。

两两运算的过程叫做加括号。

加括号的方法显然不止一种：4321])[(a a a a οοο；4321)]([a a a a οοο；)()(4321a a a a οοο … … … 加括号的方法不一样，其运算的结果是否一样？例1：设,Z A =“ο”是整数中的减法：则特取Z ∈3,5,2，63)52(-=--，而0)35(2=--)35(23)52(--≠--∴其运算的结果不一样。

例2：设,Z A =“ο”是整数中的加法：则)()(,,,t s r t s r Z t s r ++=++∈∀定义1：设ο是集合A 的一个代数运算，如果A c b a ∈∀,,都有)()(c b a c b a οοοο=，则称ο满足结合律。

例2、 “+”在Z 中适合结合律。

例1、 “-”在Z 中不满足结合律。

思考题：就结合律成立与交换律不成立分别各举一例。

上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的。

注意：定义2：设A 中的代数运算为ο，任取)2(>n n 个元素n a a a ,,,21Λ，如果所有加括号的方法最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用n a a a οΛοο21来表示。

注意：从定义2可知，“n a a a οΛοο21”)2(>n 也可能是有意义的。

定理1（p11. 定理）：如果A 的代数运算ο满足结合律，那么 对于A 的任意)2(≥n n 个元素n a a a ,,,21Λ来说，所有加括号的方法运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用n a a a οΛοο21来表示。

证明：因n 是有限数，所以加括号的方法必是有限的。

•任取一种加括号的方法)(21n a a a οΛοοπ，往证：)()(2121n n a a a a a a οΛοοοΛοο=π•对n 用数学归纳法。

当n=2时，结论成立。

假设对<n ，结论成立，即所有加括号的方法运算的结果是唯一的。

设2121)(b b a a a n οοΛοο=π，1b 和2b 分别是i 和i n -个元素经加括号而运算的结果.1,1-≤--≤n i n n i ，由归纳假设，。

））（][]}[{(][][)(2121212121212121n i i i n i i i n i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b a a a οΛοοοοΛοοοΛοοοοΛοοοΛοοοοΛοοοοΛοο++++++====π§5、交换律定义3：设ο是集合A 的一个代数运算，如果A b a ∈∀,都有a b b a οο=，则称ο满足交换律。

定理2：设A 的代数运算ο同时满足结合律和交换律，那么n a a a οΛοο21中的元的次序可以任意掉换。

证明：用数学归纳法。

当n=2时定理成立，假设当元素的个数为1-n 时，定理成立，元素的个数为n 时，设12ni i i a a a o oL o 是12,,,n a a a L 的按任意一个次序相乘的结果。

这里的12,,n i i i L是1，2，L n 的一个排列，而12,,,ni i i a a a L 是12,,,n a a a L 的一个 排列。

因此，有k i n a a = 。

所以，12121112111211121112()[()]()[()][()()]()n k k n k k n k k n k k n i i i i i i n i i i i i i i n i i i i i n i i i i i nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-+=====o oL o o oL o o o oL o o oL o o oL o o o oL o o oL o o o oL o o oL o o o oL o满足交换律的运算一般用“+”表示。

§6、分配律定义4：设B A ,都是集合，而e 是A A B →⨯的代数运算，而⊕是A 的代数运算，如果A a a B b ∈∀∈∀21,,，都有1212()()()b a a b a b a ⊕=⊕e e e那么称,⊕e 满足左分配律。

定理3：设B A ,和,⊕e 如上，如果⊕满足结合律，且,⊕e 满足左分配律，那么A a a a B b n ∈∀∈∀,,,,21Λ，都有1212()()()()n n b a a a b a b a b a ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕e L e e L e[论证思路]•采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立。

定义5：设B A ,和,⊕e 同上，若A a a B b ∈∀∈∀21,,，若有1212()()()a a b a b a b ⊕=⊕e e e ，那么称,⊕e 满足右分配律定理4：设B A ,和,⊕e 同上，若⊕适合结合律，而,⊕e 适合右分配律。

那么1211,,,,,()()()n n n b B a a a A a a b a b a b ∀∈∀∈⊕⊕=⊕⊕L L e e L e 都有。

注意：定义4与定义5，、定理3与定理4是对称的两对概念，所以定理4的证明可依据定理3的思路解之。

作业：12P ②，16P 。

二、一一映射，同态及同构§7、1、一一映射（双射。

Bijection ）在高等代数中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只简要的复习。

定义1、设ϕ是集合A 到A 的映射，且ϕ既是单的又是满的，则称ϕ是一个一一映射（双射）。

定理1：设ϕ是A 到A 的一个双射，那么由ϕ可诱导出 （可确定出）A 到A 的一个双射1-ϕ（通常称1-ϕ是ϕ的逆映射） 结论：设A A →:ϕ是映射，那么：（1）ϕ是双射⇔ϕ可唯一的确定一个逆映射A A →-:1ϕ，使得：• A A 1,111==--ϕϕϕϕ；• ϕ也是1-ϕ的逆映射，且ϕϕ=--11)(；（2）ϕ是双射A A 与⇒同时是有限集或同时是无限集。

2、变换（transformation ）定义2：设A A →:ϕ是映射，那么称ϕ为A 的变换。

当ϕ是双射（单射，满射）时，也称ϕ为一一变换（单射变换，满射变换）例2 19P§8、同态（Homomorphism ）比较代数系统的一种方法定义3：设集合A A ,都各有代数运算οο,（称},{οA 及},{οA 为代数系统）而A A →:ϕ是映射，且满足下面等式：)()()(,,b a b a A b a ϕϕϕοο=∈∀（习惯上称ϕ可保持运算）那么称ϕ是A 到A 的同态映射。

例3、设}1,1{:-=→A Z ϕ，其中},{οZ 中的代数运算ο就是Z 中 的加法，而},{οA 中的代数运算ο为数中的乘法。

)3()2()32(,111)1()1()1()1()3()2(,1)5()32()32(,1)3(,1)2(,,1)(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕοοοοο≠-≠⇒=-⨯-=--=-==+=-=-=∈∀-=即而那么现设Z n nϕ不是同态映射。

例4、设},{οZ 与},{οA 同例3，今设Z n n A Z ∈∀=→,1)(:ττ为， 那么的同态映射到是即A Z n m n m n m n m Z n m τττττττ),()()(111)()(,1)(,,οοοο=∴=⨯==∈∀如果同态映射ϕ是单射（满射），那么自然称ϕ是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。

定义4：若ϕ是},{οA 到},{οA 的同态满射，那么习惯上称A A 与 同态，并记为A ～A ；习惯上称A 是A 的同态象.定理1. 如果ϕ是},{οA 到},{οA 的同态满射，那么（1） 若ο满足结合律ο⇒也适合结合律；（2） 若ο满足交换律ο⇒也适合交换律.证明：（1）任取ϕ因,,,A c b a ∈是满射b b a a A c b a ==∈∃⇒)(,)(,,,ϕϕ使，又因为A 中ο的满足结合律c b a c b a οοοο)()(=⇒即))(())((c b a c b a οοοοϕϕ=，但是ϕ是同态映射。

)()]()([)()()())((c b a c b a c b a c b a οοοοοοοο===ϕϕϕϕϕϕc b a c b a c b a c b a οοοοοοοο)()()]()([)()()))((===ϕϕϕϕϕϕ 所以c b a c b a οοοο)()(=同理可以证明（2）定理2、设},,{⊕⊗A 和},,{⊕⊗A 都是代数系统，而映射A A →:ϕ关于⊕⊗,以及⊕⊗,都是同态满射，那么：（1） 若⊕⊗,满足左分配律⇒⊕⊗,也适合左分配律；（2） 若⊕⊗,满足右分配律⇒⊕⊗,也适合右分配律。

证明：（1）ϕ因,,,A c b a ∈∀是满射c c b b a a A c b a ===∈∃⇒)(,)(,)(,,,ϕϕϕ使. 又因为ϕ是关于⊕⊗,及⊕⊗,的同态映射⇒)()()]()([)]()([)()()]()[()]([))()(()()(c a b a c a b a c a b a c a b a c b a c b a c b a ⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊕⊗=⊕⊗=⊕⊗ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 即)()()(c a b a c b a ⊗⊕⊗=⊕⊗.同理可证明（2）。

思考题1：在定理1及定理2中，都要求映射ϕ是满射，似 乎当ϕ是同态满射时，才能将A 中的代数性质（结合律、交 换律及分配律）“传递”到A 中，那么：（1） 当ϕ不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理1，2 成立吗？）（2） 即使ϕ是满射，“传递”的方向能改变吗？（即A 中的性 质能“传递”到A 中去吗？）§9、一、同构（isomorphism ）定义4、设ϕ是},{οA 到},{οA 的同态映射，若ϕ是个双射，那么称ϕ是同构映射，或称A 与A 同构，记为A A ≅。