【冲刺50天强化训练】专题08 解密二项分布和超级几何分布的区别(解析版)

【冲刺50天强化训练】专题8 解密二项分布和超级几何分布的区别一、填空题1．（2020·广东省深圳中学高三期末）已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．【答案】0.1【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()202111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=故答案为：0.12．（2020·湖北省高三月考）“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较髙，他独自一人解决项目M 的概率为10.95p =；同时，有n 个水平相同的人也在相互独立地研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.5，这个人的团队解决项目M 的概率为2p ，若21p p ≥，则n 的最小值是______________. 【答案】5【解析】依题意,设n 个人组成的团队不能解决项目M 的概率为11122n nP ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故当21p p ≥时,110.950.052n⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭,因为n N +∈,故5n ≥.即n 的最小值是5. 故答案为：53．（2020·北京高三期末）春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________． 【答案】0.7【解析】由题意可知：()X ~B 10,p∴()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，即21001002100.5p p p ⎧-+=⎨>⎩,∴0.7p =故答案为：0.7 二、解答题4．（2020·山西省大同一中高三月考）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖， 盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽” 或“海宝”（世博会吉祥物）图案;抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行. （1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道， 从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是，求抽奖者获奖的概率;（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值.【答案】（I ）16；（II ）分布列见详解；期望为23.【解析】（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，由2295,5,18n C n C ==得 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为242916C C =；（II ）44115~(4,)()()()(0,1,2,3,4)666kkkB P kC k ξξ-===的分布列为；ξ1234P004415()()66C113415()()66C222415()()66C331415()()66C440415()()66C463E ξ∴=⨯=． 5．（2020·钦州市第三中学高三月考）2020年10月17日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部50人，B 镇有基层干部80人，C 镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从A ，B ，C 三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：[)5,15，[)15,25，[)25,35，[)35,45，[)45,55，绘制成如下频率分布直方图．（1）求这40人中有多少人来自B 镇，并估算这40人平均走访多少贫困户？（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X ，求X 的数学期望． 【答案】（1）16人，5700户（2）125【解析】（1）A ，B ，C 三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽的方法选40人，则B 镇应选取804016200⨯=（人） 40名基层干部走访贫困户的平均数量x 为100.15200.25300.3400.2500.128.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为28.52005700⨯=（户） （2）由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人， 其工作出色的概率为35易知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，且3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()438145625P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()133423216355625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222423216255625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3142396155625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()421605625P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为 X 4321P81625 216625 216625 96625 16625()455E x =⨯=6．（2020·山东省潍坊一中高三月考）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率．求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞机？并说明理由.【答案】（1）2950（2）见解析（3）乘坐高铁，见解析 【解析】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==； （2）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是151755=， 所以022116(0)(1)525P X C ==⨯-=， 12118(1)(1)5525P X C ==⨯⨯-=，22211(2)()525P X C ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为：x0 1 2P1625 825 125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=；（3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市． 7．（2020·湖北省高三）某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照10:1的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下： 男生身高频率分布表女生身高频数分布表（1）估计这1000名学生中女生的人数；（2）估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率；（3）在样本中，从身高在[]170,180的女生中任取3名女生进行调查，设X 表示所选3名学生中身高在[)170175,的人数，求X 的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）【答案】（1）400（名）（2）0.49（3）详见解析 【解析】（1）样本中男生为60名，女生为40名. 估计这1000名学生中女生的人数大约是4010004004060⨯=+（名）.（2）由表知样本中身高在[]170,190的人数为19184233=49+++++，样本容量是100，∴样本中身高在[]170,190的概率为49100. ∴估计这1000名学生中身高在[]170,190的概率为0.49.（3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===， ()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===. X ∴的分布列为()0123202020202E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. 8．（2020·陕西省西北工业大学附属中学高三月考）小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下： 5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860 8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：a~b 表示大于等于a ，小于等于b ） A （0~2000步）1人， B （2001-5000步）2人， C （5001~8000步）3人， D （8001-10000步）6人， E （10001步及以上）8人若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．（I ）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X 人，求X 的分布列和数学期望()E X ．附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++． 【答案】（I ）22⨯列联表见解析，没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关. （Ⅱ）分布列见解析，数学期望为35. 【解析】（I ）根据题目所给数据列联表如下图所示：所以()2240141286 3.636 3.84122182020K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关. （II ）女性好友超过10000步的有2人，男性好友超过10000步的有8人，共有10人超过10000步，从中抽取3人，其中女性好友的人数X 的可能取值为0,1,2.且()03283107015C C P X C ⋅===，()12283107115C C PX C ⋅===，()21283101215C C P X C ⋅===. 所以分布列为数学期望为()7193012151515155E X =⨯+⨯+⨯==. 9．（2020·广东省高三月考）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体（这1万名小学生普通话测试成绩）服从正态分布()69,49N .（1）从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在()62,90内的概率； （2）现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.从这12个数据中随机选取4个，记X 表示大于总体平均分的个数，求X 的方差.参考数据：若()2~,Y N μσ，则()0.6827P Y μσμσ-<<+=，()220.9545P Y μσμσ-<<+=，()330.9973P Y μσμσ-<<+=.【答案】（1）0.84；（2）611【解析】（1）因为学生的普通话测试成绩Y 服从正态分布()69,49N ，所以69μ=，7σ=， 所以()()0.68270.9973629030.842P Y P Y μσμσ+<<=-<<+==.（2）因为总体平均分为69μ=，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个， 所以X 的可能取值为0，1，2，3则()4941214055C P X C ===，()133941228155C C P X C ===， ()223941212255C C P X C ===，()31394121355C C P X C ===， 所以14281210123155555555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()()()222214281216011121315555555511DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.10．（2020·重庆南开中学高三月考）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为,,,,A B C D E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：而等比例转换法是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=--其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y ，2Y 时，等级分分别为1T 、2T假设小南的化学考试成绩信息如下表：设小南转换后的等级成绩为T ，根据公式得：756971T =--，所以76.677T =≈（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：（1）从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率； （2）从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 【答案】（1）1235P =（2）见解析 【解析】（1）设化学成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：951008586x yx y --=--，即：()148514330861010x x y --=+=， 所以143309610x -≥，得：92.1x ≥，显然原始成绩满足92.1x ≥的同学有3人，获得A 等级的考生有15人.恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为113122151235C C P C ==.（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得A 等级的考生有15人，0531251524(0)91C C P C ξ===，1431251545(1)91C C P C ξ=== 2331251520(2)91C C P C ξ===，323125152(3)91C C P C ξ=== 则分布列为则期望为：231919191E ξ=+⋅+⋅= 11．（2020·山西省高三月考）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度(含4200度)，执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列； (3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值. 【答案】（1）2822.38元 （2）见解析（3）k ＝4.【解析】(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4200)×0.3＝2822.38(元). （2）设取到第二阶梯电量的用户数为X ，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X 可取0，1，2，3，4.()04464101014C C P X C ===,()134********C C P X C ===，()2246410327C C P X C ===()31464104335C C P X C ===,()404641014210C C P X C ===，故X 的分布列为所以()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足2~10,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，可知 ()10102355kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()0,1,2,3,10k =L由10191101010111110102323555523235555k k k kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩,解得172255k ≤≤， *k N ∈Q ，所以当4k =时概率最大，故4k =.12．（2020·湖南省高三月考）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()n p n<-（3）①()()2221k E k k p ξ=+--②()(1)1k m k mk p +--【解析】（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξK ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+L ,且检验总次数12m ξξξξ=+++L ,()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．13．（2020·海南省海南中学高三月考）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中711ln ,7i i i z y z z ===∑）平均温度/x C ︒21 23 25 27 29 32 35平均产卵数y /个7 11 21 24 66 115 325xyz()()1ni i i x x z z =--∑()21ni i x x =-∑27.429 81.286 3.612 40.182147.714（1）根据散点图判断，y a bx =+与dxy ce =（其中e 2.718=L 自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为()01p p <<.①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率p . ②当()f p 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==-⋅-==--∑∑. 【答案】（1）dx y ce =更适宜，0.272 3.849ˆx ye -=；（2）①()max 216625f p =，35p =；②()3E X =，6()5D X =【解析】（1）根据散点图可以判断，dxy ce =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型；对dxy ce =两边取自然对数，得ln ln y c dx =+；令ln ,ln ,z y a c b d ===，得z a bx =+；因为()()()7121740.182ˆ0.272147.714iii ii x x zz bx x ==--==≈-∑∑，ˆˆ 3.6120.27227.429 3.849az bx =-=-⨯≈-； 所以z 关于x 的回归方程为ˆ0.272 3.849zx =-； 所以y 关于x 的回归方程为0.272 3.849ˆx ye -=；（2）（i ）由5332()(1)f p C p p =⋅⋅-，得()325(1)(35)f C p p p p '=⋅--，因为01p <<，令()0f p '>，得350p ->，解得305p <<； 所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f p 有唯一的极大值为35f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，也是最大值；所以当35p =时，()max 32165625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（ii ）由（i ）知，当()f p 取最大值时，35p =，所以3~5,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X的数学期望为3()535E X=⨯=，方差为326 ()5555 D X=⨯⨯=.14．（2020·全国高三月考）为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生，七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析，分别绘制的频率分布直方图如图所示.为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“A，B，C”三个不同的等级，并按照不同的等级，设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分，如下表所示. 测试分数m的范围分数对应的等级贡献的积分90100m<≤C等1分100130m≤<B等2分130150m≤≤A等3分（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为“A等”和“非A等”两种，利用分层抽样抽取10名考生，再从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“A等”的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，若从乙学校全体考生．．．．中随机抽取3人，记3人中数学测试等级为“B等”的人数为X，求X的分布列和数学期望()E X；（3）根据考生的数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则，分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为x甲和x乙，用样本估计总体，求x甲和x乙的估计值，并以此分析，你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色？【答案】（1）815；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】（1）由题意知抽取的10人中，数学成绩为“A等”和“非A等”的人数分别为2人和8人. 设从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“A等”的事件为A，则()383108115C C P A =-=. （2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则每位考生数学测试等级为“B 等”的概率为35.记3人中数学测试等级为“B 等”的人数为X ，则33,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:.()3003238055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2132336155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12232325541255P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03332335271255P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.故()355E X =⨯=. （3）由题可知，设x 甲和x 乙的估计值为'x 甲和'x 乙，'x 甲()()0.0051010010.0070.030.0381010020.0110.009101003100⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯= 2.15=（分）'x 乙()()0.011010010.0170.020.023*******.0220.008101003100⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=2.2=（分）则''x x <甲乙，如果仅以考生的数学测试分数对学校贡献的积分来看，本次考试，我认为乙学校本次数学测试更加出色.15．（2020·湖南省高三期末）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L ， （1） ()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.。