弹塑性力学第03章

▪ 问题：平面应力问题的以应力 表示的应变协调方程 类似三
维问题重新推导，能否直接用 三维的结论简化而来？
2 y 2 x 2 xy x 2 y2 xy
2 ( x
y)
(1
)
Fx x
Fy y
2
2 x 2
2 y 2
应变协调方程（一般情况)
2 z
y 2
2 y
z 2
2 yz
yz
2 x 2 z 2 xz
x
1 E
( x
y
)
y
1 E
( y
x )
or
x
E 1 2
( x
y )
y
E 1 2
( y
x )
xy
2(1 E
)
x
y
)
xy
E 2(1
)
xy
及
z0, 畸变。这种畸变很小，
yz xz 0
并与z无关，而是x，y的
z
E
( x
y)
函数。它可以从此式中 独立地求出。
弹性力学的基本方程 （一般情况）
E
21
E
yz xz
z
1 E
[
z
x
y
],
xy
21
E
xy
x
u x
,
yz
w y
v z
y
v , y
xz
u z
w
x
z
w , z
xy
v x
u
y
x 2G x , y 2G y , z 2G z ,
yz
G
yz
xz G xz
xy
G
xy
平面应力问题的应变协调方程
体受到垂直于z轴的外力作用时，这些横载面之间必然会产生
挤压力σz，由于σz为应力分量σx与σy的一种组合，因而它 不是独立的未知量，在求得σx和σy后，可由上式单独求解， 而基本方程中不包含σz。
横截面都可以看成对称截面，在对
称截面上的每一点只能在其自身平 面（与xOy平面平行）内移动，而沿 z方向的位移w为零，因而在整个柱 体内有w=0，由此在任意横截面内，
沿x轴和y轴方向的位移分量u及v均
与z无关，位移分量就简化为
u u(x, y)
v
v(
x,
y)
w 0
平面应变问题几何方程
x
u x
平衡（运动）微分方程
x x
yx y
zx z
Fx
0
2 t
u
2
xy x
y y
zx z
Fy
0
2v t 2
xz x
yz y
z z
Fz
0
2 t
w
2
几何方程——应变和位移的关系
物理方程——应力和应变的关系
x
y
1 E
[
x
y
z
],
1 E
[
y
x
z
],
yz xz
21
2
2
2
一点处的应力状态
平面应力问题
▪ 注意到切应力
互等性，可知，
只剩下平行于
xoy面的应力分
量： x , y , xy
x，
y的函数
z 0, yz 0, xz 0
x F1 (x, y), y F2 (x, y), xy F3 (x, y)
切应力互等定理
▪ 根据弹性体的形状与受力特点，弹性力学平面 问题可分成平面应力问题和平面应变问题两个类型。
一、平面应力问题
▪ 由于板很薄，外 力又不沿厚度方 向变化，应力沿 着板厚又是连续 分布的，因此， 可认为在板的内 部，这三个应力 分量是很小的， 不妨近似认为在 整个板内为零。
( z ) z 0, ( zy ) z 0, ( zx ) z 0
y 2 z 2 yz
2 x 2 z 2 xz
z 2 x 2 xz
2 y 2 x 2 xy
x 2 y 2 xy
x
yz
x
xz
y
xy
z
2
2
x
yz
y
y
x
z
xz
y
xy
z
2 2 y
xz
z
yz
x
xz
y
xy
z
2 2 z
xy
x
y
1 E
[
x
y
z
],
1 E
[
y
x
z
],
yz xz
21
E
21
E
yz xz
z
1 E
[
z
x
y
],
xy
21
E
xy
x
1
E
x
E
,
y
1
E
y
E
,
z
1
E
z
E
,
yz
2(1
E
)
yz
xz
2(1
E
)
xz
xy
2(1
E
)
xy
2 z
y 2
2
z 2
y
1
2 y 2
z 2
2 2 yz
yz
静力边界条件
f x xl yxm
f y xyl y m
应力边界条件（一般情况）
fx fy
xl xyl
yx y
m m
zx zy
n n
fz
xzl
y
z
m
z
n
二、平面应变问题
▪ 考察图示水坝或受内压的圆筒，它 们是母线与Oz轴平行且很长的柱体， 所受体力和面力垂直于Oz轴，而且
沿该轴方向均匀分布。对于这类物 体，不妨认为沿z方向是无限长的。 因而，柱体的任意一个垂直于z轴的
f1 (x, y)
y
v y
f 2 (x,
y)
xy
v x
u y
f3 (x, y)
z
w z
0
yz
w y
v z
0
xz
u z
w x
0
平面应变问题的应力分量
τ
yz
=τxz
=
0
z
1 E
[ z
(x
y )]
0
z ( x y )
σz在平面应变问题中不为零 。σz的存在说明了沿z方向 无限长的柱体的假设限制了每一个横截面的纵向位移。当柱
▪ 两相互垂直平面上的切应力数值相等，且均 指向（或背离）该两平面的交线，称为切应 力互等定理。（材料力学P61）
平面应力问题基本方程
▪ 在平面应力问题中，随着物理量的简化，基 本方程也随之简化 。
x x
yx y
Fx
0
xy x
y y
Fy
0
x
u x
y
v y
xy
v x
u
y
§3-1 平面应力问题和平面应变问题
▪ 严格说来，任何一个实际的弹性力学问题都是空 间问题（三维问题），从而要归结为求解复杂的偏 微分方程组的边值问题。但是，当弹性体的几何形 状和受力情况（包括约束条件）具有一定特点时， 只要经过适当的简化和力学的抽象处理，就可以归 结为所谓的弹性力学平面问题，在数学上属于二维 问题。这样处理，将使分析和计算工作量大为减少， 而所得结果却仍可以满足工程上对精度的要求。
z 2 x2 xz
2 y 2 x 2 xy
x2 y 2 xy
x
yz
x
xz
y
xy
z
2
2
x
yz
y
yz
x
xz
y
xy
z
2 2 y
xz
z
yz
x
xz
y
xy
z
2 2 z
xy
应力解法 以应力表示的应变 协调方程（一般情况）
2 z 2 y 2 yz
第三章 弹性力学平面问题
▪§3-1 平面应力问题和平面应变问题 ▪§3-2 平面问题的应力函数解法 ▪§3-3 代数多项式解答 ▪§3-4 若干典型实例 ▪§3-5平面问题的极坐标方程 ▪§3-6 平面轴对称应力问题 ▪§3-7 圆孔孔边应力集中 ▪§3-8 楔形体问题 ▪§3-9 半平面问题 ▪* §3-10 Airy应力函数的物理意义