信号与系统冲激响应求解举例

冲激响应 h(t) (C1et C2e3t ) (t)
两种求待定系数方法：•求0+法
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法一：求0+值确定系数
d2 h(t) dt2
4
d h(t) dt
3h(t )
d (t)
dt
2
(t)
d2 ht
dt2
a
t
b
t
r1
t
设
d
ht
dt
a
t
r2
t
h
t
r3
t
代入原方程：
a t b t r1 t 4a t 4r2 t 3r3 t = '(t) +2 (t)
h(t)
dh1 (t ) dt
2h1(t)
1 2
et
e3t
(t)
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法三：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t) C1et C2e3t (t)
h (t) C1et C2e3t (t) C1et 3C2e3t (t) C1 C2 (t) C1et 3C2e3t (t)
1 C1 2C2
1
2 1
2
2
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dt2
dt
dt
解： 设h1(t)满足简单方程
d2 h1(t) dt2
4
d
h1(t) dt
3h1(t)
(t)
h1(t) C1et C2e3t (t) h1'0 1 h10 0
将边界条件代入h1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2，
h1(t)
1 2
et
e3t
(t)
则由系统的线性时不变特性
a=1
b+4a=2 即 b=-2
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d2 ht
dt2
t
2
t
r1 t
d ht
dt
t
r2
t
h
t
r3
t
h0 1 , h' 0 2
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t) 1 (et e3t ) (t)
2
■
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解法二：线性时不变性质法
求系统 d2 y(t) 4 d y(t) 3y(t)的 d冲f (激t) 响2 应f (t)。
冲激响应求解举例
求系统 d2 y(t) 4 d y(t) 3y(t)的 d冲f (激t) 响2 应f (t)。
dt2
dt
dt
解：将f(t)→(t)， y(t)→h(t)
d2 h(t) dt2
4
d h(t) dt
3h(t )
d (t)
dt
2
(t
)
求特征根
2 4 3 0 1 1,2 3
n 2, m 1, n m ht 中不包含冲激项 带ε(t)
ht C1 C2 t C1 3C2 t C1et 9C2e3t t
将h(t), h(t), h(t)代入原方程
C1 C2 (t) 3C1 C2 (t) 0(t) (t) 2 (t)
根据系数平衡，得 h(t) 1 et
C1 C2 3C1 C2
e3t (t)