概率论与数理统计 5.1 切比雪夫不等式和大数定律
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伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际
问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .
事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量 X1 ,X2 , … , Xn … 相互独立, 服从同一分布且具有数 n 1 学期望 μ , 则前 n 个随机变量的算术平均值 X k n k =1 依概率收敛于它们的数学期望 μ . n 1 l l 若 E( X k ) = l (k = 1, 2, )存在, 则 X k 依概率 n k =1 l 收敛于 l = E ( X k ) (k = 1, 2, ) .
lim P
n
X
12
1 n = lim P X k = 1 . n n k =1
证 由于
1 n 1 n 1 E( X k ) = E( X k ) = n = n k =1 n k =1 n 1 n 1 D( X k ) = 2 n k =1 n 1 1 2 2 D( X k ) = 2 n = n n k =1
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2、依概率收敛的性质:
设
P X n a ,
P Yn b ,
函数 g( x , y ) 在点 ( a , b ) 连续 , 则
P g( X n , Yn ) g ( a , b) .
8
二、常见的三个大数定理:
1.定理1（伯努利大数定理）设 n 为n重伯努利实验 中事件A发生的次数，p为每次发生的概率，则 对任意的ε>0，有
11
2、定理5.2(切比雪夫定理的特殊情况): 设随机变量 X1 ,X2 , … ,wk.baidu.comXn , … 相互独立 , 且 具有相同的数学期望和方差:
E( X k ) = ,
D( X k ) = 2 .
n 1 作前n个随机变量的算术平均 X = X k n k =1 则对于任意正数 ε , 有
第五章、大数定律 和中心极限定理
5.1切比雪夫不等式和大数定律 5.2中心极限定理
1
5.1切比雪夫不等式 和大数定律
1、切比雪夫不等式 2、大数定律
2
一 、切比雪夫(Chebyshev)不等式 :
定理5.1 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) 和方差 D(X) , 则对于任意正数 ε , 不等式
P{ X E ( X ) }
( X E ( X ))2
X
f ( x )dx
X E ( X )
f ( x)
2
dx
1
2
( X ) f ( x )dx
2
D( X )
2
4
例1、 已知正常男性成人血液中, 单位白细胞数 (单位:个/mL)平均是7300, 均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在 5200～9400之间的概率 . 解 设 X 表示成年男性血液中单位白细胞数, 由 题意知 E(X)= 7300, D(X)= 700 2 , 由切比雪夫 不等式得
P X E ( X )
D( X )
2
成立 .
注 (1) 切比雪夫不等式也可写为 D( X ) P X E ( X ) 1 . 2
(2) 可用切比雪夫不等式近似求某一事件的概率 .
3
证明：仅就X为连续型随机变量的情况进行讨论。
设X的密度为f(x)，X的期望为E(X)=μ
n
由切比雪夫不等式, 得
1 n 2 /n 2 P X k 1 =1 2 2 n n k =1
由概率性质知
13
1 n P X k 1 . n k =1
两边关于 n 取极限,即令 n , 则
15
3、定理5.3(辛钦定理):
设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 服从
同一分布, 具有数学期望
E( X k ) =
则对于任意正数 ε , 有
(k = 1, 2,
),
1 n lim P X k = 1 . n n k =1
P 5200 X 9400 = P 5200 7300 X 7300 9400 7300
5
= P 2100 X 7300 2100
= P X 7300 2100
700 1 8 1 =1 = 2 9 9 2100
注 切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件 的概率, 只是给出一个估计值, 但这在实际 问题的处理中仍然十分有用 .
1 n lim P X k = 1 . n n k =1
14
定理5.2表明, 当 n 很大时, 随机变量 X1 ,X2 , … , Xn
的算术平均 X 接近于数学期望
E ( X1 ) = E ( X 2 ) = = E( X n ) = .
当然这种接近是在概率意义下的接近 . 有定理5.2 作保证, 当变量数学期望未知的时候, 可以选择一 些与该变量独立且有相同数学期望的随机变量, 用 它们的算术平均数作为数学期望的估计值, 选取的 随机变量个数越多, 估计程度就越好, 这在实际问 题的处理中是十分有用的 .
6
2
二、大数定律
一、基本概念: 1、定义5.1: 设 Y1 ,Y2 , … , Yn , … 是一个随机变量序列, a 是一个常数 , 若对于任意正数 ε , 有
lim P Yn a = 1 ,
n
则称序列 Y1 ,Y2 , … , Yn , … 依概率收敛于 a ,
记作
P Yn a .
10
伯努利大数定律提供了用频率确定概率的理论 依据. 在处理实际问题的时候, 如果事件的概 率难求 , 可以通过这个定律用事件的频率代替 概率 . 例如, 估计某产品的不合格率 p , 可从 该种产品中随机抽取 n 件 , 当 n 很大时, 这 n 件产品的不合格品的比例可作为不合格品率 p 的估计值 .
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lim P{
n
n
n
p } 1
9
伯努利大数定律是将概率的统计定义用数学式 表示出来, 它表明随着 n 的增大, 事件 A发生
n n 先给定的精度 ε 的可能性愈来愈小, 小到可以
的频率
n
与其概率 p 的偏差
n
p 大于预
忽略不计, 这就是说频率是依概率收敛到该事 件发生的概率 .
伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际
问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .
事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量 X1 ,X2 , … , Xn … 相互独立, 服从同一分布且具有数 n 1 学期望 μ , 则前 n 个随机变量的算术平均值 X k n k =1 依概率收敛于它们的数学期望 μ . n 1 l l 若 E( X k ) = l (k = 1, 2, )存在, 则 X k 依概率 n k =1 l 收敛于 l = E ( X k ) (k = 1, 2, ) .
lim P
n
X
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1 n = lim P X k = 1 . n n k =1
证 由于
1 n 1 n 1 E( X k ) = E( X k ) = n = n k =1 n k =1 n 1 n 1 D( X k ) = 2 n k =1 n 1 1 2 2 D( X k ) = 2 n = n n k =1
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2、依概率收敛的性质:
设
P X n a ,
P Yn b ,
函数 g( x , y ) 在点 ( a , b ) 连续 , 则
P g( X n , Yn ) g ( a , b) .
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二、常见的三个大数定理:
1.定理1（伯努利大数定理）设 n 为n重伯努利实验 中事件A发生的次数，p为每次发生的概率，则 对任意的ε>0，有
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2、定理5.2(切比雪夫定理的特殊情况): 设随机变量 X1 ,X2 , … ,wk.baidu.comXn , … 相互独立 , 且 具有相同的数学期望和方差:
E( X k ) = ,
D( X k ) = 2 .
n 1 作前n个随机变量的算术平均 X = X k n k =1 则对于任意正数 ε , 有
第五章、大数定律 和中心极限定理
5.1切比雪夫不等式和大数定律 5.2中心极限定理
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5.1切比雪夫不等式 和大数定律
1、切比雪夫不等式 2、大数定律
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一 、切比雪夫(Chebyshev)不等式 :
定理5.1 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) 和方差 D(X) , 则对于任意正数 ε , 不等式
P{ X E ( X ) }
( X E ( X ))2
X
f ( x )dx
X E ( X )
f ( x)
2
dx
1
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( X ) f ( x )dx
2
D( X )
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例1、 已知正常男性成人血液中, 单位白细胞数 (单位:个/mL)平均是7300, 均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在 5200～9400之间的概率 . 解 设 X 表示成年男性血液中单位白细胞数, 由 题意知 E(X)= 7300, D(X)= 700 2 , 由切比雪夫 不等式得
P X E ( X )
D( X )
2
成立 .
注 (1) 切比雪夫不等式也可写为 D( X ) P X E ( X ) 1 . 2
(2) 可用切比雪夫不等式近似求某一事件的概率 .
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证明：仅就X为连续型随机变量的情况进行讨论。
设X的密度为f(x)，X的期望为E(X)=μ
n
由切比雪夫不等式, 得
1 n 2 /n 2 P X k 1 =1 2 2 n n k =1
由概率性质知
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1 n P X k 1 . n k =1
两边关于 n 取极限,即令 n , 则
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3、定理5.3(辛钦定理):
设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 服从
同一分布, 具有数学期望
E( X k ) =
则对于任意正数 ε , 有
(k = 1, 2,
),
1 n lim P X k = 1 . n n k =1
P 5200 X 9400 = P 5200 7300 X 7300 9400 7300
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= P 2100 X 7300 2100
= P X 7300 2100
700 1 8 1 =1 = 2 9 9 2100
注 切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件 的概率, 只是给出一个估计值, 但这在实际 问题的处理中仍然十分有用 .
1 n lim P X k = 1 . n n k =1
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定理5.2表明, 当 n 很大时, 随机变量 X1 ,X2 , … , Xn
的算术平均 X 接近于数学期望
E ( X1 ) = E ( X 2 ) = = E( X n ) = .
当然这种接近是在概率意义下的接近 . 有定理5.2 作保证, 当变量数学期望未知的时候, 可以选择一 些与该变量独立且有相同数学期望的随机变量, 用 它们的算术平均数作为数学期望的估计值, 选取的 随机变量个数越多, 估计程度就越好, 这在实际问 题的处理中是十分有用的 .
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二、大数定律
一、基本概念: 1、定义5.1: 设 Y1 ,Y2 , … , Yn , … 是一个随机变量序列, a 是一个常数 , 若对于任意正数 ε , 有
lim P Yn a = 1 ,
n
则称序列 Y1 ,Y2 , … , Yn , … 依概率收敛于 a ,
记作
P Yn a .
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伯努利大数定律提供了用频率确定概率的理论 依据. 在处理实际问题的时候, 如果事件的概 率难求 , 可以通过这个定律用事件的频率代替 概率 . 例如, 估计某产品的不合格率 p , 可从 该种产品中随机抽取 n 件 , 当 n 很大时, 这 n 件产品的不合格品的比例可作为不合格品率 p 的估计值 .
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lim P{
n
n
n
p } 1
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伯努利大数定律是将概率的统计定义用数学式 表示出来, 它表明随着 n 的增大, 事件 A发生
n n 先给定的精度 ε 的可能性愈来愈小, 小到可以
的频率
n
与其概率 p 的偏差
n
p 大于预
忽略不计, 这就是说频率是依概率收敛到该事 件发生的概率 .