具有偏好系数不允许卖空的投资组合模型解的一个表达式

合集下载

不允许卖空条件下的最优投资组合

不允许卖空条件下的最优投资组合
石萍;张英琴
【期刊名称】《内蒙古科技大学学报》
【年(卷),期】2007(026)002
【摘要】研究在不允许卖空市场中,当收益协方差矩阵奇异时投资驵合的一些性质,并使用二次规划方法求解投资组合选择问题,获得了最优组合的一种解法.
【总页数】3页(P190-192)
【作者】石萍;张英琴
【作者单位】内蒙古科技大学,理学院,内蒙古,包头,014010;内蒙古科技大学,理学院,内蒙古,包头,014010
【正文语种】中文
【中图分类】O29;F830.9
【相关文献】
1.不允许卖空下的无风险资产借贷的最优投资组合 [J], 陈峰;成央金;吕婷婷;李光荣
2.在不允许卖空条件下的最优比例再保险投资 [J], 鲁忠明;郭文旌
3.不允许卖空下的最优投资组合 [J], 成央金;吕婷婷;李光荣;陈峰
4.负债下摩擦市场不允许卖空时的最优投资组合 [J], 唐俊;丁立刚
5.在不允许卖空市场条件下均值-方差投资者的最优时间一致性资产配置策略 [J], 郭文旌;卢晖
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

投资组合理论

投资组合理论投资组合理论（Portfolio Theory)投资组合理论简介投资组合理论有狭义和广义之分。

狭义的投资组合理论指的是马柯维茨投资组合理论；而广义的投资组合理论除了经典的投资组合理论以及该理论的各种替代投资组合理论外，还包括由资本资产定价模型和证券市场有效理论构成的资本市场理论。

同时,由于传统的EMH不能解释市场异常现象，在投资组合理论又受到行为金融理论的挑战。

[编辑]投资组合理论的提出[1]美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。

该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。

在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。

但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。

从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。

人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。

投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。

所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。

当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。

所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。

我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。

人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。

投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。

所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。

因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。

证券投资组合研究

本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：证券投资组合模型研究学生姓名：目录一类证券投资组合模型研究 (2)序言 (1)一、证券投资组合模型的发展现状 (1)二、证券投资组合理论概述 (3)三、CEVaR风险度量的理论建构 (3)（一）证券投资组合中熵风险度量的引入 (3)（二）证券投资组合的 CVaR 风险度量的引入 (4)（三）CEVaR 风险度量方法的提出 (5)四、CEVaR模型在证券投资组合中的实证研究 (5)（一）证券投资组合的CEVaR模型 (5)（二）数据的选取与处理 (6)结论 (10)参考文献 (11)一类证券投资组合模型研究研究背景：证券市场是一个高风险市场。

为了分散风险并获得最大收益，许多投资者将多种证券组合在一起进行投资，使得证券投资组合的研究成为金融界面临的重要课题之一。

Markowitz 以证券收益率的方差作为组合证券风险的度量，开辟了金融定量分析的时代，在度量风险的基础上建立了组合投资决策模型。

关键字：证券投资组合；风险；熵；CVaR 度量；CEVaR 模型序言随着经济全球化、金融一体化进程的加快，各国金融市场的开放程度不断加深、金融市场之间的联系进一步加强。

资本在全球范围内大量、快速和自由流动以及全球金融市场之间的价格协同运动使得任何地区的金融市场的局部波动都会迅速波及、传染、放大到其他市场。

金融业的激烈竞争导致了金融创新的浪潮，并由此引发了政府对金融业的放松管制，反过来又加剧了市场竞争，为以衍生金融产品为核心的金融创新提供了内在的动机和良好的环境，这一螺旋式的过程导致金融市场的不确定性和波动性增大；信息技术、现代金融理论和金融工程技术的突破性发展，提高了国际金融市场中资金和信息的流通效率，提高了对复杂金融产品和交易的准确定价能力，从而导致金融市场的交易品种、交易量和交易速度的爆发性增长，金融市场的复杂性和不稳定性大大提高；同时，为了规避风险、提高竞争力、逃避管制而展开的金融创新活动，在放松管制和技术进步的刺激下异常活跃，导致高风险的衍生金融工具飞速增长，这使金融风险得到有效的分散和转移的同时又成为金融市场风险新的来源。

投资学第五讲投资组合理论

风险的市场价格

市场资产组合的期望收益为E(rM)，风险为σ2M，市场资产组合的风险溢价为 E(rM)-rf，则承担单位市场风险的报酬为
E(r M ) - rf
2 σM

这一报酬风险比率就是风险的市场价格
投资者的选择

假定某代表市场平均情况的投资者投资于市场资产组合的比例为100%，现在打算通过借入无风险贷款的方式增加比例为δ的市场资产组合或者某一特定股票，投资者将如何选择？
E r
2

E(r M ) - rf 2σ M
2
投资者的选择——某一股票A

如果投资者选择股票A ，其资产组合为1的市场组合，δ的股票以及-δ的无风险资产，组合的收益和风险分别为

rM+δ(rA-rf) σ2=σ2M+δ2σ2A+2 δcov(rA,rM） ≈ σ2M+2δ cov(rA,rM）
组合预期收益
AB 1
0.25 0.215 D （1/3,2/3） C
A（1，0）
F
G
AB 0
x
AB 1
E
0.18 0.02
B（0，1） 0.045 0.06 0.08 组合标准差
2.三种证券组合的可行域（不允许卖空）

一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的；一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）
ij
组合中证券数量
四、有效组合与有效边界

有效组合（efficient set）,就是按照既定收益下风险最小或既定风险下收益最大的原则建立起来的证券组合。有效边界（efficient frontier）,就是在坐标轴上将有效组合的预期收益和风险的组合连接而成的轨迹。

资产组合习题解答

第二章1、假设你正考虑从以下四种资产中进行选择：资产1市场条件收益% 概率好 16 1/4 一般 12 1/2 差8 1/4资产2市场条件收益概率好 4 1/4 一般 6 1/2 差8 1/4资产3市场条件收益概率好 20 1/4 一般 14 1/2 差8 1/4资产4市场条件收益概率好 16 1/3 一般 12 1/3 差81/3解答：111116%*12%*8%*12%424E =++= 10.028σ==同理 26%E = 20.014σ= 314%E = 30.042σ= 412%E = 40.033σ= 2、下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。

证券A证券B证券C时间价格股利价格股利价格股利1 6578 333 610682 7598368210883 3598 0.72543688 1.35 1240.404 4558 2382821228 5 256838641358 6 590.725 639781.35 61418 0.42 7260839261658A. 计算每个公司每月的收益率。

B. 计算每个公司的平均收益率。

C. 计算每个公司收益率的标准差。

D. 计算所有可能的两两证券之间的相关系数。

E. 计算下列组合的平均收益率和标准差：1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3C解答：A 、1.2%2.94%7.93%A B C R R R === C 、4.295%4.176%7.446%A B C σσσ=== D 、()()()0.140.2750.77A B A C B C ρρρ===- E 、3、已知：期望收益标准差证券1 10% 5% 证券24%2%在P P R σ-_空间中，标出两种证券所有组合的点。

假设ρ=1 ，-1，0。

对于每一个相关系数，哪个组合能够获得最小的Pσ？假设不允许卖空，Pσ最小值是多少？解答：设证券1比重为w122222(1,2)1112111,212(1)2(1)w w w w σσσρσσ=+-+-1ρ= m i n 2%σ= 10w = 21w = 1ρ=- m i n 0σ= 12/7w = 25/7w =0ρ= m i n 1.86%σ= 14/29w = 225/29w =4、分析师提供了以下的信息。

Markowitz均值—方差投资组合方法的简单应用

Markowitz 均值—方差投资组合方法的简单应用摘要：Markowitz 在他1959年出版的著作中提出的均值-方差投资组合方法是上世纪五十年代证券组合投资理论的一项最有意义的工作，本文对其理论模型进行了简单的应用，并提出一些思考，认为均值—方差模型在某种程度上的确为我们在进行投资组合时提供了一些参考，但是其中有些问题还是值得商榷的。

关键词：均值—方差模型；投资组合1.引言Markowitz 在他1959年出版的著作中提出的均值-方差投资组合方法可以说是上世纪五十年代证券组合投资理论的一项最有意义的工作，他的理论的独特之处在于他认为分散化投资可有效降低投资风险，但一般不能消除风险，而且在其论文中证券组合的风险用方差来度量。

另外，他是第一个给出了分散化投资理念的数学形式，即“整体风险不低于各部分风险之和”的金融版本。

2.Markowitz 均值—方差模型的简单概述Markowitz 的投资组合理论基于一些基本的假设：（1）投资者事先就已知道投资证券的收益率的概率分布。

这个假设蕴涵证券市场是有效的。

（2）投资风险用证券收益率的方差或标准差来度量。

（3）投资者都遵守占优原则，即同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。

（4）各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或收益率之间的协方差来表示。

（5）每种证券的收益率都服从正态分布。

（6）每一个证券都是无限可分的，这意味着，如果投资者愿意的话，他可以购买一个股份的一部分。

（7）投资者可以以一个无风险利率贷出或借入资金。

（8）税收和交易成本均忽略不计，即认为市场是一个无摩擦的市场。

以上假设条件中,（1）-（4）为Markowitz 的假设,（5）-（8）为其隐含的假设。

假如我们从金融市场上已经选出了N 种证券，i x 表示投资到第i （N i ,,2,1 =）种证券的价值比率,即权数。

现代证券投资理论

产组合种类选15 25种对机构投资者比较适宜。
五、风险资产A与无风险资产B的组合：
E(rP ) xAE(rA) xBE(rB ) xAE(rA) (1 xA)E(rB )
E(rA) E(rB )xA E(rB )
2 p
x
A2
2 A
xB2
2 B
2xAxB
cov(rA, rB )
xA2
这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点P
E(r)
E(r)
U3 U2
U1
P
K C B
A H
t 1
t 1
证券投资风险衡量应注意的问题
在证券投资风险衡量过程中，须注意以下问题：
➢ 值不是某证券或证券组合的全部风险，它表示与市场行情变动有关的系统性风险，同时也存在与企业或企业群体自身经营状况有关的系统性风险。
➢ 标准差(标准差系数)和值都是衡量投资风险的指标，
但它们的性质不同。
8.2 资产组合理论
2.有效集的位置
有效集是可行集的一个子集；必须同时满足收益最大、风险最小的条
件；因此可行集中A、B两点之间上方边界上
的可行集就是有效集。
3.有效集的形状
是一条向右上方倾斜的曲线，它反映“高收益、高风险”的原则；
有效集是一条向上凸的曲线；有效集曲线上不可能有凹陷的地方。
4.有效集的数学推导
概念
资产组合理论(Portfolio Theory)是根据不同资产的收益和风险特性，选择若干资产构造一个投资组合，以达到分散风险，获得稳定收益的一种投资管理方法的总称。该理论解释了如何通过建立资产组合来分散投资风险，提出了衡量风险的方法，研究了资产组合的投资风险与收益之间的数量关系。

计算方差 excel在投资组合理论中应用

EXCEL在投资组合理论中的应用教学内容:一、计算投资组合的数字特征;二、在没有卖空限制下计算有效前沿组合(1) 计算有效前沿; (2) 绘制资本市场线;(3) 绘制证券市场线;三、不允许卖空条件下计算有效前沿组合,并比较两种条件下的有效前沿组合的区别四、EGP法计算前沿组合在EXCEL中的实现。

一计算期望收益率、标准差、协方差矩阵和相关系数;1.一个简单的两资产组合的例子（表1）假如有两只股票12个月度的价格数据:股票A 和股票B,资料如下:月份股票Ａ股票Ｂ025.0045.00124.8844.74224.4146.90323.5945.36426.4650.77526.8753.22627.9153.31728.6462.65829.7265.60932.9866.761036.2278.601137.2478.141237.0368.53股票价格1.1.收益率与期望收益 1）收益率的计算以股票A 为例,计算该股票的月收益率.股票A 在第t 月的收益率为在第t 月月末与第(t-1)月末价格之比的自然对数,计算公式为:1ln()AtAt At P r P -=注意:对数收益率是对普通收益率泰勒级数展开得到的，t 期的对数收益率是ln(Pt)-ln(Pt-1)，对数收益率一般适用于时间间隔比较短的时候（因为是一阶泰勒级数逼近的，所以时间间隔大了误差比较大）。

对数收益率的好处是可以直接相加，比如t 期到t+n 期的对数收益率可以由Rt+R(t+1)+R(t+2)+...得到。

(1) 这个公式采用的是连续收益率计算公式,而离散收益率计算公式为,,11A t At A t P r P -=-(2) 如果在第t 月末获得股利收入,记为t Div ,则收益率为,,1lnA t tAt A t P Div r P -+=.(3) 在考虑股利收入下,股票的离散型收益率为,,1,1A t t A t At A t P Div P r P --+-=.本例中的收益率的计算采用连续收益率形式,并忽略股利收入.具体步骤是:使用EXCEL 中的LN 函数计算股票的收益率.调用Ln 函数的方法是:单击EXCEL 工具栏下的[]x f ，或者选择[插入]菜单中的[函数]命令，弹出[粘贴菜单]对话框，在[函数分类]中选择[数学与三角函数]。

VAR模型及其在投资组合中地应用

二〇一五年七月VAR模型及其在投资组合中的应用内容提要20世纪90年代以来，随着金融衍生产品市场的迅猛发展，加剧了金融市场的波动，2008年的金融危机使得大量的金融机构和投资者破产，风险管理再一次成为金融活动的核心内容。

基于VaR的风险管理理论也在巴塞尔协议II的推广下开始广泛地被金融机构所运用，成为目前市场上主流的风险管理工具。

本文将VaR及其延伸概念边际VaR和成分VaR的风险管理理论运用到证券市场的投资组合风险调整过程中，选取能够覆盖多数行业的40只个股构成一个投资组合，运用蒙特卡洛法分别计算投资组合在95%的置信水平和持有期为1天的条件下组合的VaR，以此来分析投资组合的风险分布及单只个股的风险贡献度；同时将VaR 运用均值-VaR的组合优化理论确定投资组合的最小VaR投资组合，对比调整前后的损益走势图来说明VaR在投资组合风险调整优化过程中的有效性。

【关键词】投资组合风险管理 VaR 均值-VaR 组合优化理论一、序言（一）研究背景及意义20 世纪 90 年代以来，随着世界金融市场在业务范围和产品规模上的急剧扩张，使得世界各国经济体之间的一体化和联动性不断增强，近些年的金融危机在国家之间的传导也更为迅速，往往带来整个行业的衰退和大量金融机构的破产。

08 年的全球金融危机最初只是美国房地产市场上的次债危机，但由于涉及大量金融衍生产品如 CDO、MBO 和全球范围内的大量机构投资者，使得次债危机最终演变为全球范围内的金融危机，雷曼兄弟等众多金融机构破产倒闭，全球经济也迅速进入衰退周期。

因此可以总结出：世界经济一体化和联动性的增强在横向上扩大了金融风险影响的范围。

对此，以巴塞尔委员会为首的全球金融监管机构开始重新制定金融风险管理标准，风险管理再次成为金融活动的核心内容。

尤其对于证券公司、基金公司来说，他们持有的不再是单一的一种资产，而是众多资产组成的一揽子投资组合，如何运用一种有效的风险管理标准全面地衡量组合的风险，成为他们首要考虑的问题，VaR 正是在这种背景下产生并快速发展起来的。

一个证券投资风险计量的优化模型

一个证券投资风险计量的优化模型邵国华;高海明【摘要】2008年美国爆发的"次贷"危机,不仅给美国经济带来了极大的破坏,也给全球经济带来了极大的不稳定.由此,国内外许多学者更加关注可能引发"金融海啸"的因素分析.在经济金融化的当今时代,证券投资风险的计量无疑是理论和实务工作者关注的焦点.本文对比了Markowitz的均值方差模型(Mean-Variance Model、Sharpe资本资产定价模型(CAPM)、Harlow下偏矩风险计量优化模型等,充分考虑收益和风险的计量指标,根据双目标规划求解过程得到一个证券投资风险计量的优化模型.【期刊名称】《金融理论与实践》【年(卷),期】2011(000)005【总页数】5页(P78-82)【关键词】证券投资;风险计量;优化模型【作者】邵国华;高海明【作者单位】江西财经大学经济学院,江西南昌330013;江西财经大学经济学院,江西南昌330013【正文语种】中文【中图分类】F830.91古典决策理论把风险看成是事物可能性结果的不确定性；C.A.Williams（1985）把风险定义为在某一特定的客观条件下和一定的时期内，未来结果的变动；朱淑珍(2002)指出风险是指在一定的条件下和一定的时期内，由于各种结果发生的不确定性而引发的行为主体遭受损失的大小以及这种损失发生可能性的大小，并以此为基础提出使用损失发生的大小和损失发生的概率两个指标对风险进行度量。

Harry M.Markowitz和William F.Sharpe认为证券投资风险是由于某些不确定因素的影响而导致投资者在投资或融资过程中证券投资收益率的易变性或不确定性,他们利用证券投资收益率的方差（或β值)作为风险度量指标来衡量这种不确定性。

另外一些学者，例如Harlow(1991)等认为证券投资风险是由于证券价格的变化而引起的投资者损失的可能性或者损失的不确定性,这种损失可以通过下方差(Down-Variance)或半方差(Semi-Variance)来衡量。

资产组合选择模型

金融工程学第10章资产组合选择模型概述⏹现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的《投资组合选择》为标志⏹该理论基本假设（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。

（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。

（4）投资者希望持有有效资产组合。

10.1 组合的可行集⏹可行集与有效集⏹可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。

⏹有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。

每一个组合代表一个点。

⏹有效集（Efficient set）：又称为有效边界（Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。

益若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系⏹注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1⏹因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。

⏹其他所有的可能情况，在这两个边界之中。

组合的风险－收益二维表示.收益r p风险σp两种完全正相关资产的可行集两种资产完全正相关，即ρ()(1)w w w σσσ+-＝命题行集是一条直线。

⏹证明：由资产组合的计算公式可得减少到了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。

两种资产完全负相关，即ρ12σ命题条直线，其截距相同，斜率异号。

证明：σσ两种不完全相关的风险资产组合的可行集构成的可行集rσ(,)1212121212121111ρρρρρρ>>-由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数。

随着的增大，弯曲程度增加；当＝－时，呈现折线状，也就是弯曲度最大；当＝时，弯曲度最小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且越大越弯曲。

证券投资组合最优化模型

毕业论文题目：证券投资组合最优化模型学院：数理学院专业：数学与应用数学（金融方向）姓名：申圣学号： 131412135指导老师：赵许培完成时间： 2016.5.10摘要随着改革开放的进一步加深，中国人民的生活水平进一步的提高，1984年中国发行第一只股票以来中国人民才开始逐步有了投资意识。

中国股市用了不到30年的时间走完了西方国家的200年的历史，中国股市虽然发展如此迅速但是伴随着种种问题的出现。

投资者理性分析投资市场的少，很多人盲目投资，单单依靠所谓内幕小道的消息等方法已经不能满足对投资的需要，人们渐渐意识到了组合化的投资是未来投资的方向。

所以在和数学有关的金融学当中，建立数学模型是研究最优组合投资方法当中的一个很好的策略，数学模型应运而生。

数学模型可以通俗的说成是数学在其他领域当中的应用，所以说证券投资最优化的模型就是在进行股票基金债券进行商业投资过程中所建立的一个使投资收益最大化的数学模型，本文首先简单介绍马柯威茨（markowitz）模型，并且研究了此模型的不足之处，引入偏好系数建立了自己的投资组合最优化数学模型。

运用自己所学的《最优化方法》上面的外点罚函数法对此模型进行求解。

最后进行实证性分析，得出组合最优化数学模型具有解决实际问题的可行性。

关键词：马柯维茨模型；组合最优化数学模型；共轭梯度；外点惩罚函数；AbstractWith the further deepening of reform and opening up, Chinese people's living standards further improved, in 1984 China issued the first stock since the Chinese people began to gradually have the consciousness of the investment. China's stock market has taken less than 30 years covered 200 years of history in the west, China's stock market although such rapid development with the advent of the problems. Investors less rational analysis of the investment market, a lot of people blind investment, only rely on methods such as the so-called insider gossip news already cannot satisfy the need for investment, people gradually realized the combination of the investment will be the future direction. So in finance related to mathematics, mathematical model is to study the optimal portfolio investment methods of a good strategy, mathematical model arises at the historic moment.Mathematical model can be popular as the application of mathematics in other areas, so that securities investment optimization model is in stock fund, bond business investment in the process of the established a mathematical model to maximize return on investment, this paper introduces the Ma Kewei, markowitz model, and the deficiency of this model is studied, and the introduction of preference coefficient of his portfolio optimization mathematical model is established. Used his knowledge of the optimization method of above point penalty function method for solving of this model. Through the empirical analysis, the final combination optimization mathematical model with the feasibility of solving practical problems.Key words:Markowitz model;Combinatorial optimization mathematical model; Conjugate gradient method;Penalty function method;目录引言 (1)1 马柯威茨模型简介 (3)1.1 数学描述马柯威茨模型 (3)1.2 组合最优化数学模型 (4)2 求解组合最优化模型 (6)2.1 惩罚函数简介 (6)2.2 运用外点罚函数求解 (6)2.3 共轭梯度法简介及步骤 (7)2.4 参考共轭梯度求解模型 (11)3 实证分析 (14)致谢 (18)参考文献 (19)附录 (20)引言现如今中国的经济高速发展，全国各族人民的生活水平大大提高，特别是中国加入WTO世界经济贸易组织后，无论是金融还是经济都在向全球化发展，中国的经济水平人均GDP翻了好几番，一个个五年计划的完成，越来越多的中国人生活水平奔上了小康，家里都有了自己的积蓄，人们有了闲余资金就会去投资，其中投资股票等证券是占投资比例的大多数，投资的目的是为了获得比在银行无风险投资状态下的更高的收益，我们都知道，投资的都是有风险的，在高收益的同时也伴随着高风险，如何降低投资的风险并提高我们的收益是每一位投资者都在追求的目标，在1952年，非常著名的美国经济学家马柯威茨首次提出了《投资组合选择》，第一次将在投资过程中的风险和收益这两项进行数学化，并用数量化表示和描述出来，也就是运用统计的方法和数学方法与金融经济相结合起来，《投资组合选择》的提出也象征着当今证券组合这种理论的开端。

不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型

2000年2月系统工程理论与实践第2期　不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型马永开1,唐小我2(11安徽财贸学院基础部,安徽蚌埠233041;21电子科技大学管理学院,四川成都610054)摘要:　利用套利定价理论(A PT)改进不允许卖空的M arkow itz的证券组合投资决策模型,导出了不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型,并研究了该模型的解及其性质Λ关键词:　证券组合;因素模型;套利定价理论;因素风险;非因素风险中图分类号:　F830.9 αM u lti2facto r M odel fo r Po rtfo li o Investm en t D ecisi on under the Conditi on of N o Sho rt SaleM A Yong2kai1,　TAN G X iao2w o2(1.A nhu i In stitu te of F inance and T rade,Bengbu,233041;2.U n iversity of E lectron ic Science and T ech2 no logy of Ch ina,Chengdu610054)Abstract:　In th is paper,w e si m p lify M arkow itz′s model fo r po rtfo li o investm en t un2der the conditi on of no sho rt sale w ith the help of arb itrage p ricing theo ry(A PT),p re2sen t a m u ltifacto r model fo r po rtfo li o investm en t decisi on under the conditi on of nosho rt sale,and study its so lu ti on and its characteristics.Keywords:　po rtfo li o;facto r model;A PT;facto r risk;non2facto r risk1　引言现代资产配置理论(modern po rtfo li o theo ry,简称M PT)所要解决的问题是建立这样一个法则(即证券组合投资决策方法),使得投资者可以依据这一法则将一定量的资本在各种可能的资产形式之间作一分配,建立这个法则应该遵循的原则是:尽可能降低资产组合的非系统风险Λ随着证券交易活动的规范化和证券交易制度的不断完善,现实的证券市场中卖空操作常常受到限制,所以,我们应该更多地研究不允许卖空条件下的证券组合投资决策问题Λ本文以套利定价理论(A PT)为基础,提出了不允许卖空的多因素资产配置模型,与经典的H arry M arkow itz的均值2方差模型相比,该模型具有更强的可控性和实用性Λ2　套利定价理论(APT)1964年威廉・夏普(W.Sharpe)在H arry M arkow itz的组合证券理论的基础上提出了著名的资本资产定价模型(CA P M),用资产的预期收益率与Β系数的关联描述收益—风险间的关系,从而大大简化了运算,为组合投资理论应用于实际提供了可行的途径,标志着组合投资理论的成熟Λ近年来,当代组合投资理论循着“资本资产定价模型”的轨迹向前发展,形成了由斯蒂芬・罗斯(Stephen A.Ro ss)首创的套利定价理论(A rb itrage P ricing T heo ry,简称A PT)Λ这个理论与CA P M所不同的一个显著的观点(也可以说是一个向前的发展)是,它认为证券的实际收益并不只是笼统地受对“市场组合(M arket Po rtfo li o)”变动的敏感性的影响,而是分别受对经济中许多因素变动的敏感性大小的影响,α收稿日期:1998207217资助项目:国家杰出青年科学基金(79725002)即它假定证券i 的收益率是由以下因素模型(facto r model )(1)生成的:r i =a i +Βi 1I 1+Βi 2I 2+…+ΒiS I S +Εi (1)式中,I j 是影响证券i 收益率的第j 个指数的值,j =1,2,…,S ;Βij 是证券i 的收益率对第j 个指数的敏感度(beta 值),j =1,2,…,S ;a i 是影响证券i 收益率的所有指数值都为0时证券i 的预期收益水平;Εi 是随机误差项,满足E (Εi )=0,V (Εi )=∆2ΕiΖ同时,公式(1)还满足以下两个条件:i )Cov (Εi ,Εj )=0,i ≠j (任意两种证券收益率的随机误差项是互不相关的)ii )Cov (Εi ,I j )=0,j =1,2,…,S (证券i 收益率的随机误差项和任一指数是互不相关的)根据A PT 的假定条件,两个风险相同的证券或证券组合不可能提供不同的预期收益Λ因为一旦出现与上述相反的情况,套利者就有机可乘,他可以卖空预期收益率低的证券同时买入预期收益率高的证券,从而不花一分钱,不承担任何风险而获取利润Λ而这种情况在均衡条件下是不可能的,所以,证券i 的均衡收益率为:E (r i )=r f +Βi 1[E (I 1)-r f ]+Βi 2[E (I 2)-r f ]+…+ΒiS [E (I S ]-r f ](2)式中:E (r i )是证券i 的预期收益率;r f 是无风险证券收益率;Βij 同公式(1);E (I j )-r f 是指数j 的风险代价Ζ公式(2)就是A PT 模型Ζ它用资产的预期收益率与经济中多个因素的Β系数的关联描述资产的收益—风险之间的关系,给出了均衡条件下资本市场上各种资产的价格风险关系Ζ目前普遍使用的影响证券收益率的五种指数是:利率、景气、通货膨胀、劳动生产率、投资者信心Ζ3　不允许卖空的多因素证券组合选择决策模型311　模型的提出设投资者选择了m 种证券作为投资对象,第i 种证券的因素模型为r i =a i +Βi 1I 1+Βi 2I 2+…+ΒiS I S +Εi ,投资者投向第i 种证券的投资比例系数为x i ,i =1,2,…,m ;这m 种证券构成的证券组合的因素模型为r p =a p +Βp 1I 1+Βp 2I 2+…+ΒpS I S +Εp (3)其中r p =∑m i =1xi r i ,a p =∑m i =1x i a i ,Βp j =∑m i =1x i Βij (j =1,2,…,S ),Εp =∑mi =1x i Εi .为了下文表达的需要,我们引入下面的记号:X =(x 1,x 2,…,x m )T 为投资比例向量;B =(Βij )m ×S ;r =(r 1,r 2,…,r m )T ,Λ=E (r ),V 为收益率向量r 的协方差阵;Ε=(Ε1,Ε2,…,Εm )T ,V Ε为随机向量Ε的协方差阵;e m 为元素全为1的m 维列向量;I =(I 1,I 2,…,I S )T 是影响证券收益率的指数向量Ζ我们采用证券收益率的均值(预期收益率)作为证券收益大小的度量指标,用证券收益率的方差(反映证券收益的稳定性)作为证券风险的度量指标Ζ由(2)式知证券组合的期望收益率为:E (r p )=r f +Βp 1[E (I 1)-r f ]+Βp 2[E (I 2)-r f ]+…+ΒpS [E (I S )-r f ](4)证券组合的风险可表示如下:Ρ2(r p )=E (r p -E (r p ))2将(3)式代入得:Ρ2(r p )=E [Βp 1(I 1-E (I 1))+Βp 2(I 2-E (I 2))+…+ΒpS (I S -E (I S ))+Εp ]2=E [Βp 1(I 1-E (I 1))+Βp 2(I 2-E (I 2))+…+ΒpS (I S -E (I S ))]2+E (Εp )2=B T p D S B p +E (Εp )2其中:B p =(Βp 1,Βp 2,…,ΒpS )T 是证券组合的beta 系数向量;D S =(d ij )S ×S 是影响证券收益率的指数向量I 的协方差矩阵,其中的d ij 满足下式:d ij =cov (I i ,I j ) (i ,j =1,2,…,S )由上式可看出,证券组合投资的风险由两个部分构成,一部分是由影响证券收益的指数向量I 的变化引起83系统工程理论与实践2000年2月的,我们把它称为因素风险(系统风险),记为F 因素;另一部分是由于证券组合投资收益率的随机扰动项引起的,我们把它称为非因素风险(非系统风险),记为F 非因素Ζ即有Ρ2(r p )=F 因素+F 非因素(5)式中:F 因素=B T p D s B p ,　F 非因素=E (Εp )2=X T V ΕX 由于影响证券收益率的指数向量I 的变化是不以投资者的意志转移的,所以从(4)、(5)两式可看出:投资者只能通过证券组合投资的beta 系数向量B p 来控制证券组合投资的期望收益和因素风险的大小;当投资对象确定后,投资者只能通过证券组合投资比例向量X 控制组合投资的非因素风险的大小Ζ所以,我们提出下面的证券组合投资比例向量选择模型Ζ 模型(A )m in F 非因素=E (Εp )2=X T V ΕX s .t .　e T m X =1B T X =B 0X Ε0其中,B T X 就是证券组合的beta 系数向量B p ,B 0是提供给投资决策者确定的风险选择向量Ζ模型(A )就是不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型,它的意义是:在给定证券组合投资的beta 系数向量B p 为B 0和不允许卖空的前提下,使证券组合投资的非因素风险最小Ζ使用模型(A )进行证券组合投资决策的前提是已知各单个证券的因素模型,由它确定的证券组合的价格风险关系也是通过和经济中多个因素的Β系数的关联描述的Ζ312　与M arkowitz 的均值-方差模型的比较不允许卖空条件下的M arkow itz 均值2方差模型如下:m in Ρ2(r p )=X T V Xs .t .X T e m =1X T Λ=m 0X Ε0(6)其中m 0是供投资决策者选择的证券组合预期收益率,它的意义是:在不允许卖空和给定证券组合投资预期收益率m 0的条件下,使证券组合投资的风险最小Ζ它的理论依据是:理性的投资行为是在尽量减少风险的条件下寻求最大的期望收益或在给定预期收益的条件下使风险最小Ζ均值2方差模型在理论上是严谨的Ζ由(1)式可知,V Ε是对角矩阵,模型(A )中需要确定的参数有m (S +1)个,而模型(6)中需要确定的参数有12(m +1)(m +2)个Ζ通常影响证券收益率的指数只选最有影响的几个,向量I 中的元素个数S 远小于参加组合的证券种数m ,所以模型(A )和M arkow itz 的均值2方差模型相比,模型中需要确定的参数个数要少得多Ζ模型(A )提供给投资决策者的风险选择参数是一个向量B 0=(Β01,Β02,…,Β0S )T ,其中Β0i 是由投资决策者确定的证券组合的收益率对第i 个指数I i 的敏感因子,它能够反映出投资环境的多变性;而M arkow itz 的均值2方差模型提供给投资者的风险选择参数只有证券组合投资预期收益率m 0一个,而且它的值一经确定就不能随投资环境的变化而变化Ζ所以,和M arkow itz 的均值2方差模型相比,模型(A )中设立的风险选择参数更具科学性Ζ同时,模型(A )将证券组合的投资效果与多个指数建立了联系,所以,模型(A )更具可控性Ζ313　B 0的设置投资者使用模型(A )进行证券组合投资决策时,首先应该对各个经济指数进行分析,确定证券组合和各个指数的关联度,即设置B 0Ζ由(3)式可看出,证券组合和各个指数的关联度(即Β系数)是由参加组合的各单个证券的Β系数向量以及投资比例向量决定的,所以B 0的选取必须满足证券组合的内部结构的要求,否则,投资者的愿望就不能实现Ζ因此,投资者必须将自己的意愿和证券组合的内部结构结合起来,才93第2期不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型能实现自己的目标Ζ由于模型(A )是二次规划问题,而且V Ε是正定矩阵,所以只要它的可行解集非空,一定有唯一最优解Ζ因此,投资者选择B 0时,只要使模型(A )的可行解集非空,就能实现自己的目标Ζ下面先研究B 0必须满足的条件Ζ结论1　模型(A )有解的必要条件是:1)　rank (A )=rank (A ϖ)Ζ其中A =e T mB T ,A ϖ=e T m 1B T B 0.2)　B m in ΦB 0ΦB m ax .其中B m ax =(m ax 1Φi Φm Βi 1,m ax 1Φi ΦmΒi 2,…,m ax 1Φi Φm ΒiS )T ,B m in =(m in 1Φi Φm Βi 1,m in 1Φi Φm Βi 2,…,m in 1Φi Φm ΒiS )T.证明　1)由线性代数理论可知,若rank (A )≠rank (A ϖ),方程组A X =(1,B T 0)T 无解,从而模型(A )的可行解集为空,则模型(A )无解Ζ2)设B 0=(Β01,Β02,…,Β0S )T ,模型(A )有最优解X A =(x A 1,x A 2,…,x A m )T Ζ则由模型(A )的约束条件知e T m X A =1 B T X A =B 0 X A Ε0而B 0=B T X =6m i =1x A i Βi 1,6m i =1x A i Βi 2,…,6m i =1x A i ΒiS T 由X A Ε0和X T A e m =1知 m in 1Φi Φm Βij Φ6m i =1x A i Βij Φm ax 1Φi ΦmΒij ,　j =1,2,…,S 即B m in ΦB 0ΦB m ax 证毕Ζ结论1仅给出了模型(A )有解的必要条件,即使投资者按结论1确定B 0,也不能保证模型(A )有解Ζ那么,投资者选定了B 0以后,怎样判断模型(A )是否有解呢?结论2　模型(A )有解的充分必要条件是下面的线性规划模型有解,而且最优值为零(即m in J =0)Ζ 模型(L P )m in J =z 1+z 2+…+z S +1s .t .A X +E S +1Z =(1,B T 0)T X Ε0Z =(z 1,z 2,…,z S +1)T Ε0其中E S +1是S +1阶单位矩阵Ζ结论2的证明比较简单,此不赘述Ζ根据结论1和结论2可得选取B 0的算法一如下:①首先对投资环境进行分析,为B 0确定一组备选值;②取B 0的一个备选值,验证结论1和结论2的条件是否能够满足,若结论1和结论2的条件都能满足,则B 0选取成功,否则转下一步;③取B 0的下一个备选值转②,直到备选值取完为止Ζ上述选取B 0的算法要求在为B 0确定一组备选值中,至少有一个值是可行的,否则,这个方法将失效Ζ为此,我们下面提出另外一种算法Ζ设投资者已将经济指数按重要性由高到低排列:I 1,I 2,…,I S ;投资者应该优先确定证券组合和他认为比较重要的指数的关联度,即他确定B 0各分量的次序为:Β01,Β02,…,Β0S Ζ根据这个思想和(3)式,可得选取B 0的算法二如下:第1步　求解下面的两个线性规划模型: 模型(L P1.1)　m in Β01=Β11x 1+Β21x 2+…+ΒS 1x Ss .t .x 1+x 2+…+x S =1x 1,x 2,…,x S Ε0 模型(L P1.2)　m ax Β01=Β11x 1+Β21x 2+…+ΒS 1x S s .t .x 1+x 2+…+x S =1x 1,x 2,…,x S Ε004系统工程理论与实践2000年2月设模型(L P111)的最优值为m11,模型(L P112)的最优值为m12;接下来,投资者在区间[m11,m12]上根据自己的意愿为Β01选取一个值Ζ ……第i步　求解下面的两个线性规划模型:模型(L P i.1)　m in　Β0i=Β1i x1+Β2i x2+…+ΒS i x Ss.t.x1+x2+…+x S=1Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01Β1(i-1)x1+Β2(i-1)x2+…+ΒS(i-1)x S=Β0(i-1) x1,x2,…,x SΕ0模型(L P i.2)　m ax　Β0i=Β1i x1+Β2i x2+…+ΒS i x Ss.t.x1+x2+…+x S=1Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01Β1(i-1)x1+Β2(i-1)x2+…+ΒS(i-1)x S=Β0(i-1) x1,x2,…,x SΕ0 设模型(L P i.1)的最优值为m i1,模型(L P i.2)的最优值为m i2;接下来,投资者在区间[m i1,m i2]上根据自己的意愿为Β0i选取一个值Ζ第i+1步　求解下面的两个线性规划模型:模型(L P(i+1).1)　m in　Β0(i+1)=Β1(i+1)x1+Β2(i+1)x2+…+ΒS(i+1)x Ss.t.x1+x2+…+x S=1Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01Β1(i-1)x1+Β2(i-1)x2+…+ΒS(i-1)x S=Β0(i-1)Β1i x1+Β2i x2+…+ΒS i x S=Β0ix1,x2,…,x SΕ0模型(L P(i+1).2)　m ax　Β0(i+1)=Β1(i+1)x1+Β2(i+1)x2+…+ΒS(i+1)x Ss.t.x1+x2+…+x S=1Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01Β1(i-1)x1+Β2(i-1)x2+…+ΒS(i-1)x S=Β0(i-1)Β1i x1+Β2i x2+…+ΒS i x S=Β0ix1,x2,…,x SΕ0 设模型(L P(i+1).1)的最优值为m(i+1)1,模型(L P(i+1).2)的最优值为m(i+1)2;接下来,投资者在区间[m(i+1)1,m(i+1)2]上根据自己的意愿为Β0(i+1)选取一个值Ζ……第S步　求解下面的两个线性规划模型:模型(L P S.1)　m in　Β0S=Β1S x1+Β2S x2+…+ΒS S x Ss.t.x1+x2+…+x S=1Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01Β1(S-1)x1+Β2(S-1)x2+…+ΒS(S-1)x S=Β0(S-1)x1,x2,…,x SΕ014第2期不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型模型(L P S.2)　m ax　Β0S=Β1S x1+Β2S x2+…+ΒS S x Ss.t.x1+x2+…+x S=1Β11x1+Β21x2+…+ΒS1x S=Β01Β1(S-1)x1+Β2(S-1)x2+…+ΒS(S-1)x S=Β0(S-1) x1,x2,…,x SΕ0设模型(L P S.1)的最优值为m S1,模型(L P S.2)的最优值为m S2;接下来,投资者在区间[m S1,m S2]上根据自己的意愿为Β0S选取一个值Ζ结论3　算法二一定能成功地选择B0Ζ证明　算法二的每一算法步骤能否实现,完全取决于其对应的两个线性规划模型是否有最优解,而算法二中的每个线性规划模型的可行解集都是有界凸集,所以,只要其可行解集非空它们就一定有最优解Ζ下面,我们用归纳法证明结论3Ζ1)模型(L P1.1)和模型(L P1.2)的可行解集由下面的约束条件确定x1+x2+…+x S=1x1,x2,…,x SΕ0显然,模型(L P1.1)和模型(L P112)的可行解集是非空的,从而它们一定有最优解Ζ所以,算法二中的第一步一定能够成功地确定Β01Ζ2)设算法二的第i步能成功地确定Β0iΖ此时,模型(L P i.1)和模型(L P i.2)一定有最优解,设模型(L P i.1)的最优解为X i1,最优值为m i1;设模型(L P i.2)的最优解为X i2,最优值为m i2.由于投资者是在区间[m i1,m i2]上选择Β0i的,所以,必存在k i1,k i2Ε0,使Β0i=k i1m i1+k i2m i2且k i1+k i2=1Ζ构造X i+1=k i1X i1+k i2 X i2,容易验证X i+1是模型(L P(i+1).1)和模型L P(i+1).2)的可行解,即模型(L P(i+1).1)和模型(L P(i+1).2)的可行解集非空,从而算法二的第i+1步也能成功地确定Β0(i+1)Ζ由数学归纳法原理可知,B0的每一分量都能成功地确定,即结论3成立Ζ在我们提出的设置B0的两种算法中,算法一先考虑投资者的意愿,然后才考虑证券组合结构,所以不能保证一定成功;算法二优先考虑证券组合结构,然后再考虑投资者的意愿,所以它能保证一定成功Ζ从算法二的算法过程来看,在B0的各分量中,排在前面的分量的选择自由度要比排在后面的分量大,这就是为什么优先设置证券组合和重要的指数的关联度的原因Ζ投资者使用模型(A)作为证券组合投资决策模型的目的是尽可能地降低证券组合的非因素风险,显然,模型(A)分散非因素风险的效果和B0的取值有关;那么,B0取何值时,模型A分散非因素风险的效果最佳?结论4　当B0=B T V-1Εe me T m V-1Εe m 时,模型(A)分散非因素风险的效果最佳Ζ证明　从模型(A)中去掉证券组合beta系数向量B p=B0的约束,可得下面的模型(A1): 模型(A1)m in　F非因素=E(Εp)2=X T VΕXs.t.e T m X=1 XΕ0 显然,模型(A1)分散非因素风险的效果最佳Ζ考虑下面的优化问题:m in F非因素=E(Εp)2=X T VΕXs.t.e T m X=1对它使用L agrange乘数法可得该优化问题的最优解为:X o=V -1Εe me T m V-1Εe m .由于VΕ是正定对角矩阵,所以X0Ε0,则X0也是模型(A1)的最优解Ζ即当证券组合投资比例向量为X0时,证券组合的非因素风险最小Ζ此时,证券组合的beta系数向量B p为:24系统工程理论与实践2000年2月B p =B T V -1Εe me T m V -1Εe m 故结论4成立Ζ314　模型(A )的求解投资者设置好B 0以后,接下来就要求解模型(A )Ζ由于模型(A )是二次规划问题,所以它可以化为线性规划问题求之;也可以使用计算机软件直接求解Ζ4　计算举例设某证券组合有五种证券组成,并且证券收益的因素模型由两种指数构成,每种证券的两个Beta 值及其收益率的随机误差项的方差如表1所示Ζ表1第1个指标的敏感系数Βi 1第2个指标的敏感系数Βi 2随机误差项的方差∆2Εi 证券10.31.30.216证券20.70.80.265证券30.90.50.176证券41.20.70.125证券50.51.00.146 使用模型(A )可得该证券组合的不允许卖空的投资决策模型如下:m in F 非因素=0.216x 21+0.265x 22+0.176x 23+0.125x 24+0.146x 25s .t .　x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=10.3x 1+0.7x 2+0.93+1.2x 4+0.5x 5=Β011.3x 1+0.8x 2+0.5x 3+0.7x 4+x 5=Β02x 1,x 2,x 3,x 4,x 5Ε0 使用算法二得到Β01的取值范围为[0.3,1.2],我们给Β01选取了几个值以及相应的Β02的取值范围如表2所示Ζ表2　Β01的取值0.40.60.81.0Β02的允许选择范围[1.15,1.21][0.87,1.03][0.625,0.86][0.5,0.678] 我们给B 0设置了几组值,则其相应的模型(A )的最优解和最优值如表3所示Ζ表3　B 0的设置值最优解最优值(0.4,1.2)T (0.73,0.00,0.00,0.07,0.20)T0.122(0.6,0.9)T (0.22,0.17,0.26,0.01,0.34)T0.047(0.8,0.7)T (0.01,0.18,0.46,0.11,0.24)T0.056(1.0,0.6)T(0.00,0.08,0.54,0.38,0.00)T 0.071 利用结论4可求得使模型(A )分散非系统风险的效果最佳的B 0值为(0.766,0.84)T ,其相应的模型(A )的最优解和最优值分别为:(0.16,0.13,0.20,0.28,0.23)T 和0.034Ζ参考文献:[1]　陈共1证券学1北京:中国人民大学出版社,19941[2]　贝多广1证券经济理论1上海:上海人民出版社,19951[3]　程希骏1现代投资理论分析1合肥:安徽教育出版社,1993134第2期不允许卖空的多因素证券组合投资决策模型。

金融工程讲稿(第三章CAPM模型)

第三章两基金分离定理与资本资产定价模型第二节资本资产定价模型（CAPM ）资本资产定价模型（CAPM ）是近代金融学的奠基石。

1952年，马柯维茨（Herry M. Markowitz ）在其博士论文《投资组合的选择》一文中首先提出建立现代资产组合管理的理论，12年后，威廉·夏普（William Sharpe ）、约翰·林特纳（John Lintner ）与简·莫辛（Jan Mossin ）将其发展成资本资产定价模型。

马科维茨投资组合理论的中心是“分散原理”，他应用数学上的二维规划建立起一整套理论模型，系统地阐述了如何通过有效的分散化来选择最优投资组合的理论与方法。

马科维茨的理论有一定的局限性：偏重于质的分析而缺乏量的分析，无从知道证券该分散到何种程度才能达到风险和收益的最佳组合。

夏普在此基础上对证券市场价格机制进行了积极深入的研究，于1964年建立了资本资产定价模型，较好地描述了证券市场上人们的行为准则，使证券均衡价格、证券收益——风险处于一种清晰的状态。

该模型的重要意义是将数学引入了理性投资分析，为金融市场的发展和规范提供了依据。

它所涉及到的数学理论并不是很复杂的，用一些积分和概率论的基础知识就可以解决，但它后来的发展远远超过了这些。

一、资本市场线若不考虑无风险证券，符合正确投资策略的优化组合在有效组合边界上。

加入无风险证券后，新的最优化组合的点一定落在连接f r 点和包含所有可能的有风险组合的双曲线所围区域及其边界的某一点的直线上。

如图1，效用值最大的半直线一定是和有效组合边界相切的那一条。

图11、资本市场线的定义与有效组合边界相切的那一条半直线构成了无风险证券和有风险资产组合的有效边界，这条半直线就被称为资本市场线（CAL —capital market line ）。

因为有系统风险存在，最小方差组合A 点不是无风险的，所以有结论：（1）有效组合边界和代表预期收益率大小的纵坐标轴不接触；（2）A 点的预期收益率高于无风险利率f r ，即A 点要高于代表无风险证券收益、落在纵轴上的坐标点E(r) rf r 。

VaR约束下不允许卖空且含无风险资产的M—V投资组合优化

其中（）标准正态分布函数，ｒ（）置信度为ｃ－是Ｃ ‘ｃ是三、ａＶＲ约束下不允许卖空且含无风险资产的的Ｍ— 假设无风险资产的借贷利率相等．且无风险资产的借入比例不超过总投资资金的ＪＪ），ｃｃ倍则有１ｅ＞一。（Ｏ－ｒｋｘ
投资组合期望收益率超过一ａ０概率不低于置信度ｃＶＲ的。
例为，１２，，，Ｘ（１ｘ，，无风险资产的投ｉ， … ／记＝Ｘ，２… ），＝＇／资比例为ｘ。肿。ｅ表示分量全为１的１维列向量。当投资组１＂合仅含有风险资产时，Ｉｘ＋．ｌ则有ｅ＝，资组合Ｘ＋２Ｉ＋・，ｒｌ投ｘ＿的收益率Ｒ＝Ｔ，均值为ｒＦ，差为Ｏ２ｘＧ。￣Ｒｘ其￣ｘ方＝－Ｔｘ当投资＿＝
组合含有无风险资产时，ｔｘ＋＋肿：，资组合的收ｘ２ …＋ｘｌｌ投＋
第三个约束条件表示无风险资产的借入比例不超过总投资资金的ｋｋ）。第四个约束条件表示第ｉ（Ｏ倍种资产的
投资比例是非负数，即投资组合不允许卖空。由此可见。模型（）２的经济含义即是指，在满足上述四个约束条件的前提下，资者应如何分配各种资产，投使投资组合的方差（风
国经济学家Ｈ．ｒｏｉＭａｋｗｔ出的均值一方差投资组合理的分位点值。ｚ提
些学者将ＶＲ（ａｕｔｉ）法引入到投资组合的研究Ｖ投资组合ａＶｌｅａｓ方Ｒｋ

对CAPM模型的详细总结

关于CAPM模型的总结资产定价理论是关于金融资产的价格决定理论，这些金融资产包括股票、债券、期货、期权等有价证券。

价格决定理论在金融理论中占有重要的地位，定价理论也比较多，以股票定价为例，主要有：1.内在价值决定理论。

这一理论认为，股票有其内在价值，也就是具有投资价值。

分析股票的内在价值，可以采用静态分析法，从某一时点上分析股票的内在价值。

一般可以用市盈率和净资产两个指标来衡量；也可以采取动态分析法。

常用的是贴现模型。

贴现模型认为股票的投资价值或者价格是股票在未来所产生的所有收益的现值的总和。

2.证券组合理论。

现代证券组合理论最先由美国经济学者Markowitz教授创立，他于1954年在美国的《金融》杂志上发表了一篇文章《投资组合选择》，提出了分散投资的思想，并用数学方法进行了论证，从而决定了现代投资理论的基础。

3.资本资产定价理论（Capital Assets Pricing Model，CAPM模型）。

证券组合理论虽然从理论上解决了如何构造投资组合的问题，但是这一过程相当繁杂，需要大量的计算，和一系列严格的假设条件。

这样就使得这一理论在实际操作上具有一定的困难。

投资者需要一种更为简单的方式来进行处理投资事宜。

于是资本资产定价模型就产生了。

1964年是由美国学者Sharpe提出的。

这个模型仍然以证券组合理论为基础，在分析风险和收益的关系时，提出资产定价的方法和理论。

目前已经为投资者广泛应用。

4.套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，APT）。

1976年由Ross 提出，与CAPM模型类似，APT也讨论了证券的期望收益与风险之间的关系，但所用的假设与方法与CAPM不同。

CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特例。

APT在形式上是把CAPM 的单因子模型变为一个多因子模型。

本文主要就CAPM理论进行一些探讨，从几个方面对这个重要的资产定价模型进行剖析。

一．CAPM模型介绍Sharpe在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以自变量为收益和风险的效用函数来决策，导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及资本资产定价模型（CAPM）。