高等数学多元函数极值问题

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多元函数取得极值的条件

序列可行方向的性质性质 1 处可微，设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有在处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空，法间 n − me −1 空，生 m 维间其空是为间在空中取组准交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考函方组法间任一标正基虑数程
∇f (x*) = 0
设元数 (x)存二连偏数 x*是小 n 函 f 在阶续导，极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )

多元函数的极值与最值的求法

2.4数形结合法………………………………………………………………20
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得，
在点（1，-1,6）有，且A<0，所以是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以是极小值。
综上所述,知由方程在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数，是极小值.

多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值一、引言在数学中，多元函数是指依赖于多个变量的函数。

研究多元函数的极值和条件极值是优化理论和实际问题求解的基础。

本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、求解方法以及应用案例。

二、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数取得的最大值和最小值。

对于二元函数f(x, y)，当f(x, y)在一定范围内取得最大值或最小值时，称之为极值。

同样地，对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，当f(x1, x2, ..., xn)在一定范围内取得最大值或最小值时，也称之为极值。

确定多元函数的极值有以下几种常用方法：1. 梯度法：通过计算函数的梯度向量，找到函数的驻点，再通过二阶导数的判别方法来确定驻点处的极值。

2. 拉格朗日乘子法：求解约束条件下的最优解，通过引入拉格朗日乘子，将多元函数的极值问题转化为无约束极值问题。

3. 二次型判别法：对于二元二次函数，可以使用二次型的正负来判定极值。

4. 图像法：对于二元函数，可以通过画出等高线图或三维曲面图来观察极值点的位置。

三、多元函数的条件极值条件极值是指在一定约束条件下，函数取得的最大值和最小值。

常见的条件极值问题可以表示为：在约束条件g(x, y) = 0的条件下，求多元函数f(x, y)的最大值和最小值。

求解条件极值的常用方法是拉格朗日乘子法。

假设函数f(x, y)和约束条件g(x, y)具有连续的一阶和二阶偏导数，而且约束条件g(x, y)在解集上的梯度不为零，那么存在实数λ，使得∇f(x, y) = λ∇g(x, y)。

通过求解λ和对应的x、y可以得到函数f(x, y)的条件极值点。

四、应用案例多元函数的极值和条件极值在实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个应用案例的简要介绍：1. 优化问题：如生产过程中的成本最小化、利润最大化等，可以通过求解函数的极值来得到最优解。

2. 建模问题：如平面上点到曲线的最短距离、材料的最优分配等问题，可以通过多元函数的条件极值来建立数学模型并求解。

高等数学中的多元函数极值

高等数学中的多元函数极值引言：在高等数学中，多元函数极值是一个重要的概念。

在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的最大值或最小值，以便优化问题的解或者找到问题的最优解。

本教案将介绍多元函数的极值问题，包括极值的定义、求解极值的方法以及一些实际问题的应用。

一、极值的定义多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

与一元函数的极值类似，多元函数的极值点也是函数的驻点，即导数为零的点或者导数不存在的点。

然而，多元函数的极值问题相对复杂，因为多元函数的自变量有多个，需要考虑各个自变量的变化对函数值的影响。

二、求解极值的方法1. 雅可比矩阵法雅可比矩阵法是求解多元函数极值的一种常用方法。

通过计算多元函数的雅可比矩阵，可以得到极值点的一些性质。

具体步骤包括计算雅可比矩阵、求解雅可比矩阵的特征值和特征向量，以及判断特征值的正负来确定极值点的性质。

2. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解多元函数在约束条件下的极值的一种方法。

通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为等式，然后利用极值点的一阶条件和约束条件求解未知数，最终得到极值点的坐标。

3. 边界条件法边界条件法是一种适用于有界区域的多元函数极值问题的求解方法。

通过将多元函数在边界上的取值与内部取值进行比较，可以确定函数的最大值或最小值。

这种方法在实际问题中应用广泛，特别是在优化领域。

三、实际问题的应用多元函数极值在实际问题中有广泛的应用。

例如，在经济学中，我们可以利用多元函数极值来求解最大化利润或最小化成本的问题；在物理学中，可以利用多元函数极值来求解最小作用量原理等问题；在工程学中，可以利用多元函数极值来优化设计参数等。

这些实际问题的求解都离不开多元函数极值的理论和方法。

结论：多元函数极值是高等数学中的重要概念，对于解决实际问题具有重要意义。

通过本教案的学习，我们了解了多元函数极值的定义、求解方法以及实际问题的应用。

希望同学们能够掌握多元函数极值的基本理论和方法，能够灵活运用于解决实际问题。

关于多元函数的极值和最值计算

关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。

在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。

首先，让我们来了解一下多元函数的概念。

在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。

多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。

因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。

下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。

首先是多元函数的极大值和极小值的求解。

要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。

第一步是计算多元函数的偏导数。

在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。

例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。

我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。

通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。

第三步是找到临界点。

临界点是指函数定义域的边界点。

我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。

为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。

通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。

接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。

要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。

首先，确定给定区域的边界条件。

给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。

第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。

这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。

拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。

多元函数的极值点与最值问题

多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。

通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。

本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。

二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。

具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。

2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。

对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。

（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。

这些零点就是函数可能的极值点。

3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。

三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。

具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。

高等数学§8.9多元函数的极值(2)

的四个一阶偏导数等于 0 ：
Fx fx x 0
FБайду номын сангаас f y y 0
Fz
fz
z
0
③
F (x, y, z) 0
函数 F ( x ,y ,z , ) f ( x ,y ,z ) ( x ,y ,z )
称为拉格朗日函数，数称为拉格朗日乘数。
对足够小的正数，有 f(，0)=2（2-1）<0, f(，-)=24>0
这说明在点〔0，0〕的任一邻域内，既有函数值大于f(0,0)的点，又有函数值小于f(0，0)的点，故 f(0，0)非极值.
例 2 求函数 z=f(x,y)=x2+4y2+9 在区域 D：x2+y2≤4 上的最大值 M 和最小值 m.
F x y 2 z (y z) 0 令 F F z y x x 2 2 y z ( (x x z y ) ) 0 0
F 2 x 2 y y 2 zx a z 2 0
(1) (2) (3) (4)
由（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）得 x y z ，将此代入（ 4 ）得
定义域 D { x , y ) 0 x 2 ( y 2 a 2 , x 0 , y 0 } ，
V8y a2x2y2 8x2y 0,
令 x Vy 8x
a2x2y2
a2x2y2 8xy2 0,
a2x2y2
8y
(a2 2x2 y2)0,
a2 x2 y2
8x (a2x22y2)0, a2 x2 y2
令 ( x , y , z , ) 8 ( 4 x 2 y 2 z 2 4 ) ， 3 xyz

高等数学《多元函数的极值》

1 4
0,
所以z f (1,1) 2为极小值；
z2 6,
当z2
6 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
0 0
,
求出实数解，得驻点.
第二步对于每一个驻点( x0 , y0 )，
6 x0 y0z0
a2
y02 b2
z02 c2
1下的最小值,
即求u
x0
y0
z0
在条件
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下的最大值,
令
G( x0 ,
y0 , z0 )
x0
y0 z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1)
Gx0 0,
由
x02 a2
讨论．
例4 求f (x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
[解] fx (x, y) 3x2 6x 9 0, 解得 x 1 或 x 3,
fy (x, y) 3 y2 6 y 0,
y0或 y2
得到驻点为 (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2).
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广：如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为

多元函数微分学求最值,直接建立拉格朗日乘数法

多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法【多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法】引言在高等数学中，多元函数微分学是一个重要的分支，它研究多元函数的极值与最值问题。

其中一种常见的求最值的方法是通过建立拉格朗日乘数法。

本文将从简单到复杂的角度，逐步探讨多元函数微分学求最值的方法，并结合拉格朗日乘数法来解决实际问题。

一、多元函数的极值1.1 极值概念在单变量函数中，我们通过求导数，令导数为零来判断函数的极值点。

而在多元函数中，我们需要通过求偏导数来判断函数的极值点。

对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，偏导数用$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示。

1.2 极值的判断条件多元函数的极值点与一元函数类似，也需要满足导数为零的条件。

对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，如果在某一点$(a_1,a_2,…,a_n)$处，满足以下条件：$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\……\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,a_2,…,a_n)=0$那么该点就是函数的极值点。

但这仅仅是极值的必要条件，并不一定是充分条件。

二、最值问题的解决方法2.1 直接法在一元函数中，我们通过求导数来解决最值问题，而在多元函数中，我们也可以直接计算偏导数，并令其为零来解决最值问题。

举例说明：设有一个二元函数$f(x,y)=2x^2+3y^2$，我们要求在$x^2+y^2=1$的条件下，函数$f(x,y)$的最小值。

解法：根据条件$x^2+y^2=1$，我们可以得到一个方程组：$2x-λ\cdot2x=0\\2y-λ\cdot2y=0\\x^2+y^2-1=0$其中，λ为拉格朗日乘子。

高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值

x2 2a3
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ，这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy

《高等数学》(北大第二版 )6-9极值问题

f y ( x0 , y0 ) 0.
令
根据代数知识， b 2 ac 时，二次三项式当
ax 2 2bxy cy 2
( x, y不全为零）
1 2 2 2 0, 当a 0时, [( ax by ) (ac b ) y ] a 0, 当a 0时。
证设( x, y)为( x , y )邻域内的任意一点， x x0 x, 令 0 0
b y ax o x x
y ( xi , yi ) yi
i
解问题转化为求二元函数 u (a, b)的最小值.
u (a, b) (axi b yi )
i 1
n
2
令
u b
u a
称为法方程组
xi b
即
i 1
n
xi a
i 1
n
解此线性方程组即得 a, b
用归纳法可证方程组的系数行列式
2 xi ,
i 1
n
于是得到最线性近似公式
补例某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,

多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值多元函数是指含有多个变量的函数。

在数学中，多元函数的极值和最值是研究函数在定义域内取得的最大值或最小值的问题。

本文将探讨多元函数的极小值与极大值，以及如何确定极值的方法。

1. 极值的定义和判断方法多元函数的极大值和极小值定义如下：对于函数f(x1, x2, ..., xn)，若存在一个点P(x1, x2, ..., xn)使得在点P的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≤ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点P取得极小值；若存在一个点Q(x1, x2, ..., xn)使得在点Q的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≥ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点Q取得极大值。

判断函数极值的方法常用的有以下几种：- 一阶导数法：求出函数的所有一阶偏导数，并解方程组求出所有临界点，再通过二阶偏导数或利用一阶导数的符号变化判断临界点的性质（极大值或极小值）。

- 二阶导数法：计算函数的所有二阶偏导数，并判断二阶导数的符号确定临界点的性质。

- 极值判别法：利用Hessian矩阵来判断函数的极值，若Hessian矩阵是正定的，则函数取得极小值；若Hessian矩阵是负定的，则函数取得极大值。

2. 寻找多元函数的最值寻找多元函数的最值的方法有以下几种：- 符号法：将函数在定义域边界上的取值代入函数，通过比较得到最大值和最小值。

- 拉格朗日乘数法：当函数的自变量受到一定的限制条件时，可以利用拉格朗日乘数法来求解函数的最值。

- 最优化算法：通过迭代计算的方式，利用数值优化算法来求解函数的最值，例如梯度下降法、牛顿法等。

高等数学中的多元函数极值问题研究

高等数学中的多元函数极值问题研究引言：在高等数学中，多元函数极值问题是一个重要的研究方向。

多元函数极值问题涉及到多元函数的最大值和最小值的求解，对于优化问题和实际应用具有重要意义。

本教案将围绕多元函数极值问题展开讨论，重点介绍多元函数的极值判定条件、极值存在性以及求解方法等内容。

一、多元函数的极值判定条件多元函数的极值判定条件是研究多元函数极值问题的基础。

我们首先回顾一元函数的极值判定条件，然后推广到多元函数的情况。

1. 一元函数的极值判定条件对于一元函数$f(x)$，其极值判定条件有以下几个要点：- 极大值点处的导数为零，即$f'(x_0)=0$；- 极小值点处的导数为零，即$f'(x_0)=0$；- 极值点处的导数不存在，即$f'(x_0)$不存在。

2. 多元函数的极值判定条件对于多元函数$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，其极值判定条件可以推广为以下几个要点：- 极大值点处的偏导数为零，即$\frac{\partial F}{\partialx_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$；- 极小值点处的偏导数为零，即$\frac{\partial F}{\partialx_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$；- 极值点处的偏导数不存在，即$\frac{\partial F}{\partialx_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$不存在。

二、多元函数极值存在性在研究多元函数极值问题时，我们需要关注极值的存在性。

对于一元函数，极值存在性可以通过导数的符号变化进行判断。

而对于多元函数，情况稍微复杂一些。

1. 多元函数的局部极值存在性对于多元函数$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，我们可以通过以下定理来判断其局部极值的存在性：- 若在点$(x_0,y_0)$处，函数的所有偏导数存在且为零，则该点可能是函数的极值点；- 若在点$(x_0,y_0)$处，函数的偏导数存在但不为零，则该点不是函数的极值点。

大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法

第三步：定出 AC − B 2 的符号，再判定是否是极值。
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点，是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
上页下页返回
y y y
结束
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )

12多元函数的极值与最值

A 1 (24 2x 2x cos 24 2x) x sin
2
24x sin 2x2 sin x2 cos sin ( D : 0 x 12, 0 π )
2
x x
24 2x
2019年12月22日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
拉格朗日乘数法推导（略）
2019年12月22日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
例9 将正数12分成三个正数 x, y, z 之和,使得 U=x3 y2 z 最大。
解: 令：F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12)
Fx 3 x2 y2z 0
解: 1. 利用隐方程组求偏导及必要条件zx=zy=0得驻点(1,-1)； 2. 带入原方程求得相应的z=-2, z=6；
3. 隐方程组再求偏导得A,B,C； 4. 判断并求出极值。
注：偏导数不存在的点，也是极值可疑点。如：z x2 y2 , (0,0)
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高等数学（下）主讲杨益民
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高等数学（下）主讲杨益民
例4 求函数
的极值。
解: 1. 求驻点(1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) ； 2. 求相应的A,B,C； 3. 判断并求出极值。
例5 求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 确定的函数z=f (x, y)的极值。
过 P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为：
x0 a2
(x

x0
)

y0 b2
(
y

y0

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。

介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。

函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。

有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。

举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。

还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。

一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。

多元函数极值例题及解析

多元函数极值例题及解析多元函数极值是高等数学中一个重要的概念，它在很多实际问题中都有重要的应用。

在本文中，我们将通过几个例题来介绍多元函数极值的概念和求解方法。

例题1：求函数$f(x, y) = x^2 + y^2$的极值。

解析：首先，根据极值的定义，我们知道极值点处的一阶偏导数必须为零。

所以，我们需要求解方程组$frac{partial f}{partial x} = 2x = 0$和$frac{partialf}{partial y} = 2y = 0$。

解这个方程组可以得到$x = 0$和$y = 0$。

然后，我们需要判断这些点是否是极值点。

可以通过求解二阶偏导数来判断。

计算$frac{partial^2 f}{partial x^2} = 2$和$frac{partial^2 f}{partial y^2} = 2$，可以看出它们是正数。

所以，我们可以得出结论，函数$f(x, y) = x^2 + y^2$的极小值点为$(0, 0)$。

例题2：求函数$f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$的极值。

解析：同样地，我们先求解一阶偏导数为零的方程组，即$frac{partial f}{partial x} = 2x - 2 = 0$和$frac{partial f}{partial y} = 2y - 4 = 0$。

解这个方程组可以得到$x = 1$和$y = 2$。

然后，我们计算二阶偏导数$frac{partial^2f}{partial x^2} = 2$、$frac{partial^2 f}{partial y^2} = 2$和$frac{partial^2 f}{partial x partial y} = 0$。

根据二阶偏导数的判定法则，我们可以得出结论，函数$f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$的极值点为$(1, 2)$，且为极小值点。

多元函数的极值

L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y),
(2) 解方程组
Lx ( x, y, ) Ly ( x, y, )
fx( x, y) x ( x, y) 0, f y( x, y) y ( x, y) 0,
L ( x, y, ) ( x, y) 0.
求 L( x, y, ) 的驻点坐标 ( x0 , y0 , z0 );
1 000xy 2 000x 3 000 y 1 000x2 500 y2 1 000 ( x 0, y 0)
解方程组
Lx 1 000 y 2 000 2 000x 0
Ly
1
000 x
3
000
1
000 y
0
求得唯一驻点(5, 8).
由于 A Lxx (5,8) 2000, B Lxy(5,8) 1000, C Lyy (5,8) 1 000, B2 AC 1 000 000 0, A 2000 0,
例4 求函数 f ( x, y) sin x sin y sin( x y) 在有界闭区域 D 上的最大值和最小值, 其中 D 是由直线 x y 2π, x 轴和 y 轴所围成的有界闭区域.
解先求 f ( x, y) 在 D 内部的极值.
解方程组
fx( x, y) cos x cos( x y) 0
一、多元函数的极值
定义7.7 设 f ( x, y) 在点 P0( x0 , y0 ) 的某一邻域 O (P0 ) 内有定义, 若 ( x, y) O (P0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ( f ( x, y) f ( x0 , y0 )), (7 20)
则称 f ( x0, y0 ) 是 f ( x, y) 的一个极小值( 极大值), 这时称 ( x0, y0 ) 是 f ( x, y) 的一个极小值点( 极大值点). 极小值和极大值统称为极值.

高等数学(微积分)课件-86多元函数极值与最值

极值的必要条件
必要条件一
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，则该点的导数$f'(x_0)$必定为零。
必要条件二
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值，则该点的二阶导数$f''(x_0)$必定存在且不为零。
极值的充分条件
第一充分条件
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的，则函数在点$x_0$处取得极小值。
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日乘数，将约束条件转化为无约束条件，再利用无约束条件的求解方法求得极值点。
惩罚函数法
通过构造一个惩罚函数，将约束条件转化为无约束条件，再利用无约束条件的求解方法求得极值点。
序列二次规划法
将原问题转化为一系列二次规划问题，利用二次规划的求解方法逐一求解，最终得到极值点。
数。
答案与解析
计算下列函数的极值点
$f(x,y) = x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 10$的极值点为 $(0,0)$和$(2,-2)$。
$g(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6$的极值点为$(1,2)$和$(1,2)$。
求函数$f(x,y) = x^2 + y^2$在点$(1,1)$ 处的梯度：$nabla f(1,1) = (2,2)$。
高等数学(微积分)课件-86多元函数极值与最值
目录
• 引言 • 多元函数极值的基本概念 • 多元函数的最值 • 多元函数的极值与最值的求解方法 • 习题与答案
01 引言
主题简介
01
多元函数极值与最值是高等数学中的一个重要主题，主要研究多元函数在某个区域内的最大值和最小值问题。