条件概率

PB
3 16
．
现在我们考虑在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，
我们记此概率为 PB A．
由于已知事件 A 已经发生，则该试验的所有可能结果为
2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 4，
第一章 第五节 条件概率
4
例 1（续）
这时，要求的是事件 B 是在事件 A 已经发生的条件下
的概率，从上面的分析中，此概率为
11
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例3
袋中有 4 只白球，5 只黑球，每次从中取出一球，不放 回地取两次．已知第一次取出的是白球，求第二次取出的
也是白球的概率．
解：
设 A 第一次取出白球 ， B 第二次取出白球 ．
则所求概率为 PB A．当已知第一次取出的是白球时，袋
中还有 8 只球，其中 3 只是白球，因此，
PB
A
3 8
第n一1章 第五节 条件概率
31
Bayes公式的证明
证明：
由条件概率的计算公式，得
PAi
B
P Ai B PB
．
对于上式中的分子与分母，分别应用概率的乘法公式和
全概率公式，得
PAi
B
P Ai B PB
PAi PB Ai
P
An
PB
An
．
n1
第一章 第五节 条件概率
32
Bayes公式的使用
如果我们把随机事件 B 看作是某一过程的结果， 而把
解：
设 B 取出的全是白球 ，
Ai 掷出 i 点， i 1, 2, , 6 所求概率为 PA3 B．由 Bayes 公式，得
第一章 第五节 条件概率
37
例11（续）
PA3 B
PA3PB A3
6
PAk PB Ak
k 1
1 6
C 53 C135
5 k 1
1 6
C5k C1k5
1 0 6
0.04835
1 3
1 6
7 12
3
第一章 第五节 条件概率
18
例6
袋中有 1 只白球与 1 只黑球，现每次从中取出一球， 若取出的是白球，则除了把白球放回外再加进一个白 球，直至取出黑球为止．求取了 n 次都未取到黑球的 概率．
解：
设 B 取了 n 次都未取到黑球 Ak 第 k 次取到白球 k 1, 2, , n
可以用全概率公式来计算结果（事件 B ）的概率．
第一章 第五节 条件概率
25
例7
某射击小组有 20 名射手，其中一、二、三、四级射手 分别为 3、6、9、2 名．现从中任意选出一名射手参加某 已比赛，已知若选出一、二、三、四级射手参加比赛，在 比赛中获奖的概率分别为 0.85、0.64、0.45、0.32，试求 该小组在比赛中获奖的概率．
PAB PA
8 7
6
7．
8
第一章 第五节 条件概率
10
说明
⑴ 在本题中，一些同学认为其样本空间为
“ 三个男孩”，“一男两女”，“一女两男”，“三个女孩”
这是不对的，因为其中的 4 个基本事件不是“等可能”的． ⑵ 一些比较简单的条件概率，可以直接计算出来，而不必
拘泥于条件概率的计算公式．
第一章 第五节 条件概率
我们称上面的公式为 n 个随机事件的乘法公式．
第一章 第五节 条件概率
17
例5
设随机事件 A 与 B 满足：
试求 PA B ．
P
A
PB
1 3
，
PB
A
1 6
，
解：
PA
B
PAB PB
PA B
PB
1 PA B 1 PB
1
PA PB 1 PB
PAB
1
PA
PB PAPB
1 PB
A
1
11 33
1 1
21
全概率公式
设随机事件 A1, A2, , An, 及随机事件 B 满足下 列条件：
⑴ B An ； n 1
⑵ A1, A2, , An, 两两互不相容；
⑶ PAn 0 ， n 1, 2, , n, ．
则 PB PAn PB An n1
第一章 第五节 条件概率
22
全概率公式的证明
A1, A2, , An ,
看作是该过程的若干个原因．若根据历史资料，每 一个原因发生的概率已知（即 PAn 已知），并且每一
个原因对结果的影响程度已知（即 PB An 已知）．如
果结果 B 已经发生，则我们可以用 Bayes 公式来计
算是由第 i 个原因引起的概率（即 PAi B）．
第一章 第五节 条件概率
A 用此方法判断被检查者 患有肝癌， D 被检查者确实患有肝癌 ．
已知， PAD 0.95， PA D 0.90 ．
而且已知 PD 0.0004 ．现有一人被检验患有肝癌，求
此人确实患有肝癌的概率． 解：
要求的概率为 PD A，由 Bayes 公式，得
第一章 第五节 条件概率
35
例 10（续）
二.概率的乘法公式
第一章 第五节 条件概率
15
两个事件的乘法公式
概率的乘法公式是计算两个事件交事件概率的公
式．
设 A 、B 是两个随机事件，且 PA 0 ，则由“在 A 事
件发生的条件下，B 事件发生的条件概率”的计算公式
PB
A
P AB PA
得
PAB PAPB A
我们称上面的公式为两个事件的乘法公式．
PB
A
1 4
．
注意：1．由此例可以看出，事件 B 在“事件 A 已经
发生”这个附加条件下的概率与没有附加这个条件的
概率是不同的．
2．由于两个概率不一样，我们有必要引入下面的概
念．
第一章 第五节 条件概率
5
条件概率的定义
设 A 、 B 是某一随机试验中的两个随机事件，且
PA 0 ，
则称事件 B 在“事件 A 已经发生”这一附加条件下的 概率为“在事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发生的 条件概率”，简称为事件 B 在事件 A 发生的条件下的条 件概率，记为
33
例9
在例 6 中，如果已知取出的一个产品为次品，求此
产品是由第一家工厂生产的概率．
解：
记号同例 6，要求的概率为 PA1 B，根据 Bayes 公
式，得
PA1
B
P A1 PB
PB
A1
0.40 0.03 0.03675
0.3265
．
第一章 第五节 条件概率
34
例 10
用某种方法普查肝癌，设
第一章 第五节 条件概率
38
30
Bayes公式
设随机事件 A1, A2, , An, 及随机事件 B 满足下 列条件：
⑴ B An ； n 1
⑵ A1, A2, , An, 两两互不相容；
⑶ PAn 0 ， n 1, 2, , n, ．
则当 PB 0 时，有
P Ai
B
PAi PB Ai
P
An
PB
An
Ak 任取一件产品为第 k 家工厂生产， k 1, 2, 3 ．
第一章 第五节 条件概率
28
例 8（续）
所求概率为 PB，由全概率公式，得
PB
3
P
Ak
P
B
Ak
，
k 1
0.400.03 0.350.045 0.250.036
0.03675
第一章 第五节 条件概率
29
四. Bayes公式
第一章 第五节 条件概率
PB A．
第一章 第五节 条件概率
6
条件概率计算公式
在例 1 中，我们已经求得
PB
3 16
，
PB
A
1 4
．
我们还可以求得
PA
4 16
，
PAB
1 16
．
显然，上述结果满足下面的公式：
PB
A
P AB PA ．
第一章 第五节 条件概率
7
条件概率计算公式
上面的公式具有一般性，我们有：
设 A 、 B 是某一随机试验中的两个随机事件，且
则 B A1A2 An ．
第一章 第五节 条件概率
19
例 6（续）
由概率的乘法公式，得
PB PA1A2 An
P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
1 2
23 34
n n 1
1 n 1．
第一章 第五节 条件概率
20
三.全概率公式
第一章 第五节 条件概率
解：
设 B 该小组在比赛中获奖 ，
Ak 选 k 级射手参加比赛 k 1, 2, 3, 4
所求概率为 PB．由全概率公式，得
第一章 第五节 条件概率
26
例 7（续）
4
PB PAk PB Ak
k 1
2 0.85 6 0.64 9 0.45 3 0.32
20
20
20
20
0.5275
A
．
简言之，条件概率是概率．
第一章 第五节 条件概率
9
例2
已知某家庭有 3 个小孩，而且至少有一个是女孩，求该家
庭至少有一个是男孩的概率．
解：
所求概率是 PB A．
设 A 3个小孩中至少有一个为 女孩，
B 3个小孩中至少有一个为 男孩．
则
PA
1
PA
1
1 8
7 8
，
PAB
6 8
，
6
所以，
PB
A
§1.5 条件概率
第一章 第五节 条件概率
1
一. 条件概率的概念与 计算
第一章 第五节 条件概率
2
例1
袋中有 4 个外形相同的球，编号分别为 1、2、3、4 号， 每次从袋中取出一个球，有放回地取两次．则该试验的样
本空间为：
1, 1 1, 2 1, 3 1, 4
2, 3,
1 1
2, 3,
2 2
2, 3,
由条件 B An ； n 1
得 B AnB n1
再由 A1, A2, , An, 两两互不相容，可知
A1B, A2B, , AnB,
也两两互不相容．因此由概率的可列可加性，得
PB
P
An
B
P
An
B
n1
n1
第一章 第五节 条件概率
23
全概率公式的证明（续）
再由条件
PAn 0 ， n 1, 2, , n,
由 PA D 0.90 ，得 PA D 1 PA D 0.10
PD
A
PDPA D PDPA D PD PA
D
0.0004
0.0004 0.95 0.95 0.9996
1
0.90
0.0038
第一章 第五节 条件概率
36
例 11
袋中有 10 个黑球，5 个白球．现掷一个均匀的骰子， 掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白 球，求掷出 3 点的概率．
第一章 第五节 条件概率
27
例8
一批产品分别由三家工厂生产，已知第一、二、三家 生产的产品各占产品总数的 40%、35%、25%，又假设 第一、二、三家生产的产品的次品率分别为 3%、4.5%、 3.6%，现从这批产品中任意取出一件产品，试求该产品 为次品的概率．
解：
设 B 任取一件产品为次品 ，
第一章 第五节 条件概率
16
多个事件的乘法公式
两个事件交事件的乘法公式可以推广到有限多个 随机事件交事件的概率上来．
设 A1, A2, , An 是 n 个随机事件，
且 PA1A2 An1 0 ，则
PA1A2 An PA1P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
PA 0 ，
则
PB
A
P AB PA
．
第一章 第五节 条件概率
8
条件概率的性质
条件概率具有如下性质：
⑴ 非负性：对任意的事件 B ，有 PB A 0 ； ⑵ 规范性： P A 1；
⑶ 可列可加性：如果随机事件
B1, B2, , Bn ,
两两互不相容，则
P Bn n1
A
n1
P
Bn
13
例 4（续）
n 个人排成一排，共有不同的排法 n! 种，这是样本点
总数． 由于事件 AB 表示“甲排在乙的前面，并且乙紧跟在
甲的后面”，所以事件 AB 中含有 n 1!个样本点．因此， PAB n 1! 1
n! n
所以，
PB
A
P AB PA
1 1
n 2
2 n
．
第一章 第五节 条件概率
14
．
第一章 第五节 条件概率
12
例4
n 个人排成一排，已知甲总排在乙的前面，求乙恰
好紧跟在甲的后面的概率．
解：
设 A 甲排在乙的前面 ， B 乙紧跟在甲的后面 ．
则所求概率为 PB A． n 个人排成一排，“甲排在乙的
前面”与“乙排在甲的前面”是“等可能”的，因此，
PA
1 2
．
第一章 第五节 条件概率
3 3
2, 3,
4 4
4, 1 4, 2 4, 3 4, 4
其中 i, j 表示第一次取出 i 号球，第二次取出 j 号球．
第一章 第五节 条件概率
3
例 1（续）
设 A 第一次取出的球的标号 为 2，
B 取出的两个球的标号之 和为 4，
则 B 1, 3, 2, 2, 3, 1
因此事件
B
的概率为，
利用概率的乘法公式，得
PB PAnB
n1
P
An
P
B
An
n1
第一章 第五节 条件概率
24
全概率公式的使用
如果我们把随机事件 B 看作是某一过程的结果，而 把
A1, A2, , An ,
看作是该过程的若干个原因．若根据历史资料，每一 个原因发生的概率已知（即 PAn 已知），并且每一个
原因对结果的影响程度已知（即 PB An 已知），则我们