九年级数学：利用二次函数解决距离问题

九年级数学：利用二次函数解决距离问题

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通过对抛物线形实际问题的探究分析,会用二次函数知识解决有关距离问

题．

目标会用二次函数知识解决有关距离问题

(1)喷水池中的数学问题

例1 如图5－5－4所示,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,点O恰在圆形水面中心,OA＝1.25米,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下．为使水流形状较为漂亮,负责人要求设计成水流在离OA水平距离为1米处达到距水面最大的高度2.25米．求水流落地点到柱子的距离．

图5－5－4

【归纳总结】 (1)在已知抛物线的顶点坐标时,一般设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；

(2)要根据实际问题构建适当的平面直角坐标系,便于求出函数表达式,使问题简单化．

(2)体育运动中的数学问题

例 2 教材补充例题在体育测试时,九年级的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图像的一部分(如图5－5－5),若这个男生的出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为B(6,5)．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)该男生把铅球推出去多远？(结果精确到0.01米)

图5－5－5

【归纳总结】由抛物线读出最远距离或最大高度的方法

(1)抛物线顶点的纵坐标是最大高度；

(2)抛物线与x轴交点的横坐标是最远距离．

知识点一二次函数在喷水中的应用

喷水是将水喷射向空中,水滴的运动轨迹呈抛物线状,水流也呈抛物线状．在指定的平面直角坐标系内研究平面内一条抛物线问题,用二次函数的知识确定函数表达式,根据函数表达式求解相关问题,如喷水高度、喷水落地的最大距离、确定水池的半径等,体会用数学知识解决生活中实际问题的思想．

知识点二二次函数在体育运动项目中的应用

在部分体育运动项目中,如跳远、跳高、跳水运动,人体重心运动的路径是抛物线；投抛项目中,铅球、铁饼、标枪等实物重心运动的路径也是抛物线,解决此类问题的方法是在指定的平面直角坐标系内确定抛物线相应的函数表达式,再由二次函数求解具有实际意义的量．

如图5－5－6,一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单

位：m)之间的表达式为y＝－

1

12

x2＋

2

3

x＋

5

3

.则他将铅球推出的距离是________m.

图5－5－6

某同学的解答如下：

当y＝0时,－

1

12

x2＋

2

3

x＋

5

3

＝0,

解得x1＝10,x2＝－2,

所以他将铅球推出的距离是12 m.

你认为他的解法正确吗？若不正确,请说明理由,并写出正确答案．

详解详析

【目标突破】

例1[解析] 这是一道运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题．首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中,我们可以求出抛物线对应的函数表达式,再利用二次函数的性质解决问题．

解：以点O为原点,OA所在的直线为纵轴,过原点的水平线为横轴,建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的顶点为B,与x轴的交点为C.

由题意,得A(0,1.25),B(1,2.25),

因此,设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x－1)2＋2.25.

将点A的坐标代入上式,

得1.25＝(0－1)2a＋2.25,解得a＝－1,

所以抛物线所对应的函数表达式为y＝－(x－1)2＋2.25.

当y＝0时,即－(x－1)2＋2.25＝0,

解得 x

1＝－0.5(不合题意,舍去),x

2

＝2.5.

所以水流落地点到柱子的距离为2.5米.

例2解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋h)2＋k. ∵二次函数图像的顶点坐标为(6,5),

∴y＝a(x－6)2＋5.

又∵点A(0,2)在二次函数图像上,

∴2＝62·a＋5,解得a＝－

1 1

2 ,

∴二次函数的表达式为y＝－

1

12

(x－6)2＋5,

整理,得y＝－

1

12

x2＋x＋2.

(2)当y＝0时,即－

1

12

x2＋x＋2＝0,

解得x

1＝6＋215,x

2

＝6－215(不合题意,舍去),

∴x＝6＋215≈13.75.

答：该男生把铅球推出去约13.75米．

[备选例题] 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练,出球口在桌面中线端点A处的正上方,假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变,且落在中线上．在乒乓球运行时,设乒乓球与端点A的水平距离为x(米),与桌面的高度为y(米),运行时间为t(秒),经多次测试后,得到如下部分数据：

(1)当t为何值时,乒乓球达到最大高度？

(2)乒乓球落在桌面上时,与端点A的水平距离是多少？

(3)乒乓球落在桌面上弹起后,y与x满足y＝a(x－3)2＋k.

①用含a的代数式表示k；

②球网高度为0.14米,球桌长(1.4×2)米．若球弹起后,恰好有唯一的击球点,可以将球沿直线扣杀到点A,求a的值．

[解析] (1)利用表格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；

(2)首先求出函数表达式,进而求出乒乓球落在桌面时,与端点A的水平距离；

(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时,得出对应点坐标,再利用待定系数法求出函数表达式即可；

②由题意可得,扣杀路线在直线y＝

1

10

x上,由①得,y＝a(x－3)2－

1

4

a,利用根