高中数学必修3讲义 专题3.2 古典概型

第三章概率

3.2古典概型

1．古典概型

（1）基本事件

在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件．

基本事件有如下特点：

①任何两个基本事件是___________的．

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成___________．

（2）古典概型

把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有___________个；②每个基本事件出现的可能性___________的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

2．古典概型的概率公式

如果一次试验中，可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概

率都是1

n

；如果事件A包含的基本事件有m个，那么事件A的概率为()

P A _______=_________．

3．(整数值)随机数的产生

（1）随机数与伪随机数

例如我们要产生1~25之间的随机整数，我们把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3， (24)

25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．

计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．

（2）随机数的产生方法

课本中给出了两种产生随机数的方法：①利用带有PRB功能的计算器产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比如用Excel软件产生随机数．

（3）用随机模拟方法估计概率

用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．

其基本步骤是：①建立概率模型；②进行模拟试验，可用计算器或计算机进行模拟试验；③统计试验的结果．

K知识参考答案：

1．（1）①互斥②基本事件的和（2）①有限②相等

2．m

n

A

事件包含的基本事件数

试验的基本事件总数

K—重点理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率

K—难点判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数

K—易错利用古典概型的概率公式求解时，要注意试验的每个基本事件是等可能发生的

1．古典概型的判定

并不是所有的试验都是古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型．两个条件中只要有一个不满足就不是古典概型．

【例1】（1）在数轴上0~3之间任取一点x，观察x是否小于1．此试验是否为古典概型？为什么？

（2）从1，2，3，4四个数中任意取出两个数，观察所取两数之一是否是5．此试验是古典概型吗？试说明理由．

（3）投掷一颗质地非均匀的骰子，观察掷出的点数．此试验是否为古典概型？为什么？

【解析】（1）在数轴上0~3之间任取一点，此点可以在0~3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．

（2）此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．

（3）投掷一颗质地非均匀的骰子，掷出的点数不是等可能出现的，质地较重的那一面朝下的可能性比较大，其对面的点数出现的可能性就比其他点数出现的可能性大，因此不属于古典概型． 2．古典概型的计算

求古典概型的概率的关键是正确列出基本事件，在写出基本事件后最好检验一下各基本事件发生的概率是否相同．求随机事件的概率的关键就是明晰它包含了几个基本事件．

要写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列举法、列表法、坐标系法、树形图法等．无论采用哪种方法，都要求按照一定的顺序进行，以做到不重不漏．

【例2】某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率．

【解析】（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151.453

P =

= （2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：

1112{,},{,},A B A B 13212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B 41424351{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B 5{,A 253},{,}B A B ，共15个．

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．

事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：1213{,},{,}A B A B ，共2个． 因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215

P =

． 【例3】某大学的教授从大二年级学生所选修的《消费者化学》的成绩中随机抽取40名学生的成绩，分成

六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中实数a的值；

（2）若该校大二年级共有640名学生，试估计该校大二年级所选修的《消费者化学》的成绩不低于60分的学生人数；

（3）若从样本中成绩在[40，50)与[90，100]内的所有学生中随机选取2名学生，求这2名学生的成绩之差的绝对值不大于10的概率．

（3）成绩在[40，50)内的学生人数为40×0.05=2，分别记为A，B；

成绩在[90，100]内的学生人数为40×0．1=4，分别记为C，D，E，F．

若从成绩在[40，50)与[90，100]内的所有学生中随机选取2名学生，

则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．

若这2名学生的成绩都在[40，50)内或都在[90，100]内，则这2名学生的成绩之差的绝对值一定不大于10；若1名学生的成绩在[40，50)内，另1名学生的成绩在[90，100]内，则这2名学生的成绩之差的绝对值一定大于10．

记“这2名学生的成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，