(完整版)高等代数多项式习题解答

第一章 多项式习题解答
1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r .
1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f
9731929269
791437134373
132131232223232
----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9
2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f
1
752
5
422225200222223232
342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .
2.q p m ,,适合什么条件时，有
1）q px x mx x ++-+32|1
m x m q x p m m
x m x m q
x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+)
()1()1(01
222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.
本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有
q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323.
因此有m q p m ==++,012.
2）q px x mx x ++++242|1
由带余除法可得
)1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即
⎩⎨⎧=--+=--0
10)2(22m p q m p m ，即⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有
)1)((2224++++=++mx x q ax x q px x
.)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++=
比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得
⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.
1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r .
1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f
解：运用综合除法可得
327
1093913623271170
83918605023---------
商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r
2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--=.
解:运用综合除法得:
i
i i
i i i i 8925218924210
11121+----+-------
商为)25(22i ix x +--,余式为i 89+-. 4.把)(x f 表成0x x -的方幂和，即表示成 +-+-+202010)()(x x c x x c c 的形式.
1）1,)(05==x x x f ；
2）;2,32)(024-=+-=x x x x f
3）.1,73)1(2)(0234-=++-+-+=x i x x i ix x x f
分析：假设)(x f 为n 次多项式，令
])()()[()()()()(10021000202010--++-+-+=-++-+-+=n n n
n x x c x x c c x x c x x c x x c x x c c x f
0c 即为0x x -除)(x f 所得的余式，
商为10021)()()(--++-+=n n x x c x x c c x q .类似可得1c 为0x x -除商)(x q 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.
解：1）解法一：应用综合除法得.
5
110
1
41110
4
163115
6
31432111
4
3211111111
11110
000011
5)(x x f =1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345+-+-+-+-+-=x x x x x .
解法二：把x 表示成1)1(+-x ，然后用二项式展开
1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(]1)1[(234555+-+-+-+-+-=+-=x x x x x x x
2）仿上可得
8
122
2
61224
12
21041211
20
82422128
4423
02012-----------------
432)2()2(8)2(22)2(2411)(+++-+++-=x x x x x f . 3）因为
i i
i
i i i i i i i i i i i
i i
i i i 21115
1
01571041
41173121-----------+-------+---- .
)()(2))(1()(5)57(73)1(2)(432234i x i x i i x i i x i i
x x i ix x x f +++-++-+-+=++-+-+=
5.求)(x f 与)(x g 的最大公因式
1）1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f
解法一：利用因式分解
),13)(1(143)(3234--+=---+=x x x x x x x x f
).1()1(1)(223-+=--+=x x x x x x g
因此最大公因式为1+x .
解法二：运用辗转相除法得
)(3438)(01122132)(1434
343)(41432112321212314121)(3122123423422223232x q x x q x x x x x x x x r x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=---------=--+---+--=------++--++-= 因此最大公因式为1+x .
2）13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f .
解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）
2564411627)(1256
27)(256
5391649216491633323)(10310031004911916)(920910310132310323110391031)(13221232323423422223232--=--=+-+-+-+--=-++-+-+-++-+++--=+--++--+++-+-=x x q x x r x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q .1))(),((=x g x f
3）.124624)(,110)(23424+++-=+-=x x x x x g x x x f
)()()22(24)()(123x r x f x x x x f x g +=---=，
),()22)((2
41)122()22)(22()(21223x r x x r x x x x x x x f ++-=---+--= ,)()122(22)(2
4122231x x r x x x x x x x r -=--=--=- 因此.122))(),((2--=x x x g x f
6.求)(),(x v x u 使:))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+
1）;22)(,242)(234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f
解：运用辗转相除法得：
)()
(10
22)(2
22422
)(222221)(3133123423422323242342x q x x q x x x
x x r x x x x x x x x x x r x
x x x x x x x x x x x x q ==--=---+---+-=--+----++= 因此2)())(),((22-==x x r x g x f .且有 )()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =
于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=
)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.
.2)()(1)(,1)()(212+=+=--=-=x x q x q x v x x q x u
2）;452)(,951624)(23234+--=++--=x x x x g x x x x x f
解：运用辗转相除法得：
)(96)(20
9
99966936)(810249516241)(32422324523131)(3122123423422223232x q x x q x x x x
x x x x r x
x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=+-+-+-+--=+--++--+-=+--+---++--+-= 因此1)())(),((2-=-=x x r x g x f .且有
)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =
于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=
)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.
.13
232)3131(21)()(1)(,3131)()(2212--=+---=--=+-==x x x x x q x q x v x x q x u 3）.1)(,144)(2234--=++--=x x x g x x x x x f
解：运用辗转相除法得：
)(32
)(3331431
441)(2
1
211)(121222342342222x q x x x r x x x x x x x x x x x x r x x x
x x x x x q =--=++-++---++--=-----+= 因此.1)())(),((2==x r x g x f 且有
)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =
于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=
)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.
.23)1)(3(1)()(1)(,1)()(232212--+=+-+=+=--=-=x x x x x x q x q x v x x q x u
7.设u tx x x g u x x t x x f ++=++++=323)(,22)1()(的最大公因式是一个二次多项式，求u t ,的值.
解：运用带余除法有
),()()2()1(1)(22)1()(12323x r x g u x t x t u tx x u x x t x x f +=+--++⋅++=++++= 由题意可得，)(1x r 即为)(),(x g x f 的最大公因式.因此有01≠+t .进一步
),(])
1(211)[()(221x r t t x t x r x g ++-++= ])
1(21[)1()2()1()1()(22222t t u x t t t u t t x r +--++-++-+=. 要使)(1x r 为)(),(x g x f 的最大公因式的充要条件是.0)(2=x r 即
⎩⎨⎧=--+=-++-+,
0)]2()1[(,0)2()1()1(222t t u t t u t t 解得
⎪⎩
⎪⎨⎧--=+-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧±==⎩⎨⎧-==.2111,117;2111,117;231,0;4,0i t i u i t i u i t u t u 8.证明：如果),(|)(),(|)(x g x d x f x d 且)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合，那么
)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.
证明：由)(|)(),(|)(x g x d x f x d 可知)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式.下证)(x f 与)(x g 的任意一个公因式是)(x d 的因式.
由)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合可知，存在多项式)(),(x v x u ，使得
)()()()()(x g x v x f x u x d +=.
设)(x ϕ是)(x f 与)(x g 的任意一个公因式，则)(|)(),(|)(x g x x f x ϕϕ.故
)()()()(|)(x g x v x f x u x +ϕ
即).(|)(x d x ϕ因此)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.
9.证明：)()(())(),(())()(),()((x h x h x g x f x h x g x h x f =的首项系数为1）. 证明：存在多项式)(),(x v x u ，使得
)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.
所以有)()()()()()()())(),((x h x g x v x h x f x u x h x g x f +=.即)())(),((x h x g x f 是 )()(x h x f 与)()(x h x g 的一个组合.显然有
)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f .
从而)()(|)())(),((),()(|)())(),((x h x g x h x g x f x h x f x h x g x f .由第8题结果)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个最大公因式.又)(x h 是首项系数为1的，因此).())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f =
10.如果)(x f ，)(x g 不全为零，证明1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即.0))(),((≠x g x f 又存在多项式)(),(x v x u ，使得
)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.
于是
))
(),(()()())(),(()()(1x g x f x g x v x g x f x f x u +=. 因此1))
(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 11.如果)(x f ，)(x g 不全为零，且
))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，
那么1))(),((=x v x u .
证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得.0))(),((≠x g x f 由
))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+
有
.1))
(),(()()())(),(()()(=+x g x f x g x v x g x f x f x u 于是1))(),((=x v x u .
12.证明：如果,1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 那么.1))()(),((=x h x g x f 证法一、由条件1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 可得存在多项式)(),(11x v x u ； )(),(22x v x u 使得
1)()()()(11=+x g x v x f x u ，1)()()()(22=+x h x v x f x u .
两式相乘得
1)()()()()()]()()()()()()()()([21211221=+++x h x g x v x v x f x h x v x u x g x v x u x f x u x u . 因此有.1))()(),((=x h x g x f
证法二、反证法证明.显然.0))()(),((≠x h x g x f 若,1))()(),((≠x h x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)(x f 与)()(x h x g 的公因式.因此有)(|)(x f x p 且)()(|)(x h x g x p .由)(x p 的不可约性有)(|)(x g x p 或)(|)(x h x p .若)(|)(x g x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.若)(|)(x h x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x h 的一个公因式，与1))(),((=x h x f 相矛盾.因此
1))()(),((≠x h x g x f 不成立，即有.1))()(),((=x h x g x f
13.设)(),(),(),(,),(),(2121x g x g x g x f x f x f n m 都是多项式，而且
).,,2,1;,,2,1(,1))(),((n j m i x g x f j i ===
求证：1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .
证明：由),,2,1(1))(),((1n j x g x f j ==，反复利用第12题结果可得
1))()()(),((211=x g x g x g x f n .
类似可得
.,,2,1))()()(),((21m i x g x g x g x f n i ==
再反复利用12题结果可得1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .
14.证明：如果,1))(),((=x g x f 那么.1))()(),()((=+x g x f x g x f 证明：方法一.由,1))(),((=x g x f 存在多项式)(),(x v x u 使得
1)()()()(=+x g x v x f x u .
从而有
,1)())()(())()()((,1))()()(()())()((111111=+-++=++-x g x v x u x g x f x u x g x f x v x f x v x u 因此有.1))()(),((,1))()(),((=+=+x g x f x g x g x f x f 由12题结果结论成立.
方法二：用反证法.若.1))()(),()((≠+x g x f x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)()(x g x f 与)()(x g x f +的公因式.即
)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.
由)(x p 的不可约性及)()(|)(x g x f x p ，有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .若)(|)(x f x p ，又)()(|)(x g x f x p +，因此有)]())()([(|)(x f x g x f x p -+，即)(|)(x g x p ，也即)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.类似可得当)(|)(x g x p 时也与已知1))(),((=x g x f 矛盾.所以.1))()(),()((=+x g x f x g x f
15.求下列多项式的公共根：
.12)(;122)(23423++++=+++=x x x x x g x x x x f
解法一：利用因式分解可得
);1)(1(122)(223+++=+++=x x x x x x x f ).1)(1(12)(22234+++=++++=x x x x x x x x g
因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2
3
21i ±- 解法二：运用辗转相除法求出)(x f 与)(x g 的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.
),1(2)1)(()(2++--=x x x x f x g ).1)(1()(2+++=x x x x f
因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2
3
21i ±- 16.判别下列多项式有无重因式： 1）;84275)(2345-+-+-=x x x x x x f 解：,4421205)('234+-+-=x x x x x f
运用辗转相除法可得.)2(44))('),((22-=+-=x x x x f x f 因此2-x 为)(x f 的三重因式.
解法二：试根可得2为)(x f 的根
)1()2()2()2()43)(2()(23232234++-=----=++--=x x x x x x x x x x x x f .
因此2-x 为)(x f 的三重因式. 2).344)(24--+=x x x x f
解：).12(4484)('33-+=-+=x x x x x f 1))('),((=x f x f .故)(x f 无重因式. 17.求t 值使13)(23-+-=tx x x x f 有重根.
解法一：要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f ..63)('2t x x x f +-=
),12(3
3
)(')3131(13)(23+-+
-=-+-=x t x f x tx x x x f .4
15
)41523)(12(63)('2++-+=+-=t x x t x x x f
当,03
3
=-t 即3=t 时
),(|)(',)1(3363)('22x f x f x x x x f -=+-=2)1())('),((-=x x f x f ，
因此1为)(x f 的三重根. 当0415=+
t ，即415-=t 时，2
1
))('),((+=x x f x f ，21-为)(x f 的二重根.
解法二：设b a x ab a x b a x b x a x x f 22232)2()2()()()(-+++-=--=. 因此有
⎪⎩
⎪⎨⎧==+=+.1,2,
3222
b a t ab a b a 由第一个方程有a b 26-=，代人第三个方程有,0132,1)23(232=+-=-a a a a 即
0)12()1(2=+-a a .因此有
⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,1t b a 或⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧-==-=.415,4,21t b a
即当3=t 时1为)(x f 的三重根；当415-=t 时，2
1
-为)(x f 的二重根.
18.求多项式q px x ++3有重根的条件.
解：令q px x x f ++=3)(.显然当0==q p 时，0为)(x f 的三重根.当0≠p 时， p x x f +=23)('，
q x p
x xf q px x x f ++=++=3
2)('31)(3，
)427()42729)(32()('2
2
2p q p p q x p q x p x f ++-+=. 要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f .即,04272
2=+p
q p 即.02742
3=+q p 显然 0==q p 也满足.027423=+q p 因此)(x f 有重根的条件是.027423=+q p
19.如果,1|)1(242++-Bx Ax x 求.,B A
解法一：利用整除判定方法，1|)1(242++-Bx Ax x 的充要条件是用2)1(-x 除
124++Bx Ax ，余式为零.
)31()42()32()1(12224B A x A B A B Ax Ax x Bx Ax --++++++-=++.
因此有0)31()42(=--++B A x A B ，即
⎩
⎨
⎧-==⎩⎨⎧=--=+.2,
1.031,042B A B A A B 解法二：要使1|)1(242++-Bx Ax x 成立，则1至少是124++Bx Ax 的二重根.因此1既是124++Bx Ax 的根，也是其导数的根.而Bx Ax Bx Ax 24)'1(324+=++.故有
⎩⎨
⎧-==⎩⎨⎧=+=++.
2,
1.024,01B A B A B A 解法三：利用待定系数法.令
D
x D C x D C A x A C Ax D Cx Ax x Bx Ax +-++-+-+=++-=++)2()2()2()()1(12342224因此有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==-=+-=-.1,02,2,02D D C B D C A A C 解得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧==-==.
1,2,2,1D C B A 20.证明：!
!212n x x x n
++++ 不能有重根.
证明：令,!
!21)(2n x x x x f n
++++= 则
,)!
1(!21)('12-++++=-n x x x x f n
因此有,!)(')(n x x f x f n +=从而有)!),('())('),((n x x f x f x f n =.!
n x n
因式只有)
0(≠c c 及)1,0(n k c cx k ≤≤≠.而)1,0(n k c cx k ≤≤≠显然不是)('x f 的因式.因此有
1)!
),('())('),((==n x x f x f x f n
.
所以)(x f 没有重根.
21.如果a 是)('''x f 的一个k 重根，证明a 是
)()()](')('[2
)(a f x f a f x f a
x x g +-+-=
的一个3+k 重根. 证明：
)],(')('[2
1
)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=
).('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f a
x x f x f a x x f x g -=--+=
显然有0)(")(')(===a g a g a g .由a 是)('''x f 的一个k 重根可得a 是)(''x g 的一个
1+k 重根，设a 是)(x g 的s 重根，则3,12+=+=-k s k s .
本题常见错误证法.错误证法一：由a 是)('''x f 的一个k 重根就得出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根，于是
)(2
)()()()](')('[2)(3
x h a x a f x f a f x f a x x g k +-=+-+-=
从而a 是)(x g 的3+k 重根.事实上，由a 是)('''x f 的一个k 重根推不出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根. 如3)()()()(23+-+-+-=+a x a x a x x f k ，则1)(2))(3()('2+-+-+=+a x a x k x f k ，
2))(2)(3()(''1+-++=+k a x k k x f .a 既不是)(x f 的根，也不是)('x f 与)(''x f 的根.
错误证法二：由
)],(')('[2
1
)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=
)('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f a
x x f x f a x x f x g -=--+=
得出a 是)(''x g 的1+k 重根，直接得出a 是)(x g 的3+k 重根，缺了a 是)(x g 与
)('x g 的根验证.
22.证明：0x 是)(x f 的k 重根的充分必要条件是
,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k
证明：必要性.设0x 是)(x f 的k 重根，从而0x x -是)(x f 的k 重因式，从而是
)('x f 的1-k 重因式，是)(''x f 的2-k 重因式，...，是)()1(x f k -的单因式，而不是)()(x f k 的因式.因此0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)
()(x f k 的根.故有,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k
充分性.由,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而0)(0)(≠x f k 可知0x 是)(x f ，)('x f ，
)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.因此0x 是)()1(x f k -的单根，是)()2(x f k -二重根，依此类推，是)(x f 的k 重根.
23.举例说明断语“如果α是)('x f 的m 重根，那么α是)(x f 的1+m 重根”是不对的.
解：例如2)()(1+-=+m x x f α，m x m x f ))(1()('α-+=.α是)('x f 的m 重根，但α不是)(x f 的根.
24.证明：如果),(|)1(n x f x -那么)(|)1(n n x f x -.
证明：由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 因此有
),()1()(x h x x f -=从而有).()1()(n n n x h x x f -=即)(|)1(n n x f x -.
证法二：要证)(|)1(n n x f x -，只要证1-n x 在复数域上的各个根都是)(n x f 的根.1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos
-=+=n k n
k i n k x k π
π由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 从而0)1()(==f x f n
k .即,2sin 2cos n
k i n k x k ππ+=
1,,2,1,0-=n k 都是)(n x f 的根.因此有)(|)1(n n x f x -.
25.证明：如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++，那么
).(|)1(),(|)1(21x f x x f x --
证明：要证)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --成立，只要证1是)(1x f 和)(2x f 的根.
12++x x 的两个根为2
31,23121i
i --=+-=
εε.由)()(|)1(32312x xf x f x x +++可得)()1()()(23231x g x x x xf x f ++=+.于是
,0)()1()()(,0)()1()()(222
3222321112312131121=++=+=++=+εεεεεεεεεεεεg f f g f f
即0)1(2
31)1(,0)1(231)1(2121=+-=--
f i
f f i f .故有.0)1()1(21==f f 所以 )(|)1(),(|)1(21x f x x f x --.
26.求多项式1-n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解. 解：1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos -=+=n k n
k i n k k π
πε故在复数范围内的分解式为
)())()(1(112-----=-n n x x x x x εεε .
在实数范围内，因k n k -=εε，)0(n k <<.
当n 为奇数时，1-n x 的根中一个为实根，其余为虚根，其分解式为
]1)([]1)(][1)()[1(12
12
1
2
2
221
2
++-++-++--=-+---x x x x x x x x n n n n n
ε
ε
ε
εε
ε .
当n 为偶数时，1-n x 的根中二个为实根，即,1±其余为虚根，其分解式为
].
1)([]1)(][1)()[1)(1(112
12
2
2
221
2
++-++-++-+-=-+---x x x x x x x x x n n n n n
ε
ε
ε
εε
ε
27.求下列多项式的有理根. 1);1415623-+-x x x
解：多项式可能的有理根为.14,7,2,1±±±±由系数取值可知，x 取负数时，多项式的值均为负的，故该多项式没有负根.检验得2为其根，进一步运用综合除法可得
07
4
114821415
612-----
即)74)(2(14156223+--=-+-x x x x x x ，显然742+-x x 没有有理根.因此
1415623-+-x x x 仅有一个有理根2，且为单根.
2);157424---x x x
解：多项式可能的有理根为.4
1
,21,1±±±
4442220
26242
11
312157042
1-------
-----
因此有
)1()12()444()21
(1574222224--+=--+=---x x x x x x x x x ，
显然12--x x 没有有理根.因此21
-为157424---x x x 的二重根.
3).3111462345----+x x x x x
解：多项式可能的有理根为.3,1±±检验得1-为其根，进一步运用综合除法可得
1
2
1
3630
351
1335110
38601
138601311146111--------------
故)3()1()12)(3()1(3111464222345-+=++-+=----+x x x x x x x x x x x .即1-为其四重跟，3为单根.
28.下列多项式在有理数域上是否可约？ 1);12+x
解：显然12+x 无有理根，又为二次的，故在有理数域上不可约. 2);2128234++-x x x
解：取素数2=p ，满足艾森斯坦判别法的条件，因此在有理数域上不可约. 3）;136++x x 解：令,1+=y x
).
(3918211561)1()1(1)(234563636y g y y y y y y y y x x x f =++++++=++++=++=
取素数,3=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而
)(x f 在有理数域上不可约.
4）p px x p ,1++为奇素数；
解：令1-=y x ，由p 为奇数可得
1)1()1(1)(+-+-=++=y p y px x x f p p
).()(1
222211y g p y p C y C y C y
C y p p p p p p p p p =-++--+-=---- 由组合数定义)11(-≤≤p k C k
p 均为整数，且1
2)1()
1()1(⋅-+--= k k k p p p C k p
，分子中有
因子p ，分母个各数均小于p ，又p 为素数，因此约分时p 不会被约去，因此有
k
p
C p |，取素数为p ，)(y g 满足艾森斯坦判别式条件，因此)(y g 在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约. 5）k kx x ,144++为整数. 解：令,1+=y x 则有
).(2)1(4641)1(4)1(1423444y g y k y y y y k y kx x =+++++=++++=++
取素数,2=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而
)(x f 在有理数域上不可约.。