高数——大一复习总结

高等数学（本科少学时类型）

第一章 函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

○邻域（去心邻域）（★） 第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞

=

【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >，

∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦

2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，

当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞

→lim

第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言 1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ

<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，

始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论

（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或

∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任

一去心邻域()δ,0x U ο

内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）

2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无

穷小；

（()0lim =∞

→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的

无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦

（()()lim 0x f x g x →∞

⋅=⎡⎤⎣⎦）

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n

n n m

m m b x b x b x q a x a x a x p 1

101

10 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0

lim 0

b a x q x p x m n m n m n >=<

（特别地，当()()00

lim 0

x x f x g x →=（不定型）

时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值233

lim

9

x x x →--

【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，

所

以原式

()()23

333311

lim

lim lim 93336

x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()2

3

9

x f x x -=

-的可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：()()00

2

33323311

lim lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'--===-'

- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限

求解）（★★）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，

()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦

【题型示例】求值：9

3

lim 23--→x x x

【

求解示例

】

3

6x →=== 第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim

0=→x

x

x

∵⎪

⎭

⎫ ⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴

1sin lim

0=→x

x

x

（特别地，000

sin()

lim

1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：e x x

x =⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+∞

→11lim

（一般地，()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

，

其中()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→⎪⎭

⎫

⎝⎛++x x x x

【求解示例】

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★） 1．

()

~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U

U U U U U U e +-

2．U U cos 1~2

12- （乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：()()x

x x x x x 31ln 1ln lim 20

++++→

【求解示例】

第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★） ○间断点的分类（P67）（★）

⎩⎨

⎧∞⋯

⋯⎩⎨

⎧）无穷间断点（极限为

第二类间断点可去间断点（相等）

跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去

相应公因式）

【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x

a e x f x 2 ，00

≥

该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的

连续函数？

【求解示例】

1．∵()()()2010000f e e e f a a f a -

-⋅++⎧===⎪

⎪=+=⎨⎪

=⎪⎩

2．由连续函

数定义

()()()e f x f x f x x ===+

-

→→0lim lim 00

∴e a =

第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）

【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】

1．（建立辅助函数）函数

()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；

2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少

有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区

间()b a ,内至少有一个根ξ