2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：5Word版含解析
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跟踪强化训练 (五)
1．[直接法 ](2017 济·南二模 )某班有 6 位学生与班主任老师毕业
前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种
数为 ( )
A ．96 B．432 C．480 D．528
[ 解析 ] 当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有 3×3×2 种排
法，共有 3×3×2×24 种排法；当甲乙在班主任同侧时，有 4×24 种
A ．π B．2π C．4π D ．5π
[ 解析 ] 依题意，△ ABC 的外心、重心、垂心均在边 BC 的垂直
平分线上， BC 的中点为 M(1,1)，直线 BC 的斜率为－ 1，因此△ ABC
的“欧拉线 ”方程是 y－1＝x－1，即 x－y＝0.圆心 (0,2)到直线 x－y
＝0 的距离 d＝r＝ 2 ＝ 2，则该圆的面积为 πr 2＝2π． 2
且减小得越来越慢，结合选项可知选 B.
[ 答案 ] B
10．[估算法 ]已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，
△ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC＝2，则此
棱锥的体积是 ( )
3
2
2
2
A. 6 B. 6 C. 3 D. 2
3 [ 解析 ] 容易得到△ ABC 的面积为 4 ，而三棱锥的高一定小于球
的直径 2，所以 V<13× 43×2＝ 63，立即排除 A、C、D，答案选 B.
[ 答案 ] B
11．[ 概念辨析法 ](2017 南·昌一模 )已知 α，β均为第一象限角， 那
么“ α>β”是“ sinα>sinβ”的 ( )
A ．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
0－1 1 [ 解析 ] 当 a＝0 时， P(1,1)，Q(3,0)，因为 kPQ＝3－1＝－ 2<0，
此时过点 P(1,1)，Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除 C，D；当 a＝
1 时， P(0,2)， Q(3,2)，因为 kPQ＝0，不符合题意，排除 B，选 A.
[ 答案 ] A 6．[排除法 ](2017 武·汉汉中二检 )函数 f(x)＝sin2x＋eln|x|图象的大
csoinsCB·A→B＋csoinsBC·A→C＝2m·A→O，则 m 的值为 (
)
3
1
A. 2 B. 2 C． 1 D.2
[ 解析 ] 如图，当△ ABC 为正三角形时， A＝B＝C＝60°，取 D
为 BC 的中点， A→O＝23A→D，则有
13A→B＋
13A→C＝
→ 2m·AO，
∴ 13(A→B＋A→C)＝2m×23A→D，
1 → 4→
3
∴ 3·2AD＝3mAD，∴ m＝ 2 .
故选 A.
[ 答案 ] A
5．[排除法 ](2017 重·庆一诊 )若过点 P(1－a,1＋a)和 Q(3,2a)的直
线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是 ( )
A ．(－2,1)
B．(－1,2)
C．(－∞， 0)
D．(－∞，－ 2)∪(1，＋∞ )
[ 答案 ] B
π
tan 4＋αcos2α
3．[特例法 ]计算
2cos2
π 4－ α
＝(
)
A ．－ 2 B．2 C．－ 1 D． 1
[ 解析 ]
取
ຫໍສະໝຸດ Baidu
α＝1π2，则原式＝
tan
π4＋1π2
π cos6
2cos2 π4－1π2
3
3× 2
＝
3 ＝1.故选 D.
2×4
[ 答案 ] D
4． [特例法 ]已知 O 是锐角△ ABC 的外接圆圆心，∠ A＝60°，
排法，因此共有排法 3×3×2×24＋4×24＝528(种)．
[ 答案 ] D
2．[直接法 ]( 原创题 )数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的
外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心
到垂心距离的一半． 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”． 在△
ABC 中， AB＝AC＝5，点 B(－1,3)，C(3，－ 1)，且其“欧拉线”与 圆 x2＋(y－2)2＝ r 2 相切，则该圆的面积为 ( )
[ 解析 ] 若 α＝2π＋π6，β＝π6，α>β，但 sinα＝sinβ，若 α＝π3，β
A ．60°
B．90°
C． 120°
D．150°
[ 解析 ] 如图，因为〈 a，b〉＝ 120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所
以在△ OBC 中， BC 与 CO 的夹角为 90°，即 a 与 c 的夹角为 90°.
[ 答案 ] B
8． [ 图解法 ](2017 东·北三校联考
) 函数
f( x) ＝
所以函数
g(x)＝
1 2
( |x－1| －2≤x≤ 4)和
h(x)＝－ 2cos πx(－2≤x≤4)
的交点也关于 x＝1 对称，且两函数共有 6 个交点，所以所有零点之
和为 6.
[ 答案 ] C
9．[估算法 ]图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数 (0≤h≤H)，则该
函数的大致图象是 ( )
[ 解析 ] 由题图知，随着 h 的增大，阴影部分的面积 S逐渐减小，
致形状是 ( )
[ 解析 ] 因为 f(x)＝sin2x＋ eln|x|，所以 f(－ x)＝－ sin2x＋eln|x|. 显然 f(－x)≠f(x)且 f(－x)≠－f(x)，所以函数 f(x)为非奇非偶函数， 可排除 A，C.由 f －π4 ＝－ 1＋π4<0，可排除 D.选 B. [ 答案 ] B 7．[图解法 ]已知非零向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，向量 a，b 的夹角为 120°，且 |b|＝2|a|，则向量 a 与 c 的夹角为 ( )
1 2
|x－ 1|＋ 2cosπx(－
2≤x≤4)的所有零点之和等于 ( )
A ．2 B．4 C．6 D．8
[ 解析 ]
由
f(x)＝
1 2
|x－1|＋ 2cosπx＝ 0，
得
1 2
|x－ 1|＝－ 2cosπx，
令
g(x)＝
1 2
|x－1|(－ 2≤x≤ 4)，
h(x)＝－ 2cos πx(－2≤x≤4)，
又因为
g(x)＝
1 2
＝ |x－ 1|
1 2
x－ 1，
1≤ x≤4，
2x－ 1，－ 2≤x<1.
在同一坐标系中分别作出函数
g(x)＝
1 2
|x－1|(－ 2≤ x≤4)和
h(x)＝
－2cosπx(－2≤x≤4)的图象 (如图 )，
由图象可知，
函数
g(x)＝
1 2
|x－1|关于
x＝1 对称，
又 x＝1 也是函数 h(x)＝－ 2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，
1．[直接法 ](2017 济·南二模 )某班有 6 位学生与班主任老师毕业
前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种
数为 ( )
A ．96 B．432 C．480 D．528
[ 解析 ] 当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有 3×3×2 种排
法，共有 3×3×2×24 种排法；当甲乙在班主任同侧时，有 4×24 种
A ．π B．2π C．4π D ．5π
[ 解析 ] 依题意，△ ABC 的外心、重心、垂心均在边 BC 的垂直
平分线上， BC 的中点为 M(1,1)，直线 BC 的斜率为－ 1，因此△ ABC
的“欧拉线 ”方程是 y－1＝x－1，即 x－y＝0.圆心 (0,2)到直线 x－y
＝0 的距离 d＝r＝ 2 ＝ 2，则该圆的面积为 πr 2＝2π． 2
且减小得越来越慢，结合选项可知选 B.
[ 答案 ] B
10．[估算法 ]已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，
△ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC＝2，则此
棱锥的体积是 ( )
3
2
2
2
A. 6 B. 6 C. 3 D. 2
3 [ 解析 ] 容易得到△ ABC 的面积为 4 ，而三棱锥的高一定小于球
的直径 2，所以 V<13× 43×2＝ 63，立即排除 A、C、D，答案选 B.
[ 答案 ] B
11．[ 概念辨析法 ](2017 南·昌一模 )已知 α，β均为第一象限角， 那
么“ α>β”是“ sinα>sinβ”的 ( )
A ．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
0－1 1 [ 解析 ] 当 a＝0 时， P(1,1)，Q(3,0)，因为 kPQ＝3－1＝－ 2<0，
此时过点 P(1,1)，Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除 C，D；当 a＝
1 时， P(0,2)， Q(3,2)，因为 kPQ＝0，不符合题意，排除 B，选 A.
[ 答案 ] A 6．[排除法 ](2017 武·汉汉中二检 )函数 f(x)＝sin2x＋eln|x|图象的大
csoinsCB·A→B＋csoinsBC·A→C＝2m·A→O，则 m 的值为 (
)
3
1
A. 2 B. 2 C． 1 D.2
[ 解析 ] 如图，当△ ABC 为正三角形时， A＝B＝C＝60°，取 D
为 BC 的中点， A→O＝23A→D，则有
13A→B＋
13A→C＝
→ 2m·AO，
∴ 13(A→B＋A→C)＝2m×23A→D，
1 → 4→
3
∴ 3·2AD＝3mAD，∴ m＝ 2 .
故选 A.
[ 答案 ] A
5．[排除法 ](2017 重·庆一诊 )若过点 P(1－a,1＋a)和 Q(3,2a)的直
线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是 ( )
A ．(－2,1)
B．(－1,2)
C．(－∞， 0)
D．(－∞，－ 2)∪(1，＋∞ )
[ 答案 ] B
π
tan 4＋αcos2α
3．[特例法 ]计算
2cos2
π 4－ α
＝(
)
A ．－ 2 B．2 C．－ 1 D． 1
[ 解析 ]
取
ຫໍສະໝຸດ Baidu
α＝1π2，则原式＝
tan
π4＋1π2
π cos6
2cos2 π4－1π2
3
3× 2
＝
3 ＝1.故选 D.
2×4
[ 答案 ] D
4． [特例法 ]已知 O 是锐角△ ABC 的外接圆圆心，∠ A＝60°，
排法，因此共有排法 3×3×2×24＋4×24＝528(种)．
[ 答案 ] D
2．[直接法 ]( 原创题 )数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的
外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心
到垂心距离的一半． 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”． 在△
ABC 中， AB＝AC＝5，点 B(－1,3)，C(3，－ 1)，且其“欧拉线”与 圆 x2＋(y－2)2＝ r 2 相切，则该圆的面积为 ( )
[ 解析 ] 若 α＝2π＋π6，β＝π6，α>β，但 sinα＝sinβ，若 α＝π3，β
A ．60°
B．90°
C． 120°
D．150°
[ 解析 ] 如图，因为〈 a，b〉＝ 120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所
以在△ OBC 中， BC 与 CO 的夹角为 90°，即 a 与 c 的夹角为 90°.
[ 答案 ] B
8． [ 图解法 ](2017 东·北三校联考
) 函数
f( x) ＝
所以函数
g(x)＝
1 2
( |x－1| －2≤x≤ 4)和
h(x)＝－ 2cos πx(－2≤x≤4)
的交点也关于 x＝1 对称，且两函数共有 6 个交点，所以所有零点之
和为 6.
[ 答案 ] C
9．[估算法 ]图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数 (0≤h≤H)，则该
函数的大致图象是 ( )
[ 解析 ] 由题图知，随着 h 的增大，阴影部分的面积 S逐渐减小，
致形状是 ( )
[ 解析 ] 因为 f(x)＝sin2x＋ eln|x|，所以 f(－ x)＝－ sin2x＋eln|x|. 显然 f(－x)≠f(x)且 f(－x)≠－f(x)，所以函数 f(x)为非奇非偶函数， 可排除 A，C.由 f －π4 ＝－ 1＋π4<0，可排除 D.选 B. [ 答案 ] B 7．[图解法 ]已知非零向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，向量 a，b 的夹角为 120°，且 |b|＝2|a|，则向量 a 与 c 的夹角为 ( )
1 2
|x－ 1|＋ 2cosπx(－
2≤x≤4)的所有零点之和等于 ( )
A ．2 B．4 C．6 D．8
[ 解析 ]
由
f(x)＝
1 2
|x－1|＋ 2cosπx＝ 0，
得
1 2
|x－ 1|＝－ 2cosπx，
令
g(x)＝
1 2
|x－1|(－ 2≤x≤ 4)，
h(x)＝－ 2cos πx(－2≤x≤4)，
又因为
g(x)＝
1 2
＝ |x－ 1|
1 2
x－ 1，
1≤ x≤4，
2x－ 1，－ 2≤x<1.
在同一坐标系中分别作出函数
g(x)＝
1 2
|x－1|(－ 2≤ x≤4)和
h(x)＝
－2cosπx(－2≤x≤4)的图象 (如图 )，
由图象可知，
函数
g(x)＝
1 2
|x－1|关于
x＝1 对称，
又 x＝1 也是函数 h(x)＝－ 2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，