第4.4节(凸轮机构基本尺寸的设计)

第四节 凸轮机构基本尺寸设计
无论是作图法还是解析法，在设计凸轮廓线前，除了需要根据工作要求选定从动件的运动规律外，还需要确定凸轮机构的一些基本参数，如基圆半径b r 、偏距e 、滚子半径r r 等。

一般来讲，这些参数的选择除了应保证从动件能够准确地实现预期的运动规律外，还应当使机构具有良好的受力状况和紧凑的结构。

本节讨论凸轮机构基本尺寸设计的原则和方法。

一、移动滚子从动件盘形凸轮机构
1. 压力角
同连杆机构一样，压力角也是衡量凸轮机构传力特性好坏的一个重要参数。

所谓凸轮机构的压力角，是指在不计摩擦的情况下，凸轮对从动件作用力的方向线与从动件上力作用点的速度方向之间所夹的锐角。

对于图4-22所示的移动滚子从动件盘形凸轮机构来说，过滚子中心所作理论廓线的法线nn 与从动件运动方向之间的夹角α就是压力角。

（1）压力角与作用力的关系 由图4-22可以看出，凸轮对从动件的作用力F 可以分解成两个分力，即沿着从动件运动方向的分力F '和垂直于运动方向的分力F ''。

只有前者是推动从动件克服载荷的有效分力，而后者将增大从动件与导路间的摩擦，它是一种有害分力。

压力角α越大，有害分力越大。

当压力角α增大到某一数值时，有害分力所引起的摩擦阻力将大于有效分力F '，这时无论凸轮给从动件的作用力有多大，都不能推动从动件运动，即机构将发生自锁。

因此为减小侧向推力，避免自锁，压力角α应越小越好。

图4-22 凸轮机构的压力角
（2）压力角与机构尺寸的关系 设计凸轮时，除了应使机构具有良好的受力状况外，还希望机构结构紧凑。

而凸轮尺寸的大小取决于凸轮基圆半径的大小。

在实现相同运动规律的情况下，基圆半径越大，凸轮的尺寸也越大。

因此，要获得轻便紧凑的凸轮机构，就应当使基圆半径尽可能地小。

但是基圆半径的大小又和凸轮机构的压力角有直接的关系。

下面以图4-22为例来说明这种关系。

图中，过滚子中心B 所作理论廓线的法线nn 与过凸轮轴心0A 所作从动件导路的垂线交于P 点，由瞬心定义可知，该点即为凸轮与从动件在此位置时的瞬心，且ϕ
ωd ds v P A ==
0。

于是，由图中BDP ∆可得
22
0tan e r s e d ds s s e d ds
b -+-=+-=ϕϕ
α （4-25） 式中，ϕd ds 为位移曲线的斜率，推程时为正，回程时为负。

式（4-25）是在凸轮逆时针方向转动、从动件偏于凸轮轴心右侧的情况下移动滚子从动件盘形凸轮机构压力角的计算公式。

当凸轮顺时针方向转动、从动件偏于凸轮轴心左侧或凸轮顺时针方向转动，从动件偏于凸轮轴心右侧时，仿照上述推导过程，可得压力角的计算公式为
22tan e r s e d ds b -++=
ϕα （4-26）
综合以上两式，可以得出 22e s tg e d ds r b +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=αϕ （4-27） 由式（4-27）可以看出，在其它条件不变的情况下，压力角α越大，基圆半径越小，亦即凸轮的尺寸越小。

因此，从使机构结构紧凑的观点来看，压力角α应越大越好。

（3）许用压力角 在一般情况下，总希望所设计的凸轮机构既有较好的传力特性，又具有较紧凑的结构。

但由以上分析可知，这两者是互相制约的，因此，在设计凸轮机构时，应兼顾两者统筹考虑。

为了使机构能顺利工作，规定了压力角的许用值[α]，在使α≤[α]的前提下，选取尽可能小的基圆半径。

根据工程实践的经验，推荐推程时许用压力角取以下数值：移动从动件，[α]=300~380，当要求凸轮尺寸尽可能小时，可取[α]=450；摆动从动件，
[α]=450。

回程时，由于通常受力较小且一般无自锁问题，故许用压力角可取得大些，通常取[α]=700~800。

2. 凸轮基圆半径和偏距的确定
如前所述，凸轮的基圆半径应在α≤[α]的前提下选择。

由于在机构的运转过程中，压力角的值是随凸轮与从动件的接触点的不同而变化的，即压力角是机构位置的函数。

只要使max α=[α]，代入式（4-27）就可以确定出凸轮的最小基圆半径和相应的偏距，即min b r 和e 之间满足
22m in ][e s tg e d ds r b +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=αϕ （4-28） 对式（4-28）可以用图解法或解析法求得min b r 和相应的e 值。

当取偏距0=e 时，对几种常用的从动件运动规律还可以制成min b r 的线图，也称诺模图，使用时可直接查找出相应的min b r 值。

下面介绍用图解法求解min b r 和e 值。

图4-23 图解法确定移动从动件盘形凸轮机构的基本尺寸
图4-23a 所示为一偏置尖端移动从动件盘形凸轮机构在推程中的一个位置。

当凸轮逆时针回转与从动件在A 点接触时，从动件与凸轮之间的相对速度瞬心P 与凸轮轴心0A 的连线P A 0即代表该位置的ωv 值。

若已知此时的ωv 值，也可如图求出该凸轮机构在该位置的
压力角A α。

为此，过接触点A ，在推杆的左边作出与其垂直的线段ωv
AB =，再把所得的B 点与凸轮的轴心0A 相连接，则可得A ABA α-=∠
900。

凸轮与从动件在不同接触点接触时有不同的压力角，如果使其最大压力角max α等于许用压力角][α，则可得到最小基圆半径和相应的偏距。

为此，可根据从动件的运动规律，求出推程中各位置的ωv 值，并画在相应的位移点上，如图4-23b 所示，可得到相应的线段22B A 、33B A 、44B A 、...。

过2B 、3B 、4B 、...点作角度][90αθ-= ，][α为推程许用压力角，可得一系列平行的直线，显然，凸轮的回转轴心0A 点的位置应选在此一系列直线中的最左边一条直线mm 上或它的左边。

同理，对回程同样作图，可得直线'22B A 、'33B A 、'44B A 、...。

过'2B 、'3B 、'
4B 、...点作角度''][90αθ-= ，'][α为回程许用压力角，也可得一系列的平行直线，显然，凸轮的回转轴心0A 点的位置又应在此一系列直线中的最右边的一条直线''m m 上或它的右边。

综合推程和回程，0A 点应选在图示的阴影区域内。

若取直线mm 与''m m 的交点为0A 点，则10min A A r b =，0A 点至从动件移动方向的距离为偏距e 。

上述根据许用压力角确定的基圆半径是为了保证机构能顺利工作的凸轮最小基圆半径。

在实际设计工作中，凸轮基圆半径的最后确定，还需要考虑机构的具体结构条件。

例如，当凸轮与凸轮轴成一体时，凸轮的基圆半径必须大于凸轮轴的半径；当凸轮是单独加工、然后装在凸轮轴上时，凸轮上要作出轴毂，凸轮的基圆直径应大于轴毂的外径。

通常可取凸轮的基圆直径大于或等于轴径的（1.6~2）倍。

若上述根据许用压力角所确定的基圆半径不满足该条件，则应加大基圆半径。

在用计算机对凸轮廓线进行辅助设计时，通常是先根据结构条件初选基圆半径b r ，然后
用式（4-25）或（4-26）校核压力角，若max α＞[α]，则增大基圆半径重新设计。

3. 从动件偏置方向的选择
由式（4-25）和式（4-26）可以看出，增大偏距e 既可使压力角的值减小也可使压力角的值增大，究竟是减小还是增大，取决于凸轮的转动方向和从动件的偏置方向。

需要指出的是，若推程压力角减小，则回程压力角将增大，即通过增加偏距e 来减小推程压力角，是以增大回程 压力角为代价的。

但是由于规定推程的许用压力角较小而回程的许用压力角较大，所以在设计凸轮机构时，如果压力角超过了许用值、而结构空间又不允许增大基圆半径，则可通过选取从动件适当的偏置方向来获得较小的推程压力角。

即若凸轮逆时针回转，使从动件轴线偏于凸轮轴心的右侧；若凸轮顺时针回转，使从动件轴线偏于凸轮轴心的左侧。

在这两种情况下，凸轮机构压力角的表达式均为式（4-25）。

4. 滚子半径的选择
滚子从动件盘形凸轮的实际廓线，是以理论廓线上各点为圆心作一系列滚子圆，然后作该圆族的包络线得到的。

因此凸轮实际廓线的形状将受滚子半径大小的影响。

若滚子半径选择不当，有时可能使从动件不能准确地实现预期的运动规律。

下面以图4-24为例来分析凸轮实际廓线形状与滚子半径的关系。

图4-24滚子半径的确定
图4-24a 所示为内凹的凸轮廓线，a 为实际廓线，b 为理论廓线。

实际廓线的曲率半径a ρ等于理论廓线的曲率半径ρ与滚子半径r r 之和，即r a r +=ρρ。

因此，无论滚子半径大小如何，实际廓线总可以根据理论廓线作出。

但是，对于图4-24b 所示的外凸的凸轮廓线，由于r a r -=ρρ，所以当ρ＞r r 时，a ρ＞0，实际廓线总可以作出；若ρ=r r 则a ρ=0，即实际廓线将出现尖点，如图4-24c 所示，由于尖点处极易磨损，故不能实用；若ρ＜r r ，则a ρ＜0，这时实际廓线将出现交叉，如图4-24d 所示，当进行加工时，交点以外的部分将被刀具切去，使凸轮廓线产生过度切削，致使从动件不能准确地实现预期的运动规律，这种现象称为运动失真。

图4-25 不同滚子半径对凸轮实际廓线的影响
图4-25所示为同一理论廓线选用大小不同的两种滚子所形成的两种实际廓线。

由图中可以看出，由大的滚子所形成的实际廓线本身出现交叉，当加工制造凸轮时，交点以上的部分将被切去。

当使用这样的凸轮推动从动件工作时，滚子中心的轨迹将如图中的细实线所示，从而导致从动件不能准确地实现预期的运动规律。

而采用小的滚子所形成的实际廓线如图中虚线所示。

如果把凸轮的基圆半径加大，则凸轮理论廓线上各点的曲率半径将随之变大，当基圆半径增大到一定值时，用大的滚子也能得到不产生过度切割的实际廓线。

综上所述，凸轮实际廓线产生过度切削的原因在于其理论廓线的最小曲率半径min ρ小于滚子半径r r ，即min ρ-r r ＜0。

因此，为了避免凸轮实际廓线产生过度切割，可有两种方法。

一是减小滚子半径r r ，二是通过增大基圆半径来加大理论廓线的最小曲率半径min ρ。

为了防止凸轮实际廓线产生过度切削并减小应力集中和磨损，设计时一般应保证凸轮实际廓线的最小曲率半径不小于某一许用值[a ρ ]。

即
][m in m in a r a r ρρρ≥-= （4-29） 一般取[a ρ]=3~5mm 。

由上式可以看出，一旦给定了工作许用的实际廓线曲率半径的最小值[a ρ]，只要求出理论廓线的最小曲率半径min ρ，就可以确定出滚子半径可取的最大值，即][m in a r r ρρ-≤。

由高等数学可知，由参数方程表示的曲线上任一点的曲率半径的计算公式为
y
x y x y x -+=2322)(ρ （4-30） 式中ϕd dx x
= ，22ϕd x d x = ，ϕd dy y = ，22ϕd y d y = 。

用计算机对凸轮理论廓线逐点计算，即可得到min ρ。

需要指出的是，上述确定的滚子半径r r 的值，是保证凸轮实际廓线的最小曲率半径min a ρ不小于某一规定值[a ρ]时滚子半径所允许取的最大值。

在设计凸轮机构时，只要实际选用的滚子半径不超过该值，凸轮实际廓线的最小曲率半径均能满足设计要求。

但是，由于滚子的半径还受到其结构和强度方面的限制，因此滚子半径也不宜取得太小。

若上述确定的滚子半径的最大值仍不能满足其结构和强度方面的要求，则应增大滚子半径。

此时，为了保
证凸轮实际廓线的最小曲率半径min a ρ仍能满足设计要求，则需相应增大基圆半径。

在用计算机对凸轮机构进行辅助设计时，通常是先根据结构和强度条件选择滚子半径r r ，然后校核min a ρ，若不满足][m in m in a r a r ρρρ≥-=，则增大基圆半径重新设计。

二、摆动从动件盘形凸轮机构
1．压力角与机构尺寸的关系
图4-26 摆动从动件盘形凸轮机构压力角与机构尺寸关系
图4-26所示摆动从动件盘形凸轮机构，从动件与凸轮在任一接触位置点A ，过A 点作凸轮法线n n -，交00B A 于P 点为凸轮相对从动件的瞬心。

设凸轮转角为ϕ，转动角速度1ω，从动件摆角为ψ，摆动角速度为2ω，a B A =00，摆杆线性长度l A B =0，则有
P
B P B l a l d d 0012-==ωωϕψ （4-31） 由直角三角形PCA 得
)
sin()cos(tan 000000ψψψψα++-=-==P B P B PC CB AB PC AC l l l l l l l l （4-32） 式中，0ψ为从动件的初始角，可由下式计算
al r l a b 2cos 2221
0-+=-ψ （4-33） 将式（4-31）代入式（4-32）得压力角α的一般表达式为
)
sin()cos(tan 001ψψψψϕψα+-++=-a l a d d l
（4-34） 由上式可以看出，机构的结构参数a 、l 和b r 都会影响压力角α。

当给定l 和运动规律)(ϕψψ=后，压力角α的大小取决于基圆半径b r 和中心距a 。

求解时也有图解法和解析法两种方法，下面介绍用图解法确定a 和b r 值的方法。

2．凸轮基圆半径和机架线长度的确定
如图4-27a 所示为一尖端摆动从动件盘形凸轮机构在推程中的一个位置。

以角速度1ω沿逆时针方向回转的凸轮与从动件在任一点A 接触。

过A 点作凸轮廓线的公法线nn ，与00B A 的交点P 为凸轮与从动件的相对瞬心。

而尖端A 点的速度2A v 与nn 线之夹角即为该凸轮机
构在此位置时的压力角。

设取此压力角为许用压力角，则与前述直动从动件盘形凸轮机构时的作法相似，可如图延长A B 0线至C 点，使
12000ωω==P B P A A B AC （4-35） 即
120ωωA
B A
C = （4-36） 然后过C 点作mm 线与AC 线成角][90αθ-= ，则凸轮的轴心0A 应选在此线上或其左侧。

此时AC 与2A v 垂直且在A 点左侧。

同理，对于此凸轮机构的回程（如图4-27b 所示），过接触点A 作凸轮廓线的法线nn 与连心线00B A 相交所得的瞬心P 在0A 点的左侧。

此时线段AC 的大小仍用前式计算，但应取在A 点右侧。

然后过C 点作mm 线与AC 成'
'][90αθ-= ，则凸轮的轴心0A 点应在mm 线上或其右侧。

图4-27 摆动从动件盘形凸轮机构压力角分析
如果已知凸轮的角速度1ω和摆杆的长度及其运动规律，即传动比12/ωω的变化规律，如图4-28所示，则可在摆杆摆角范围内依次分得各点，并按前述方法求出相应的D 点。

然后作角][90αθ-= 和'
'][90αθ-= 可得一系列直线，则凸轮的轴心应在图示阴影线部分的区域内选取，而当凸轮轴心选在0A 点时，得到最小基圆半径10min A A r b =，机架线长度00B A a =。

图4-28 图解法确定摆动从动件凸轮结构的最小基圆半径
三、移动平底直动从动件盘形凸轮机构
1. 运动失真现象及其避免的方法
平底直动从动件盘形凸轮机构的凸轮廓线与平底接触处的公法线总是垂直于平底，所以，其压力角恒等于0。

显然，这种机构不能按照压力角确定其基本尺寸。

但是，平底从动件有一个特点，它只能与外凸的轮廓曲线相作用，而不允许轮廓曲线内凹，这样才能保证凸轮轮廓曲线上的所有点都能与从动件平底接触。

由实例发现，基圆半径过小时，在用作图法绘制平底从动件盘形凸轮轮廓线，不仅会出现轮廓曲线内凹，而且同时会出现包络线相交，如图4-29所示。

在实际加工时，这种现象将造成过度切割，使包络线交点左侧的轮廓曲线全部被切掉，从而导致从动件运动失真。

因此，要避免运动失真，就必须保证轮廓曲线全部外凸。

下面就来探讨凸轮轮廓曲线外凸与基圆半径之间的关系。

图4-29 平底从动件运动失真现象
2．凸轮基圆半径的确定
图4-30 凸轮廓线曲率半径确定
如图4-30a 所示，设凸轮轮廓曲线与平底在点B 处相切接触，轮廓曲线在B 点的曲率中心为A ，曲率半径为AB l =ρ。

运用高副低代方法可作出该位置的低副瞬时代替机构ABC A 0。

该机构的从动件加速度为
3232322B B A B B B B a a a a a a +=+== （4-37）
凸轮匀速转动时，n A A a a =。

作加速度多边形，如图4-30b 所示。

因'
2'b a π∆～F AA 0，所以
0002
22222''2//AA AA A AA AF l d s d l dt s d a a a b l l ϕω
ππ==== （4-38） 即
2
2/ϕd s d l AF = （4-39） 故曲率半径为
s r d s d l AB ++==022/ϕρ （4-40） 只要保证0>ρ，即可获得外凸轮廓曲线。

但曲率半径太小时，容易磨损，故通常设计时规定一最小曲率半径min ρ，使轮廓曲线各处满足m in ρρ≥。

因此上式可表示为
m in 022/ρϕρ≥++=s r d s d （4-41） 当运动规律选定以后，每个位置的s 和22ϕd s d 均为已知，总可以求出min 22)(s d s d +ϕ。

显然，取基圆半径为
min 22min 0)(s d s d r +-≥ϕ
ρ （4-42） 可保证所有位置都满足m in ρρ≥的条件。

因b r 和s 恒为正值，由式（4-40）可以看出，只有当2
2ϕd s d 为负值且s r d s d b +>22ϕ时，才出现轮廓曲线内凹。

图4-31 平底宽度的确定
平底的宽度可参照图4-31进行计算。

当从动件上升时（图4-31a ），接触点'T 在导路右侧，ϕ
d ds 为正值，'T 的右极限位置对应于max )(ϕd ds 。

从动件下降时（图4-31b ），接触点''T 在导路左侧，
ϕd ds 为负值，''T 的左极限位置对应于min )(ϕd ds ，因此，平底右、左两侧的宽度'b 和'
'b 应为 b d ds b ∆+=max '
)/(ϕ （4-43-1）
b d ds b ∆+=min '
')/(ϕ （4-43-2） 平底总宽度'''b b b +=，其中，b ∆为根据结构需要增加的宽度。

为了减少磨损，平底从动件与机架间的移动副有时做成圆柱体和圆孔，以便从动件在移动的同时还能绕本身轴线转动。

在这种结构中，平底的底面为一圆盘，其直径d 可由下式确定
)(2max b d ds
d ∆+=ϕ （4-44）。