数值分析曲线拟合的最小二乘法——董安葳
曲线拟合的最小二乘法
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目录
第一章 Gauss 消去法„„„„„„„„„„„„3 第一节 第二节 第三节 第四节 线性代数方程组数值解法„„„„„3 选主元„„„„„„„„„„„„„5 Gauss 消去法„„„„„„„„„„6 C 语言实现 Gauss 消去法„„„„„8
第二章 直线拟合„„„„„„„„„„„„„10 第三章 M 次代数曲线拟合„„„„„„„„„12 第四章 曲线拟合„„„„„„„„„„„„„13 第五章 C 语言实现 M 次代数曲线拟合„„„„13 第六章 论文总结„„„„„„„„„„„„„18
x1 2 x2 2 x3 1, x1 x2 x3 1, 2 x 2 x x 1, 2 3 1
取初值为零向量迭代二次
三、逐次超松弛迭代（SOR 迭代）松弛法实质是高斯—塞德尔迭代的
一种加速方法，它将前一步的结果与高斯—塞德尔迭代值适当加权平均，以期望 得到更好的近似值：
k k 1
考察解（1.1）的 Jacobi 迭代（1.2） ，一般地说，
k 1 k k 1 k , x2 ，而用 x1 , x2
迭代后的新值比前一次的旧值更精确些。Gauss 和 Seidel 充分利用这个信息，在
，而用 x1 ；在求 x3 时，不再用 x1
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xi k 1
1 aii
i 1 n k 1 b a x aij xjk i ij j j 1 j i 1
xi
k 1
xi
k 1
1 xi
k
xi( k 1) (1 ) xi( k )
若 ai k m, 则 m a .i i; k l
第4章4.6.2曲线拟合的最小二乘法
由极值的必要条件得 m Q 2 2 ( a a x a x 0 1 i 2 i yi ) 0 a 0 i 1 m Q 2 2 ( a a x a x a 0 1 i 2 i y i ) xi 0 i 1 1 m Q 2 2 2 ( a a x a x y ) x 0 1 i 2 i i i 0 a i 1 2
1 x1 y1 a0 1 x y 2 Let A , a , y 2 , we have Aa y. a1 1 x y m m
考察方程组：ATAa = ATy，即
m
(3.3)成为拟合曲线的法方程(正规方程组)。
解之得 a，b。 代入 p(x) = a +b x, 即得所求的拟合曲线(曲线的回归 方程)。
m m m m m m 2 2 2 a ( y x x x y ) /( m x ( x ) ), i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 m m m m m b (m xi y i xi y i ) /(m xi2 ( xi ) 2 ). i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
b x
y’ ＝lna bx’
b x
y＝ae
y＝ae
b x
（3） 幂函数型
b
y axb
x0
ax ,v=lny 令u ln y, c ln a ,v bu ln x u c ，u=lnx ，得到： v ln a
(4). 对数曲线型
令u=lgx，得到：
y a b lg x
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。
都对应于 xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然Nm 时，参数不能确定。
在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
第7章 曲线拟合的最小二乘法
Q Q Q T T T , , , 2 A ( A x b ) 2( A A x A b ) x1 x 2 2, , n )
即 A Ax A b
T T
T T A Ax A b 有唯一解, 设为 x1 a1 , , x n a n 由引理 2 知
二 线性模型和最小二乘拟合
De f：对于已知的 m +1 对离散数据 { x i , y i }i 0 ， 记
a m in{ x i } ,
0i m
m
b m ax{ x i }
0i m
在连续函数空间C [a , b]中选定n +1个线性无关的基函数
{ k ( x )} k 0 ，并记由它们生成的子空间为：
记 P0 ( a1 , a 2 , , a n ) , 二元函数 Q 存在 P0 , 使得
Q xk | P 0 0 , ( k 1, 2, , n )
故满足引理1的条件 (1) . 又
Q x k xt 2( a1 k a1t a 2 k a 2 t a N k a N t ) 2 a ik a it
解: 因为r (A)=3, 所以最小二乘解存在. 正则方程组为:
3 1 1 1 3 1 1 x1 1 5 7 1 x2 1 , x2 , x3 3 x1 4 4 3 x3 6
f xk |P0 0 ( k 1, 2, , n )
(2) 矩阵
M
f
2
x
2
2 1
|P0 |P0
f
2
x1 x 2 f
Lab04.曲线拟合的最小二乘法实验
Lab04．曲线拟合的最小二乘法实验【实验目的和要求】1．让学生体验曲线拟合的最小二乘法，加深对曲线拟合的最小二乘法的理解；2．掌握函数ployfit和函数lsqcurvefit功能和使用方法，分别用这两个函数进行多项式拟合和非多项式拟合。
【实验内容】1．在Matlab命令窗口，用help命令查询函数ployfit和函数lsqcurvefit功能和使用方法。
2．用多项式y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(x i，y i)(i=1，2，…，n)，再在y i上添加随机干扰(可用rand产生(0，1)均匀分布随机数，或用randn产生N(0，1)均匀分布随机数)，然后对x i和添加了随机干扰的y i用Matlab提供的函数ployfit用3次多项式拟合，将结果与原系数比较。
再作2或4次多项式拟合，分析所得结果。
3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为τt eVVVtv ---=)()(，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。
对于下面的一组t，v数据，用Matlab提供的函数lsqcurvefit确定V和τ。
【实验仪器与软件】1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：年月日Lab04．曲线拟合的最小二乘法实验1．在Matlab命令窗口，用help命令查询函数ployfit和函数lsqcurvefit功能和使用方法。
在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，polyfit函数的调用格式为：[P,S]=polyfit(X,Y,m)。
函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。
其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数，得到的多项式为降序。
同样可以用lsqcurvefit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，调用格式为：x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)。
曲线拟合最小二乘法ppt课件
这里
1( x), ,l ( x)
是线性无关函数系，
为待定常数.
i (i 1, 2, , l)
9
在例1中，设函数
1( x) 1, 2( x) x, 3( x) x2
误 n,
我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
m
2 i
m
[s * ( xi )
f ( xi )]2
i0
i0
m
min
s( x)
[s(
i0
xi
)
f ( xi )]2.
11
（1）直线拟合
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m ,分布大致为一
条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通
的方法称为曲线拟称合为“，残f(差x)”
1
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x) y=f(x)
插值
2
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又 不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性, 使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种 方法度量达到最小。
解得 a0 0.562302 , a1 0.772282
由 a0 ln a 得 a ea0 e0.562302 1.754708,
23
由a1 b 得 b a1 0.772282
于是得到拟合指数函数为 y 1.754708 e0.772282x
（4）超定方程组的最小二乘解
第七章 曲线拟合的最小二乘法
t y t y
8
解
将已知数据点 (ti , yi ) (i 1,2,,16) 描绘在坐标纸上，
见图 3-2。
由图 3-2 及问题的物理背景可以看出，拟合曲线 具有下列特点：
y t 应
（1） 曲线随着 t 的增加而上升，但上升速度由快到慢。 （2） 当 t 0 ，反应尚未开始，即 y 0 ；当 t 时， y 趋于 某一常数。故曲线应通过原点（或者当 t 0 时以原点为极 限点，且有一水平渐近线。具有上述特点的曲线很多，选用 不同的数学模型，可以获得不同的拟合曲线与经验公式。
m
y ( x) 。这是一个曲线似合的问题。
多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近 似表达式问题， 但用它来解决这里提出的问题， 是有明显缺陷的。 首先，由实验提供的数据通常带有测试误差。如果要求近似曲线
y ( x) 严格地通过所给的每个数据点 ( xi , yi ) ，就会使曲线
*
( x) 称为上述最小二乘问题的
最小二乘解。
用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节： （1）根据所给数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类
，即确定 ( x) 所具有的形式；
（2）按最小二乘原则（式 7.3） ，求得最小二乘解 定其系数 ak
*
*
( x) ，即确
(k 0,1, , n) （对线性最小二乘问题） 。
m i 1
j k
, k , f xik yi , j, k 0, 1, , n
i 1
m
故相应的法方程组为：
m m xi i 1 m xn i i 1
m x x y i i i 1 i 1 a0 i 1 m m m xy xi2 xin 1 a i i 1 i 1 i 1 i 1 a n m m m n 1 2n n x y xi xi i i i 1 i 1 i 1
实验3 曲线拟合的最小二乘法
实验三曲线拟合的最小二乘法1、实验目的：在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。
这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。
充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上，通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。
2、实验要求:1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；3、实验内容：1) 给定数据如下：x ：0.15，0.4，0.6 ，1.01 ，1.5 ，2.2 ，2.4，2.7，2.9，3.5 ，3.8 ，4.4，4.6 ，5.1 ，6.6，7.6；y ：4.4964，5.1284，5.6931 ，6.2884 ，7.0989 ，7.5507 ，7.5106，8.0756，7.8708，8.2403 ，8.5303 ，8.7394，8.9981 ，9.1450 ，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。
2) 已知一组数据：x ：0，0.1，0.2 ，0.3 ，0.4 ，0.5 ，0.6，0.7，0.8，0.9 ，1y ：-0.447，1.978，3.28 ，6.16 ，7.08 ，7.34 ，7.66，9.56，9.48，9.30 ，11.2；试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。
4、题目：曲线拟合的最小二乘法5、原理：从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小.。
曲线拟合的最小二乘法
由 ln y ln a bx ，可以先做 y* a* bx
可以先做出 ln y 的一次线性拟合
例2 设一发射源强度公式为
观测数据如下
I
I
eat
0
ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Ii 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56
2.9611
a b
2.31254 0.0870912
(1)、y ax2 b
解：函数空间的基
x2 ,1 ，然后列出法方程
x2, x2 D 1, x2 D
1, x2 D
1,1D
a b
f
, f
x2 D
,1D
370
34
34
5
a b
3.5a1 1.9891 2.03a1 0.1858
aa1012.7.839
ea0 =5.64 a=－2.89
则 I=5.64e－2.89t
3.2.3 最小二乘法一般形式
span{0,1,n} 0 ,1,n 为线性无关的基函数
(x) a00 (x) ann (x)
i 1
n
( y, j ) ik xi j xi j=0，1，2，…，m i 1
则法方程组可写成以下形式
0 1
,0 ,0
m ,0
0 ,1 1,1
m ,1
第三章曲线拟合的最小二乘法
2
2
∂s =0 ∂a k
偏导数： 即：
m ∂s =∑ ∂a k i =1 n
k = (0,1,", n ) 即一阶导数为 0 的点。
∑ [a ϕ
k =0 k
k
′ ( xi ) − y i ](∑ a k ϕ k ( xi ) − y i ) = 0
（3.3.2）
( x ), ϕ 1 ( x )" ϕ n ( x ) 线性无关时，可以证明它存在唯一解
* * a0 = a0 , a 1 = a 1* , " , a n = a n
即
ϕ * ( x ) 就是所求的最小二乘解。
(x i ,
0
定理 1：对于给定的一组实验数据 在 函
0
y i ) ， ( x i 互异；i=1,2,…,m),
y= y= ae
b t
③
(a>0,b<0)
④
为了在求取参数 a 和 b 时，避免求解一个非线性方程组，对上式两边取对数
ln y = ln a +
b t
6
此时若引入变量
y (2) = ln y, t (2) =
1 t
表 3-5
i
ti
yi
( 2)
1
1 ti
2 0.50000 1.85630
3 0.33333 2.07944
∑
解：过程如下： （1）先描绘坐标点. （2）确定拟合曲线形式：由（1）可知，六个点于一条直线附近.故可选用线性函数（直
4
线）
φ
来拟合这组实验数据.
可令
ϕ ( x ) = a + bx , a , b
数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法-19页word资料
第6章曲线拟合的最小二乘法6.1 拟合曲线通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。
此时，序列与是相等的。
如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。
按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。
图6.1 含有“噪声”的数据图6.2 一条直线公路与多个景点插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。
插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。
向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。
例如：用各点误差绝对值的和表示：用各点误差按模的最大值表示：用各点误差的平方和表示：或（6.1）其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。
按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。
本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。
在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。
例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。
关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。
有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。
勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。
但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。
在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。
第六章-曲线拟合的最小二乘法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
引理2：设非齐次线性方程组
Ax
旳b 系数矩阵
A=(aij)N×n，若rankA=n，则
((12))矩n阶阵线AT性A方是程对组称A正T A定x矩 有阵AT唯b； 一旳解。
证设明齐：次（线1性）方矩程阵组ATAA显x 然0是对称矩阵。
因所为 以( Ar，xa)n对T k( A于Ax=任)n，意xT故旳( A齐xT A次)0x方，程有0 组Ax有唯0，一从零而解。
j 1
bi 2
到达最小值，这一条件称为最小二乘原则。
按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn旳一
组取值旳措施称为求解矛盾方程组旳最小二乘法。 符合条件旳一组取值称为矛盾方程组旳最小二乘解。
把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn旳二次函数， 记为Q＝f(x1,x2,…,xn)，所以，求矛盾方程组旳最 小二乘解就是求二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)旳最小
解得：a 0.688617 b 0.483880
则： p 1 1.452186 e bp 0.702684 a
则拟合方程为： r 1.452186
1 0.702684 cos
例2：为了测定刀具旳磨损速度，我们做这么旳试验： 经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具旳厚度, 得到一组试验数据如下：
n
令
i aij x j bi
(i 1,2,, N )
称i为偏差。 j1
工程实际中旳许多问题都能够归结为矛盾方程组，
实际中需要谋求矛盾方程组旳一组解，以使得偏差旳 N
绝对值之和 尽i 量地小。为了便于分析 i 1
计算和应用，常采用使偏差旳平方和
Q
N
2 i
i 1
N i 1
n
数值分析辛普森算法——5123119董安葳
数值分析第四次实验报告姓名：董安葳学号：5123119题目：辛普森求积算法实验方法：本人首先用姜老师要求的方法编程，即需要输入一个向量，该向量给出了区间中每一段的端点值和中间点的值，再用辛普森公式求解。
但是这种方法不利于课后习题第二题的求解，因为课后题只给了分化成几等分，没有直接给出中间点的值，所以我按照书中的方法，改进第一种算法，编写了第二种算法程序，利于计算课后习题的计算。
在报告中将展示两种算法。
实验过程：1．实验代码：算法一：姜老师要求的算法：function result=simpson(x,f,A) %传的参数为自变量和函数以及向量A（区间的各点值）[m n]=size(A);h=(A(1,n)-A(1,1))/((n-1)/2);temp1=0;for ii=2:2:n-1ff=subs(f,x,A(1,ii));temp1=temp1+ff;endtemp2=0;for jj=3:2:n-2ff=subs(f,x,A(1,jj));temp2=temp2+ff;endresult=(h/6)*(subs(f,x,A(1,1))+4*temp1+2*temp2+subs(f,x,A(1,n))) %辛普森公式算法二：根据课本中例题改进算法一后的算法：function result=simpson2(x,f,a,b,n)temp=(b-a)/n;A=zeros(1,n+1);jj=1;h=(b-a)/n;for ii=a:temp:bA(1,jj)=ii;jj=jj+1;endB=zeros(1,n);for ii=1:nB(1,ii)=A(1,ii)+h/2;endtemp1=0;for ii=1:nff=subs(f,x,B(1,ii));temp1=temp1+ff;endtemp2=0;for ii=2:nff=subs(f,x,A(1,ii));temp2=temp2+ff;endresult=(h/6)*(subs(f,x,a)+4*temp1+2*temp2+subs(f,x,b));2．调用方法和输出结果：课后习题的解决：2.（1）2.（2）2.（3）。
数值分析课件Chapter7曲线拟合与线性最小二乘问题.ppt
可以验证 x GT (GGT )1(F T F )1 F T b
是法方程组的一个解，故是原方程组的一个最小二乘解
推论7.1.2 若 rankA ，r则方n程组
有无穷多个最小二乘解。
Ax b
Def 2 方程组 Ax b 的所有最小二乘解中2-范数最小
8.9
8.5
10
4
3.5
22
9
8
11
4.5
4.2
23
9.5
8.1
12
4.6
3.5
24
10
8.1
可以看出,纤维强度随 拉伸倍数增加而增加
并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可认为强度与 拉伸倍数之间的主 要关系是线性关系
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y ( x ) a bx
该直线称为这一问题的数学模型。
线性无关，下面讨论正交分解的具体实现方法。
记 A [a1, a2 , , an ]，Q [q1, q2 , , qr ] 其中 a1, a2 , , ar线性无关，q1, q2 , , qr两两正交。
Gram-Schmidt正交化方法： 由 A QU 得
a1 u11q1 a2 u12q1 u22q2
y a bx c 1 x
1( x) 1;
2(x)
x;
3(x)
1 x
三、最小二乘问题解的存在性、唯一性
Def 1 设 A R，m若n 存在 x 精R确n地满足
数值分析大作业曲线拟合的最小二乘法
数值分析上机作业实验报告专业：建筑与土木工程姓名：学号：联系电话：课题四 曲线拟合的最小二乘法一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量 y 与时间t 的拟合曲线。
二、要求1 、用最小二乘法进行曲线拟合；2 、近似解析表达式为()t ϕ=a 1t+a 2t 2+a 3t 33 、打印出拟合函数()t ϕ，并打印出()tj ϕ与()y tj 的误差，j=1,2...，12：4 、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5 、* 绘制出曲线拟合图﹡。
三、目的和意义1 、掌握曲线拟合的最小二乘法；2 、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3 、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验结果：1.用最小二乘法做出的曲线拟合为三次多项式a1= -0.0052 ，a2= 0.2634 ，a3= 0.0178。
()tϕ= (-0.0052) t+ (0.2634) t2 + (0.0178) t3三次多项式的误差平方和=0.2583。
图形为：图形上红线表示拟合曲线，*表示实验所给的点。
源代码为：x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%b1= polyval(a1,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%（说明本程序调用了MATLAB中的函数polyfit、polyval、plot）2.另外选取几个近似表达式：主要选取6次、9次和12次的拟合表达式。
第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
xi 2 x i m 1 x i
m x a0 yi i m 1 xi a1 xi yi 2 m xn y a x i m i i
9
16 25 36 49 64 204
9.9315
14.4000 19.4695 25.1016 31.3257 38.1384 147.1354
36 A 29.9787 8 36 204 b 147.1354
9
解该方程组的 A=2.4368,b=0.2912
作为近似拟合曲线,均方误差为
Q(a0 , a1 , a2 )
最小。
3
由求极值的方法得法方程：
计 算 方 法 课 件
n n xi 1 in 2 x i i 1
x
i 1 n i 1 n
n
i
2 x i 3 x i i 1
n 2 x yi i i 1 a0 i 1 n n 3 x i a1 xi yi i 1 i 1 a n n 2 4 2 x x i i yi i 1 i 1 n
Yi
2.7279 3.0204
x i2
1 4
xiYi
2.7279 6.0408
计 算 方 法 课 件
2
3 4 5 6 7 ∑
3
4 5 6 7 8 36
27.4
36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
3.3105
3.6000 3.8939 4.1836 4.4751 4.7673 29.9787
数值分析设计曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据(),i i x y ()0,1,2,,i m =中，寻找自变量x 与因变量y 之间的函数关系y ()F x =。
由于观测数据往往不准确，因此不要求y ()F x =经过所有点(),i i x y ，而只要求在给定点i x 上误差而只要求所在所有给定点i x 上的误差()i i i F x y δ=- ()0,1,2,,i m =按某种标准最小。
若记()012,,,,Tm δδδδδ=，就是要求向量δ的范数δ最小。
如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数2δ作为误差度量的标准。
()F x 的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。
如果()F x 是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。
最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。
这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。
线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定()S x 的形式。
这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据(),i i x y 有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定()S x 的形式，并通过实际计算选出较好的结果。
为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的22δ都考虑为加权平方和()()()222mi i i i x S x f x δω==-⎡⎤⎣⎦∑这里()0i x ω≥是[],a b 上的加权函数，它表示不同点(()),i i x f x 处的数据比重不同。
二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。
CAD 中线图的曲线拟合
CAD 中线图的曲线拟合
王新葵
【期刊名称】《机械设计》
【年(卷),期】1997()12
【摘要】本文从理论上、实践上分析讨论了一种ＣＡＤ中线图的曲线拟合方法——最小二乘法，又用不同的思路巧妙地利用本法进行编程上机。
与其它几种拟合
方法所得结果进行了比较，证实用本文介绍的方法进行曲线拟合不仅可以提高精度，而且可以将给定的曲线拟合成各种由基本初等函数组成的复合函数形式可用图示方式很直观地分析判断输入数据的可靠性，也可对同一数据用不同函数拟合的结果进行分析比较。
这对ＣＡＤ技术中数表曲线处理有很重要的作用。
【总页数】3页(P18-20)
【关键词】CAD;线图曲线拟合;机械设计
【作者】王新葵
【作者单位】华北油田采油工艺研究所
【正文语种】中文
【中图分类】TH122
【相关文献】
1.CAD中的保形曲线拟合 [J], 唐渝;黄国立;王兴波
2.机械CAD中数表与线图的处理方法 [J], 么元昱;曾红;吕秀芳
3.曲线拟合在石油机械CAD中的应用 [J], 徐步云;张少南;成长乐
4.服装CAD系统中的板型曲线拟合的讨论 [J], 郭瑞良;张辉
5.线图扫描输入中曲线拟合的一种新方法 [J], 庄晨煜;李定坤
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4_曲线拟合的最小二乘法
1 ( x0 ) 1 ( x1 )
1 ( xm )
T
n ( x0 ) n ( x1 ) n ( xm )
( 0 ( x 0 ), 0 ( x1 ), , 0 ( x m )) WA ( ( x ), 1 ( x1 ), , 1 ( x m )) WA 1 0 ( n ( x 0 ), n ( x1 ), , n ( x m )) WA
2012年8月6日星期一 YFNie@ 10
( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( n , 0 )
( 0 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( n , 1 )
( 0 , n ) ( 1 , n ) ( n , n )
n ( x0 ) c0 y0 n ( x1 ) c1 y 1 n ( xm ) cn ym
第三章 函数逼近
1 2 3 4 5 6 赋范空间 内积空间 正交多项式的性质 常用正交多项式 最佳平方逼近问题 曲线拟合的最小二乘法
6 曲线拟合的最小二乘法
背景：
离散数据的特点
数据不准确 数据多,甚至是是大量的 数据采样一般基本上反映函数的基本性态
离散数据建模方法
插值法：经过离散点，高次插值不可靠，分段插值 不够光滑 曲线拟合：曲线符合离散点分布的基本轮廓，或符 合某理论规律，不要求曲线精确通过每一离散点。
2012年8月6日星期一 YFNie@ 7
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数值分析第二次实验报告
姓名：董安葳
学号：5123119
题目：曲线拟合的最小二乘法
实验方法：根据书中最小二乘法的定义，自行设计算法编写matlab函数文件zuixiaoerchengnihe.m，然后通过调用自己编写的函数来解决实际问题。
实验过程：
1．实验代码：
zuixiaoerchengnihe.m
function zuixiaoerchengnihe(X,Y,n) %X,Y为实验数据，分别为两个向量，由用户输入，n为所要求的拟合曲线的次数[b,a]=size(X);
G=zeros(n+1,n+1); %法方程的矩阵G
d=zeros(n+1,1); %法方程的矩阵d
for ii=1:n+1
for jj=ii:n+1
for kk=1:a;
G(ii,jj)=G(ii,jj)+X(1,kk)^(ii+jj-2); %通过循环计算矩阵G的上三角
end
G(jj,ii)=G(ii,jj); %矩阵G是对称矩阵，所以下三角的值直接拷贝上三角的值
end
for pp=1:a
d(ii,1)=d(ii,1)+Y(1,pp)*X(1,pp)^(ii-1); %通过循环计算矩阵d
end
end
jielun=(G^(-1))*d %解法方程，输出为拟合曲线的系数向量
%将所得系数向量通过循环输出将标准的拟合曲线方程输出
fprintf('f(x)=')
for ii=1:n+1
fprintf([num2str(jielun(ii,1)) 'x' '^' num2str(ii-1)])
if ii~=n+1
fprintf('+')
end
end
fprintf('\n')
2．调用方法和输出结果：
P95第十六题：
P95第17题：
P95第18题：
经过输入X向量和Y向量再通过plot函数连线
则可以判断用二次函数拟合比较合适。
故如下方式调用：。