形态学图像处理

XS {z | (S )z X }
式(6-2)表明，X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍 在X中的x的集合。换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完 全包括在X中时S的原点位置的集合。上式也可以帮助我们借 助相关概念来理解腐蚀操作。
Digital Image Processing, 2nd ed.
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6.1.2 基本符号和术语
1. 元素和集合 在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称 为一个集合。对于二值图像而言，习惯上认为取值为1的点对应 于景物中心，用阴影表示，而取值为0的点构成背景，用白色表 示， 这类图像的集合是直接表示的。考虑所有值为 1 的点的集 合为A， 则A与图像是一一对应的。对于一幅图像A，如果点a在 A 的区域以内， 那么就说 a 是 A 的元素，记为 a∈A，否则，记作
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它具有 完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形态滤波 器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。数学形态学的应 用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相 干的结构。数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构， 实 现了形态学分析和处理算法的并行，大大提高了图像分析和处 理的速度。
二值 图像 腐蚀 膨胀
图6-5 腐蚀与膨胀示意图
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6.2.1 腐蚀(Erosion)
腐蚀是最基本的一种数学形态学运算。对一个给
定的目标图像X和一个结构元素S， 想象一下将S在图像上
移动，记为（S)x。在每一个当前位置x， S+x只有三种可 能的状态（见图6-6）：
4. 平移与反射
设A是一幅数字图像，b 是一个点，那么定义A被b平 移后的结果为A＋b＝{a＋b| a∈A}，即取出A中的每个点a 的坐标值，将其与点b的坐标值相加，得到一个新的点的
坐标值a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的
结果，记为A+b，如图9-1所示。
反射（映射）： Â
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测地距离的图像重建，基于形态学滤波器的颗粒分析
等。迄今为止， 还没有一种方法能像数学形态学那样
既有坚实的理论基础，简洁、 朴素、 统一的基本思
想，又有如此广泛的实用价值。有人称数学形态学在
理论上是严谨的，在基本观念上却是简单和优美的。
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6.2.3 开运算和闭运算
• 开操作一般使对象的轮廓变得光滑，断开狭窄的间 断和消除细小的突出物。
• 闭操作同样使得轮廓光滑，它通常消除狭窄的间断 和长细的鸿沟，消除小的空洞，并填充轮廓线中的 断裂。
3. 击中（Hit）与击不中（Miss）
，那么称 B击中 A，记为 B↑A， 其中 是空集合的符号；否则，如果A∩B= ， 那么称B
设有两幅图像 A 和 B，如果 A∩B≠ 击不中A， 如图6-3所示。
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A
B
A
B
(a)
(b)
图6-3 击中与击不中 （a） B击中A； （b） B击不中A
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抽取、边界检测、 图像滤波、图像增强和恢复等。
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数学形态学方法利用一个称作结构元素的 “探针”收集图像的信息，当探针在图像中不断
移动时， 便可考察图像各个部分之间的相互关系，
从而了解图像的结构特征。数学形态学基于探测
的思想，与人的FOA(Focus Of Attention)的视觉
特点有类似之处。作为探针的结构元素，可直接 携带知识（形态、大小、甚至加入灰度和色度信 息）来探测、研究图像的结构特点。
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数学形态学的基本思想及方法适用于与图像处理有
关的各个方面，如基于击中/击不中变换的目标识别，
基于腐蚀和开运算的骨架抽取及图像编码压缩，基于
二值形态学中的运算对象是集合。设 A 为图像集合， S为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。以 下用阴影代表值为 1 的区域，白色代表值为 0 的区域， 运算是对值为1的区域进行的。二值形态学中两个最基 本的运算——腐蚀与膨胀，如图6-5所示。
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Ŝ
膨 胀 过 程 S
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腐蚀与膨胀示例
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Matlab实现腐蚀与膨胀运算
BW=imread('text.tif'); SE1=ones(2,2); SE2=ones(5,5); BW1=imdilate(BW,SE1); BW2=imdilate(BW,SE2); figure,subplot(221),subimage(BW),title('Original'); subplot(222);subimage(BW1);title('Dialate 2-2'); subplot(223);subimage(BW2);title('Dialate 5-5'); se1=ones(2,2); se2 = ones(5,5); I1=imerode(BW1,se1); I2=imerode(BW2,se2); figure,subplot(221);subimage(I),title('Original') subplot(222),subimage(I1),title('Eroded 2-2') subplot(223),subimage(I2),title('Eroded 5-5')
＋
(a)
(b)
(c)
图6-7 腐蚀运算示例
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图6-7 腐蚀运算过程
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6.2.2 膨胀（Dilation)
膨胀
腐蚀可以看作是将图像X中每一与结构元素S全等的 子集S+x收缩为点x。反之，也可以将X中的每一个点x扩大为
出“击中/击不中变换”， 并在理论层面上第一次引入了形态
学的表达式，建立了颗粒分析方法。他们的工作奠定了这门学 科的理论基础， 如击中 /击不中变换、开闭运算、布尔模型及
纹理分析器的原型等。数学形态学的基本思想是用具有一定形
态的结构元素去量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分 析和识别的目的。
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在计算机文字识别， 计算机显微图像分析(如定
量金相分析， 颗粒分析 )， 医学图像处理（例如细
胞检测、心脏的运动过程研究、 脊椎骨癌图像自动
数量描述），图像编码压缩， 工业检测(如食品检验
和印刷电路自动检测)，材料科学， 机器人视觉，汽
车运动情况监测等方面都取得了非常成功的应用。另
外，数学形态学在指纹检测、经济地理等领域也有良 好的应用前景。
第一种情形说明S+x与X相关最大，第二种情形说明S+x 与X不相关，而第三种情形说明S+x与X只是部分相关。因而 满足式(6-1)的点x的全体构成结构元素与图像最大相关点集， 这个点集称为S对X的腐蚀(简称腐蚀，有时也称X用S腐蚀)， 记为X S。
腐蚀也可以用集合的方式定义，即 （6-2）
XS {x | S x X }
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逻辑运算
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逻辑运算示例
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6.2 二值形态学
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腐蚀
A B 模板的原点在结构元素 内部，腐蚀具有收缩图像 的作用。
A
B
B
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例6-1 腐蚀运算图解。图6-7给出腐蚀运算的一个简单示例。
其中， 图6-7(a)中的阴影部分为集合X， 图6-7 (b)中的阴 影部分为结构元素S， 而图(c)中黑色部分给出了X S 的结果。 由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。
A+x
A
x
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5. 目标和结构元素
被处理的图像称为目标图像，一般用大写英文字母表示。
为了确定目标图像的结构，必须逐个考察图像各部分之间的关
系，并且进行检验，最后得到一个各部分之间关系的集合。 在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种收集 信息的“探针”， 称为“结构元素”。“结构元素”一般用大 写英文字母表示，例如用S表示。在图像中不断移动结构元素， 就可以考察图像之间各部分的关系。一般，结构元素的尺寸要 明显小于目标图像的尺寸。
数学形态学 基本符号和术语
提取边界、骨架、区域填充、提取连通分量、 去噪 6.4 Matlab 形态学运算
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6.1 概述
6.1.1 数学形态学 数学形态学(Mathematical Morphology)诞生于1964年， 是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉 (J. Serra) 和导师马瑟荣， 在从事铁矿核的定量岩石学分析及预测其开采价值的研究中提
S+x，这就是膨胀运算，记为X S。若用集合语言，它的定义
为
X S {z | (s )z X }
^
A B
A B
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膨胀示例
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腐蚀示例
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X； (1) S+x XC； (2) S+x
(3) S+x∩X与S+x∩XC均不为空
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S ＋x3 x S ＋x2 S ＋x1
图6-6 S+x的三种可能的状态
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第6章 形态学图像处理(第9章）
Morphological Image Processing
利用数学形态学进行图像处理
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6.1 概述
主要内容
6.2 二值形态学 腐蚀、膨胀、开、闭 6.3 形态学运算应用
腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体
边界点。如果结构元素取3×3的像素块，腐蚀将
使物体的边界沿周边减少一个像素。腐蚀可以把
小于结构元素的物体(毛刺、 小凸起)去除，这
样选取不同大小的结构元素，就可以在原图像中 去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小 的连通，那么当结构元素足够大时， 通过腐蚀 运算可以将两个物体分开。
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数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成
的，它的基本运算有 4个： 膨胀（或扩张）、腐蚀 （或侵蚀）、开启和闭合， 它们在二值图像和灰度 图像中各有特点。基于这些基本运算还可推导和组 合成各种数学形态学实用算法，用它们可以进行图
像形状和结构的分析及处理，包括图像分割、特征
a∈A， 如图6-1(a)所示。
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b a A (a) (b)
B B
A
图6-1 元素与集合间的关系
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集合
2、交集、 并集、补集、差集
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