勾股定理的证明方法和相关故事

证明方法1
• 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是 数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥 拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的 泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本 三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股 定理的证明（参见循环论证）。 证法1 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过点C作 AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线 上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长 为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的 正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A^2+B^2=C^2.
勾股数组
• 满足勾股定理方程 a^2+b^2=c^2;的正整 勾股定 理 • 数组(a，b，c)。例如(3，4， 5)就是一组勾股数组。 由 于方程中含有3个未知数，故勾 股数组有无数多组。 勾股 数组的通式： a=M^2N^2 b=2MN c=M^2+N^2 (M>N,M,N 为正整数）
勾股定理
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证明方法2
• 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形 。 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一 条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点 B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足 为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2.
勾股定理的证明方法和相关故事
勾股定理简介
• 勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在 外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定 理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又 称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是 最早发现这一几何宝藏的国家。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽 弦图，证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用 代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直 角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。勾股定理是余弦定理的 一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯 定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作 庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定 理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏 的国家。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出 入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题 的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和 斜边，那么a^2+b^2=c^2。
毕达哥拉斯树
• 毕达哥拉斯树是由毕达哥拉 斯根据勾股定理所画出来的一 个可以无限重复的图形。又因 为重复数次后 的形状好似一棵 树，所以被称为毕达哥拉斯树 。 直角三角形两个直角边 平方的和等于斜边的平方。 两个相邻的小正方形面积的和 等于相邻的一个大正方形的面 积。 利用不等式 A^2+B^2≥2AB可以证明下面 的结论： 三个正方形之间 的三角形，其面积小于等于大 正方形面积的四分之一，大于 等于一个小正方形面积的二分 之一。 毕达哥拉斯树
证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）
• 如图1，Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD是斜边AC上 的高，通过证明三角形相似则 有射影定理如下： 1）（ BD）^2;=AD·DC， （2）（ AB）^2;=AD·AC ， （3）（ BC）^2;=CD·AC 。 由 公式（2）+（3）得： （ AB）^2;+（BC） ^2;=AD·AC+CD·AC =（ AD+CD)·AC=（AC）^2;， 图1 • 即 （AB）^2;+（BC）^2;=（ AC）^2，这就是勾股定理的结 论。
证明方法3
• 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形 。 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为 边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a， EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90° ， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直线上， a^2+b^2=c^2.
毕达哥拉斯树
加菲尔德证明勾股定理的故事
• 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外 ，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是 当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着 ，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚 精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨 。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加 菲尔德 便问他们在干什么？那个小男孩头也不 抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边 分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答 道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边 分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多 少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方 一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先 生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞， 无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步， 立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反 复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简 洁的证明方法。 如下： 解：在网格内，以 两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为 边长的的正方形面积。 勾股定理的内容：直角 三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2+b^2=c^2; 说明：我国古代学者把直角三 角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股” ，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理 ”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则 斜边c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 则说明斜边为5。
古埃及人画直角三 角形
勾股定理的来源
• 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕 达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛 作庆祝，因此又称“百牛定理”。 毕达哥拉斯 • 在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代 由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经 》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和 比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形 中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 常 用勾股数组(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17) ;(7,24,25) 有 关勾股定理书籍 《数学原理》人民教育出版社 《探究勾股 定理》同济大学出版社 《优因培教数学》北京大学出版社 《勾股书籍》 新世纪出版社 《九章算术一书》 《优因培揭 秘勾股定理》江西教育出版社 《几何原本》 （原著：欧几里得 ）人民日报出版社
证法5(欧几里得的证法)
• 《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证 明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其 垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正 方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形 有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积 是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘 积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为： 把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个 同等面积的长方形。 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD 、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两 个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的， 同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应 的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方 形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2 。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得 《几何原本》一书第1.47节所提出的