解一元二次方程公式法

合集下载

一元二次解方程的公式法

一元二次解方程的公式法一、引入对于一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，我们尝试采用配方法求解：二、公式法及其两个用途通过上面解一元二次方程的一般式ax²+bx+c=0(a≠0)，当b²-4ac≥0时，方程有解，那么解出来的根一定是：这个叫做求根公式我们发现，任何一个一元二次方程的根只和系数a，b，c有关，也就是说只要确定了系数，就可以得到方程的根，这就是公式法的第一个用途——根据系数直接确定方程的根另外我们发现：当b²-4ac>0时，方程有两个不等实根当b²-4ac=0时，方程有两个相等实根当b²-4ac<0时，方程无实根我们经常把△=b²-4ac叫做根的判别式(△是希腊字母，读作“德尔塔Delte”)，利用它我们可以判别一元二次方程根的个数，这也是公式法的第二个用途。

三、利用公式法求解的一般步骤【公式法法求解的一般步骤】：①将方程化为一般形式②确定a，b，c的值③判断△=b²-4ac的符号④当b²-4ac≥0时(有实根)，我们将a，b，c代入得到方程的两个根当b²-4ac<0时(无实根)，我们直接判定方程无实根【理解】1、在利用(代入)求根公式之前，要有两个准备工作：一是必须先把方程化为一般式，因为只有这样才能确定a，b，c二是判定△=b²-4ac的符号，当△≥0时才能代入求根公式，而当△<0时，直接得到方程无实根即可2、由于在判断△符号的过程中，已经把△的值求出，所以在后续的求解中，直接代入即可。

另外当△=0时，求根公式中的根号部分为0，此时直接代入x=-b/2a即可3、我们发现，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当a、c异号时即ac<0时，△=b²-4ac中b²≥0，-4ac>0，所以此时一定有△>0，即方程有两个不等实根，如例题中的方程5x²-4x-1=0，由于a、c异号所以方程必然有两个不等实根，这在做小题时，是个不错的技巧。

解一元二次方程公式法

公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章一元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square)
助手用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参考答案：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个一个连直角续三角偶的形三数一边的中个长x为间 ,为根三个据连续题偶意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角形2 的2 .三边长.

用公式法解一元二次方程的一般步骤

用公式法解一元二次方程的一般步骤
根据因式分解与整式乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

一元二次方程求根公式法步骤
把方程化成一般形式ax²+bx+c=0，求出判别式△=b²-4ac的值；
当Δ＞0时,x=[-b±(b²-4ac)^(1/2)]/2a，方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

一元二次方程求根公式的推导过程
(1)ax2+bx+c=0(a≠0,)，等式两边都除以a，得x2+bx/a+c/a=0。

(2)移项得x2+bx/a=－c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的
一半的平方，即方程两边都加上b2/4a2。

(3)配方得x2+bx/a+b2/4a2=b2/4a2－c/a，即（x+b/2a）2=(b2-
4ac)/4a。

(4)开根后得x+b/2a=±[√(b2-4ac)]/2a(√表示根号)，最终可得
x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。

一元二次方程配方法步骤
(1)把原方程化为一般形式；
(2)方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
(5)进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

一元二次方程的解法公式法

2

例1. 解方程:
（1）x +3x+2=0 （2）-7x+2x2=4
2
例2. 解方程:
（1）x 2 2 2x
2
（2）（x -1）（6-x）=6
说一说
利用公式法解一元二次方程的步骤？
用公式法解一元二次方程的步骤:
(1)把一元二次方程化为一般形式; (2)确定a、b、c的值; 2 (3)求出b -4ac的值; 2 (4)若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
2
b b 4ac x 2a
2
（b -4ac≥0）
2
利用公式法解一元二次方程时需注意：
(1)利用公式法解方程前，应将方程化为
一般形式，以正确确定a、b、c的值．
(2) 当b -4ac≥0时，方程有实数解; 当b -4ac＜0时，方程无解.
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的值代入求根公式求解.
用配方法解一元二次方程:
(1) -2x2-7x+3=0 (2) (x-1)(x+6)=3
配方法解一元二次方程的步骤：
(1) 把方程化为一般形式; (2) 把方程二次项系数化为1;
(3) 移项:把方程的常数项移到方程的右边;
(4) 配方:方程两边都加上一次项系数一半
的平方. (5) 把方程化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,然
随堂练习 1.方程3x2-8=7x化为一般形式
2-7x-8=0ห้องสมุดไป่ตู้3x 是，
3 b=_____, -7 c=_____, -8 a=____,

用公式法求解一元二次方程。

公式法求解一元二次方程是一种常见且有效的方法，可以帮助我们找到方程的解。

在这篇文章中，我将详细介绍公式法的步骤和原理，并通过实例来说明如何使用公式法解决一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

要使用公式法求解一元二次方程，首先需要了解二次方程的求根公式。

根据求根公式，一元二次方程的解可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)现在，让我们通过一个实例来说明公式法的具体步骤。

假设我们要解决方程2x^2 + 5x - 3 = 0。

第一步，根据方程的系数，我们可以确定a = 2，b = 5，c = -3。

第二步，将这些值代入求根公式中，计算出两个解。

根据求根公式，我们有：x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)计算得到：x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4x = (-5 ± √49) / 4现在，我们需要计算出根号内的数值，然后求解方程。

根号内的数值为49，它的平方根为7。

因此，我们可以得到两个解：x1 = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 0.5x2 = (-5 - 7) / 4 = -12/4 = -3所以，方程2x^2 + 5x - 3 = 0的解为x = 0.5和x = -3。

通过这个实例，我们可以看到公式法的求解步骤相对简单，只需要代入系数并进行简单的计算即可得到方程的解。

而且，公式法适用于所有一元二次方程，无论系数的大小。

需要注意的是，在使用公式法求解一元二次方程时，我们需要注意方程的根号内的数值是否为负数。

如果根号内的数值为负数，则方程无解。

这是因为在实数范围内，负数的平方根是无法求得的。

总结一下，公式法是一种常见且可靠的求解一元二次方程的方法。

通过代入系数并进行计算，我们可以轻松地找到方程的解。

一元二次方程的解法——公式法

一元二次方程的解法——公式法1.公式法：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

问题：求根公式是怎样得来的呢？如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？？已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2=2b a- 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a =±即∴x 1=2b a -x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．2．一元二次方程的判别公式：关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式为①240b ac -≥ <﹦> 一元二次方程有两个的实数根,1x =，2x =； ②240b ac -= <﹦> 一元二次方程有两个的实数根，122b x x a-==； ③240b ac -< <﹦> 一元二次方程有两个的实数根；3.一元二次方程跟与系数的关系一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：，（也称韦达定理）。

4. 用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况； ③在的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算，求出方程的根。

一元二次方程6种解法

一元二次方程6种解法
一元二次方程没有6种解法，一元二次方程4种解法：
一、直接开平方法。

形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。

方程无实数根。

二、配方法。

1、二次项系数化为1。

2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。

3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成
（x=a)^2=b的形式。

4、利用直接开平方法求出方程的解。

三、公式法。

现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。

再将abc 代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。

四、因式分解法。

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是
一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数。

③未知数项的最高次数是2。

一元二次方程的解法公式法

2
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2 2
− b ± b − 4 ac − 1 ± 13 x= = 2a 2 − 1 + 13 − 1 − 13 ∴ x1 = , x2 = 2 2
2
辨析
2、解方程：2 x + x − 2 = 0
2
2
当b − 4ac ≥ 0时，它有两个实数根：
+ bx + c = 0(a ≠ 0)
− b + b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x1 = , x2 = 2a 2a
这就是一元二次方程 ax +bx+c = 0(a ≠ 0)
2
的求根公式.
在解一元二次方程时，只要把方程化为一般式
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
辨析
小马虎在学完用公式法解一元二次方程觉得非常简单,也非常高兴, 后,觉得非常简单,也非常高兴,很快就做好了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 1、解方程： x − x − 3 = 0
2
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2
b − 4ac = (−4) − 4 ×1× 4 = 0
2 2
− b ± b − 4ac 4 ± 0 x= = =2 2a 2 ∴x = 2
2
辨析
2 4、解方程： x + x + 2 = 0
2
解：原方程中 a = 2, b = 1, c = 2 b − 4 ac = 1 − 4 × 2 × 2 = −15

一元2次方程公式法公式

一元2次方程公式法公式一元二次方程公式法是求解一元二次方程的一种常用方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数，且a≠0。

我们可以利用一元二次方程公式来求解方程的根，即方程的解。

一元二次方程公式的表达式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

其中，±表示两个根的取正负号，√表示开平方，^表示乘方。

我们可以发现，一元二次方程的解一般可以有两个根（即两个解），因此在公式中会有±的形式。

公式中的√(b^2 - 4ac)表示方程的判别式，用来判断方程有几个实根。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，只有复数根。

公式中的2a表示方程中二次项的系数的两倍，可以看作是方程的"系数倍数"。

这个系数倍数的存在是为了保证公式的正确性。

通过一元二次方程公式法，我们可以轻松求解一元二次方程的根。

下面我们通过一个例子来说明一下具体的步骤。

假设有一个一元二次方程为2x^2 + 5x - 3 = 0，我们要求解该方程的根。

根据方程的系数，我们可以得到a=2，b=5，c=-3。

然后，代入一元二次方程公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)中的变量，进行计算。

计算过程如下：判别式D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49根据判别式的值，我们可以判断方程有两个不相等的实根。

根的计算公式为x = (-b ± √D) / (2a)将a、b、D代入可以得到x = (-5 ± √49) / (2 * 2)化简得到x = (-5 ± 7) / 4因此，方程的两个解分别为x1 = (-5 + 7) / 4 = 1/2 和 x2 = (-5 - 7) / 4 = -3。

用公式法求解一元二次方程

用公式法求解一元二次方程一、公式法公式法：求根公式：一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是：2b x a-±=．上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.【知识拓展】(1)求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有确定方程是一元二次方程时，才可以使用．(2)应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号．(3)b 2－4ac ≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．一元二次方程的求根公式的推导：一元二次方程的求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．∵a ≠0，∴方程的两边同除以a 得20b cx x a a++=．配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵a ≠0，∴a 2＞0，∴4a 2＞0．∴当b 2－4ac ≥时，2244b ac a-是一个非负数．此时两边开平方得22b x a a+=，∴2b x a-±=【知识拓展】(1)被开方数b2－－4ac有意义．(2)由求根公式可知一元二次方程的根是由其系数a ，b ，c 决定的，只要确定了a ，b ，c 的值，就可以代入公式求一元二次方程的根．【新课导读·点拨】因为a ＝1，b ＝－1，c ＝－90，所以119212x ±==⨯．故x 1＝10，x 2＝－9(不符合实际，舍去)．所以全校有10个队参赛．【例1】解下列方程．(1)x 2－2x ＝0； (2)3x 2＋4x ＝－1； (3)2x 2－4x ＋5＝0．分析：解：(1)x 2－2x －2＝0，∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4X1×(－2)－12＞0，∴2222x ±±==，∴11x =+11x =- (2)原方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，∵a ＝3，b ＝4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝42－4×3×1＝4＞0， (3)2x 2－4x ＋5＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝5，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0， ∴该方程没有实数根．二、一元二次方程根的判别式定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定.我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，读作：“delta(德尔塔)”．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．反之亦成立．【知识拓展】(1)根的判别式是△＝b 2－4ac ，而不是24b =-(2)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况，要注意方程中各项系数的符号．(3)如果一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0．探究交流已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．分析：根据根的判别式的意义可得△＝4－4m≥0，解得m≤1，所以m的最大值为1，此时方程为x2＋2x＋1＝0，然后运用公式法解方程．解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，∴△＝4－4m≥0，∴m≤1，∴m的最大值为1，当m＝1时，一元二次方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1．【例2】一元二次方程x2＋x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．∵a＝1，b＝1，c＝3，∴△＝b2－4ac＝12－4×1×3＝－11＜0，∴此方程没有实数根．故选C．##整理归纳##$$练习$$##题型##单选##题干##(2013·珠海中考)已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，x2－2x－－3＝0．下列说法正确的是( )A．99帮有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解##答案##B##解析##方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故选B.$$更多练习$$##题型##主观填空题##题干##(2011·上海中考)如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是______． ##答案## c ＞9##解析##∵关于xx 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，∴△＝(－6)2－4c ＜0，即36－4c ＜0，c ＞9##题型## 主观题 ##题干##(2012·珠海中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0． (1)当m ＝3时，判断方程的根的情况； (2)当m ＝3时，求方程的根． ##答案##解：(1)当m ＝3时，△＝b 2－4ac ＝22－4×3＝－8＜0，∴原方程无实数根. (2)当m ＝－3时，原方程变形为x 2＋2x －3＝0.∵b 2－4ac ＝4＋12＝16，2122x -±==-±，∴x 1＝1，x 2＝－3.##题型## 主观题 ##题干##(2013·乐山中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0． (1)求证方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．##答案##(1)证明：∵△＝(2k ＋1)2－4(k 2+k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实根.(2)解：一元二次方程x 2－(2k+1)x ＋k 2＋k ＝0的解为212k x +±=，即x 1＝k ，x 2＝k＋1，不妨设AB ＝k ，AC ＝k ＋1，当AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＋1＝5，解的k ＝4.所以k 的值为5或4.$$典型$$ ##典例精析##类型一用公式法解一元二次方程【例1】用公式法解下列方程．（1）x 2＋2x －2＝0；(2) 23x+=；（3）21028n n -+=分析：方程(1)(3)可直接确定a ，b ，c 的值，方程(2)需先化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．解：(1)∵a ＝1，b ＝2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝22－4×1×(－2)＝12＞0，∴212x -±==-±11x =-+，11x =--(2)将方程化为一般形式，得230x -+=．∵a ＝1，b =-，c ＝3，∴(224241340b a c -=-⨯⨯=-<∴原方程没有实数根．（3）∵a ＝1，b =-，18c =，∴221441028b ac ⎛⎫-=--⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴224n ±==，∴124n n ==.规律方法小结：(1)用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．(2)b 2－4ac ≥0是公式中的一个重要组成部分，b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．(3)当b2－4ac ＝0时，应把方程的根写成122bx x a==-，的形式，用以说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根．类型二不解方程判定根的情况【例2】不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x2－x－1＝0；(2)2x2＋3x＝－2；(3)－2x2－3x＋4＝0．解：(1)∵a＝1，b＝－1，c＝－1，∴△＝b2－4ac＝1＋4＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可变形为2x2＋3x＋2＝0，∵a＝2，b＝3，c＝2，∴△＝b2－4ac＝9－16＝－7＜0，∴原方程没有实数根．(3)原方程可变形为2x2＋3x－4＝0，∵a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．类型三几何图形中的方案设计问题【例3】(2012·湘潭中考)如图2所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2．(所备材料全部用完)分析：设未知数，将矩形的长和宽表示出来，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．解：设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m．根据题意可得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15．当x＝10时，BC＝50－2×10＝30＞25，不符合题意，舍去，当x＝15时，BC＝50－2×15＝20＜25，符合题意，故AB＝15 m，BC＝20 m.答：可以围成AB的长为15 m，BC的长为20 m的矩形．【解题策略】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程求解，注意围墙MN最长可利用25 m，舍掉不符合题意的数据．类型四用公式法解含字母系数的一元二次方程【例4】解关于x的方程x2－2mx＋m2－2＝0．解：∵a＝1，b＝－2m，c＝m2－2，∴()222212mb mx ma--±-±±====±⨯∴1x m =+2x m =- 【解题策略】要熟练运用公式法求一元二次方程的解，准确确定a ，b ，c 的值是解题的关键．类型五根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围．【例5】k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2－12x ＋9＝0． (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?分析：(1)当△＝b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△＝b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．分别求出是的取值范围即可．解题时注意二次项系数k ≠0．解：方程是一元二次方程，则k ≠0． (1)若方程有两个不相等的实数根，则△＝ b 2－4ac ＝144－36k ＞0，解得k ＜4．所以k ＜4且k ≠0． (2)若方程有两个相等的实数根，则△＝b 2－4ac ＝144—36k ＝0，解得k ＝4． (3)若方程没有实数根，则△＝b 2－4ac ＝144－36k ＜0，解得k ＞4．类型六设计方案解决几何图形面积问题【例6】(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪? (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．”他的说法对吗?请说明理由．分析：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的一段长优咖，则较长的一段长(40－m)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确．解：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ，由题意，得22405844x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x 1＝12，x 2＝28．当x ＝12时，40－x ＝40－12＝28，当x ＝28时，40－x ＝40－28＝12＜28(舍去)． ∴较短的一段长12 cm ，较长的一段长28 cm.(2)设剪成的较短的一段长m cm ，则较长的一段长(40－m)cm ，由题意，得22404844m m -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得m 2－40m ＋416＝0，∵△＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无解．∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．类型七分类讨论求方程的根【例7】解关于x 的方程(k －1)x 2＋(k －2)x －2k ＝0．(23k >)分析：解含有字母系数的方程，往往要按字母的取值分类讨论．此题有两种情况，k ＝1和k ≠1，当且仅当k ≠1时，二次项系数不为零，才能用一元二次方程的求根公式来解．解：当k ＝1时，原方程为－x －2＝0，∴x ＝－2．当k ≠1时，∵a ＝k －1，b ＝k －2，c ＝－2k ，∴b 2－4ac ＝(k －2)2－4(k －1)(－2k)＝9k 2－12k ＋4＝(3k －2)2≥0， ∴21xk =-，∴11kx k =-，22x =-【解题策略】当二次项系数中含有参数时，要讨论；次项系数是否为零．类型八应用根的判别式判断三角形的形状【例8】已知a ，b ，c 分别是伽c 的三边长，当m ＞0时，关于x 的一元二次方程()()220cx m b x m ++--=有两个相等的实数根，则△ABC 是什么形状的三角形?分析：由方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，得到与m 有关的等式，由m ＞0得a ，b ，c之间的关系，从而判定三角形的形状．解：将方程化为一般形式()()20b c x c b m +-+-=．因为原方程有两个相等的实数根，所以()()()240b c c b m ∆=--+-=，即4m(a 2＋b 2－c 2)＝0，又因为m ＞0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2．根据勾股定理的逆定理知△ABC 是直角三角形．类型九探索含字母系数的一元二次方程的根的情况【例9】已知关于z 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)．(1)当a ，c 异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件?请你写出一个a ，c 同号，且有实数根的一元二次方程，并解这个方程．分析：(1)只需说明b 2－4ac ＞0即可．(2)是一个开放性问题，写出的方程满足a ，c 同号，且b 2－4ac ≥0即可．解：(1)因为a ，c 异号，所以ac ＜O ，所以－4ac ＞0，所以b 2－4ac ＞0，所以，当a ，c 异号时，该方程必有两个不相等的实数根．(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需满足条件b 2－4ac ≥0．例如方程x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1．【解题策略】(2)中并不是任意的方程都可以，它满足的条件是a ，c 同号且b 2－4ac ≥0，而这样的方程有无数个，我们可以选取一些解答较方便的方程。

公式法解一元二次方程

这个式子称为一元二次方程的求根公式
注意1公式中的a,b,c的含义
2 式子b² -4ac≥0
例1 用公式法解方程-5x² =4x-1 解：移项得 5x² +4x-1=0 ∵
∴
∴
∴
例2 用公式法解方程
解移项得 ∵
∴ ∴
∴
2、解一元二次方程各式各法
练习1．用公式法解下列方程
（1）（2）
（3）（4）
5）（6）（7）
1．用公式法解方程
，得到（ B ．
）
A．
C．
D ．
2方程
整理成一般形式后，其中的a,b,c 分别是（）
A
B C
D
C
公式法: 一般地,对于一元二次方程
2+bx+c=0 (a≠0) ax
当b² -4ac≥0时,它的根为:
b b 2 4ac x 2a 4a 2
2
即
b b 2 4ac x 2a 4a 2
2
当
b2-4ac≥0 即
b b 4ac x 2a 4a 2
2
b b 4ac x 2a 2a
2
该式叫一元二次方程的求根公式
b b 4ac x 2a
3、x² -5x=-4 4、2x² -3x-1=0
四、探索发现
X1= X2=
1、从两根的代数式结构上有什么特点？ 2、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？
验证你的结论
2+bx+c=0(a≠0)的两个根若x1，x2是ax
。
一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 c b 那么X1+x2= , X1x2= a a

一元二次方程的解法_公式法

2 −2 2 当 x +1 = 时，有 x = 2 2 − 2 −2 2 当 x +1 = − 时，有 x = 2 2 2 −2 − 2 −2 所以原方程的解为 x1 = . , x2 =
2 2
用配方法解一元二次方程
ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
2
例1 利用求根公式解方程
2 x − 8x + 3 = 0
用配方法解一元二次方程: 用配方法解一元二次方程: 2 x 2 2 解: 移项，得 2 x + 4 x = −1 移项，
2
+ 4x + 1 = 0
1 二次项系数化为1，二次项系数化为，得 x + 2 x = − 1 22 2 2 配方，配方，得 x + 2 x + 1 = − + 1 2 1 2 整理，整理，得 ( x + 1) = 2 2 用直接开平方，用直接开平方，得 x + 1 = ± 2
2
当b2 − 4ac ≥ 0时一元二次方程才有实数根 , .
− b ± b 2 − 4ac 3、代入求根公式 : x = 、 2a
x 4、写出方程的解： x1、 2 、写出方程的解：
分层第116、页分层第、117页
的值。 b − 4ac 的值。
2
3、当、和 b − 4ac 的值带入求根公式计算，就可以求出方程的解。值带入求根公式计算，就可以求出方程的解。
2
b − 4ac ≥ 0 时，把 a, b
例2 利用公式法解方程
x x+2 3 =4
(
)
练Hale Waihona Puke 2 练习用公式法解下列方程

解一元二次方程五种方法

解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法一元二次方程是高中数学中比较重要的一种方程类型，解题方法也非常多样。

下面介绍五种解一元二次方程的方法。

方法一：配方法配方法是一种比较常用的解一元二次方程的方法。

通过给方程两边添加一个适当的常数，使得方程左边变成一个平方式，从而利用完全平方公式求解。

例如，将方程x^2+6x-7=0配成(x+3)^2-16=0的形式，然后利用完全平方公式(x+3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)求解方程。

方法二：公式法公式法是一种利用一元二次方程求根公式解方程的方法。

一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

例如，对于方程x^2+6x-7=0，利用公式x=(-6±√(6^2-4×1×(-7)))/2×1，化简得到x=-3±√16，即x=-7或x=1。

方法三：因式分解当一元二次方程的系数a,b,c都是整数时，可以尝试使用因式分解的方法解方程。

主要思路是将方程左边化成一个二次式的乘积。

例如，对于方程x^2+6x-7=0，可以将其因式分解为(x-1)(x+7)=0，从而解得x=1或x=-7。

方法四：图解法图解法是一种利用平面直角坐标系中的图形来解一元二次方程的方法。

主要思路是将方程左边的二次式与右边的常数b进行比较，从而确定图形的形状。

例如，对于方程x^2+6x-7=0，将其化为x^2+6x=7，可以发现这是一个开口向上的抛物线，与y=7的直线交于两点，即方程的两个解。

方法五：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种利用曲线的切线来近似求解方程的方法。

它的基本思路是从一个初始值开始，利用切线和方程的导数来逐步逼近方程的解。

例如，对于方程x^2+6x-7=0，可以选取一个初始值x0，然后通过迭代公式x=x0-(x0^2+6x0-7)/(2x0+6)来不断逼近方程的解。

当相邻两次迭代值的差小于一定精度时，可以认为迭代已经收敛，此时的迭代值即为方程的解。

解一元二次方程公式法

解一元二次方程公式法
一元二次方程公式法（Quadratic Formula）:
1. 概念：一元二次方程公式法，是解决一元二次方程的方法，即求解ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根。

2. 公式：解上述一元二次方程，可得出以下公式：x1=(-b+√(b2-
4ac))/(2a), x2=(-b-√(b2-4ac))/(2a).
3. 图形解：一元二次方程公式法也可以从图形角度通过找到一元二次函数的交点求解：如函数y=ax2+bx+c的图像，曲线与x轴的两个交点就是一元二次方程的两个根。

4. 求根：一元二次方程的根的具体计算的方法如下：首先判断b2-4ac 的值，根据不同情况有以下三种情况：
（1）b2-4ac>0，表示有两个不相等的实根，则可使用上述公式；
（2）b2-4ac=0，表示有两个重根，则可令x= -b/(2a)；
（3）b2-4ac<0，表示无解，即方程无根。

一元二次方程四大解法

解一元二次方程有四种常见的方法，分别是：
1. 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，将方程化简为两个一次方程相乘的形式，然后解出方程的根。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，然后解出x 的值为-2 和-3。

2. 完全平方法：将一元二次方程表示成完全平方的形式，然后解方程。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以写成(x + 3)^2 = 0，然后解出x 的值为-3。

3. 公式法：利用求根公式解一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 是已知常数，而x 是未知数。

根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)，可以计算出方程的根。

需要注意的是，当判别式b^2 - 4ac 小于0 时，方程没有实数根。

4. 完全平方差法：将一元二次方程表示成两个平方数之差的形式，然后解方程。

例如，对于方程x^2 - 4x - 5 = 0，可以写成(x - 2)^2 - 9 = 0，然后解出x 的值为 2 ±3。

以上是解一元二次方程的四种常见方法。

根据具体的方程形式和求解需求，选择适合的方法进行求解。

希望以上信息对你有所帮助。