高考函数解题技巧方法总结(经典)

高中数学函数知识点总结

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()()

例：函数的定义域是

y x x x =

--432

lg

()()()（答：，，，）022334

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零；

● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●

指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ⎪⎭

⎫

⎝

⎛∈+≠∈Z π

πk k x R x ,2

,且

● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ●

反三角函数的定义域

函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是

，函数y

＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义

域是 R ，值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每

一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？

复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x

1

的值域 2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。 3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x

bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1

=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

13. 反函数存在的条件是什么？ 求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）

()

()

如：求函数的反函数f x x

x x

x ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002

()()

（答：）f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1

110()

14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、

反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x

对应原函数中的y ） 2、

反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对

应原函数中的x ）

3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和

点（y ，x ）关于直线y=x 对称

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈⇔=-()b a

[][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()， 15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：

根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系 可以变形为求1212

()()

f x f x x x --的正负号或者12()()f x f x 与1的关系

(2)参照图象：

①若函数f(x)的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）

②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质：

①函数f(x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的

②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与1()

f x 在f(x)的同号区间里反向变化。 ⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

⑦若函数y ＝f(x)是严格单调的，则其反函数x ＝f －1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。