概率论与数理统计(第三章第4节)共51页

于是 P{Xk= 0}= P{Y≤k} = exdx = 1 ek
P{Xk= 1}= P{Y > k} = exdx = ek
得到
Xk
0
1
P{Xk = i } 1 ek ek
k =1, 2
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再求出(X1, X2)的联合分布律
Y
0
1
X
0
1 e1 0
1
e1 e2 e2
因为
P{ X1= 0, X2= 0 } = P{Y≤1, Y≤2 } P{ X1= 0, X2= 1 } = P{Y≤1, Y＞2 } P{ X1= 1, X2= 0 } = P{ 1＜Y≤2 } P{ X1= 1, X2= 1 } = P{Y＞1, Y＞2 }
2
Y P{Y = yj }
Z －1 0 1 P{Z = zk }
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例2. 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合分布 律:
Y 012 X －1
1
求: Z = X+Y 的分布律。
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解. 对应于 X, Y 取值的 Z = X+Y 的值
是
ZY 0 1 2
X
－1 －1 0 1
1
1 23
得到 Z 的分布律为
对分布函数 FY (y) 求导, 即得到
fY(y) 21y[fX(
y)fX(y)]y0
0
y0
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一般的, Y = g(X) 时
解决问题
的出发点
FY (y) = P{Y≤y } = P{ g(X)≤y }
◆求解的关键
想办法将不等式 “ g(X)≤y ” 等价转换 为关于 X 的不等式 “ X≤··· ” , 再利用 X 的概率密度求出所需结果。
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像例4 这种连续型随机变量的函数是 离散型随机变量的题目, 其核心的运算是 利用概率密度计算概率。
下面要解决的主要问题是: 当 g(X) 或 G( X, Y ) 为连续型随机变 量时, 由 X 或 ( X, Y ) 的概率密度去确定 g(X) 或 G( X, Y ) 的概率密度。
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◆ Y = g(X) 的概率密度 例5. 已知随机变量 X 的概率密度为
i 0
C k i
ki
e e 1 1 2
2
i
i0 i! (ki)! k
e(12) k!
k k! i i0i!(ki)!1
ki 2
1(
k!
1
) e k (12)
2
k0 ,1 ,2 ,
所以, X+Y ~ P(1+2) 。 10
◆例3 的结论称为泊松分布具有 “再生 性”。还可以证明
◆二项分布也具有再生性 设 X、Y 相互独立, X ~ B ( n1, p ),
连续函数 fX (x) , 求: Y = X 2 的概率密度 fY ( y)。 求解思路: 首先确定分布函数, 然后确定
概率密度。
解. FY (y) = P{Y≤y } = P{ X 2≤y }, 有
当 y≤0 时, FY (y) = 0;
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当y > 0 时, F Y ( y ) P { y X y } F X (y ) F X ( y )
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◆ 当Z = g(X) 时,
P{ Z = zk } = P{ g(X) = zk } = P{ X = xi }
对满足 g( xi ) = zk 的 xi 求和
◆当Z = G( X, Y ) 时,
P{ Z = zk } = P{ X = xi , Y = yj }
对满足 G( xi , yj) = zk 的 xi 与 yj 求和
Y ~ B ( n2, p ), 则有 X +Y ~ B ( n1+n2, p )。 从二项分布的直观背景也可解释其再
生性。而且, 利用数学归纳法, 还可以得 到如下的重要结论。
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◆ 设随机变量 X1, X2, ···, Xn 相互独立, 均 服从同样的 (0-1) 分布, 即 B( 1, p), 则 X1+X2+ ···+Xn ~ B( n, p) 直观上, 考虑 n 重贝努里试验, 以 Xi
1. 离散型随机变量的函数的分布律 当X 或 ( X, Y ) 是离散型随机变量时, 它们的函数仍然是离散型的随机变量。 例1. 设随机变量 X 具有分布律
求: Y = 2X 以及 Z = sin X 的分布律。
1
解. 首先由 X 的可能取值确定 Y 及 Z 的取值:
X Y = 2X Z = sin X －1 0 1 0 得到随机变量函数 Y 及 Z的分布律为:
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例3. 设随机变量 X、Y 相互独立, 均服
从泊松分布, X ~ P(1) , Y ~ P(2) , 证明: X+Y ~ P(1+2)
证: X、Y 的可能取值都是0, 1, 2, ··· 于是 X+Y 的可能取值也是0, 1, 2, ···并且
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k
P { X Y k } P { X i}P { Y k i}
例4. 设随机变量Y 服从参数为 = 1的
指数分布, 定义随机变量
{0, 若Y≤k;
Xk= 1, 若Y > k。 k =1, 2
求: X1, X2的分布律及(X1, X2)的联合分布律。
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解. X1, X2 的可能取值都是 0, 1; Y 的
{ 概率密度是
ex 当 x > 0;
fY(y) = 0 当 x≤0。
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当随机变量取整数值时, 可以得到如 下更具体的公式:
◆设离散型随机变量 X、Y 的可能取值 是 0, 1, 2, ··· 则 X+Y 的分布律是
k
P { X Y k } P { X i,Y k i} i 0
如果 X,Y 相互独立
还有
k
P{Xi}P{Yki} i0
k = 0, 1, 2, ···
表示第 i 次试验时事件 A 的发生次数, 则 X1+X2+ ···+Xn 就是n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数, 服从 B( n, p)。
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2. 连续型随机变量的函数的分布
当X 或 ( X, Y ) 是连续型随机变量, 它 们的函数 g(X) 或 G( X, Y ) 可以是连续型 随机变量, 也可以是离散型随机变量。
当函数 g(x) 满足一定条件时, 上述等 价转换比较容易实现。比如, g(x) 为单调 函数时, 有如下的公式:
Z 1 0 1 2 3
P{Zzk}
Hale Waihona Puke Baidu
1 6
1 6
111 3 124
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记 Z = g(X) 或 Z = G( X, Y ), 求 Z 的 分布律的一般步骤是：
(1) 确定 Z 的所有可能取值 zk, k = 1, 2, ···; zk = g(xi) 或 G(xi, yj)
(2) 计算概率值 P{ Z = zk }, 有如下公式