概率论与数理统计(第三章第4节)共51页
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概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章 随机向量
概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随 机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的 分布的概率密度。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X
X
Y
Y
概率论与数理统计
解: (1)串联情况
X
Y
概率论与数理统计
(2)并联情况
X
Y
感谢聆听 批评指导
概率论与数理统计
二维正态分布 若(X.,Y)的概率密度为
概率论与数理统计
4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设 数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
概率论与数理统计
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.
概率论与数理统计课件第三章ppt
Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函 数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2
高等教育出版社《概率论与数理统计统计》第3章
pi j 0, p 1 i j ij
Y X y1 y2
1 11 12
分布列 X 和Y 的 联合分布列 可表示为 表格形式
… yj p1j p2j . . . pij . . .
P ( X xj ) p j
pj 0; p 1 . j j
y
规范性) 0 F( x, y)1 且 ) (, ) 0lim (, y ) 20 (非负性) 即,对任意固定的 y,F(,x, y F是单调不减函数F ( x ,) 1; x, F 对任意固定的 x,F( x, x,)F ( x,) 0, y, F (, y ) 0. y 是单调不减函数, 30 (右连续性)
2. 二维随机变量的分布函数 定义1设(X, Y)是二维随机变量,
x , y R , 二元函数
F ( x,) y ) P{ ( X x ) (Y y ) } P ( X x ,)Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，也称为随机变量 X 与 Y 的 联合分布.
0.375 0.3875 0.2000
3
pi
0.0375
0.3750
0
0.3875
0
0.2000
0
0.0375
0.0375
三、二维连续型随机变量
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y) 随机变量X 的分布函数F(x) 类比 若 f ( x ) 0 若 f ( x, y ) 0 x (-, +) 实数 x, y P87 定义4
xi x y j y { X {iX i }j {Y{ j )i } {Y j } P( , Y } X } P( Y j X i ) P( X i ) F(2, 2) pij
概率论与数理统计第三章
P ( X Y 1) 1 2dxdy . 2 D
x y 1
y=x G D O 1 x+y=1 x
f ( x, y )dxdy
(2)
P(Y X )
2
dx
0
1
x
2
x
2dy 1 / 3 .
y 1 0
y = x2
y=x G
1 x
(3) P(| X | 0.3) P(0.3 X 0.3)
pij P( X xi ) P(Y y j X xi ) .
例3.1.1 设随机变量X在1,2,3三个整数中等可能取值，另一个随机 变量Y在1~X中等可能地取一整数值，求(X,Y)的概率分布。
解：由假设，随机变量X的可能取值为1,2,3. 而Y≤X，故Y 的可能取值范围也 为1,2,3. 首先，当 j>i 时，{X=i,Y=j} 为不可能事件，故 P(X=i,Y=j)=0，j>i. 当 j≤i 时，根据概率的乘法公式，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)•P(Y=j | X=i) =1/i • 1/3，i=1,2,3. 由此得(X, Y)的概率分布如下：
3.2 边缘分布
二维随机变量的联合分布是把(X，Y)看作一个整体的 分布。其中分量X和Y都是一维随机变量，也有各自的 分布，分别称X和Y的分布为二维随机变量(X，Y)关于 X和Y的边缘分布。 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，分别记 关于X和Y的边缘分布函数为Fx(x)和Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数F(x，y)来确定。
x y 1
y=x G D O 1 x+y=1 x
f ( x, y )dxdy
(2)
P(Y X )
2
dx
0
1
x
2
x
2dy 1 / 3 .
y 1 0
y = x2
y=x G
1 x
(3) P(| X | 0.3) P(0.3 X 0.3)
pij P( X xi ) P(Y y j X xi ) .
例3.1.1 设随机变量X在1,2,3三个整数中等可能取值，另一个随机 变量Y在1~X中等可能地取一整数值，求(X,Y)的概率分布。
解：由假设，随机变量X的可能取值为1,2,3. 而Y≤X，故Y 的可能取值范围也 为1,2,3. 首先，当 j>i 时，{X=i,Y=j} 为不可能事件，故 P(X=i,Y=j)=0，j>i. 当 j≤i 时，根据概率的乘法公式，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)•P(Y=j | X=i) =1/i • 1/3，i=1,2,3. 由此得(X, Y)的概率分布如下：
3.2 边缘分布
二维随机变量的联合分布是把(X，Y)看作一个整体的 分布。其中分量X和Y都是一维随机变量，也有各自的 分布，分别称X和Y的分布为二维随机变量(X，Y)关于 X和Y的边缘分布。 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，分别记 关于X和Y的边缘分布函数为Fx(x)和Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数F(x，y)来确定。
南京工程学院《概率论与数理统计》第三章课件 盛骤
1
显然，P{X = 3, Y = 4}= 0 P{X =3} P{Y =4}=(1/4)(3/48) . 即 X 、Y 不独立.
3 . 连续随机变量相互独立的充分必要条件(证)
连续随机变量 X, Y 相互独立 对所有的实数 x, y ， 都成立： f ( x ,y ) = f X ( x ) f Y ( y ) .
…
P ( X x i , Y y j ) pij ,
i , j 1, 2,
,记
…
…
y3 p13 称之为二维离散型随机变量 X , Y 的分布律 ,. . . . . . 或随机变量X和Y 的联合分布律.
…
联 合 分 布 律 的 性 质 Y
性质1 对任意的 i , j ， 有 p 性质2
( 1 ) 求分布函数 F ( x ，y ) ； ( 2 ) 计算 P { Y ≤ X }（结合图形）.
解
( 1 ) 对任意的 x ＞0 、 y ＞0 ，
y
F ( x, y )
x
f (u, v )dudv
du 2e ( 2 u v )dv
0 0
y
x
(1 e 2 x )(1 e y ).
F ( x 2 , y 2 )＋ F ( x 1 , y 1 )－ F ( x 1, y 2 )－ F ( x 2 , y 1 ) ≥ 0 .
3. 二维离散型随机变量
一维离散型随机变量X 的分布律
定义2 如果二维随机变量
X ,Y 全部可能取到的不相同
的值是有限对或可列无限多对, 则称
P ( X x k ) p k ,
2
3 4 p i ·= P{ X = xi } X pi . 1 2
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计(浙大版)第三章PPT参考课件
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == pgj j 1, 2,L
i 1
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pig i 1, 2,L
j 1
注意：
X Y y1
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
2020/2/15
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13 x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
1 2
4 x(1
2x)dx
1
1
1
0
23 6
2020/2/15
21
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数
其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：
称为边缘分布函数。
FX (x)，FY ( y)，
F(x, y),
FX (x) F(x, )
事实上，
FY ( y) F(, y)
i 1,2, , m, ; j 1,2, , n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
2020/2/15
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的 性 质 ：
(i, j 1,2, )
p2 p2 j
概率论与数理统计3.4
i 0 k
e
1 2
k! i k i i!(k i)!12 k! i 0
k 1 2
k
(1 2 ) e k!
k 0,1,2,
二维连续r.v.函数的分布 问题 已知r.v.( X ,Y )的d.f.数，
g(x,y)为已知的二元函数，
求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.
则
f ZV ( z, v) f XY [h( z, v), s( z, v)] | J |
证 FZV ( z, v) P(Z z,V v)
XY g ( x , y ) z r ( x , y )v
P( g ( X , Y ) z , r ( X , Y ) v)
f
2
1
FZ ( z ) 1
f Z ( z) 0
0, z 0 或 z 2 f Z ( z ) z, 0 z 1 2 z, 1 z 2
1
2
x
当z<0或z>2, f Z (z) = 0 当 0 ≤ z < 1,
z
3 x, 0 x 1, x z 2 x f ( x, z x ) 其他 0, z
0,
1
z 2
z=x
1
1 x
fY ( z x)dx 0
1
0 1dx,
z
z 0或z 2, 0 z 1,
z1 1dx,
1
1 z 2,
0, f Z ( z ) z, 2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
e
z2 4
概率论与数理统计 第三章
x y e 2u |0 e v |0 , x 0, y 0, 其它, 0,
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0, 其它, 0,
例2-续3
(3)求概率P{Y≤X}. 只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 G={(x,y)|y≤x} 的交集D上积分. 由公式
0 F ( x, y) 1; ;
F ( x, y )关于x、y均单调不减右连续.
分布函数与离散型二维随机变量分布律、连 续型二维随机变量概率密度的关系[见后].
三、离散型二维随机变量
1、二维均匀分布
两种常见的二维连续型分布
设G为一个平面有界区域,其
二维均匀分布
面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密
度为
1 , ( x, y ) G , f ( x, y ) A 0, 其它,
则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为(X,Y)~U(G).
2、二维正态分布
域”的概率.
分布函数具有下列基本性质:
对任意点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 均有：
随机向量落在矩 形区域的概率
P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
F ( x1 , y1 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) 0;
D
x
例2-续4
2 e
0
2 x
(1 e )dx [e
x
2 x
2 3 x 2 1 e ] |0 1 . □ 3 3 3
本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算 的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域 与所求概率的事件区域G来处理这类问题。 就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎 样计算各段值?(板书)
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0, 其它, 0,
例2-续3
(3)求概率P{Y≤X}. 只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 G={(x,y)|y≤x} 的交集D上积分. 由公式
0 F ( x, y) 1; ;
F ( x, y )关于x、y均单调不减右连续.
分布函数与离散型二维随机变量分布律、连 续型二维随机变量概率密度的关系[见后].
三、离散型二维随机变量
1、二维均匀分布
两种常见的二维连续型分布
设G为一个平面有界区域,其
二维均匀分布
面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密
度为
1 , ( x, y ) G , f ( x, y ) A 0, 其它,
则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为(X,Y)~U(G).
2、二维正态分布
域”的概率.
分布函数具有下列基本性质:
对任意点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 均有：
随机向量落在矩 形区域的概率
P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
F ( x1 , y1 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) 0;
D
x
例2-续4
2 e
0
2 x
(1 e )dx [e
x
2 x
2 3 x 2 1 e ] |0 1 . □ 3 3 3
本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算 的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域 与所求概率的事件区域G来处理这类问题。 就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎 样计算各段值?(板书)
茆诗松概率论与数理统计教程第三章 (4)PPT课件
§4 多维随机变量的特征数
这一节里, 我们考察跟多维随机变量相关的有关特 征数的计算.
这里面, 除了我们熟知的各个分量的数学期望和方 差外, 我们将介绍刻画两个变量之间相关关系的 特征数: 协方差以及.我们还简要介绍多维随机 变量作为一个整体(即向量)时的数学期望及协方 差矩阵.
1
整体概述
概述一
点击此处输入
－ x p (x ,y )d d y x － y p (x ,y )d d xy
－ xX p (x)d xyY p (y)dy
EX EY
8
性2质 :若 X,Y相 互 独E立 (XY )， E则 X •EY
一 般 ,若 地 X1,X2, ,Xn相 互,则 独有 立 E(X1X2 Xn)E(X1)E(X2) E(Xn)
E (X 1X 2 X n)E (X 1)E (X 2) E (X n)
注意: 对于这些性质的证明, 我们仅给出连续型情 形的证明, 离散型情形大家可仿而证之.
7
证明： X,Y)的 设联 （合 p(x密 ,y),X 度 ,Y的 为 边际 为 pX(x),pY(y).
E (XY) (xy)p(x,y)dxdy
本节例E (二 X i)已 p,V求 (a X ir )出 p(1p).
所以根据方差的性质有
E ( X ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) np
V (X a ) V r(X a 1 X r 2 X n )
V (X a 1 ) V r(X a 2 ) r V (X a n )r p ( 1 p ) p ( 1 p ) p ( 1 p )
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概述二
点击此处输入
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概述三
这一节里, 我们考察跟多维随机变量相关的有关特 征数的计算.
这里面, 除了我们熟知的各个分量的数学期望和方 差外, 我们将介绍刻画两个变量之间相关关系的 特征数: 协方差以及.我们还简要介绍多维随机 变量作为一个整体(即向量)时的数学期望及协方 差矩阵.
1
整体概述
概述一
点击此处输入
－ x p (x ,y )d d y x － y p (x ,y )d d xy
－ xX p (x)d xyY p (y)dy
EX EY
8
性2质 :若 X,Y相 互 独E立 (XY )， E则 X •EY
一 般 ,若 地 X1,X2, ,Xn相 互,则 独有 立 E(X1X2 Xn)E(X1)E(X2) E(Xn)
E (X 1X 2 X n)E (X 1)E (X 2) E (X n)
注意: 对于这些性质的证明, 我们仅给出连续型情 形的证明, 离散型情形大家可仿而证之.
7
证明： X,Y)的 设联 （合 p(x密 ,y),X 度 ,Y的 为 边际 为 pX(x),pY(y).
E (XY) (xy)p(x,y)dxdy
本节例E (二 X i)已 p,V求 (a X ir )出 p(1p).
所以根据方差的性质有
E ( X ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n ) np
V (X a ) V r(X a 1 X r 2 X n )
V (X a 1 ) V r(X a 2 ) r V (X a n )r p ( 1 p ) p ( 1 p ) p ( 1 p )
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概述二
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概述三
概率论与数理统计第三章
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性 质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须 把(X,Y)作为一个整体加以研究.
研究方法与一维类似，用分布函数、分布律、 或概率密度来描述其统计规律
二. 联合分布函数
X和Y的联合分布函数
F(x, y) P{(X x) (Y y)}
P{X x,Y y}
dx
6e(2 x3 y)dy
0
0
1 7e6
（III）两个常用的二维连续型分布
(1)二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
f
(
x,
y)
1 SD
，
(x, y) D R2
0, 其它
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布.
易见,若(X, Y)在区域D 上(内) 服从均匀分布, 对
则称(X,Y)服从参数为1, 2 ,1, 2 , 的二维正态分布.
记作(
X,Y
)～N(
1 ,
2
,
2 1
,
2
2
,
)
五. 分布函数的概念推广到n维随机变量的情形
事实上, 对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P{X1 x1, X2 x2, … , Xn xn} 称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数, 或随机变量X1, X2, … , Xn的联合分布函数.
...
xi pi1 pi2 ... pij ... pi .
...
p .j p .1 p .2 ... p .j
例1. 已知(X,Y)的分布律为右图 X Y 1 0
研究方法与一维类似，用分布函数、分布律、 或概率密度来描述其统计规律
二. 联合分布函数
X和Y的联合分布函数
F(x, y) P{(X x) (Y y)}
P{X x,Y y}
dx
6e(2 x3 y)dy
0
0
1 7e6
（III）两个常用的二维连续型分布
(1)二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
f
(
x,
y)
1 SD
，
(x, y) D R2
0, 其它
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布.
易见,若(X, Y)在区域D 上(内) 服从均匀分布, 对
则称(X,Y)服从参数为1, 2 ,1, 2 , 的二维正态分布.
记作(
X,Y
)～N(
1 ,
2
,
2 1
,
2
2
,
)
五. 分布函数的概念推广到n维随机变量的情形
事实上, 对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P{X1 x1, X2 x2, … , Xn xn} 称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数, 或随机变量X1, X2, … , Xn的联合分布函数.
...
xi pi1 pi2 ... pij ... pi .
...
p .j p .1 p .2 ... p .j
例1. 已知(X,Y)的分布律为右图 X Y 1 0
概率论与数理统计第三章
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第18页
解: P{ X<2, Y<1}
2 1
{x 2, y 1}
y
p( x, y )dxdy
1 2
dx 6e ( 2 x 3 y ) dy
0 0
6 e dx e dy
2 x 3 y 0 0
2
1
{x<2, y<1}
y 1 x2
x y 1
2 2
y
其 它
-1 1 x
当|x|>1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0 当|x|≤1时,
p ( x)
1 x2
1 2 2 d y 1 x 1 x2
y 1 x2
不是均匀分布
6 December 2014
华东师范大学
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第三章 多维随机变量及其分布
第22页
二、多维超几何分布
口袋中有 N 只球，分成 r 类 。 第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+……+Nr = N. 从中任取 n 只， 记 Xi 为取出的n 只球中第i 种球的只数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：
P146 例3.1.5
注意： P (X ,Y ) D p( x, y)dxdy
D
在
偏导数存在的点上有
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6 December 2014
第三章 多维随机变量及其分布
第15页
例3.1.2
Ae (2 x 3 y ) , x 0, y 0 若 (X, Y) ～ p( x, y ) 0, 其 它
第三章概率论与数理统计——矿大版
解 ⑴ 由性质
A dx
0 1
f ( x, y )dxdy 1 可得
y yx
G 0
x
xy dy 1 A 15
2
0
1 x
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机动
目录
所以
15 xy , f ( x, y ) , 0
2
0 y x 1, others.
⑵ 由于 F ( x, y )
则 FX (x) P{ X x} P{ X x , Y } F ( x,)
同理可得 FY ( y) F (, y )
研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
例1: 已知 ( X , Y )的分布函数为
(1 e F ( x, y )
P{ X xi , Y y j } pi j
(i , j 1 , 2 , )
称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律。 性质：1)
pi j 0
2)
p
i 1 j 1
ij
1
机动
目录
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返回
结束
将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， 例1、 Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： X 1 2 3 4 5 6 Y 1 2 3 4 5 6
2 2
f ( x, y )dydx
12 dydx
பைடு நூலகம்
0
3
4
( x 9)( y 16)
2
.
例6 已知 ( X , Y ) 的概率密度为
Axy , f ( x, y ) , 0
概率论与数理统计第3章
i
31
二维离散型随机变量的边缘分布
关于X的边缘分布列
X
x1
x2
x3
…
概率 P1.
P2.
P3.
…
pi P{X xi} pij
关于Y的边缘分布列
j
Y
y1
y2
y3
…
概率 P.1
P.2
P.3
…
p j P{Y y j} pij
32
i
16
2019-9-16
例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
30
15
2019-9-16
二维离散型随机变量的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
关于X的边缘分布律 关于Y的边缘分布律
pi P{X xi} pij
j
p j P{Y y j} pij
22
11
2019-9-16
第4节 常见多维随机变量
23
1. 多项分布
在独立重复试验中，设每次实验必有A1, A2 , , Ar 之一发生，且事件Ai在每次实验中发生的概率为pi， 记Xi为Ai出现的次数，则 X1, X 2 , , X r 的分布律为
P{X1 n1, X 2 n2 , , X r nr}
20
10
2019-9-16
(4) P{X Y} f (x, y)dxdy y x 0, y 0
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e 1 1 2
2
i
i0 i! (ki)! k
e(12) k!
k k! i i0i!(ki)!1
ki 2
1(
k!
1
) e k (12)
2
k0 ,1 ,2 ,
所以, X+Y ~ P(1+2) 。 10
◆例3 的结论称为泊松分布具有 “再生 性”。还可以证明
◆二项分布也具有再生性 设 X、Y 相互独立, X ~ B ( n1, p ),
Y ~ B ( n2, p ), 则有 X +Y ~ B ( n1+n2, p )。 从二项分布的直观背景也可解释其再
生性。而且, 利用数学归纳法, 还可以得 到如下的重要结论。
11
◆ 设随机变量 X1, X2, ···, Xn 相互独立, 均 服从同样的 (0-1) 分布, 即 B( 1, p), 则 X1+X2+ ···+Xn ~ B( n, p) 直观上, 考虑 n 重贝努里试验, 以 Xi
于是 P{Xk= 0}= P{Y≤k} = exdx = 1 ek
P{Xk= 1}= P{Y > k} = exdx = ek
得到
Xk
0
1
P{Xk = i } 1 ek ek
k =1, 2
14
再求出(X1, X2)的联合分布律
Y
0
1
X
0
1 e1 0
1
e1 e2 e2
因为
P{ X1= 0, X2= 0 } = P{Y≤1, Y≤2 } P{ X1= 0, X2= 1 } = P{Y≤1, Y＞2 } P{ X1= 1, X2= 0 } = P{ 1＜Y≤2 } P{ X1= 1, X2= 1 } = P{Y＞1, Y＞2 }
1. 离散型随机变量的函数的分布律 当X 或 ( X, Y ) 是离散型随机变量时, 它们的函数仍然是离散型的随机变量。 例1. 设随机变量 X 具有分布律
求: Y = 2X 以及 Z = sin X 的分布律。
1
解. 首先由 X 的可能取值确定 Y 及 Z 的取值:
X Y = 2X Z = sin X －1 0 1 0 得到随机变量函数 Y 及 Z的分布律为:
2
Y P{Y = yj }
Z －1 0 1 P{Z = zk }
3
例2. 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合分布 律:
Y 012 X －1
1
求: Z = X+Y 的分布律。
4
解. 对应于 X, Y 取值的 Z = X+Y 的值
是
ZY 0 1 2
X
－1 －1 0 1
1
1 23
得到 Z 的分布律为
Z 1 0 1 2 3
P{Zzk}
1 6
1 6
111 3 124
5
记 Z = g(X) 或 Z = G( X, Y ), 求 Z 的 分布律的一般步骤是：
(1) 确定 Z 的所有可能取值 zk, k = 1, 2, ···; zk = g(xi) 或 G(xi, yj)
(2) 计算概率值 P{ Z = zk }, 有如下公式
对分布函数 FY (y) 求导, 即得到
fY(y) 21y[fX(
y)fX(y)]y0
0
y0
18
一般的, Y = g(X) 时
解决问题
的出发点
FY (y) = P{Y≤y } = P{ g(X)≤y }
◆求解的关键
想办法将不等式 “ g(X)≤y ” 等价转换 为关于 X 的不等式 “ X≤··· ” , 再利用 X 的概率密度求出所需结果。
例4. 设随机变量Y 服从参数为 = 1的
指数分布, 定义随机变量
{0, 若Y≤k;
Xk= 1, 若Y > k。 k =1, 2
求: X1, X2的分布律及(X1, X2)的联合分布律。
13
解. X1, X2 的可能取值都是 0, 1; Y 的
{ 概率密度是
ex 当 x > 0;
fY(y) = 0 当 x≤0。
8
例3. 设随机变量 X、Y 相互独立, 均服
从泊松分布, X ~ P(1) , Y ~ P(2) , 证明: X+Y ~ P(1+2)
证: X、Y 的可能取值都是0, 1, 2, ··· 于是 X+Y 的可能取值也是0, 1, 2, ···并且
9
k
P { X Y k } P { X i}P { Y k i}
当函数 g(x) 满足一定条件时, 上述等 价转换比较容易实现。比如, g(x) 为单调 函数时, 有如下的公式:
表示第 i 次试验时事件 A 的发生次数, 则 X1+X2+ ···+Xn 就是n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数, 服从 B( n, p)。
12
2. 连续型随机变量的函数的分布
当X 或 ( X, Y ) 是连续型随机变量, 它 们的函数 g(X) 或 G( X, Y ) 可以是连续型 随机变量, 也可以是离散型随机变量。
7
当随机变量取整数值时, 可以得到如 下更具体的公式:
◆设离散型随机变量 X、Y 的可能取值 是 0, 1, 2, ··· 则 X+Y 的分布律是
k
P { X Y k } P { X i,Y k i} i 0
如果 X,Y 相互独立
还有
k
P{Xi}P{Yki} i0
k = 0, 1, 2, ···
6
◆ 当Z = g(X) 时,
P{ Z = zk } = P{ g(X) = zk } = P{ X = xi }
对满足 g( xi ) = zk 的 xi 求和
◆当Z = G( X, Y ) 时,
P{ Z = zk } = P{ X = xi , Y = yj }
对满足 G( xi , yj) = zk 的 xi 与 yj 求和
连续函数 fX (x) , 求: Y = X 2 的概率密度 fY ( y)。 求解思路: 首先确定分布函数, 然后确定
概率密度。
解. FY (y) = P{Y≤y } = P{ X 2≤y }, 有
当 y≤0 时, FY (y) = 0;
17
当y > 0 时, F Y ( y ) P { y X y } F X (y ) F X ( y )
15
像例4 这种连续型随机变量的函数是 离散型随机变量的题目, 其核心的运算是 利用概率密度计算概率。
下面要解决的主要问题是: 当 g(X) 或 G( X, Y ) 为连续型随机变 量时, 由 X 或 ( X, Y ) 的概率密度去确定 g(X) 或 G( X, Y ) 的概率密度。
16
◆ Y = g(X) 的概率密度 例5. 已知随机变量 X 的概率密度为
2
i
i0 i! (ki)! k
e(12) k!
k k! i i0i!(ki)!1
ki 2
1(
k!
1
) e k (12)
2
k0 ,1 ,2 ,
所以, X+Y ~ P(1+2) 。 10
◆例3 的结论称为泊松分布具有 “再生 性”。还可以证明
◆二项分布也具有再生性 设 X、Y 相互独立, X ~ B ( n1, p ),
Y ~ B ( n2, p ), 则有 X +Y ~ B ( n1+n2, p )。 从二项分布的直观背景也可解释其再
生性。而且, 利用数学归纳法, 还可以得 到如下的重要结论。
11
◆ 设随机变量 X1, X2, ···, Xn 相互独立, 均 服从同样的 (0-1) 分布, 即 B( 1, p), 则 X1+X2+ ···+Xn ~ B( n, p) 直观上, 考虑 n 重贝努里试验, 以 Xi
于是 P{Xk= 0}= P{Y≤k} = exdx = 1 ek
P{Xk= 1}= P{Y > k} = exdx = ek
得到
Xk
0
1
P{Xk = i } 1 ek ek
k =1, 2
14
再求出(X1, X2)的联合分布律
Y
0
1
X
0
1 e1 0
1
e1 e2 e2
因为
P{ X1= 0, X2= 0 } = P{Y≤1, Y≤2 } P{ X1= 0, X2= 1 } = P{Y≤1, Y＞2 } P{ X1= 1, X2= 0 } = P{ 1＜Y≤2 } P{ X1= 1, X2= 1 } = P{Y＞1, Y＞2 }
1. 离散型随机变量的函数的分布律 当X 或 ( X, Y ) 是离散型随机变量时, 它们的函数仍然是离散型的随机变量。 例1. 设随机变量 X 具有分布律
求: Y = 2X 以及 Z = sin X 的分布律。
1
解. 首先由 X 的可能取值确定 Y 及 Z 的取值:
X Y = 2X Z = sin X －1 0 1 0 得到随机变量函数 Y 及 Z的分布律为:
2
Y P{Y = yj }
Z －1 0 1 P{Z = zk }
3
例2. 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合分布 律:
Y 012 X －1
1
求: Z = X+Y 的分布律。
4
解. 对应于 X, Y 取值的 Z = X+Y 的值
是
ZY 0 1 2
X
－1 －1 0 1
1
1 23
得到 Z 的分布律为
Z 1 0 1 2 3
P{Zzk}
1 6
1 6
111 3 124
5
记 Z = g(X) 或 Z = G( X, Y ), 求 Z 的 分布律的一般步骤是：
(1) 确定 Z 的所有可能取值 zk, k = 1, 2, ···; zk = g(xi) 或 G(xi, yj)
(2) 计算概率值 P{ Z = zk }, 有如下公式
对分布函数 FY (y) 求导, 即得到
fY(y) 21y[fX(
y)fX(y)]y0
0
y0
18
一般的, Y = g(X) 时
解决问题
的出发点
FY (y) = P{Y≤y } = P{ g(X)≤y }
◆求解的关键
想办法将不等式 “ g(X)≤y ” 等价转换 为关于 X 的不等式 “ X≤··· ” , 再利用 X 的概率密度求出所需结果。
例4. 设随机变量Y 服从参数为 = 1的
指数分布, 定义随机变量
{0, 若Y≤k;
Xk= 1, 若Y > k。 k =1, 2
求: X1, X2的分布律及(X1, X2)的联合分布律。
13
解. X1, X2 的可能取值都是 0, 1; Y 的
{ 概率密度是
ex 当 x > 0;
fY(y) = 0 当 x≤0。
8
例3. 设随机变量 X、Y 相互独立, 均服
从泊松分布, X ~ P(1) , Y ~ P(2) , 证明: X+Y ~ P(1+2)
证: X、Y 的可能取值都是0, 1, 2, ··· 于是 X+Y 的可能取值也是0, 1, 2, ···并且
9
k
P { X Y k } P { X i}P { Y k i}
当函数 g(x) 满足一定条件时, 上述等 价转换比较容易实现。比如, g(x) 为单调 函数时, 有如下的公式:
表示第 i 次试验时事件 A 的发生次数, 则 X1+X2+ ···+Xn 就是n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数, 服从 B( n, p)。
12
2. 连续型随机变量的函数的分布
当X 或 ( X, Y ) 是连续型随机变量, 它 们的函数 g(X) 或 G( X, Y ) 可以是连续型 随机变量, 也可以是离散型随机变量。
7
当随机变量取整数值时, 可以得到如 下更具体的公式:
◆设离散型随机变量 X、Y 的可能取值 是 0, 1, 2, ··· 则 X+Y 的分布律是
k
P { X Y k } P { X i,Y k i} i 0
如果 X,Y 相互独立
还有
k
P{Xi}P{Yki} i0
k = 0, 1, 2, ···
6
◆ 当Z = g(X) 时,
P{ Z = zk } = P{ g(X) = zk } = P{ X = xi }
对满足 g( xi ) = zk 的 xi 求和
◆当Z = G( X, Y ) 时,
P{ Z = zk } = P{ X = xi , Y = yj }
对满足 G( xi , yj) = zk 的 xi 与 yj 求和
连续函数 fX (x) , 求: Y = X 2 的概率密度 fY ( y)。 求解思路: 首先确定分布函数, 然后确定
概率密度。
解. FY (y) = P{Y≤y } = P{ X 2≤y }, 有
当 y≤0 时, FY (y) = 0;
17
当y > 0 时, F Y ( y ) P { y X y } F X (y ) F X ( y )
15
像例4 这种连续型随机变量的函数是 离散型随机变量的题目, 其核心的运算是 利用概率密度计算概率。
下面要解决的主要问题是: 当 g(X) 或 G( X, Y ) 为连续型随机变 量时, 由 X 或 ( X, Y ) 的概率密度去确定 g(X) 或 G( X, Y ) 的概率密度。
16
◆ Y = g(X) 的概率密度 例5. 已知随机变量 X 的概率密度为