《高观点下中学数学——分析学》练习题答案

《高观点下中学数学——分析学》练习题一参考答案

一、填空题

1.⊂，

2.}},{},{},{}{,{b a b a a ，∅，

3. 满射，

4.代数数，

5.)1ln()(x x f +=，

6.下凸

7.传递的；

8.双射；

9.)()(lim a f x f a

x =→；10.1）)()(),(),,0(,y x y x y x ϕϕϕ+=+∞∈∀;

11.1）)()()()()(τττs t s c t c t c +=-， 12. xFy 。13.⊂；14、{,{∅甲}，{乙}，{甲，乙}}；15、单射；16、未知函数；17、1)2

(=π

f ；18、上凸; 19.传递性； 20. 0x <-εβ；

21.可导； 22. )()()(y f x f y x f =+；23. )()(2)()(τττc t c t c t c =-++；

24.b ax +（其中b a ,为常数）.25．C A -； 26.⊂； 27.,E x ∈∀有β≤x ； 28.收敛的子列}{k n x ； 29.)()(y L x L -；30.1-.

二、单项选择题

1.B ;

2.A ;

3.C ;

4.D ;

5.D ;

6.C ;

7.C ；

8.C ；

9.D ；10.B ；11. D ；12. A

13.D; 14.B; 15.C; 16.C; 17.D; 18. A; 19.C; 20.B; 21.A; 22.B; 23.D ;24.A; 25D ； 27B ； 27. A ；28.C ； 29.D ；30.A

三、计算题 1解 iy

x iy x z +-=

， 2分

22y x iy x +=-，22y x iy x +=+ 7分

故1=z 8分 2设x

t 2=，则t x 2log =， 3分 代入得

t t t f 222log sin )(log )(+=

x x x f 222log sin )(log )(+= 8分

3．解]cos )sin 1(cos )sin 2[()

sin 2(1

)(2

x x x x x x f ++--=

' 3分 令0)(='x f ，得0cos =x ，2

2π

π±=k x

易验证2

2π

π+=k x 是极大值点，2

2π

π-

=k x 是极小值点， 6分

极大值21211)2

2(=-+=

+

π

πk f ，极小值0)2

2(=-π

πk f 8分 4.解 显然1+

→lim 存在， 设a a n n =∞→lim ，由18-+=n n a a 可得a a +=

8， 5分

即082

=--a a ， 解得)331(2

1

2)3211(+=++=

a

5.解 首先计算过点M 的切线的斜率16822=='===x x x y k 4分 所求的切线方程为

)2(1619-=-x y

即 1316-=x y 8分 6.解 已知x x

f x f 3)1

()(2=+ （1） 将

x

1

代替x ，得 x

x f x

f 3

)()1(2=

+ （2） 4分 )2(2)1(-⨯得

x x x f x f x f x f 3

6)()1(2)1(2)(4-

=--+

x

x x f 1

2)(-= 8分

7.解 已知在),0(π内，x sin 是上凸函数，由上凸函数的定义有

2

24sin 2sin )sin (sin 21==+≥+πy x y x 5分 即 2sin sin ≥

+y x

而且当4

π=

=y x 时，24

sin

4

sin

=+π

π

，故2是y x sin sin +的最小值。 8分

8.解 设ib a z +=，则2

22z b a =+ 3分 因1=+÷-=iy x iy x z ，故12

2=+b a

9.解 因为},,max{3},,max{321321321a a a a a a a a a n n n

n n ≤++<,故有 },,m ax {3lim lim },,m ax {321321321a a a a a a a a a n n n

n

n n n ∞

→∞

→≤++≤ 5分

所以有

},,max {lim

321321a a a a a a n n

n n n =++∞

→ 8分

10.解⎩⎨

⎧=='3

)2(2)(y x

x y

由方程可得，c x y +=2

，由3)2(=y 得1-=c ，即12

-=x y 8分

11.解 已知242=+-+y y x x ，对两端关于x 求导，得 04)(11='+'--+

x x y y x y

x 4分

由y

x y x y

x y x y x --+-=

---+

=

'4114

1

11 8分

12. 解 已知63)()2(2+=+-x x f x f （1） 令t x =-2，即t x -=2，得

x x f x f 312)2()(2-=-+ （2） （2）)1(2-⨯得

63624)()2(2)2(2)(4---=----+x x x f x f x f x f 6分

即x x f 918)(3-=，x x f 36)(-= 13. 解 方程两边对x 求导，求出y '，即

04

9='+y y

x 3分