渐开线斜齿轮的接触分析_尹长城
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图 4 施加约束和载荷
5 仿真结果
接触问题是高度非线性行为, ANSYS 使用牛顿 拉 普森平衡迭代的算法, 即采用带校正的线性近似来求 解。在任何接触问题中, 都要求两个接触面间的接触刚 度, 两接触面间的渗透量就取决于这个接触刚度。一般 来讲[ 6] , 接触刚度越大, 接触穿透就越小, 求解精度将越 高, 但过大的接触刚度使计算效率降低, 甚至会导致总 体刚度矩阵变坏和收敛困难, 接触刚度太低可能引起接 触节点间过度的渗透和较大的相对位移, 可能因此而导 致模拟的接触行为不准确。因此, 接触刚度的设置在所 有的接触问题中非常重要。应该选取足够大的接触刚 度以保证接触渗透小到可以接受, 但同时应保证收敛 性。
端面压力角, 为螺旋角,
t=
tan arctan( cos
n)=
arctan(
tan20 cos15
)=
20. 65
计算区域系数为 ZH = 2. 42。式( 1) 中的端面重合
度 由式(2) 确定
=
1 2
[
z1( tan
at1-
tan
t)+
z 2( tan
at 2-
tan
t)]
( 2)
由于
at1=
图 2 三维斜齿轮有限元网格模型
3 建立接触对
齿轮接 触为面 面接触, 接触类型为柔体对柔体, 一 般情况下, 相互啮合的齿轮, 小齿轮比大齿轮转速快, 更 容易疲劳破坏, 所以在制造
图 3 部分斜齿的映射网格
过程中小齿轮表面刚度比大齿轮表面刚度大, 根据接触 面和目标面的确定原则, 即如果一个表面比另一个表面 刚度大, 应选刚度大的表面为目标面, 故在有限元分析 中应选小齿轮接触的齿面为目标面, 大齿轮的齿面为接 触面。接 触单 元 采用 Contact174, 目 标单 元 采 用 Target 170。ANSYS 提供的接触算法有拉格朗日乘子法、罚 函数法、增强拉格朗日法, 采用增强拉格朗日算法, 该方 法是拉格朗日乘子法和罚函数法有机结合, 为了找到精 确的拉格朗日乘子( 即接触力) 而对罚函数修正项进行 反复迭代, 与罚函数的方法相比, 增强拉格朗日算法需 要更多的迭代, 得到的分析结果更可靠。
Key words Finite element Helical gear Tooth root stress Contact stress
0 引言
齿轮的弯曲疲劳强度和接触疲劳强度是评价齿轮 承载能力的两个重要尺度, 如果齿面接触强度不够, 齿 面将产生点蚀、剥落、塑性变形等损伤, 为了防止齿面产 生这些损伤, 必须进行齿面的接触强度计算以限制齿面 的接触应力不超过许压值。此外齿轮的齿根应力计算 是齿轮设计的基本问题, 齿轮应力的精确分析是轮齿承 载能力的重要技术保障之一。基于上述认识, 建立比较 精确的分析模型来准确地计算接触应力和齿根应力具 有重要的意义。齿轮接触应力和齿根应力分析计算受 到国内外学者的广泛关注。该方面的研究是基于理论、 有限元法、试验三方面进行的探讨[ 1- 5] 。本文中我们建 立一对相互啮合的渐开线斜齿轮的计算模型, 利用有限 元法计算齿根应力和接触应力, 和将仿真结果与传统计 算结果相比较。
4 边界条件
小齿轮受到的驱动转矩 T = 68400N mm, 加载时需 要在小齿轮轴的中心输入转矩, 由于 SOLID185 单元不 具备转动自由度, 为了实现转动效果, 可以在节点上施 加切向力的方法。把小齿轮的驱动转矩转化成沿其内 径的切向力, 切向力均匀分布在小齿轮内圈节点上, 其 值为驱动转矩除以节点处的半径和节点数目。针对小 齿轮在柱坐标的周向施加切向载荷, 约束小齿轮内圈所 有节点径向和轴向的自由度。此外对大齿轮内圈所有 节点施加全约束。加载后模型, 如图 4 所示。
H = ZEZH
2KT u+ 1
bd
2 1
u
( 1)
式中, ZE=
1( E1
1
2
1+
1E2
2
2)
称为弹性影响系数,
E1、
E2、 1、 2 分别为斜齿轮副的弹性模量和泊松比, 代入
材料参数计算得
ZE = 189. 76 MPa
ZH = 2cos / sin t cos t 称为区域系数, 其中 t 为
表 1 一对斜齿轮建模参数
齿数 z1
齿数 模数 压力角 齿宽
螺旋角
齿顶高系数
来自百度文库
z 2 m/ mm / ( ) b/ mm
/( )
20
25
4
20
30
1
15
针对斜齿轮结构的复杂性和规律性, 进行 APDL 参 数化建模。对于结构相同、尺寸不同的分析模型可以自 动迅速获得新的分析模型, 避免大量重复过程, 提高设 计效率, 依据表 1 斜齿轮啮合几何模型参数, 根据渐开 线曲线方程和齿根过渡曲线方程以及啮合位置的旋转 角度编制程序导入 ANSYS 绘制斜齿轮模型, 斜齿轮副 的二维几何模型如图 1 所示。
arccos(z
z 1cos t 1+ 2cos
) = 31. 42
at2=
arccos(
z
z 2cos t 2+ 2cos
) = 29. 7
所以端面重合度经计算得 = 1. 515; 式( 1) 中 b 为
齿宽; T 为小齿轮所受转矩; d1 为小齿轮分度圆直径; K 为载荷系数, 为使理论解与有限元解对比, 而斜齿轮副
模型属静力分析, 故载荷系数取为 1; u 为大小齿轮齿数 比, 将各物理量数据代入式( 1) , 计算得斜齿轮副的最大
接触应力为
H = 189. 76 2. 42
2 1. 515
1 68400 30 ( 4 20) 2
25/ 20+ 25/ 20
1=
422.
5MPa
有限元的数值解和赫兹应力理论解的计算误差为
一个优良的有限元离散模型应该具有足够多的单 元数目、合理的单元布局以及品质优良的单元形态。
为建立斜齿轮副正确、合理的有限元模型, 首先针 对二 维齿 轮 的几 何 模型 利 用四 节 点平 面 实体 单元 PLANE42 进行映射网格划分。映射网格划分是对规整 模型的一种规整网格划分方法, 对于面, 只能是三或四 条边, 四边形网格划分数需在对边上保持一致, 这样形 成的单元全部为四边形。由于映射网格划分是通过指 定单元边长和网格数量等参数对网格进行严格控制, 然 后根据面积的形状通过映射对其进行网格划分。单元 边长( 或网格数量) 可根据单元质量指标来选择, 这样划 分出来的单元较规则, 且不易发生畸变。二维齿轮模型 的几何形状不符合映射网格划分的规则, 为将其转换成 规则的形状, 需要把面分割成小的四边形或者暗连接两 条或多条线以减少总的边数, 利用第一种方法对二维齿 轮进行处理, 分割齿轮的二维几何模型成为若干四边形 的组合, 然后进行映射网格划分, 在此基础上, 将二维网 格沿螺旋线拉伸成三维有限元网格模型, 如图 2 和图 3 所示。 三 维 实 体 单 元 选 择 八 节 点 六 面 体 单 元 ( SOLID45) , 因斜齿轮接触处一定存在应力急剧变化, 对 于这些部位设定较密的网格, 远离关注部位的区域, 基 于圣维南原理放松要求, 改用较大尺寸的单元作为近似 写照。斜齿 轮 副 有限 元 模 型节 点 数 193914, 单 元数 177408。
1 二维斜齿轮几何模型的建立
在 ANSYS 环境下实现斜齿轮精确建模, 斜齿轮参 数如表 1 所示。
图 1 二维齿轮的几何模型
第 35 卷 第 12 期
渐开线斜齿轮的接触分析
77
2 斜齿轮有限元网格模型的建立
斜齿轮副的材料是锻钢, 小齿轮的弹性模量 E = 211GPa, 泊 松 比 = 0. 277; 大 齿轮 的 弹 性 模量 E = 209GPa, 泊松比 = 0. 259。
值为 251. 7MPa, 大齿轮齿根处最大MISES 应力在受拉侧
为 130. 2MPa, 受压侧为 132. 6MPa。小齿轮齿根应力在
受拉和受压两侧分别为 114. 8MPa, 133. 4MPa, 如图 6 所 示, 图 6 只显示全齿轮模型的两个齿。
图 6 斜齿轮接触处和齿根处 MISIS 应力云图
6 斜齿轮传统理论应力计算
6. 1 斜齿轮接触理论赫兹应力计算 两个弹性体接触处的应力状态的令人满意的分析,
是由赫兹( 1882 年) 提出的, 他的分析结果已得到实验证 实[ 8] 。齿轮接触属于非协调接触, 由于接触面很小, 即 使承受轻载作用, 接触应力也很大, 将渐开线齿轮等效 为弹性圆柱体, 可用赫兹接触压力公式近似计算齿轮接 触的接触应力[ 9] 214- 216
Abstract The contact finite element model is established for helical gear, finite- element analysis of the helical gear is carried out based on nonlinar contact method. The bending stress of tooth root and the contact stress of its surface are gained. On that basis, the simulat ion and tradit ion theory caculat ion result are compared. The results show that ana-l ysis of gear contact by using finite element method is feasible.
一般情况下, 接触刚度的值预估得低一点比预估得
78
机械传动
2011 年
高要好, 由于预估得低引起的渗透问题比预估太高引起
的收敛难题更容易
解决[ 7] 。首先 取 接
触刚度系数 为 0. 1 ( 即 FKN = 0. 1) 进
行计算, 在软件后
处理中查看接触穿
透、接触 应力 和迭
代次数。随着 FKN 的增大, 接触穿透
斜齿轮齿面上的接触线为一斜线, 受载时, 轮齿的
失效形式为局部折断。斜齿轮齿根应力传统的计算公 式为[ 9] 211- 213
F=
2KTYF YS bdm
Y
( 3)
式中, YF 和 YS 分别为斜齿轮的齿形系数和应力校正
系数, 可近似的按当量齿数 zv z / cos2
422. 5- 395. 8 422. 5
100% = 6. 3%
斜齿轮接触的有限元数值解的误差来源于建模误
差, 主要是离散化误差和截断误差。斜齿轮数学模型中
的自由度是无限的而在有限元模型中却是有限的。接
触单元的数量、形函数性质、积分点规则, 接触刚度和接
触穿透的选取等, 都会造成误差, 甚至严重偏差。利用 赫兹理论计算齿轮的接触应力存在较大偏差, 主要体现
76 文章编号: 1004- 2539( 2011) 12- 0076- 04
机械传动
2011 年
渐开线斜齿轮的接触分析
尹长城 陈伯超
( 湖北汽车工业学院, 湖北 十堰 442002)
摘要 建立斜齿轮接触的有限元模型, 基于非线性接触算法对斜齿轮进行有限元分析, 得到斜齿轮的 齿根弯曲应力和啮合齿面的接触应力结果, 在此基础上, 将仿真与传统理论计算结果进行比较, 结果表明, 利用有限元法分析齿轮接触问题是可行的。
图 5 斜齿轮接触应力云图
不断减小、接触应力在趋向精确解, 但迭代次数增大。
经过多次试算, 针对本文中齿轮接触问题找到较为理想
的接触刚度, 即 FKN= 3。此外, 斜齿轮接触不考虑摩擦
的影响, 计算后的接触应力图如图 5 所示。其中最大接 触应力为 395. 8MPa; 最大 MISES 应力发生在接触处, 其
关键词 有限元 斜齿轮 齿根应力 接触应力
Tooth Contact Analysis of Involute Helical Gears
Yin Changcheng Chen Bochao
( Hubei Automotive Industrial Institut e, Shiyan 442002, China)
在将齿轮接触问题与两个圆柱体接触等效而推导的公
式, 且在公式中采用了很多修正系数。如果考虑接触摩
擦的影响, 赫兹公式的误差将更大。
提取合理的齿轮接触力学模型, 创建精细的有限元 模型, 检测误差并不断修正有限元模型, 能使齿轮接触问
题的有限元解更可靠, 比赫兹理论近似计算更精确。
6. 2 斜齿轮理论齿根应力计算
5 仿真结果
接触问题是高度非线性行为, ANSYS 使用牛顿 拉 普森平衡迭代的算法, 即采用带校正的线性近似来求 解。在任何接触问题中, 都要求两个接触面间的接触刚 度, 两接触面间的渗透量就取决于这个接触刚度。一般 来讲[ 6] , 接触刚度越大, 接触穿透就越小, 求解精度将越 高, 但过大的接触刚度使计算效率降低, 甚至会导致总 体刚度矩阵变坏和收敛困难, 接触刚度太低可能引起接 触节点间过度的渗透和较大的相对位移, 可能因此而导 致模拟的接触行为不准确。因此, 接触刚度的设置在所 有的接触问题中非常重要。应该选取足够大的接触刚 度以保证接触渗透小到可以接受, 但同时应保证收敛 性。
端面压力角, 为螺旋角,
t=
tan arctan( cos
n)=
arctan(
tan20 cos15
)=
20. 65
计算区域系数为 ZH = 2. 42。式( 1) 中的端面重合
度 由式(2) 确定
=
1 2
[
z1( tan
at1-
tan
t)+
z 2( tan
at 2-
tan
t)]
( 2)
由于
at1=
图 2 三维斜齿轮有限元网格模型
3 建立接触对
齿轮接 触为面 面接触, 接触类型为柔体对柔体, 一 般情况下, 相互啮合的齿轮, 小齿轮比大齿轮转速快, 更 容易疲劳破坏, 所以在制造
图 3 部分斜齿的映射网格
过程中小齿轮表面刚度比大齿轮表面刚度大, 根据接触 面和目标面的确定原则, 即如果一个表面比另一个表面 刚度大, 应选刚度大的表面为目标面, 故在有限元分析 中应选小齿轮接触的齿面为目标面, 大齿轮的齿面为接 触面。接 触单 元 采用 Contact174, 目 标单 元 采 用 Target 170。ANSYS 提供的接触算法有拉格朗日乘子法、罚 函数法、增强拉格朗日法, 采用增强拉格朗日算法, 该方 法是拉格朗日乘子法和罚函数法有机结合, 为了找到精 确的拉格朗日乘子( 即接触力) 而对罚函数修正项进行 反复迭代, 与罚函数的方法相比, 增强拉格朗日算法需 要更多的迭代, 得到的分析结果更可靠。
Key words Finite element Helical gear Tooth root stress Contact stress
0 引言
齿轮的弯曲疲劳强度和接触疲劳强度是评价齿轮 承载能力的两个重要尺度, 如果齿面接触强度不够, 齿 面将产生点蚀、剥落、塑性变形等损伤, 为了防止齿面产 生这些损伤, 必须进行齿面的接触强度计算以限制齿面 的接触应力不超过许压值。此外齿轮的齿根应力计算 是齿轮设计的基本问题, 齿轮应力的精确分析是轮齿承 载能力的重要技术保障之一。基于上述认识, 建立比较 精确的分析模型来准确地计算接触应力和齿根应力具 有重要的意义。齿轮接触应力和齿根应力分析计算受 到国内外学者的广泛关注。该方面的研究是基于理论、 有限元法、试验三方面进行的探讨[ 1- 5] 。本文中我们建 立一对相互啮合的渐开线斜齿轮的计算模型, 利用有限 元法计算齿根应力和接触应力, 和将仿真结果与传统计 算结果相比较。
4 边界条件
小齿轮受到的驱动转矩 T = 68400N mm, 加载时需 要在小齿轮轴的中心输入转矩, 由于 SOLID185 单元不 具备转动自由度, 为了实现转动效果, 可以在节点上施 加切向力的方法。把小齿轮的驱动转矩转化成沿其内 径的切向力, 切向力均匀分布在小齿轮内圈节点上, 其 值为驱动转矩除以节点处的半径和节点数目。针对小 齿轮在柱坐标的周向施加切向载荷, 约束小齿轮内圈所 有节点径向和轴向的自由度。此外对大齿轮内圈所有 节点施加全约束。加载后模型, 如图 4 所示。
H = ZEZH
2KT u+ 1
bd
2 1
u
( 1)
式中, ZE=
1( E1
1
2
1+
1E2
2
2)
称为弹性影响系数,
E1、
E2、 1、 2 分别为斜齿轮副的弹性模量和泊松比, 代入
材料参数计算得
ZE = 189. 76 MPa
ZH = 2cos / sin t cos t 称为区域系数, 其中 t 为
表 1 一对斜齿轮建模参数
齿数 z1
齿数 模数 压力角 齿宽
螺旋角
齿顶高系数
来自百度文库
z 2 m/ mm / ( ) b/ mm
/( )
20
25
4
20
30
1
15
针对斜齿轮结构的复杂性和规律性, 进行 APDL 参 数化建模。对于结构相同、尺寸不同的分析模型可以自 动迅速获得新的分析模型, 避免大量重复过程, 提高设 计效率, 依据表 1 斜齿轮啮合几何模型参数, 根据渐开 线曲线方程和齿根过渡曲线方程以及啮合位置的旋转 角度编制程序导入 ANSYS 绘制斜齿轮模型, 斜齿轮副 的二维几何模型如图 1 所示。
arccos(z
z 1cos t 1+ 2cos
) = 31. 42
at2=
arccos(
z
z 2cos t 2+ 2cos
) = 29. 7
所以端面重合度经计算得 = 1. 515; 式( 1) 中 b 为
齿宽; T 为小齿轮所受转矩; d1 为小齿轮分度圆直径; K 为载荷系数, 为使理论解与有限元解对比, 而斜齿轮副
模型属静力分析, 故载荷系数取为 1; u 为大小齿轮齿数 比, 将各物理量数据代入式( 1) , 计算得斜齿轮副的最大
接触应力为
H = 189. 76 2. 42
2 1. 515
1 68400 30 ( 4 20) 2
25/ 20+ 25/ 20
1=
422.
5MPa
有限元的数值解和赫兹应力理论解的计算误差为
一个优良的有限元离散模型应该具有足够多的单 元数目、合理的单元布局以及品质优良的单元形态。
为建立斜齿轮副正确、合理的有限元模型, 首先针 对二 维齿 轮 的几 何 模型 利 用四 节 点平 面 实体 单元 PLANE42 进行映射网格划分。映射网格划分是对规整 模型的一种规整网格划分方法, 对于面, 只能是三或四 条边, 四边形网格划分数需在对边上保持一致, 这样形 成的单元全部为四边形。由于映射网格划分是通过指 定单元边长和网格数量等参数对网格进行严格控制, 然 后根据面积的形状通过映射对其进行网格划分。单元 边长( 或网格数量) 可根据单元质量指标来选择, 这样划 分出来的单元较规则, 且不易发生畸变。二维齿轮模型 的几何形状不符合映射网格划分的规则, 为将其转换成 规则的形状, 需要把面分割成小的四边形或者暗连接两 条或多条线以减少总的边数, 利用第一种方法对二维齿 轮进行处理, 分割齿轮的二维几何模型成为若干四边形 的组合, 然后进行映射网格划分, 在此基础上, 将二维网 格沿螺旋线拉伸成三维有限元网格模型, 如图 2 和图 3 所示。 三 维 实 体 单 元 选 择 八 节 点 六 面 体 单 元 ( SOLID45) , 因斜齿轮接触处一定存在应力急剧变化, 对 于这些部位设定较密的网格, 远离关注部位的区域, 基 于圣维南原理放松要求, 改用较大尺寸的单元作为近似 写照。斜齿 轮 副 有限 元 模 型节 点 数 193914, 单 元数 177408。
1 二维斜齿轮几何模型的建立
在 ANSYS 环境下实现斜齿轮精确建模, 斜齿轮参 数如表 1 所示。
图 1 二维齿轮的几何模型
第 35 卷 第 12 期
渐开线斜齿轮的接触分析
77
2 斜齿轮有限元网格模型的建立
斜齿轮副的材料是锻钢, 小齿轮的弹性模量 E = 211GPa, 泊 松 比 = 0. 277; 大 齿轮 的 弹 性 模量 E = 209GPa, 泊松比 = 0. 259。
值为 251. 7MPa, 大齿轮齿根处最大MISES 应力在受拉侧
为 130. 2MPa, 受压侧为 132. 6MPa。小齿轮齿根应力在
受拉和受压两侧分别为 114. 8MPa, 133. 4MPa, 如图 6 所 示, 图 6 只显示全齿轮模型的两个齿。
图 6 斜齿轮接触处和齿根处 MISIS 应力云图
6 斜齿轮传统理论应力计算
6. 1 斜齿轮接触理论赫兹应力计算 两个弹性体接触处的应力状态的令人满意的分析,
是由赫兹( 1882 年) 提出的, 他的分析结果已得到实验证 实[ 8] 。齿轮接触属于非协调接触, 由于接触面很小, 即 使承受轻载作用, 接触应力也很大, 将渐开线齿轮等效 为弹性圆柱体, 可用赫兹接触压力公式近似计算齿轮接 触的接触应力[ 9] 214- 216
Abstract The contact finite element model is established for helical gear, finite- element analysis of the helical gear is carried out based on nonlinar contact method. The bending stress of tooth root and the contact stress of its surface are gained. On that basis, the simulat ion and tradit ion theory caculat ion result are compared. The results show that ana-l ysis of gear contact by using finite element method is feasible.
一般情况下, 接触刚度的值预估得低一点比预估得
78
机械传动
2011 年
高要好, 由于预估得低引起的渗透问题比预估太高引起
的收敛难题更容易
解决[ 7] 。首先 取 接
触刚度系数 为 0. 1 ( 即 FKN = 0. 1) 进
行计算, 在软件后
处理中查看接触穿
透、接触 应力 和迭
代次数。随着 FKN 的增大, 接触穿透
斜齿轮齿面上的接触线为一斜线, 受载时, 轮齿的
失效形式为局部折断。斜齿轮齿根应力传统的计算公 式为[ 9] 211- 213
F=
2KTYF YS bdm
Y
( 3)
式中, YF 和 YS 分别为斜齿轮的齿形系数和应力校正
系数, 可近似的按当量齿数 zv z / cos2
422. 5- 395. 8 422. 5
100% = 6. 3%
斜齿轮接触的有限元数值解的误差来源于建模误
差, 主要是离散化误差和截断误差。斜齿轮数学模型中
的自由度是无限的而在有限元模型中却是有限的。接
触单元的数量、形函数性质、积分点规则, 接触刚度和接
触穿透的选取等, 都会造成误差, 甚至严重偏差。利用 赫兹理论计算齿轮的接触应力存在较大偏差, 主要体现
76 文章编号: 1004- 2539( 2011) 12- 0076- 04
机械传动
2011 年
渐开线斜齿轮的接触分析
尹长城 陈伯超
( 湖北汽车工业学院, 湖北 十堰 442002)
摘要 建立斜齿轮接触的有限元模型, 基于非线性接触算法对斜齿轮进行有限元分析, 得到斜齿轮的 齿根弯曲应力和啮合齿面的接触应力结果, 在此基础上, 将仿真与传统理论计算结果进行比较, 结果表明, 利用有限元法分析齿轮接触问题是可行的。
图 5 斜齿轮接触应力云图
不断减小、接触应力在趋向精确解, 但迭代次数增大。
经过多次试算, 针对本文中齿轮接触问题找到较为理想
的接触刚度, 即 FKN= 3。此外, 斜齿轮接触不考虑摩擦
的影响, 计算后的接触应力图如图 5 所示。其中最大接 触应力为 395. 8MPa; 最大 MISES 应力发生在接触处, 其
关键词 有限元 斜齿轮 齿根应力 接触应力
Tooth Contact Analysis of Involute Helical Gears
Yin Changcheng Chen Bochao
( Hubei Automotive Industrial Institut e, Shiyan 442002, China)
在将齿轮接触问题与两个圆柱体接触等效而推导的公
式, 且在公式中采用了很多修正系数。如果考虑接触摩
擦的影响, 赫兹公式的误差将更大。
提取合理的齿轮接触力学模型, 创建精细的有限元 模型, 检测误差并不断修正有限元模型, 能使齿轮接触问
题的有限元解更可靠, 比赫兹理论近似计算更精确。
6. 2 斜齿轮理论齿根应力计算