线性代数第二章 矩阵PPT课件
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兰星
10
5、方阵
第二章 矩阵
a11 a12
A
0 0
a22 O
0
a1n a2n 称为上三角形矩阵 （或上三角阵） ann
方阵
a11
A
a21
an1
0
a22
an2
0
O 0
称为下三角矩阵
ann
（或下三角阵）
上三角与下三角阵统称为三角形矩阵（或三角阵）
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
一、矩阵的加法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11b11
AB
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1nb1n
a2n
b2n
amn bmn
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
b 41 b 42
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
5
第二章 矩阵
二、矩阵的定义 由 m×n 个数
a ij(i 1 ,2 , ,m 排;j成 的1 ,2 m,行,n n)列的数表
a11 a12
a1n
a 21 a 22
a2n
am1 am2
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．记作
9
第二章 矩阵
1 0
4.形如
0
2
0 0
方阵
A
0
0
0
0
的方阵称为对角阵.
记作
n
A diag(1, 2 , , n )
0
0 0
全为同一个数 称为数量矩阵.
0
(或纯量阵)
1 0
0
特别的，方阵
0
1
称为单0 位 阵．
0
0
1
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
记作 En 或 E ．
《线性代数》
全国高等教育自学考试 《线性代数》
兰星
1
第二章 矩阵
整体概述
概况一
点击此处输入相关文本内容 点击此处输入相关文本内容
概况二
点击此处输入相关文本内容 点击此处输入相关文本内容
概况三
点击此处输入相关文本内容 点击此处输入相关文本内容
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
2
第二章 矩阵
§2.1 矩阵
一、矩阵概念的引入
引例 某航空公司在 A、B、C、D 四 A
座城市之间开辟了若干航线，四座城 市之间的航班图如图所示，箭头从始 发地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示: 目的地
A
B
CD
A
√√
始发地
B C
√ √
√ √
D
√
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
B C
D
其中√ 表示有 航班
兰星
3
第二章 矩阵
兰星
11
第二章 矩阵
6、对称矩阵与反对称矩阵
定义 设A为n 阶方阵，如果满足 a ij a jii,j 1 ,2 , ,n
那末 A 称为对称(矩)阵.
12 6 1
例如
A
6
8
0
是对称矩阵.
说明 对称阵的元素以主1对角0线为6对称轴对应相等.
定义 设B为n阶方阵，如果满足 a i j a ji i ,j 1 ,2 , ,n
那末 B 称为反对称(矩)阵.
0 2 1
例如
B
2
0
3
是反对称矩阵.
1 3 0
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
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第二章 矩阵
7、同型矩阵与矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 2 14 3
例如
5
6
与
8
4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元
简记为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
amn
A A m n(aij)m n(aij)
wenku.baidu.com
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
6
第二章 矩阵
这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.
行列式
矩阵
a11 a12
2. 只有一行的矩阵 A(a1,a2, ,an)称为行矩阵(或行向量) .
3. 4.
a1
只有一列的矩B 阵
a
2
称为列矩阵(或列向量) .
an
5. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
0 0
O 2 2
0
0
O 140 0 0 0
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
素相等，即 a ij b ij( i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
注意：不同型
0 0 0 0. 的零矩阵是不
相等的.
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
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第二章 矩阵
§2.2 矩阵的运算
7
第二章 矩阵
例如 1 0 3 5 是一个 2实4矩阵, 9 6 4 3
13 6 2
2 2
2 2
2 2
是一个 3矩3阵,
1 2
是一个 3矩1阵,
4
2359 是一个 1矩4阵,
4 是一个 1矩1阵.
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
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第二章 矩阵
三、特殊的矩阵 1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 A n .
a1n
a 21 a 22
a 2n
a n1 a n2
a nn
行数等于列数 共有n2个元素
d et(a ij )
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
a11 a12
a 21
a 22
am1 am1
a1n
a2n
amn
行数不一定等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
(a ij )m n
兰星
a12 a22
a13 a23
a14 a24
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
a31 a32 a33 a34
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
b 11 b 12
b 21 b 22 b 31 b 32
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
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第二章 矩阵
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
A
B
CD
A
√√
B√
√
C√
√
D
√
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
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第二章 矩阵
例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可
用数表表示为：
a11 a21
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5、方阵
第二章 矩阵
a11 a12
A
0 0
a22 O
0
a1n a2n 称为上三角形矩阵 （或上三角阵） ann
方阵
a11
A
a21
an1
0
a22
an2
0
O 0
称为下三角矩阵
ann
（或下三角阵）
上三角与下三角阵统称为三角形矩阵（或三角阵）
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
一、矩阵的加法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11b11
AB
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1nb1n
a2n
b2n
amn bmn
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
b 41 b 42
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
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第二章 矩阵
二、矩阵的定义 由 m×n 个数
a ij(i 1 ,2 , ,m 排;j成 的1 ,2 m,行,n n)列的数表
a11 a12
a1n
a 21 a 22
a2n
am1 am2
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．记作
9
第二章 矩阵
1 0
4.形如
0
2
0 0
方阵
A
0
0
0
0
的方阵称为对角阵.
记作
n
A diag(1, 2 , , n )
0
0 0
全为同一个数 称为数量矩阵.
0
(或纯量阵)
1 0
0
特别的，方阵
0
1
称为单0 位 阵．
0
0
1
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
记作 En 或 E ．
《线性代数》
全国高等教育自学考试 《线性代数》
兰星
1
第二章 矩阵
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
2
第二章 矩阵
§2.1 矩阵
一、矩阵概念的引入
引例 某航空公司在 A、B、C、D 四 A
座城市之间开辟了若干航线，四座城 市之间的航班图如图所示，箭头从始 发地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示: 目的地
A
B
CD
A
√√
始发地
B C
√ √
√ √
D
√
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
B C
D
其中√ 表示有 航班
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第二章 矩阵
兰星
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第二章 矩阵
6、对称矩阵与反对称矩阵
定义 设A为n 阶方阵，如果满足 a ij a jii,j 1 ,2 , ,n
那末 A 称为对称(矩)阵.
12 6 1
例如
A
6
8
0
是对称矩阵.
说明 对称阵的元素以主1对角0线为6对称轴对应相等.
定义 设B为n阶方阵，如果满足 a i j a ji i ,j 1 ,2 , ,n
那末 B 称为反对称(矩)阵.
0 2 1
例如
B
2
0
3
是反对称矩阵.
1 3 0
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
12
第二章 矩阵
7、同型矩阵与矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 2 14 3
例如
5
6
与
8
4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元
简记为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
amn
A A m n(aij)m n(aij)
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广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
6
第二章 矩阵
这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.
行列式
矩阵
a11 a12
2. 只有一行的矩阵 A(a1,a2, ,an)称为行矩阵(或行向量) .
3. 4.
a1
只有一列的矩B 阵
a
2
称为列矩阵(或列向量) .
an
5. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
0 0
O 2 2
0
0
O 140 0 0 0
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
素相等，即 a ij b ij( i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
注意：不同型
0 0 0 0. 的零矩阵是不
相等的.
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
13
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的运算
7
第二章 矩阵
例如 1 0 3 5 是一个 2实4矩阵, 9 6 4 3
13 6 2
2 2
2 2
2 2
是一个 3矩3阵,
1 2
是一个 3矩1阵,
4
2359 是一个 1矩4阵,
4 是一个 1矩1阵.
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
8
第二章 矩阵
三、特殊的矩阵 1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 A n .
a1n
a 21 a 22
a 2n
a n1 a n2
a nn
行数等于列数 共有n2个元素
d et(a ij )
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
a11 a12
a 21
a 22
am1 am1
a1n
a2n
amn
行数不一定等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
(a ij )m n
兰星
a12 a22
a13 a23
a14 a24
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
a31 a32 a33 a34
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
b 11 b 12
b 21 b 22 b 31 b 32
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
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第二章 矩阵
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
A
B
CD
A
√√
B√
√
C√
√
D
√
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
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0
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
广东技术师范学院天河学院《线性代数》
兰星
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第二章 矩阵
例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可
用数表表示为：
a11 a21