等差数列经典题

2.3 等差数列经典题型一、选择题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2 C ．2n ＋1 D ．2n －1 答案 D2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 答案 B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A 解析 方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310.方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3， 所以S 6S 12＝310.5．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 答案 C解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0. 由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 6．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D 解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7n ＋1＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n ＝1,2,3,5,11.二、填空题7．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n ，(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 2n －28．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 9＝S 17，则前n 项和S n 的最大值是________． 答案 169解析 方法一 利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n2(n －1)×(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二 先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0， 得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.因此S n 的最大值为169.方法三 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， 而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0， 又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0， 故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.因此S n 的最大值为169.9．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.答案 10解析 由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得 (a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31. 由S n ＝n a 1＋a n2＝31n 2＝155，得n ＝10.10．等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列在n ＝k 时，前n 项和S n 取到最小值，则k 的值是________．答案 10或11解析 方法一 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋n －1d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－110n －1≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值， ∴该数列前10项或前11项的和最小． 方法二 由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120a 1·n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小．但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值．三、解答题11．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n n －12d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．已知等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n n ≤5，n 2－10n ＋50 n ≥6.能力提升13．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N *)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( )A ．S n >na 1>na nB ．S n >na n >na 1C ．na 1>S n >na nD ．na n >S n >na 1答案 C 解析： 方法一 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2，解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ， ∴na n ＝5n －4n 2，∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0.S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0.∴na 1>S n >na n . 方法二 ∵a n ＝5－4n ， ∴当n ＝2时，S n ＝－2，na 1＝2，na n ＝－6，∴na 1>S n >na n 。

14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解(1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3.(2)∵d <0，而S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12a 1＋a 122＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0.∴数列{an }的前6项和S 6最大．1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n取得最小值．3．求等差数列{a n}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{a n}的正负项的分界点．。